Transcript 守恆律

守恆律
若已知外力形式非為常數或時間之函數，亦非速度的函數，而是
位置的函數，則物體的運動狀態仍可由牛頓運動定律得到：

m r  F (r )
由於上式難以直接分離，故兩邊各乘以位移的一次微分得


2

d (r ) d (mr / 2)
dr
rm

 F (r )
dt
dt
dt
 2
 mr
 d 
 2




mr2

  F (r )dr
  F (r )dr　2


 2
 mr
 d 
 2




mr2

  F (r )dr
  F (r )dr　2


F (r )dr  dW
若我們定義
則由牛頓第二運動定律可得到

 2


r2 
2
 mr

 mr

d
 W   0  d
W   0

2
 2


r1 





2
2
mr
mv


 K　 K  W  cons tan t
2
2
這結果顯示，由牛頓的運動方程的首次積分預測，物體
運動時存在著某一”運動常量”(K-W)。
”運動常量”的存在，代表此物理量於此動力系統中是”守恆”
的。在上列牛頓運動定律演變式子中，我們定義了兩個新的物
理量
mv 2
K
; W   F (r )  dr
2
無論是K或W，其個別的值於此動力系統中是會改變的。只有當
此二物理量以(K-W)的形式存在時，方成為一運動守恆量。這基
本上至少告訴我們三件事
(一)動力系統中存在有運動常量。
(二)若K與W為上述所定義的形式，則(K-W)於牛頓所描述的
運動世界中是守恆的。
(三)K與W所定義的形式雖不同，但所描述的卻為同一種物理
量。亦即此物理量不僅可以K或W的形式來表示，且彼此之間
可以互相轉換的。
人們於是賦予這些物理量一新的名詞—“能量”(energy)。習慣
上我們稱K為”動能”(kinetic energy)，W為”功”(work)，而
動能與功皆為能量的一種。
功與功率
功為力與位移的乘積
dW≡F‧dr
為一純量(scalar)
[單位]=[Nm]=[joule(J)]焦爾
=[kg(m/s2)m]=[kg(m/s)2]
A‧B=|A||B|cosθ 向量內積滿足
交換律
結合律
A B  B  A
A  (B  C)  A  B  A  C
若向量以直角座標系統來表示時，向量內積可寫
為
A = Ax i + Ay j + Az k ; B = Bx i + By j + Bz k
A‧B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
例題一：一鋼珠沿一平滑凹球面畫下（如圖所示），
球重力對它所作的功。
F = mg k
r
F=mg
dr
r = rcos i + rsin k ;
d r =- rsin d i + rcos d k
rf
2
ri
1
 W   F  dr   r cos　 mg  d
人們定義功對時間的變化量為”功率”(power)。
平均功率的定義為
W  F  dr
P

t
t
而瞬間功率(instantaneous power)則為
W dW
ds
P  lim

F
 F v
t 0 t
dt
dt
一小型車的重量為800kg，而它的引擎效率只有
18%（亦即燃燒汽油後所得到的能量僅有18%能傳
輸出去）。利用已知數據，燃燒一加侖汽油能得到
1.3 108 Joule，問該汽車由靜止加速到27 m/s (60
mi/h)需耗費多少汽油？
假設所需耗費汽油x加侖，則
2
2
2


mv
mv
(
800
kg
)(
27
m
/
s
)
 
x  1.3  108 j  18%  W   d 

0
2
2
 2 
v
計算可得 x = 0.013 gal
若此汽車以速度60 mi/h行進時所測得的耗油量
為35 mi/gal。問此時引擎的輸出功率為何？
由於汽車受力的情況不明，故我們可先計算每小
時耗油量，再轉換成功率。
每小時耗油量 (60 mi/h)/(35mi/gal)=12/7 gal/h
功率 1.3  108 j / gal  18%  12 / 7 gal / h  62kW
車子能跑多快?(請利用下列數據估計)
阻力是什麼?
http://www.toyota.com.tw/
車型尺寸
全長/全寬/全高 (mm)
4610/1755/1665
Rolling friction of tire 2750
1530
前輪距(mm)
is about
軸距(mm)
後輪距(mm)
R  0.015
1520
最小車輪迴轉半徑(m)
5.3
最小車身迴轉半徑(m)
5.6
輪胎規格
205/55/R16
How fast can this car run, if only 60rolling friction is
1500±50
空車重
合計(Kg)
considered?
油箱容量(L)
引擎及制動系統
Power  F V
引擎型式
排氣量(c.c.)
供油方式
最大馬力 (DIN)
2
F  M  g  MZR

1500
kg

9
.
8
m
/
s
 0.015
DOHC 16V
R
 150hp  746W1999
/ hp  220 N  V
電腦控制多點式燃料噴射系統
148 ps/ 6000rpm
150hp  746W / hp 19.2 kg-m/ 4500rpm
V
 500
/ s  1800km / hr
87.5m
x 83.1
缸徑
x 衝程
(mm)
220 N
10.8 ± 0.3
壓縮比
最大扭力 (DIN)
變速系統
Activematic 四速手自排系統
Rolling friction for a hard wheel on a hard surface is quite
small and is a combination of contributions of static
friction and friction from molecular adhesion. For
example, the coefficient of rolling friction for a train
wheel on a steel rail is only 0.001. That is less than the
coefficient of sliding friction on ice. But an automobile
tire is made of rubber and is filled with air. It deforms
under the weight of the car, and that deformation
contributes greatly to the rolling friction. The result is that
the coefficient of rolling friction is about 15 times as great.
A typical automobile tire has an average coefficient of
rolling friction of μR = 0.015
Air Dray (Air Friction)
FDrag
1
 Cd Av 2
2
Cd  0.3 ~ 0.35
http://www.atmosphere.mpg.de/enid/Information_ss/Velocity___air_drag_507.html
作業:(一)找一輛你喜歡的車子之規格
(二)根據該規格分別寫出其滾動摩擦力與空氣
阻力之大小
(三)做圖:分別畫出滾動摩擦力、空氣阻力與
車子總受力與速度(km/hr)之關係圖
(四)車速為多少時，空氣阻力開始大於滾動摩
擦力?
(五)估計該車子之最快可能速度。
功-動能定理(Work-Kinetic Energy Theorem)
Spring-Mass System (彈簧重物系統)
當彈簧受外物影響而產生形變時，彈簧會對此
外物產生一與形變量成正比且方向相反的阻力
F=-kx
考慮初態
末態1
末態2
xi=-D,
vi=0
xf1=0,
vf1=?
xf2=?,vf2=0
在討論力僅依賴於位置的情況時，若其函數形
式為可積分的，這相當於求和過程中與所經路
徑無關（與其歷史無關），僅與其初始與最終
位置有關，則我們稱具有此性質的力為”保守
力” (conservative force)。
I

r2
r1
r2
F (r )  dr   F (r )  dr
r1
r2
r1
pathI　pathII
II

r2
r1
r1
F (r )  dr   F (r )  dr   F (r )  dr  0
r2
pathI　pathII
由於保守力所作之功僅與初始和最終位置有關，
因而可以引進僅依賴於位置r的純量函數U(r)
（記得功為一純量），稱之為位能(potential)。
位能的數學定義：
rf
rf
ri
ri
U (r f )  U (ri )  Wext   Fext  dr    F  dr
或 dU=-F‧dr

dU (r ) 3 D 
U
U
U
F
 F  U (r )  (
xˆ 
yˆ 
zˆ)
dr
x
y
z
彈性位能Spring-Mass System
xf
xf
xi
xi
WS   FS dx   
1 2 1
2
kxdx  kxi  kx f  U S ( xi )  U S ( x f )
2
2
選擇US(0)=0，則彈性位能
1 2
U S ( x)  kx
2
動能和位能之和我們稱之為力學能
(Mechanical Energy)。由上面說明可發現，若
一力能定義位能，那麼，在僅有此力作用的
情形下，力學能守恆。
彈性位能之力學能守恆
1 2 1 2 1 2 1 2
mv1  kx1  mv2  kx2
2
2
2
2
K 2  U 2  K1  U1
例題:將一質量為1 kg的物體，連接於彈性係數為50 N/m
的彈簧。若該物體靜止時，彈簧的壓縮距離為 1 公分。
(不考慮摩擦力)請於同時畫出此系統動能K、位能U與總
力學能(K+U)與彈簧的壓縮距離之關係。
例題：彈簧重物系統再續 一質量為0.8kg的物體，滑行於動摩
擦係數為0.5的平面上，衝向一彈性係數為50 N/m的彈簧。若該
物體剛好碰觸到彈簧時的速度為1.2 m/s，問此彈簧的最大壓縮
距離為何？
由能量守恆得
1
1 2
2
K  Wnon  U  mv  mg k x  kx
2
2
1
1
0.8kg  (1.2m / s ) 2  0.8kg  9.8m / s 2  0.5 x  50 N / mx 2  x  0.092
2
2
例題：分子中兩中性原子之間的作用力所形成的位能場通常可
表為
  12    6 
U ( x)  4      
 x 
 x  
此為所熟知的Lennard-Jones位能函數，而式子中x代表兩原子間
的距離。若一已知的系統有   0.263nm;   1.51  10 22 j
則最可能的原子間距離為?
我們欲求的為其位能之穩定平衡點，所以二原子間作用
力約為零時
12
6
  12 12  6 6 
dU ( x)
d   
  
F 0
 4

       4 
  x  0.295nm
13
7
dx
dx  x 
x 
 x  
 x
其力與位置的關係為
12
6
12 12 6 6 
d   

  
F ( x)  4
       4  13  7 
dx  x 
x 
 x  
 x
作業:繪U-x
圖與F-x圖，
並由圖估算平
衡點位置xeq
重力位能(Gravitational Potential Energy)
Fg  mgj
r2
yf
r1
yi
Wg    Fg  dr   mgdy  mg ( y f  yi )
 U g ( y f )  U g ( yi )
令Ug(0)=0，則重力位
能可寫為Ug (y)=mgy
例題：高空彈跳(bungee jump) 某遊樂場置高空彈跳台設施，其
臺高為15公尺。其彈跳繩為數條長8公尺，彈性係數為200 N/m
的彈性繩索所組成。每次所使用的彈跳繩數目需視使用者而有
所改變。假若有一80公斤重的使用者，(一)請畫出彈性係數為x
N/m與最低高度(自彈跳台起算)的關係圖。(二)若你為安全工
作人員，則你要使用幾條繩索?(三)在此條件下，此高空彈跳者
將經驗最大速度為多少G？