Transcript 2-1 三角函數
CHAPTER 02 向 量 大綱 圖片 2-1 三角函數 2-2 純量與向量 2-3 向量的表示法 2-4 向量的加法 2-5 向量的減法 2-6 向量的分解 2-7 向量的相乘 表格 CHAPTER 02 向 量 大綱 圖片 圖2-1 圖2-11 圖2-21 圖2-2 圖2-12 圖2-22 圖2-3 圖2-13 圖2-23 圖2-4 圖2-14 圖2-24 圖2-5 圖2-15 圖2-25 圖2-6 圖2-16 圖2-26 圖2-7 圖2-17 圖2-27 圖2-8 圖2-18 圖2-28 圖2-9 圖2-19 圖2-10 圖2-20 表格 CHAPTER 02 向 量 大綱 表2-1 圖片 表格 2-1 三角函數 （一）有向角 (1)自正x軸以反時針方向測量半徑 OA 與正x 軸的夾角 時，其角度為正；反之，以順時針方向所測得的 角度為負，例如30°與－330°表示同一角度。 (2)平面角有二種不同的單位，即度或弧度（亦稱 弳），轉一圈相當於360°或2π弧度，因此 180°＝π 30°＝π／6＝0.52弧度 P. 4 (3) 弧長 弧度= 半經 或 s θ= r (2-1) P. 5 (二)三角函數的定義 (1)在圖2-2中，當A點在第一象限時，就直角三角形OAB 而言，其三個銳角三角函數的定義如下： y r 對邊 ( ) 斜邊 (2-2) x 餘弦函數：cosθ= r ( 鄰邊 ) 斜邊 (2-3) ( 對邊 ) 鄰邊 (2-4) 正弦函數：sinθ= 正切函數：tanθ= y x P. 6 (2)θ可推廣至任意其它角度，在圖2-2中，如果設半 徑r等於1，則半徑 OA在y軸上的投影（或分量）OC 就是正弦函數值，而在x軸上的投影 OB 就是餘弦函 數值 P. 7 (3)表2-1是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。 P. 8 例題一 如圖2-3所示，直角三角形ABC的斜邊 AB 為5公尺， θ為37º，求(a) 的長度為何？(b) AC 的長度為何？ BC P. 9 解：(a) 由(2-2)式可得 sinθ＝ 對邊 斜邊 對邊=斜邊 × sinθ 故 (1) AC =5 × sin37 º = 3公尺 (b)由(2-3)式可得 cosθ＝ 鄰邊 斜邊 鄰邊=斜邊×cosθ 故 (2) BC =5 × cos37 º =4公尺 P. 10 （三）反三角函數 在圖2-4之直角三角形ABC 中，如果已知其邊長，要計算 銳角的角度，可以利用反三角函數，例如： sinβ= b c cosβ= a c tanβ= b a 故 β=sin－1( b ) c 故 β=cos－1( a ) c 故 β=tan－1( b ) a P. 11 上面這些反函數符號 sin-1、cos-1、tan-1，亦可用arc sin、arc cos、arc tan來表示，反三角函數的答案，很 容易由計算機求得。 P. 12 例題二 如圖2-4之直角三角形中，已知兩股長 AC ＝5公尺 ， BC ＝12公尺，求角度θ為何？ 5 5 -1 解：由於 tanθ＝ ，故 θ＝ tan ( )＝22.6° 12 12 P. 13 （四）三角函數的一些公式 以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式： (1)sin(90˚－θ)＝cosθ (2-5) 例如：sin30˚＝sin(90˚－60˚)＝cos60˚＝0.5 (2)sin(180˚－θ)＝sinθ (2-6) 例如：sin150˚＝sin(180˚－30 ˚)＝sin30˚＝0.5 (3)sin2θ＝2sinθcosθ (2-7) 例如：sin120˚＝sin(2×60˚)＝2sin60˚ cos60˚＝ 3 ／2 P. 14 (4)正弦定律：在圖2-5之△ABC 中，三邊長與三內 角之關係式為 a b c sin sin sin (2-8) P. 15 (5)餘弦定律：在圖2-5之△ABC 中，邊長與內角之關係 式為 c2＝a2＋b2－2abcosγ b2＝c2＋a2－2cacosβ a2＝b2＋c2－2bccosα (2-9) P. 16 (6)當角θ很小，且以弧度為單位時，sinθ、tanθ及θ 三者的數值非常接近，即 sinθ≈ tanθ≈θ (2-10) 例如：當θ=5º=0.0872弧度時， sin0.0872=0.0871，tan0.0872=0.0874， 這些誤差很小，故sinθ≈θ，tanθ≈θ。 P. 17 2-2 純量與向量 （一）有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特 性稱為純量，如時間、質量、路徑、面積、速 率、能量、功、電荷等皆為純量。 （二）有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完 整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、 速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。 P. 18 2-3 向量的表示法 在一維之直線上運動的質點，只有兩個運動方 向，其中一個方向若定義為正，另一個方向則為負， 因此，可用正、負號來表示其方向性。 但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點， 常用箭號表示，以下介紹向量的表示法： P. 19 （一）符號表示法 (1)向量通常有兩種表示方法，一種是在代表物理量的符 號上方加一橫向箭頭，比如 v 表示速度向量， F 表示 力向量。 (2)另一種方法是用粗體字母來表示，如 v、F。手寫時， 以前者表示較方便。 (3)如果只論及向量的大小，一般直接以物理量的符號來 表示，如 v、F，或是對該向量加上絕對值符號， 如| v |、 | F | 或 |v|、|F|。 P. 20 （二）圖示法 (1)以箭號來表示向量，其箭頭的指向表示向量的方向， 其長度代表向量的大小。 (2)如圖2-6所示，以線段1公分代表10公里，則3公分表示 30公里，方向朝東。 P. 21 （三）單位向量 (1)單位向量是指大小等於1，並指向某一特定方向的向 量，例如向量 A 可寫為 (2-11) A ＝A nˆ 上式中 nˆ 表示平行於 A 的單位向量，其大小| nˆ |=1。 (2)習慣上，在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量， 加箭號 則表示一般向量。 P. 22 (3)在三維的坐標系中，分別以 iˆ 、 ˆj 、 kˆ 來表示朝向x、 y、z軸之正方向的單位向量，如圖2-8所示。 P. 23 2-4 向量的加法 二個向量 A 與 B 相加，其向量和 R 可寫為 (2-12) A ＋ B＝ R （一）三角形法 (1)在圖2-9(a)中，有兩力同時作用於一物體O，向量 平移時不能改變其大小和方向。如圖2-10，先畫 出向量 A ，再畫向量 B，使 B 的箭尾接於 A 的箭 頭，然後由 A 的箭尾畫一直線至 B 的箭頭，所形 成的向量即為向量和 R 。 P. 24 P. 25 (2)一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之 和（何種情況除外？），其關係式為 | A |＋| B | ≧ | A＋ B | (2-13) (3)將向量平移，使兩向量箭尾相接，其間較小的夾 角，即稱為兩向量的夾角，如圖2-9中之θ，而 非指α。 P. 26 (4)以下我們討論 A 與 B 在特殊夾角時， 其向量和 R 的特性： (a)若 A 與 B 同方向時：即夾角為0°時，由圖2-11 可知，其向量和的大小直接等於兩向量大小之 和，即R＝A＋B，而向量和的方向與其分量同 方向。 P. 27 (b)若 A 與 B 反方向時：即夾角為180º時，由圖2-12可 知，其向量和的大小等於兩向量大小之差， 即R＝|A－B|，而向量和的方向與其分量長度較大 者同方向。 (c)若 A 與 B 互相垂直：即夾角為90˚時，由圖2-13及畢 氏定理可知，其向量和的大小為R＝ A2 B 2 ，向 量和 R 與 A 的夾角為 tan-1(B／A)。 P. 28 （二）平行四邊形法 (1)在圖2-14(a)中，使兩向量的箭尾相接，再以此兩 向量為鄰邊作出平行四邊形，然後自兩向量箭尾 相接處畫至另一對角所得的對角線向量，即為兩 向量之和。 (2)向量的加法遵守交換律，即 A＋B ＝B ＋ A (2-14) P. 29 P. 30 （三）多邊形法 (1)如圖2-15(a)所示，求三個或更多向量之合向量 時，可將各向量平移，使其箭頭箭尾連續相接， 然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭 頭，所形成的新向量即為各向量的合向量，如圖 2-15(b)所示。 (2)向量的加法遵守結合律，即 ( A ＋ B )＋C ＝ A ＋( B ＋ C ) (2-15) P. 31 P. 32 2-5 向量的減法 （一）兩向量 A與 B 相減可寫為 D ＝ A－ B ＝ A ＋(－ B ) (2-16) （二）求 A－B 之差的簡便方法，為將兩者之箭尾相 接後，自 B 之箭頭畫一向量至 A 之箭頭，所形 成的新向量即代表兩向量之差。 P. 33 （三）兩向量相加或相減時，若用平行四邊形法來圖解， 則其中一對角線代表兩者之和 A ＋ B，如圖2-17之 實線向量所示；另一對角線代表兩者 之差 A － B，如圖2-17之虛線向量所示。 P. 34 例題三 在圖2-17中，若 A 與 B 兩向量的大小分別為10與6， 兩向量之夾角為60°，試求 (a) A ＋ B 的大小為何？ (b) A － B 的大小為何？ 解： (a)在△OMQ中，利用餘弦定律可得 | A+ B |= OQ = 102 6 2 2 10 6 cos120 =14 (b)在△OPM 中，利用餘弦定律可得 | A+ B |= PM = 102 6 2 2 10 6 cos 60=8.7 P. 35 2-6 向量的分解 （一）二維平面之向量的分解 (1)平行四邊形法 (a)一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分量， 如圖2-18(b)所示，將向量 的箭尾置於直角坐標系 A 的原點O上，再自 的箭頭分別作 x軸與y 軸的垂直 A 線，所得之Ax與Ay 即分別為向量 在xA軸與y軸上 之分量的大小。若θ為向量 與正 A x軸的夾角，則 Ax=A cosθ (2-18) Ay=A sinθ (2-19) P. 36 P. 37 (b)用分量來表示原來的向量時， A 可寫為 A=Ax Ay Ax iˆ Ay ˆj A cosθ iˆ A sin θ ˆj (2-20) 例如圖2-18(b)中之 A 箭頭處的坐標若為(3，4)， 則 A ＝ 3iˆ 4jˆ (c)反過來，利用分量可求得原始向量 A 的大小及方 向，在圖2-18(b)中，由畢氏定理可得 A A A 2 x tanθ= Ay Ax (2-21) 2 y 或 θ=tan-1 Ay Ax (2-22) P. 38 (2)三角形法 以原始向量 A 為斜邊，畫出一個直角三角形，則 所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量，如圖219所示，得 A ＝ Ax Ay P. 39 （二）三維空間之向量的分解 (1)在三維空間中，以原始向量 A 為體對角線，x軸、y 軸和z 軸為邊，畫出一個長方體，所得之長(Ax)、 寬(Ay)和高(Az)分別為原始向量 A 平行於三個坐標 軸的三個分量。 P. 40 (2)原始向量 A 可表示為 A ＝ Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ 例如，在圖2-20(a)中之 A 箭頭處的坐標 (2-25) 若為(3, 4, 5)，則 A 3iˆ 4ˆj 5kˆ P. 41 (3)在圖2-20 (a)中，由畢氏定理可得 A 的大小為 A2＝A12＋A22 (2-26) 由圖(b)可得 A12＝Ax2＋Ay2 ， A22＝Az2 (2-27) 因此，在三維空間中 A 的大小與其分量的關係 式為 A＝ Ax2 Ay2 Az2 (2-28) P. 42 （三）用分量法求向量的和與差 若有 A 與 B 兩向量，分別以單位向量表示如下： A ＝ Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ B ＝ B x iˆ B y ˆj B z kˆ 則此兩向量的和與差可分別寫為 A B ( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj ( Az Bz )kˆ A B ( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj ( Az Bz )kˆ P. 43 例題四 已知二向量， A iˆ 2 ˆj-2kˆ , B 3iˆ-4kˆ ，求(a) A + B =？ (b)| A + B |=？ (c)A+B=？ (d) A － B =？ 解 P. 44 例題五 在圖2-21(a)中，有四個力作用在同一物體上，其力 圖如圖(b)所示，單位為牛頓，試求其合力的 小為何？ (a)大 (b)方向為何？ P. 45 P. 46 解 (a)先將每個力分解 故合力為 由畢氏定理得合力的大小為 R＝ 27.7 2 5.22 ＝28.2牛頓 P. 47 (b)合力與正x軸的夾角θ為 tanθ= 5 .2 =0.19 27 .7 故θ=tan－1 0.19=10.8º 合力的向量如圖2-21(c)所示。 P. 48 2-7 向量的相乘 （一）純量與向量相乘 (1)純量m與一向量 A 相乘，即m A，其乘積仍然為一 向量，此新向量的大小為原向量大小的|m|倍。若 m為正，則新向量與原向量的方向相同；若m為負， 則新向量與原向量的方向相反。 (2)圖解法不難證明下列二式成立 m A＋n A＝(m＋n) A m( A＋ B )＝m A＋m B (2-33) (2-34) P. 49 P. 50 （二）純量積 向量與向量相乘可分成兩種形式，其乘積為一純量者 稱為純量積，其乘積為一向量者稱為向量積。 (1)純量積的定義 (a) A B =ABcosθ (2-35) 純量積 A B 讀作「 A dot B 」，由於所用記 號的形式，純量積亦稱為點乘積。 P. 51 (b)上式可改寫為(A cosθ)B 或A(B cosθ)，因此，純 量積可視為 A 在 B 方向上的分量（或投影） 與 B 之大小的乘積，如圖2-23(a)所示；或視為 B 在 A 方向上的分量與 A 之大小的乘積，如圖223(b)所示。 P. 52 (2)純量積的一些性質 (a) A B B A (b) A ( B C) A B A C (c) 2 A A AAcos0 A 得 A A A (d)若二向量皆非零向量 A B 0 <=> (2-36) (2-37) (2-38) (2-39) AB (2-40) P. 53 (3)單位向量的純量積 (a) iˆ iˆ (b) iˆ ˆj ˆj ˆj kˆ kˆ 11 cos0 1 ˆj kˆ kˆ iˆ 11 cos90 0 (2-41) (2-42) (4)分量法求純量積 A B (Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ) (Bx iˆ B y ˆj Bz kˆ) (2-43) 上式展開的9項中，有6項為零，整理可得 (2-44) A B Ax Bx Ay By Az Bz P. 54 例題六 設有二向量，A 2iˆ ˆj 2kˆ，B 2iˆ 6 ˆj 3kˆ，試求 (a) A B 為何？ (b) A 與 B 的夾角為何？ 解 (a) A B 2 2 1 (6) 2 3 4 (b) A 22 12 22 3 ， B 2 2 ( 6) 2 32 7 由(2-35)式可得 A B 4 4 1 4 cos ，故 cos ( ) 79 21 AB 3 7 21 P. 55 （三）向量積 (1)向量積的定義 (a)向量積 A × B 讀作「A cross B 」，由於所用記號的 關係，向量積又稱為又乘積。 (b)如圖2-24所示，向量積 A × B 的方向定義為垂直於 A 與 B 所形成的平面，且依右手定則來決定它的方向， 以右手的四個手指並攏，並自第一個向量 循較小 A 的夾角轉向第二個向量 ，則豎起之大拇指所指的 B 方向，即為向量積 的方向。 C P. 56 (c) A 與 B 之向量積的大小，可視為以 A 與 B 為 邊所作之平行四邊形的面積。 A P. 57 (2)向量積的一些性質 (a) (b) (c) (d)若二個向量皆非零向量 P. 58 (3)單位向量的向量積 (a) iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 0 (b) iˆ ˆj kˆ ˆj iˆ ˆj kˆ iˆ kˆ ˆj kˆ iˆ ˆj iˆ kˆ P. 59 (c)在圖2-26中，若依順時針方向相乘，則取正號， 例如 若依反時針方向相乘，則取負號，例如 P. 60 (4)分量法求向量積 (a) A B ( Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ) ( Bx iˆ By ˆj Bz kˆ) 上式展開有9項，其中3項為0，經整理可得 A B ( Ay Bz Az B y )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj ( Ax B y Ay Bx )kˆ (b)比較簡易的計算方法，是將 A 與 B 之分量按順序排 列五行，則後四行之交叉相乘積的差，即分別 為 iˆ 、 ˆj 、 kˆ 的分量，如圖2-27所示。 P. 61 例題七 如圖2-28所示，在xy 平面上有 A、 B 二個向量， A 向量的大小為10，其方向與正x軸夾50°，B 向量的大 小為5，其方向與正x 軸夾110˚，試求(a) A ‧B 為何？ (b) × 為何？ A B P. 62 解 (a) A 與 B 的夾角為 θ＝110°－50˚＝60° 所以兩者之純量積為 A B ABcos 10 5 cos60 25 (b) A 與 B 之向量積的大小為 | A B | 10 5 sin 60 25 3 依右手定則，此向量積的方向指向正z 軸方向， 所以 A B 25 3kˆ P. 63 例題八 求 A 2iˆ 與 B 2iˆ 6 ˆj 3kˆ ˆj 2kˆ 的向量積為何？ 解 2 1 2 2 1 2 －6 3 2 －6 A B [1 3 (6)]iˆ (2 2 2 3) ˆj [2 (6) 1 2]kˆ 15iˆ 2 ˆj 14kˆ P. 64