Transcript 2-1 三角函數
CHAPTER
02
向 量
大綱
圖片
2-1 三角函數
2-2 純量與向量
2-3 向量的表示法
2-4 向量的加法
2-5 向量的減法
2-6 向量的分解
2-7 向量的相乘
表格
CHAPTER
02
向 量
大綱
圖片
圖2-1
圖2-11
圖2-21
圖2-2
圖2-12
圖2-22
圖2-3
圖2-13
圖2-23
圖2-4
圖2-14
圖2-24
圖2-5
圖2-15
圖2-25
圖2-6
圖2-16
圖2-26
圖2-7
圖2-17
圖2-27
圖2-8
圖2-18
圖2-28
圖2-9
圖2-19
圖2-10
圖2-20
表格
CHAPTER
02
向 量
大綱
表2-1
圖片
表格
2-1 三角函數
(一)有向角
(1)自正x軸以反時針方向測量半徑 OA 與正x 軸的夾角
時,其角度為正;反之,以順時針方向所測得的
角度為負,例如30°與-330°表示同一角度。
(2)平面角有二種不同的單位,即度或弧度(亦稱
弳),轉一圈相當於360°或2π弧度,因此
180°=π
30°=π/6=0.52弧度
P. 4
(3)
弧長
弧度=
半經
或
s
θ=
r
(2-1)
P. 5
(二)三角函數的定義
(1)在圖2-2中,當A點在第一象限時,就直角三角形OAB
而言,其三個銳角三角函數的定義如下:
y
r
對邊
(
)
斜邊
(2-2)
x
餘弦函數:cosθ=
r
(
鄰邊
)
斜邊
(2-3)
(
對邊
)
鄰邊
(2-4)
正弦函數:sinθ=
正切函數:tanθ=
y
x
P. 6
(2)θ可推廣至任意其它角度,在圖2-2中,如果設半
徑r等於1,則半徑 OA在y軸上的投影(或分量)OC
就是正弦函數值,而在x軸上的投影 OB 就是餘弦函
數值
P. 7
(3)表2-1是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。
P. 8
例題一
如圖2-3所示,直角三角形ABC的斜邊 AB 為5公尺,
θ為37º,求(a)
的長度為何?(b)
AC
的長度為何?
BC
P. 9
解:(a) 由(2-2)式可得
sinθ=
對邊
斜邊
對邊=斜邊 × sinθ
故
(1)
AC =5 × sin37 º = 3公尺
(b)由(2-3)式可得
cosθ=
鄰邊
斜邊
鄰邊=斜邊×cosθ
故
(2)
BC =5 × cos37 º =4公尺
P. 10
(三)反三角函數
在圖2-4之直角三角形ABC 中,如果已知其邊長,要計算
銳角的角度,可以利用反三角函數,例如:
sinβ=
b
c
cosβ=
a
c
tanβ=
b
a
故
β=sin-1(
b
)
c
故
β=cos-1(
a
)
c
故
β=tan-1(
b
)
a
P. 11
上面這些反函數符號 sin-1、cos-1、tan-1,亦可用arc
sin、arc cos、arc tan來表示,反三角函數的答案,很
容易由計算機求得。
P. 12
例題二
如圖2-4之直角三角形中,已知兩股長 AC =5公尺
, BC =12公尺,求角度θ為何?
5
5
-1
解:由於 tanθ=
,故 θ= tan (
)=22.6°
12
12
P. 13
(四)三角函數的一些公式
以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式:
(1)sin(90˚-θ)=cosθ
(2-5)
例如:sin30˚=sin(90˚-60˚)=cos60˚=0.5
(2)sin(180˚-θ)=sinθ
(2-6)
例如:sin150˚=sin(180˚-30 ˚)=sin30˚=0.5
(3)sin2θ=2sinθcosθ
(2-7)
例如:sin120˚=sin(2×60˚)=2sin60˚ cos60˚= 3 /2
P. 14
(4)正弦定律:在圖2-5之△ABC 中,三邊長與三內
角之關係式為
a
b
c
sin
sin
sin
(2-8)
P. 15
(5)餘弦定律:在圖2-5之△ABC 中,邊長與內角之關係
式為
c2=a2+b2-2abcosγ
b2=c2+a2-2cacosβ
a2=b2+c2-2bccosα
(2-9)
P. 16
(6)當角θ很小,且以弧度為單位時,sinθ、tanθ及θ
三者的數值非常接近,即
sinθ≈ tanθ≈θ
(2-10)
例如:當θ=5º=0.0872弧度時,
sin0.0872=0.0871,tan0.0872=0.0874,
這些誤差很小,故sinθ≈θ,tanθ≈θ。
P. 17
2-2 純量與向量
(一)有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特
性稱為純量,如時間、質量、路徑、面積、速
率、能量、功、電荷等皆為純量。
(二)有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完
整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、
速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。
P. 18
2-3 向量的表示法
在一維之直線上運動的質點,只有兩個運動方
向,其中一個方向若定義為正,另一個方向則為負,
因此,可用正、負號來表示其方向性。
但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點,
常用箭號表示,以下介紹向量的表示法:
P. 19
(一)符號表示法
(1)向量通常有兩種表示方法,一種是在代表物理量的符
號上方加一橫向箭頭,比如 v 表示速度向量, F 表示
力向量。
(2)另一種方法是用粗體字母來表示,如 v、F。手寫時,
以前者表示較方便。
(3)如果只論及向量的大小,一般直接以物理量的符號來
表示,如 v、F,或是對該向量加上絕對值符號,
如| v |、 | F | 或 |v|、|F|。
P. 20
(二)圖示法
(1)以箭號來表示向量,其箭頭的指向表示向量的方向,
其長度代表向量的大小。
(2)如圖2-6所示,以線段1公分代表10公里,則3公分表示
30公里,方向朝東。
P. 21
(三)單位向量
(1)單位向量是指大小等於1,並指向某一特定方向的向
量,例如向量 A 可寫為
(2-11)
A =A nˆ
上式中 nˆ 表示平行於 A 的單位向量,其大小| nˆ |=1。
(2)習慣上,在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量,
加箭號
則表示一般向量。
P. 22
(3)在三維的坐標系中,分別以 iˆ 、 ˆj 、 kˆ 來表示朝向x、
y、z軸之正方向的單位向量,如圖2-8所示。
P. 23
2-4 向量的加法
二個向量 A 與 B 相加,其向量和 R 可寫為
(2-12)
A + B= R
(一)三角形法
(1)在圖2-9(a)中,有兩力同時作用於一物體O,向量
平移時不能改變其大小和方向。如圖2-10,先畫
出向量 A ,再畫向量 B,使 B 的箭尾接於 A 的箭
頭,然後由 A 的箭尾畫一直線至 B 的箭頭,所形
成的向量即為向量和 R 。
P. 24
P. 25
(2)一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之
和(何種情況除外?),其關係式為
| A |+| B | ≧ | A+ B |
(2-13)
(3)將向量平移,使兩向量箭尾相接,其間較小的夾
角,即稱為兩向量的夾角,如圖2-9中之θ,而
非指α。
P. 26
(4)以下我們討論 A 與 B 在特殊夾角時,
其向量和 R 的特性:
(a)若 A 與 B 同方向時:即夾角為0°時,由圖2-11
可知,其向量和的大小直接等於兩向量大小之
和,即R=A+B,而向量和的方向與其分量同
方向。
P. 27
(b)若 A 與 B 反方向時:即夾角為180º時,由圖2-12可
知,其向量和的大小等於兩向量大小之差,
即R=|A-B|,而向量和的方向與其分量長度較大
者同方向。
(c)若 A 與 B 互相垂直:即夾角為90˚時,由圖2-13及畢
氏定理可知,其向量和的大小為R= A2 B 2 ,向
量和 R 與 A 的夾角為 tan-1(B/A)。
P. 28
(二)平行四邊形法
(1)在圖2-14(a)中,使兩向量的箭尾相接,再以此兩
向量為鄰邊作出平行四邊形,然後自兩向量箭尾
相接處畫至另一對角所得的對角線向量,即為兩
向量之和。
(2)向量的加法遵守交換律,即
A+B =B + A
(2-14)
P. 29
P. 30
(三)多邊形法
(1)如圖2-15(a)所示,求三個或更多向量之合向量
時,可將各向量平移,使其箭頭箭尾連續相接,
然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭
頭,所形成的新向量即為各向量的合向量,如圖
2-15(b)所示。
(2)向量的加法遵守結合律,即
( A + B )+C = A +( B + C )
(2-15)
P. 31
P. 32
2-5 向量的減法
(一)兩向量 A與 B 相減可寫為
D = A- B = A +(- B )
(2-16)
(二)求 A-B 之差的簡便方法,為將兩者之箭尾相
接後,自 B 之箭頭畫一向量至 A 之箭頭,所形
成的新向量即代表兩向量之差。
P. 33
(三)兩向量相加或相減時,若用平行四邊形法來圖解,
則其中一對角線代表兩者之和 A + B,如圖2-17之
實線向量所示;另一對角線代表兩者
之差 A - B,如圖2-17之虛線向量所示。
P. 34
例題三
在圖2-17中,若 A 與 B 兩向量的大小分別為10與6,
兩向量之夾角為60°,試求 (a) A + B 的大小為何?
(b) A - B 的大小為何?
解:
(a)在△OMQ中,利用餘弦定律可得
| A+ B |= OQ = 102 6 2 2 10 6 cos120 =14
(b)在△OPM 中,利用餘弦定律可得
| A+ B |= PM = 102 6 2 2 10 6 cos 60=8.7
P. 35
2-6
向量的分解
(一)二維平面之向量的分解
(1)平行四邊形法
(a)一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分量,
如圖2-18(b)所示,將向量 的箭尾置於直角坐標系
A
的原點O上,再自 的箭頭分別作
x軸與y 軸的垂直
A
線,所得之Ax與Ay 即分別為向量 在xA軸與y軸上
之分量的大小。若θ為向量
與正
A x軸的夾角,則
Ax=A cosθ
(2-18)
Ay=A sinθ
(2-19)
P. 36
P. 37
(b)用分量來表示原來的向量時, A 可寫為
A=Ax Ay Ax iˆ Ay ˆj A cosθ iˆ A sin θ ˆj (2-20)
例如圖2-18(b)中之 A 箭頭處的坐標若為(3,4),
則
A = 3iˆ 4jˆ
(c)反過來,利用分量可求得原始向量 A 的大小及方
向,在圖2-18(b)中,由畢氏定理可得
A A A
2
x
tanθ=
Ay
Ax
(2-21)
2
y
或
θ=tan-1
Ay
Ax
(2-22)
P. 38
(2)三角形法
以原始向量 A 為斜邊,畫出一個直角三角形,則
所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量,如圖219所示,得
A = Ax Ay
P. 39
(二)三維空間之向量的分解
(1)在三維空間中,以原始向量 A 為體對角線,x軸、y
軸和z 軸為邊,畫出一個長方體,所得之長(Ax)、
寬(Ay)和高(Az)分別為原始向量 A 平行於三個坐標
軸的三個分量。
P. 40
(2)原始向量 A 可表示為
A = Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ
例如,在圖2-20(a)中之 A 箭頭處的坐標
(2-25)
若為(3, 4, 5),則
A 3iˆ 4ˆj 5kˆ
P. 41
(3)在圖2-20 (a)中,由畢氏定理可得 A 的大小為
A2=A12+A22
(2-26)
由圖(b)可得
A12=Ax2+Ay2 ,
A22=Az2
(2-27)
因此,在三維空間中 A 的大小與其分量的關係
式為
A=
Ax2 Ay2 Az2
(2-28)
P. 42
(三)用分量法求向量的和與差
若有 A 與 B 兩向量,分別以單位向量表示如下:
A = Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ
B = B x iˆ B y ˆj B z kˆ
則此兩向量的和與差可分別寫為
A B ( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj ( Az Bz )kˆ
A B ( Ax Bx )iˆ ( Ay By ) ˆj ( Az Bz )kˆ
P. 43
例題四
已知二向量, A iˆ 2 ˆj-2kˆ , B 3iˆ-4kˆ ,求(a)
A + B =? (b)| A + B |=? (c)A+B=? (d) A - B =?
解
P. 44
例題五
在圖2-21(a)中,有四個力作用在同一物體上,其力
圖如圖(b)所示,單位為牛頓,試求其合力的
小為何?
(a)大
(b)方向為何?
P. 45
P. 46
解
(a)先將每個力分解
故合力為
由畢氏定理得合力的大小為
R= 27.7 2 5.22 =28.2牛頓
P. 47
(b)合力與正x軸的夾角θ為
tanθ=
5 .2
=0.19
27 .7
故θ=tan-1 0.19=10.8º
合力的向量如圖2-21(c)所示。
P. 48
2-7 向量的相乘
(一)純量與向量相乘
(1)純量m與一向量 A 相乘,即m A,其乘積仍然為一
向量,此新向量的大小為原向量大小的|m|倍。若
m為正,則新向量與原向量的方向相同;若m為負,
則新向量與原向量的方向相反。
(2)圖解法不難證明下列二式成立
m A+n A=(m+n) A
m( A+ B )=m A+m B
(2-33)
(2-34)
P. 49
P. 50
(二)純量積
向量與向量相乘可分成兩種形式,其乘積為一純量者
稱為純量積,其乘積為一向量者稱為向量積。
(1)純量積的定義
(a) A B =ABcosθ
(2-35)
純量積 A B 讀作「 A dot B 」,由於所用記
號的形式,純量積亦稱為點乘積。
P. 51
(b)上式可改寫為(A cosθ)B 或A(B cosθ),因此,純
量積可視為 A 在 B 方向上的分量(或投影)
與 B 之大小的乘積,如圖2-23(a)所示;或視為 B
在 A 方向上的分量與 A 之大小的乘積,如圖223(b)所示。
P. 52
(2)純量積的一些性質
(a)
A B B A
(b)
A ( B C) A B A C
(c)
2
A A AAcos0 A
得 A A A
(d)若二向量皆非零向量
A B 0 <=>
(2-36)
(2-37)
(2-38)
(2-39)
AB
(2-40)
P. 53
(3)單位向量的純量積
(a) iˆ iˆ
(b) iˆ ˆj
ˆj ˆj kˆ kˆ 11 cos0 1
ˆj kˆ kˆ iˆ 11 cos90 0
(2-41)
(2-42)
(4)分量法求純量積
A B (Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ) (Bx iˆ B y ˆj Bz kˆ) (2-43)
上式展開的9項中,有6項為零,整理可得
(2-44)
A B Ax Bx Ay By Az Bz
P. 54
例題六
設有二向量,A 2iˆ ˆj 2kˆ,B 2iˆ 6 ˆj 3kˆ,試求
(a) A B 為何? (b) A 與 B 的夾角為何?
解
(a) A B 2 2 1 (6) 2 3 4
(b) A 22 12 22 3 , B 2 2 ( 6) 2 32 7
由(2-35)式可得
A B
4
4
1 4
cos
,故 cos ( ) 79
21
AB 3 7 21
P. 55
(三)向量積
(1)向量積的定義
(a)向量積 A × B 讀作「A cross B 」,由於所用記號的
關係,向量積又稱為又乘積。
(b)如圖2-24所示,向量積 A × B 的方向定義為垂直於 A
與 B 所形成的平面,且依右手定則來決定它的方向,
以右手的四個手指並攏,並自第一個向量 循較小
A
的夾角轉向第二個向量 ,則豎起之大拇指所指的
B
方向,即為向量積 的方向。
C
P. 56
(c) A 與 B 之向量積的大小,可視為以 A 與 B 為
邊所作之平行四邊形的面積。
A
P. 57
(2)向量積的一些性質
(a)
(b)
(c)
(d)若二個向量皆非零向量
P. 58
(3)單位向量的向量積
(a) iˆ iˆ ˆj ˆj kˆ kˆ 0
(b) iˆ ˆj kˆ ˆj iˆ
ˆj kˆ iˆ kˆ ˆj
kˆ iˆ ˆj iˆ kˆ
P. 59
(c)在圖2-26中,若依順時針方向相乘,則取正號,
例如
若依反時針方向相乘,則取負號,例如
P. 60
(4)分量法求向量積
(a) A B ( Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ) ( Bx iˆ By ˆj Bz kˆ)
上式展開有9項,其中3項為0,經整理可得
A B ( Ay Bz Az B y )iˆ ( Az Bx Ax Bz ) ˆj ( Ax B y Ay Bx )kˆ
(b)比較簡易的計算方法,是將 A 與 B 之分量按順序排
列五行,則後四行之交叉相乘積的差,即分別
為 iˆ 、 ˆj 、 kˆ 的分量,如圖2-27所示。
P. 61
例題七
如圖2-28所示,在xy 平面上有 A、 B 二個向量, A
向量的大小為10,其方向與正x軸夾50°,B 向量的大
小為5,其方向與正x 軸夾110˚,試求(a) A ‧B 為何?
(b) × 為何?
A B
P. 62
解
(a) A 與 B 的夾角為
θ=110°-50˚=60°
所以兩者之純量積為
A B ABcos 10 5 cos60 25
(b) A 與 B 之向量積的大小為
| A B | 10 5 sin 60 25 3
依右手定則,此向量積的方向指向正z 軸方向,
所以
A B 25 3kˆ
P. 63
例題八
求 A 2iˆ 與
B 2iˆ 6 ˆj 3kˆ
ˆj 2kˆ 的向量積為何?
解
2
1
2
2
1
2
-6
3
2
-6
A B [1 3 (6)]iˆ (2 2 2 3) ˆj [2 (6) 1 2]kˆ
15iˆ 2 ˆj 14kˆ
P. 64