Transcript 物理與數學
物理與數學 純量、向量 內積、外積 微分、積分 純量與向量 純量(scalar)：大小(數字)+單位 向量(vector)：大小(數字)+方向+單位 單位(unit)：長度 時間 質量 溫度 m s kg K 數字表示法 1.2 與 1.20 的差別 1.2 有效位數 2 位；1.20有效位數 3 位 科學記號 G giga- 109 m milli- 10-3 毫 micro- 10-6 微 M mega- 106 μ k kilo- 103 n nano- 10-9 奈 c centi- 102 p pico皮 10-12 純量表示法 純量=大小+單位 例如：硬碟容量 500 G byte = 500×109 byte 汽車質量 500 kg = 500×103 g = 500 公斤 微小顆粒 5.0 mg = 5.0×10-3 g = 5.0毫克 紅光波長 650 nm = 650×10-9 m = 650奈米 常見物理量表示法 長度 length ：L、l、d、s、x、… 質量 mass ：M、m 時間 time ：T、t 速度 velocity ：V、v、 u 加速度 acceleration ：a 力 force ：F、f 能量 energy ：U、E 動量 momentum ：P、p 使用代號時不 要再加單位 向量 = 純量 ＋ 方向 右圖代表物體的移動 物體先往東移動 4m 物體再往北移動 3m 物體總共移動的距離 = 7m 純量 物體最後的位置(相對 原點)： 東朝北37o、5m 處 向量 北 3m 東 4m 向量 = 純量 ＋ 方向 表示方法1：繪圖， 以箭頭長短代表大小 箭頭指向代表方向 A y A y ˆj A x A x iˆ 表示方法2：利用座標 A Ax iˆ A y ˆj Az kˆ 方向與座標系 coordinate 2-dim 直角座標 (x,y) 2-dim 極座標 (r, θ) x r cos x x y tan 2 1 r θ y r sin r y y x 2 方向與座標系 3-dim 直角座標 (x,y,z) ；x,y,z 排列須依右手定則 y x z y z z x y x 向量：A 向量的大小：A A A A A 2 x 2 y 2 z 單位向量 unit vector：大小=1 iˆ ˆj kˆ Aˆ A A 分向量、分量 component： A x A x 向量 or 純量 3. 水龍頭下方裝有兩條互相垂直的水管，若 x 管 每秒鐘出水量為50cm3/s、y 管為70cm3/s， (a) 則水龍頭每秒鐘的出水量為向量或純量，(b)若 為純量請求出大小，若為向量請寫出其向量式 y 管 x 管 4. 某個物理量的 x 分量為20V/m、y 分量為30V/m， (a)此物理量為向量或純量，(b)若為純量請求 出大小，若為向量請寫出其向量式 向量相加(1) 繪圖法：只管起點和 最後一點 座標法：分向量相加 C B C A B C ( A x B x ) iˆ ( A y B y ) ˆj B A 向量相加(2) －向量相減 B ：大小與 B 相同 ，但方向相反的向量 B A 所以 D A B A ( B ) B D 練習 物體位置的改變量 ＝(後來的位置向量)－(原來的位置向量) ＝位移 displacement r r2 r1 某人由A點出發，沿著一封閉路逕行走後回到A點。則此人 的位移為0 設此人每走出一步的位移量為 d l ，沿著封閉路徑的總位 移量 l dl dl 0 dl A 向量的內積 內積 scalar product、dot product 運算結果為純量 運算符號 ” ‧ ” B θ 運算方式 A A B A B cos A x B x A y B y A z B z 向量的外積 外積 vector product、cross product 運算結果為向量 運算符號 ” × ” 運算方式 C B θ C A B A B sin nˆ ˆj iˆ kˆ A y Az Ax ˆ Ax A y Az i By Bz Bx Bx By Bz A Az Bz ˆj Ax Ay Bx By kˆ ( A y B z A z B y ) iˆ ( A x B z A z B x ) ˆj ( A x B y A y B x ) kˆ 內積 vs. 外積 內積 純量 ‧ 運算結果 運算符號 交換律 AB B A 應用 作功(定力) W F S 取分量 A x A iˆ 外積 向量 × A B ( B A) 力矩 r F 平均與微分 位置隨時間的變化圖 x t 平均速度 欲得瞬時值，須 lim t 0 即取切線的斜率 切線的斜率 v lim x t 0 t 瞬時速度 v dx dt dx dt 微分的計算 x (t ) C t n x ( t ) sin( at ) x ( t ) cos( at ) dx dx dz dt dz dt n dt dt dx d (sin at ) dt dt dx d (cos at ) dt dx d (C t ) dt C n t n 1 a cos( at ) a sin at 求乘積的合與積分 速度固定：所走的距離=速度×時間間隔 x v t 求乘積的合與積分 速度改變：總距離=每段時間間隔所走的距離相加 x x 1 x 2 ... v av ,1 t1 v av , 2 t 2 ... n x v j 1 av , j t j 欲求實際值： 每段時間間隔要無限小 t j 0 dt 間隔內的平均速度即為瞬時速度 v av , j v ( t ) x lim v t 0 av , j t v ( t ) dt v ( t ) 函數曲線下的面積 積分與微分的關係 v dx dx v dt dt x lim x dx v dt x 0 f ( t ) dt g ( t ) d ( g ( t )) f (t ) dt f ( x ) dx g ( x ) d ( g ( x )) dx f (x) 積分的運算 設物體的速度為 v(t) 且 t=0 時 x=0 0~ta 間隔，移動了藍色面積的距離，即 x x ( t a ) x ( 0 ) x ( t a ) 藍色面積 同理，x(tb)=紅色面積 v(t) 所以，ta~tb 間隔 物體移動=綠色面積 tb v ( t ) dt ta x ( tb ) x ( ta ) 0 ta tb t 積分的運算 xB 若 f ( x ) dx g ( x ) 則 f ( x ) dx g ( x B ) g ( x A ) xA C x dx C n sin 1 n 1 x dx cos x x n 1 cos x dx sin x 練習 質量=密度×體積 一維的非均勻密度物體，若物體放置如圖 所示，且 ( x ) ，則物體的總質量？ x=a x=b λ(x) x=a x=b x 密度隨著 x 改變？ 密度不是定值 總質量≠密度×體積 如圖，當Δx → dx 時， 這無限小段的密度即 為 (x) 這無限小段的質量 = ( x ) dx = dm 總質量=每小塊質量的 總和 b m dm ( x ) dx a dx x=b x=a λ(x) x=a dx x=b x 練習 質量=密度×體積 二維的非均勻密度物體，若物體放置如圖所示， 且 ( x ，則物體的總質量？ , y) 質量=密度×體積 密度×面積 y=yf dy y=yi 每一小塊的面積 dx dy da 每一小塊的質量 dm ( x , y ) da x=xi dx x=xf 總質量 M dm ( x , y ) da 練習 二維的非均勻密度物體，若物體放置如圖所示 且 cx ，則物體的總質量？ y=yf dy ∵ 質量只與 x 有關 ∴ 每一小塊面積 每一長條面積 y=yi x=xi dx x=xf 每一長條的面積 da ( y f y i ) dx 每一長條的質量 y=yf da=dx．(yf-yi) dm ( x , y ) da cx ( y f y i ) dx 總質量 y=yi x=xi x=xf M dm ( x , y ) da 練習 二維的非均勻密度物體，若物體放置如圖所示 且 cr ，則物體的總質量？ dy’ dx’ dx’=dr dy’=rdθ da=dx’ dy’ =r dr dθ 練習 因為 cr ，密度只與 r 有關，所以一小塊 面積 一小圓環面積 dy’ dx’ 練習 因為 cr ，密度只與 r 有關，所以一小塊 面積 一小圓環面積 每一小圓環的面積 da ( 2 r ) dr 每一長條的質量 dm cr da cr ( 2 r ) dr 總質量 M dm cr 2 r dr