Transcript 半球體體積公式
球體體積 鄧美愉 2011年6月 課程的要求 理解及運用公式計算……和球形的體積 實驗方法 • 倒沙 /水 3 •圓柱體體積 = 球體體積 2 4 r3 •球體體積 = 2 (r2)(2r)= 3 3 疑問 除微積分外，如何向學生解釋球體體積公式? 在中國歷史上，何時出現球體體積公式? I. 球體體積公式 《九章算術》卷第四 少廣篇 4500立方尺 ？ 原文 「二三」今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何？ 答曰：二十尺。 開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一， 所得開立方除之，即丸徑。 即 d 3 16 4500立方尺 20公尺 9 換言之， V 9 d 3 3 r 3 16 2 設 = 3 如何求得球體體積 如何求圓的面積? 9 3 d 16 ? 《九章算術》如何得球體體積 9 3 d 16 方法1: 用實物測量方法 徽注：黃金方寸，重十六兩。金丸徑寸，重九兩。 由此，球體體積 = 9 9 正方體的體積 d 3 16 16 1寸 《九章算術》如何得球體體積 9 3 d 16 方法2: • 圓面積與正方形面積之關係 • 截面原理 劉徽由圓面積及正方形面積的率作解釋 圓面積：正方形面積 3：4 《九章算術》卷第一 方田篇 原文 「三一」今有圓田，周三十步，徑十步。問 為田幾何。 術曰：半周半徑相乘得積步。 又術曰：周徑相乘，四而一。 又術曰：徑自相乘，三之，四而一。 又術曰：周自相乘，十二而一。 譯文 「三一」現有圓形田，圓周為30步，直徑為10步 ，問田的面積是多少？ 10步 答：75平方步。 30步 算法一：以圓周之半與半徑相乘可得到圓田的面 積，即 A C r 2 A 2r r 2 算法三：直徑與直徑相乘，乘以3除以4，即 換言之，即 換言之，即 A 3 A 2r 2r 4 3 r r A r 2 3 d d 4 由截面原理 圓柱體體積：正方體體積 9 3 《九章算術》如何得球體體積 d = 圓面積：正方形面積 16 3：4 徽注: 為術者，蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪 四分之三，圓囷居立方亦四分之三。 更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷 又四分之三也。 置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居 立方十六分之九也。 球體體積：立方體體積=9:16 球體體積：圓柱體體積 3 × 3：3 × 4 9：12 = 3：4 II. 劉徽之牟合方蓋 劉徽表示：「以周三徑一為圓率，則圓 冪傷少，令圓囷為方率，則丸積傷多。 互相通補，是以九與十六之率偶與實相 近，而丸傷多耳。」 劉徽指出應為 牟合方蓋體積：球體體積 =正方形面積：圓面積 = 4：3 即是 球體體積 3 牟合方蓋的體積 4 II. 球體體積公式 劉徽之牟合方蓋 3 球體體積 牟合方蓋的體積 4 什麼是牟合方蓋? 劉徽為何以牟合方蓋求球體體積? 圓與正方形四邊相切 劉徽為何以牟合方蓋求球體體積? 先前 以「圓柱為方率，渾丸為圓率」 即圓柱體體積：球體體積 = 4：3 圓體之外應套入一個個處處切合之方蓋, 正 如圓錐體 如何求與球體處處切合之方蓋?? 兩處相切 圓柱體 圓柱體 四處相切 牟合方蓋 因為 圓面積：正方形面積 = : 4 球體體積 : 牟合方蓋體積 = : 4 III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 南北朝數學家祖冲之、祖暅父子 《綴術 》「冪勢既同，則積不容異。」 立於平面上的同高立體，若於同一高度所取 截 面面積總是相等，則它們的體積相同 III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 h r 紅色面積 = r 2 h 2 黃色面積 = r 2 (r 2 h 2) = h 2 r h 藍色面積 = h 2 = 黃色面積！ III.利用祖暅原理求牟合方蓋的體積 + 1 3 1 r 牟合方蓋體積 + 3 8 1 牟合方蓋體積 8 = = r3 = 2 3 r 3 2 3 r 牟合方蓋體積 8 3 16 3 r 3 16 3 r 因此，球體體積 4 3 4 3 r 3 IV.利用祖暅原理求球體積的另一證法 r r r h r r h h h 2 2 ( r h ) 黃色部分面積 = (r 2 ) h 2 紅色部分面積= 由祖暅原理，得 半球體體積 = 圓柱體體積 圓錐體積 = = 球體體積 = 4 3 r 3 1 3 r 2 (r ) r 2 r 2 3 r 3 http://www.mathland.idv.tw/ 教學資源 http://cd1.edb.hkedcity.net/cd/bcalt/math/ks3/chi/KS3MS3-3/KS3-MS3-3-f.htm http://www.mathland.idv.tw/ http://www.hkame.org.hk/html/modules/tiny d2/ 參考資料 《中國古代數學簡史》。李儼、杜石然(2000)。 九章出版社。 《《九章算術》及其劉徽注研究》李繼閔(1992)。九章 出版社。 Journey Through Genius - The Great Theorems of Mathematics. (1990) William Dunham. John Wiley & Sons. 數學教育20期.(2005). “自製教具驗證證球體表面面積及 體積公式” 數學教育24期.(2006). “化圓為方-球體體積與牟合方 蓋”.