Transcript 數學史融入數學教學之策略

數學史融入數學教學之
策略概述(二）
報告人：陳冠良
基本教學策略--提供銘言佳句
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『如果你解不出某道題，那你一定是有一個更容易的問題
尚未解決—找到它』－G.Polya
『在大部分的科學中，新舊的更迭替換很明顯，但唯有在
數學領域裡，每個世代的數學家卻在既有的結構中添加新
的內容。』－Hermann Hankel
『數學家和詩人、畫家一樣，是模式製造家』－ G.H.Hardy
『數學之於自然界，有如福爾摩斯之於線索』－Ian Stewart
『沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現』
－牛頓
『對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學者的壽命』
－P.S.拉普拉斯
基本教學策略--提供銘言佳句
『教發現、教猜測、教合情推理，讓我們先教猜測吧』
－ G.Polya
 『如果你不立足於大自然這個很好的基礎，那麼你的勞動
將無裨於人，無異於己』
Leonardo de Vinci
 『數學發明的動力不是理性，而是想像』－A.de Morgan
 『只要代數和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的
應用就狹窄。但是，當這兩門科學結合成伴侶時，它們互
相吸取對方的新鮮活力，並迅速地區於完善。』－J.L.
Lagrange
 『音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受。』
－G. Leibniz
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基本教學策略--提供銘言佳句
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『了解Archimedes與Appolonius的人，對後代傑出人物的
成就就不會再那麼欽佩了。』－G. Leibniz
『在我看來，一個人如要在數學上有所進步，它必須向大
師們學習，而不應向徒弟們學習。』－N.H.Abel
『他以幾乎神一般的思維，最先說明了行星運動和圖像，
彗星的軌道和大海的潮汐。』－Newton墓誌銘
基本教學策略--引入另類解法
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畢氏定理之證明：
《周髀算經》（大約成書於公元前
一世紀前的西漢時期），書中有一
段商高（約前1120）答周公問中有
「勾廣三 ，股修四，經隅五」
三國的趙爽（約3世紀）， 在他的
數學文獻《勾股圓方圖》中（作為
《周髀算經》的注文，而被保留於
該書之中）。運用弦圖， 巧妙的
證明了勾股定理。他把三角形塗成
紅色，其面積叫「朱實」，中間正
方形塗成黃色叫 做「中黃實」，
也叫「差實」。他寫道︰按弦圖，
又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱
實四，以勾股之差相乘為中黃實，
加差實，亦稱弦實 』
基本教學策略--引入另類解法
基本教學策略--引入另類解法
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劉徽的證明
公元三世紀時的三國時
代數學家劉徽在《九章
算術》第九章「勾股」
的勾股術「勾股各自乘、
並而開方除之，即弦。」
作注：
「勾自乘為朱方，股自
乘為青方，令出入相補，
各從其類，因就其餘不
移動也。合成弦方之冪，
開方除之，即弦也。」
朱方＝a2
青方=b2

AB
基本教學策略--引入另類解法
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AB
歐幾里得證明：
在△ABC的三邊上分別向外作
正方形BCDE、ABFG、ACKH
過A作的垂線分別與、交於LM
 △BCF與△BDA全等(SAS)
 ∴SABFG= SBDLM
 同理 SCAHK ＝SMLEC
 ∴SABFG＋SCAHK ＝SBDLM＋SMLEC＝SBCDE

即AB2＋AC2＝BC2
基本教學策略--引入另類解法

如圖：直角△ABC中，∠C＝90O
ab
（1）ch=2△ABC=ab，h＝
c
ACD bh
（2）

ABC ac
BCD ah
（3）

ABC bc
（2）＋（3）＝
∴
a b
2
bh
ac
2
＋
＝
c
ah a 2  b 2
＝
bc
c2
2
＝1
C
b
a
h
A
（h＝
c
ab
c
）
D
B
基本教學策略--引入另類解法
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【好的圖形勝過千言萬語】
a
b
c
a
b
基本教學策略--引入另類解法
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從文本中找靈感：
埃及數學：雷因草紙卷（Rhind
Papyrus）話說在 1858 年，英
國人雷因在埃及古都的廢墟中發現
了一本以象形文字寫成的紙草書。
這部紙草書幅面長 550 cm，闊 33
cm。經鑑定後，發現是至今流傳的
兩本最古的埃及數學著作之一。此
書的作者阿默士是古埃及的祭司，
他在書中寫著：「這本書的很多內
容，是從金字塔時代一份更古老的
文獻中抄出來的。」
在阿默士的紙草書中，提供了 80
多道數學問題的解答方案，內容範
圍包括：四則運算、解方程、面積、
體積等等，充份展示了古埃及人的
數學智慧。此外，書中也採用了一
套有趣的記數符號：
基本教學策略--引入另類解法
今有昆仲季三人，昆謂季曰：汝年紀比我四
分之三，二弟年紀比我六分之五多於汝四歲，
問各年若干？
荅曰：昆四十八歲，仲四十歲，季三十六歲。
法曰：置六分為甲衰，四歸三因得四分半為丙
衰，五為乙衰，於乙衰內減丙衰餘五，以除
四歲得八，以乘各衰合問。
其解法為：昆取6則仲為5季為4.5，二弟多
於季4歲但依上述僅多0.5，則應乘8倍，故
三人各為48,40,36歲。

基本教學策略--引入另類解法


今有羅九千九百五十四匹，令甲乙丙三七分之，問若干？
答曰：甲：六千一百七十四匹，乙：二千六百四十六匹，
丙：一千一百三十四匹。
法曰：置總羅為實，別置一數以七為法，二次乘之得甲衰
四十九，三因七歸得乙衰二十一，三因七歸得丙衰九，併
得七十九為法，除實得一百二十六匹，以乘各衰得，合問。
解法一：甲衰為72，乙衰為
3
2
7   21
7

丙衰為9954÷（49＋21＋9）＝162

再乘各衰
即由大到小，有n項，則首項之衰為
7
n 1
基本教學策略--引入另類解法

一法：置一以三為法，二次乘之得丙衰九，三歸
七因得乙衰二十一，甲衰四十九，亦得。他皆倣此
解法二：丙衰
3
2
7
乙衰 9   21
3
7
甲衰 21   49
3
即由小到大，有n項，則首項之衰為
3
n 1
基本教學策略--引入另類解法

一法：置一以七為法欲先求下衰則以三為法三次乘之三
位則三次，九位則九次，得首位衰次，三因七歸得各衰
甲三百四十三、乙一百四十七、丙六十三，併得五百五
十三為法，除羅，得十八，以乘各衰，亦得。下亦倣此
解法三：置一以七為法（求下衰則以三為法），
n項則n次，得首位衰次
3
3
 如：甲衰 7  343 ，乙衰 343   147
3
7
丙衰 147   63
7
 直接假設：
由大到小，有n項，則首項之衰為 7 n
n
由小到大，有n項，則首項之衰為

3
基本教學策略--貼近文本

貼近文本：可以讓學生對
數學較有真實感，是活生
生有『溫度』的。
基本教學策略--貼近文本
基本教學策略--貼近文本
基本教學策略--貼近文本
基本教學策略--與生活脈絡連結
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與生活脈絡連結：以同餘結合美術創作（學生家中地磚鋪
設可DIY）
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基本教學策略--與生活脈絡連結
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1
基本教學策略--與生活脈絡連結

數學和藝術設計的結合，提供一個豐富的環境讓
學生去探索，我們若以數學符號及規則，結合藝
術家的符號，如：顏色、線條、形狀及構圖，可
以激發學生的創造力及引發學習動機，並增進學
生對數學結構的了解與應用。
進階教學策略--歷史「花絮」

歷史「花絮」（snippets），譬如數學家的趣
聞軼事、數學問題的起源以及古今方法的簡單
對比等等。

有關數方面：畢氏學派對單個數字做了有趣的對比和
詮釋。例如：「一」代表理性，因為理性只能產生於
一個連續的整體；「四」等同正義，將徵方形與正義
聯繫在一起，「五」象徵婚姻，它是第一個奇數和偶
數之和；「10」是完美的數，因為10＝1+2+3+4連續
四整數之和。220和284是一對親和數，因為一個數是
另一個數的真因數之和，據說寫上這種數的藥丸可以
當做春藥來使用。
進階教學策略--研究專案

學生以歷史文獻為本的研究專
案（project work），譬如下
列專題『一次方程式：歷史的
回顧』、『任意角三等分』、
『何謂代數學？』以及『歐幾
里得 vs.劉徽』等等，都可以
讓學生組成小組，寫出專案研
究報告。
進階教學策略--原始文獻

數學史的原始文獻（primary sources），譬如
【幾何原本】與【九章算術】的研讀與討論等。
進階教學策略--練習題

練習題（worksheets），其設
計通常圍繞著簡短的歷史選粹
（historical extracts），
伴隨著歷史背景的說明，再輔
以了解數學知識內容的問題、
所涉數學議 題的討論、今昔
解法或處理的比較，以及這些
選粹中的題解（solving
problems）或 它們所引發的
類似題解。
進階教學策略--歷史套裝

提供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical
packages），譬如『古代數碼與數系』，『古
埃及算術』，『圓周長』，『巴比倫的二次方
程解法』以及『九章算術的分數計算』等等。
進階教學策略—歷史關鍵點

恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念
（alternative conceptions）、觀點的改變（change of
perspective）、隱含假設的修訂（revision of
implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive
arguments）等等。

理髮師的悖論：羅素悖論導致第三次數學危機。



羅素悖論：某村有一理髮師，他只給且必須給不是
自己剃頭的人理髮，請問理髮師的頭應由誰來剃？
第一次數學危機：不可公度量，導致無理數的產生。
第二次數學危機：微積分導致極限和實數理論的建立。
進階教學策略--回到過去
回到過去的數學實驗活動，譬如使用古代的記
號、方法及論證，來學習數學。


假如你是一位考古學家，正在兩河流域做學術研究，有一天你和你的
工作小組發現了一塊巴比倫的泥版（如下圖），你要如何解讀該泥版
呢？請於小組討論後，作一次五分鐘的心得報告。
進階教學策略--回到過去

泥板上的幾何題

YBC 7289是一張標有數
字的正方形（如上圖），
正方形邊長為30（以a表
示），對角線上的數字
分別表示對角線長d（42；
25，35）和的近似值。
驗證這些符號的關係d=a，
這裡1；24，51，
101.414213 是相當精確
的逼近
進階教學策略--讀書會
讀書會：「上窮碧落下黃泉，動手動腳找文章。」
古墓奇兵2
＝希臘神話
＋電玩
進階教學策略
數學話劇：編劇本模擬數學家的思維或生活。
 多媒體工具：教學影片或電影。
 戶外數學古蹟的教學活動：
 利用網路搜尋資料：
 歷史上的問題，譬如『古希臘三大作圖題』、不
同文明所提供的畢氏定理證明，以及引出解析數
論的質數定理等等。

數學史融入數學教室之方式的解析性綜述
註：進階教學策略及上圖，參考HPM通訊第二卷第四期
數學史教學的四個面向：ABCD

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
A（anecdote）：軼事
B（broad outline）：寬廣的綱要
C（content）：內容、內涵
D（development of mathematical idea）：
數學概念的發展
數學史素材檢測或教學上的分析




素材的組織、一連串有順序的主題或特殊的
問題。
教學上的討論和激勵的技巧。
圖示、插圖（實例）、生動的素材：有助於
概念的取得和強化（grasping）。
有形的教具或視覺化教具（visual aid）之
運用，可以直接或間接澄清數學概念或使數
學概念更清楚。
數學教學中引入數學史的流程
Work card設計原則：

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設計懸疑：
設計矛盾：
設計幽默：
設計驚奇：
設計競爭：
故設思維障礙：
添加思維階梯：鋪路搭橋
反思
解題策略：
1.一題多解：
2.迂迴戰術：間接、正反面
 情境佈題：
1.生活化：
2.簡單化：可操作性
 問題超連結：
1.質問力：問題意識
2.利用故事驅動好奇心與動機：

反思


吾人認為如何引發學生願意與數學對話，不妨嘗試由說故
事做起，古往今來人們對於故事的喜好是不減的。希臘神
話故事、安徒生童話、奇聞軼事、稗官野史，每一個民族
都有屬於自己的故事，筆者認為數學教師也要培養說故事
的能力，等孩子願意帶著期待的心情來對話時，我們再來
談一題多解、方程式、開方術吧！
對於引人入勝、扣人心弦的小說、戲劇、電影皆能吸引廣
大的讀者或觀。他們的情緒、思維會隨著故事的情節而變
動，深刻的內容能與心靈產生交互作用，數學課堂上講述
數學史時，老師一定要投注熱情，將所講的內容根據學生
的認知程度給予適當地改編，最後不要忘了最終的目的－
教數學，故欣賞與練習要並行。
反思

從對數學史的研究中，吾人深刻的感覺到對話的重要性，
研究數學文本也是一種對話，在這一層的對話之中，讓我
們儘量拋棄自以習以為常的脈絡，去貼近對方的脈絡。最
有趣的是，對話中又有對話，一層層的對話，產生一個接
著一個的問題，吾人喜歡稱它們為「故事」，這樣是比較
有「溫度」的、有想像空間的。反觀現今的數學教育，我
們似乎只要求學生們與題目對話，這樣的對話學生當然與
數學的距離愈來愈遠，《鸚鵡定理－跨越兩千年的數學之
旅》一書，其中如此寫著：
離奇的事情接二連三發生，魯西的老友在巴西雨林中被
燒死，死因極可能與「費瑪最後定裡」的證明有關，他留
下一封迷一般的信，但解謎關鍵必須在那批數學藏書中追
尋。
參考資料
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世界數學簡史，凡異出版社
美索不達米亞藝術，台北：藝術家出版社
巴比倫的智慧，台北：林鬱出版社
世界博物館巡禮，台北：錦繡出版社
洪萬生 (1999).《從李約瑟出發》，台北：九章出版社。
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蕭文強 (1995). 《為什麼要學習數學》，台北：九章出版社。
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李儼、杜石然 (1997).《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。
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Ian Stewart著，蔡信行譯 (2000).《生物世界的數學遊戲》，台北：天下文化出版社。
Arthur F. Coxford .’Connecting Mathematecs across the Curriculum‘ Peggy
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