Transcript 勾股定理

勾股定理的證明
教育部全國中小學
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設計團隊：林修嫻
林靜宜
陳孟良
勾股定理的名稱來源
勾股弦定理或勾股定理，又稱畢達哥
拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何
定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉
斯（Pythagoras，約公元前580-550年）
所證明。
他是公元前五六世紀時的古希臘數學家。據說畢達
哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因
此又稱「百牛定理」。
不過對畢氏發現畢氏定理，歷史上其實並無確實的
記載。在希臘最早而嚴格的證明是在歐幾里得（Euclid
，約公元前330-275年）所編寫的《幾何原本》（
Elements）中 。
勾股定理又稱「商高定理」、「陳子定理」
中國以前也叫〝畢達哥拉斯定理“。
《周髀算經》記載了勾股弦定理的公式
與證明。
50年代初，曾展開關於這個定理命
名問題的討論。有人主張叫做「商高定
理」，理由是中國在商高時代(約公元前
1100年)已經知道「勾三股四弦五」的關
係早於畢達哥拉斯時代，也有人認為
3:4:5的關係，僅僅是特例，到陳子才提
出了普遍的定理，故應稱為"陳子定理“
後來決定不用人名而稱為"勾股弦定理"，最後確定
叫"勾股定理"，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略
什麼是勾股弦定理
直角三角形兩直角邊（即「勾」、「股」）邊長平方
和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。
也就是說，設直角三角形兩直角邊
為a和b，斜邊為c，
那麼 a2 + b2 = c2
只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。
勾股弦定理現約有400種證明方法，是數學定理中證
明方法最多的定理之一。
利用面積來證明勾股定理：
a
b
甲
a
a
a
b
b
a
b
乙
b
b
a
b
a
b
c
c
a
丙
c
a
b
兩粗線框所圍面積相等，再扣除一個直角三角形
甲面積＋乙面積＝丙面積
c
b
a
a 2  b2  c 2
九章算術的證法：
青出
青
入
青
朱
青
出
朱
入
青入
朱
出
魏晉時期平民數
學家劉徽在九章算術
注 (A.D.263年)提及：
「勾自乘為朱方，股
自乘為青方，令出入
相輔，各從其類，因
就其餘不移動也，合
成弦方之冪，開方除
之，及弦也」。
伯里加(Perigal)的拼圖遊戲
P
G
R
L
H
把其中一股當邊長
的正方形切成PGRL四塊
多邊形，經過移動後再
加上另一股當邊長的正
方形H就可以拼成斜邊
的大正方形
佳菲爾德(Garfied)的證明
以下證明勾股定理的方式，
是由美國第２０任總統佳菲
爾德(Garfied,1831~1881)提
出的。
 據說，他有次喝咖啡時，對
著壁爐發呆，突然靈感一來
，就發現了此方法可以證明
勾股定理，而且還發表在《
新英格蘭教育雜誌》上。

勾股定理
b
c
c
a
b
兩個全等的黃色直角三角形面積＝ 2 
1
ab  ab
2
1 2
c
藍色等腰直角三角形面積＝
2
1
2
梯形面積＝ (a  b)
2
a
梯形面積＝藍色等腰直角三角形面積＋兩個全等的黃色三角形面積
1
( a  b) 2 
2
1 2
c 
2
ab
(a  b)2 
c2 
2ab
a 2  2ab  b 2 
c2 
2ab
a 2  b2  c 2