Transcript 在國一時，我們曾經學過乘法 分配律，現在，我們再透過長方形的 面積公式來說明，會讓這公式更容易 理解。 1. 下圖1的長方形中，長是 a、寬是(b＋c)， 面積表示成 a．(b＋c)，省略乘號記為 a(b＋c)。經由面積計算，我們可以知道： a(b＋c)＝ab＋ac，這就是乘法對加法的分配律。 2. 圖2的長方形中，長是 a、寬是(b－c)，面積 表示成 a．(b－c)，省略乘號記為 a(b－c)。 經由面積計算，我們可以知道： a( b－c)＝ab－ac，這就是乘法對減法的分配律。 事實上，不管 a、b、c 所代表的數是正數或負數， 下列式子恆成立。 a(b＋c)＝ab＋ac ； a(b－c)＝ab－ac 下圖中，一個大長方形可以分割成邊長為 a 的正方形與長、 寬分別為 a、b的長方形，原來大長方形的面積如何表示呢？ 在空格中，填入適當的文字符號。 面積＝ a ×( a ＋ b )＝ a2 ＋ ab 透過面積拼湊，認識(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 取出附件一，將這四塊小長方形合併成一個新的大長方形， 並完成下面的表格。(以 a、b、c、d 表示) 大長方形的長、寬分別為.

在國一時，我們曾經學過乘法
分配律，現在，我們再透過長方形的
面積公式來說明，會讓這公式更容易
理解。
1. 下圖1的長方形中，長是 a、寬是(b＋c)，
面積表示成 a．(b＋c)，省略乘號記為
a(b＋c)。經由面積計算，我們可以知道：
a(b＋c)＝ab＋ac，這就是乘法對加法的分配律。
2. 圖2的長方形中，長是 a、寬是(b－c)，面積
表示成 a．(b－c)，省略乘號記為 a(b－c)。
經由面積計算，我們可以知道：
a( b－c)＝ab－ac，這就是乘法對減法的分配律。
事實上，不管 a、b、c 所代表的數是正數或負數，
下列式子恆成立。
a(b＋c)＝ab＋ac ； a(b－c)＝ab－ac
下圖中，一個大長方形可以分割成邊長為 a 的正方形與長、
寬分別為 a、b的長方形，原來大長方形的面積如何表示呢？
在空格中，填入適當的文字符號。
面積＝ a
×(
a
＋
b
)＝
a2
＋ ab
透過面積拼湊，認識(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
取出附件一，將這四塊小長方形合併成一個新的大長方形，
並完成下面的表格。(以 a、b、c、d 表示)
大長方形的長、寬分別為 a＋b 、 c＋d 。
以大長方
形計算
大長方形面積＝長×寬＝(a＋ b )(c＋ d )。
以四塊小
長方形計
算
甲面積＝ ac
。
乙面積＝ ad
。
bc 。
丙面積＝
丁面積＝ bd
。
四塊小長方形面積和＝甲＋乙＋丙＋丁
ad ＋ bc
＝ ac
＋
＋ bd
。
由於大長方形面積＝四塊小長方形面積之和，所以我們可以知道：
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
同樣的，不管 a、b、c、d 所代表的數是正數或負數，
(a＋b)(c＋d)與ac＋ad＋bc＋bd 的值都是相等的。
另外，我們也可以仿照數字的分配律，來看乘法對加法
的分配律：
(a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
即(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
接下來，來看看下面的例題。
例1 利用分配律求值
計算下列各式的值。
⑴ 51×501
解
⑴ 51×501
＝51×(500＋1)
＝51×500＋51×1
＝25500＋51
＝25551
1
1
12

20
⑵ 2
3
1
1
(2) 12  20
2
3
1
1
 (12  )(20 )
2
3
1 1
1 1
 12  20  12    20  
3 2
2 3
1
 240 4  10 
6
1
 254
6
仿照上面的算法，計算下列各式的值。
⑴ 61×99
＝61×(100－1)
＝61×100－61×1
＝6100－61
＝6039
⑵ 10 1  12 2
3
5
1
2
 (10  )(12  )
3
5
2 1
1 2
 1012  10  12  
5 3
3 5
2
2
 120 4  4   128
15
15
右圖是一個邊長為 101 的正方形，它的
面積是 1012，由右圖可知，邊長為 101 的正
方形是由邊長為 100 的正方形，加上兩個長、
寬分別為 100 和 1 的長方形和一個邊長為 1 的
正方形所拼成。
從面積來看可以得到：
1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12
同樣的方法，也可以應用在其他數字平方的計算上。例
如：邊長為(a＋b)的大正方形，是由一個邊長為 a 的正方形，
加上兩個長、寬分別為 a、b 的長方形和一個邊長為 b 的正方形
組合而成的，如下圖。
從面積來看可以得到：
(a＋b)2＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
也可以將(a＋b)2 看成(a＋b)×(a＋b)，直接用乘法分配律的規則
來計算：
(a＋b)(a＋b) ＝a×(a＋b)＋b×(a＋b)
＝a2＋ab＋ba＋b2
＝a2＋2ab＋b2
其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到：
和的平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
例2 和的平方公式
如果將和的平方公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成
什麼樣的式子呢？
解
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
x y
x
xy y
得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2。
例3 和的平方公式
利用和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，計算下列各式的值。
⑴ 5042
⑵ 20.32
解
⑴ 504＝500＋4，將 a 看成 500， ⑵ 20.3＝20＋0.3，將 a 看成 20，
b 看成 4，可得
b 看成 0.3，可得
5042 ＝(500＋4)2
20.32 ＝(20＋0.3)2
＝5002＋2×500×4＋42
＝202＋2×20×0.3＋0.32
＝250000＋4000＋16
＝400＋12＋0.09
＝254016
＝412.09
例 3 中，我們計算 5042 時，是將 504 拆成 500 與 4
的和。如果拆成其他兩數的和，再利用和的平方公式
來算，算出來的值是不是一樣呢？你認為哪一種拆法
比較好？說說你的想法。
如果拆成其他兩數的和，再用和的平方公式來算，
算出來的結果是一樣的。
我們將 504 拆解成 500 與 4 的和，是因為 5002 比
較容易計算。
利用和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，計算
下列各式的值。
⑴ 6012
⑵ 5.72
＝(600＋1)2
＝6002＋2×600×1＋12
＝361201
＝(5＋0.7)2
＝52＋2×5×0.7＋0.72
＝32.49
例4 和的平方公式的應用
計算下列各式的值。
⑴ 612＋2×61×39＋392
解
⑴ 612＋2×61×39＋392
＝(61＋39)2
＝1002
＝10000
⑵
3
3 1 1
(19 ) 2  2 19   ( ) 2
4
4 4 4
3
3 1 1
(2) (19 ) 2  2  19   ( ) 2
4
4 4 4
3 1
 (19  ) 2
4 4
 202
 400
計算下列各式的值。
⑴ 442＋2×44×6＋62
＝(44＋6)2
＝502
＝2500
⑵ 8.92＋2×8.9×1.1＋1.12
＝(8.9＋1.1)2
＝102
＝100
在和的平方公式中，我們知道邊長為(a＋b)的正
方形是由一個邊長為 a 的大正方形、一個邊長為
b 的小正方形，以及兩個長、寬分別為 a、b 的長
方形組合而成。接下來，我們將利用同樣的這四
個圖形，來探討邊長為(a－b)的正方形面積應該
如何表示。
如右圖，邊長為 a 的大正方形面積比邊長為(a－b)
的正方形面積多出了一塊 L 型區域。這個區域正
好是兩個長、寬分別為 a、b 的長方形所疊合成的，
重疊部分正好是邊長為 b 的小正方形。
也就是說：
即
L 型區域面積 ＝
兩個長、寬為 a、b 的
長方形面積
－ 重疊部分的小
正方形面積
＝
2×a×b
－
b2
＝2ab－b2
所以 邊長為(a－b)的正方形面積＝邊長為 a 的大正方形面積 －
L 型區域面積
即 (a－b)2 ＝ a2 － (2ab－b2)
＝a2－2ab＋b2
也可以將(a－b)2 看成(a－b)×(a－b)，直接用乘法分配律
的規則來計算：
(a－b)×(a－b) ＝a×(a－b)－b×(a－b)
＝a2－ab－ba＋b2
＝a2－2ab＋b2
其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到：
差的平方公式
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
例5 差的平方公式
如果將差的平方公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成
什麼樣的式子呢？
解
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
x y
x
xy y
得(x－y)2＝x2－2xy＋y2。
例6 差的平方公式
利用差的平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，計算下列各式的值。
3 2
2
(
9
⑴ 199
⑵ 4)
解
⑴ 由於 199＝200－1，將 a 看成 200， ⑵ 由於 9 3  10  1 ，將 a 看成 10，
b 看成 1，可得
1992 ＝(200－1)2
＝2002－2×200×1＋12
＝40000－400＋1
＝39601
4
b 看成
1
4
4
，可得
3
1
(9 ) 2  (10  ) 2
4
4
 102  2  10 
 100  5 
 95
1
16
1
16
1 1 2
( )
4 4
例 6 中，我們計算 1992 時，是將 199 拆成 200 與 1 的
差。如果拆成其他兩數的差，再利用差的平方公式來
算，算出來的值是不是一樣呢？你認為哪一種拆法比
較好？說說你的想法。
如果拆成其他兩數的差，再利用差的平方公式來算，
算出來的值是一樣的。我們將 199 拆解成 200 與 1
的差，是因為 2002 比較容易計算。
利用差的平方公式，計算下列各式的值。
⑴ 4982
＝(500－2)2
＝5002－2×500×2＋22
＝248004
⑵ (299 2 ) 2
3
1
 (300 ) 2
3
1 1
 3002  2  300  ( ) 2
3 3
1
 89800
9
例6 差的平方公式
利用差的平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，計算下列各式的值。
3 2
2
(
9
⑴ 199
⑵ 4)
解
⑴ 由於 199＝200－1，將 a 看成 200， ⑵ 由於 9 3  10  1 ，將 a 看成 10，
b 看成 1，可得
1992 ＝(200－1)2
＝2002－2×200×1＋12
＝40000－400＋1
＝39601
4
b 看成
1
4
4
，可得
3
1
(9 ) 2  (10  ) 2
4
4
 102  2  10 
 100  5 
 95
1
16
1
16
1 1 2
( )
4 4
利用差的平方公式，計算下列各式的值。
⑴ 4982
＝(500－2)2
＝5002－2×500×2＋22
＝248004
⑵ (299 2 ) 2
3
1
 (300 ) 2
3
1 1
 3002  2  300  ( ) 2
3 3
1
 89800
9
例7 差的平方公式的應用
計算下列各式的值。
⑴ 2112－2×211×11＋112
解 ⑴ 2112－2×211×11＋112
＝(211－11)2
＝2002
＝40000
⑵ 31.42－2×31.4×1.4＋1.42
⑵ 31.42－2×31.4×1.4＋1.42
＝(31.4－1.4)2
＝302
＝900
計算下列各式的值。
⑴ 932－2×93×3＋32
＝(93－3)2
＝902
＝8100
4
5
4 4
5 5
4
5
⑵ (40 ) 2  2  40   ( ) 2
4 4
 (40  ) 2
5 5
 402
 1600
玉華買了一塊正方形的布，在布的右下方剪了一個小
正方形做成杯墊，其餘的打算拿來做成窗簾，所以將布重新
併成一個長方形，如下圖。原來的面積與重新排成的面積有
什麼關係呢？
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
1. 在一個邊長為 a 的大正方形紙片中，將紫色
區域的小正方形剪下，剩餘的面積該如何用
a 和 b 來表示呢？ a2－b2
2. 將剩餘的部分重新分割成甲和乙兩部分，如下圖，並
重新組合成一個長方形，組合後的長方形面積如何用 a
和 b 來表示？ (a＋b)(a－b)
3. 由前兩題的結果，比較(a＋b)(a－b)與 a2－b2 的大小關係。
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
由於分割重組後，面積沒有改變，所以(a＋b)(a－b)與
a2－b2 代表的數是一樣的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2。
我們也可以將(a＋b)(a－b)用乘法分配律的規則計算：
(a＋b)(a－b) ＝a(a－b)＋b(a－b)
＝a2－ab＋ba－b2
＝a2－b2
其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到：
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
例8 平方差公式
如果將平方差公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成什
麼樣的式子呢？
解
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
↑ ↑↑ ↑
x
y x
↑ ↑
y
x
y
得(x＋y)(x－y)＝x2－y2。
例9 平方差公式
利用平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2，計算203×197。
解
由於 203×197＝(200＋3)(200－3)，
將 a 看成 200，b 看成 3，
可得 203×197 ＝(200＋3)(200－3)
＝2002－32
＝40000－9
＝39991
利用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，計算下列各式的值。
⑴ 301×299
＝(300＋1)(300－1)
＝3002－12
＝89999
⑵ 20 1 19 3
4
4
1
1
 (20  )(20  )
4
4
1
 202  ( ) 2
4
15
 399
16
⑶ 10.5×9.5
＝(10＋0.5)(10－0.5)
＝102－0.52
＝99.75
例10 平方差公式的應用
計算下列各式的值。
⑴ 1012－1002
⑵ 2192－1192
解 ⑴ 將 a 看成 101，b 看成 100，可得
1012－1002 ＝(101＋100)(101－100)
＝201×1
＝201
⑵ 將 a 看成 219，b 看成 119，可得
2192－1192 ＝(219＋119)(219－119)
＝338×100
＝33800
計算下列各式的值。
⑴ 642－362
＝(64＋36)(64－36)
＝100×28
＝2800
⑵ 9992－12
＝(999＋1)(999－1)
＝1000×998
＝998000
例11 利用差的平方公式解應用問題
王伯伯有一塊邊長 20 公尺的正方形土地，
他規劃在土地內部開闢一條寬 1.5 公尺的
L 型健康步道，如右圖，那麼剩餘土地的
面積是多少平方公尺？
解
剩餘土地的面積
＝(20－1.5)2
＝202－2×20×1.5＋1.52
＝400－60＋2.25
＝342.25
所以剩餘土地的面積為 342.25 平方公尺。
瑩芳在一個邊長 16 公分的正方形桌墊
外加了一條寬 134公分的 L 型拼布，
如右圖，加了拼布之後的桌墊面積是
多少平方公分？
加了拼布之後的桌墊面積
3
 (16  1 ) 2
4
7 7
 162  2 16  ( ) 2
4 4
49
1
 256 56 
 315
16
16
所以加了拼布之後的桌墊面積為315
1
16
平方公分。
例12 利用平方差公式解應用問題
佳菁做教室佈置，在壁報紙上畫了兩個半徑
分別是 45 公分和 25 公分的圓，如右圖，
並將兩個圓之間的區域貼上亮片，那麼
貼亮片的區域面積是多少平方公分？
解 貼亮片的區域面積
＝大圓面積－小圓面積
＝452π－252π
＝(452－252)π
＝(45＋25)(45－25)π
＝70×20×π
＝1400π
所以貼亮片的區域面積為 1400π 平方公分。
如右圖，有兩個邊長分別為 35
1
2
公分和15
1
2
的正方形，求斜線部分的面積？
斜線部分的面積
1
1
 (35 ) 2  (15 ) 2
2
2
1
1
1
1
 (35  15 )(35  15 )
2
2
2
2
 51 20
 1020
所以斜線部分的面積為 1020 平方公分。
公分
1 乘法對加法的分配律
不論 a、b、c、d 所代表的數是正數、0 或負數，
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd。
例 計算 12 1  20 1 ，可以看成
2
3
1
1
1 1
1 1
(12  )( 20  )  12  20  12    20  
2
3
3 2
2 3
2 和的平方公式
不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
例 計算 2052，
可以看成(200＋5)2＝2002＋2×200×5＋52。
3 差的平方公式
不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2。
例 計算 1992，
可以看成(200－1)2＝2002－2×200×1＋12。
4 平方差公式
不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，
(a＋b)(a－b)＝a2－b2。
例 計算 205×195，
可以看成(200＋5)(200－5)＝2002－52。
1
把相等的式子連起來。
⑴ (200＋4)
2
●
●
●
●
⑵ (300－6)2
●
●
●
●
⑶ 3192－1192
●
●
●
2002＋42
2002＋2×200×4＋42
3002－62
3002－2×300×6＋62
3002－2×300×6－62
2×(319－119)
(319－119) 2
(319＋119) (319－119)
2 計算下列各式的值。
⑴ 100.22
＝(100＋0.2)2
＝1002＋2×100×0.2＋0.22
＝10040.04
⑶ 9999 －9998
2
2
＝(9999＋9998)(9999－9998)
＝19997×1
＝19997
⑵ 9.92
＝(10－0.1)2
＝102－2×10×0.1＋0.12
＝98.01
⑷
2
1
10  9
3
3
2
2
 (10  )(10  )
3
3
2
5
 102  ( ) 2  99
3
9
2
2 2
2
3
3 2
(
53
)

2

53

6

(
6
)
⑸
5
5
5
5
2
3
 (53  6 ) 2
5
5
 602
 3600
⑹77.72－2×77.7×7.7＋7.72
＝(77.7－7.7)2
＝702
＝4900
3 如果 10042＝10002＋A，則 A 的值為何？
10042＝10002＋A
A ＝10042－10002
＝(1004＋1000)(1004－1000)
＝2004×4
＝8016
另解：
10042 ＝(1000＋4)2
＝10002＋2×1000×4＋42
＝10002＋8016
所以 A＝8016
4 ⑴ 計算(a＋1)(a－1)－a2 的值。
(a＋1)(a－1)－a2＝a2－1－a2＝－1
⑵ 計算 2007×2005－20062 的值。
2007×2005－20062＝(2006＋1)(2006－1)－20062＝－1
5 兩個邊長分別是 33 公分和 7 公分的正方
形，兩個正方形之間的區域面積是多少平
方公分？
兩正方形之間的區域面積
＝大正方形面積－小正方形面積
＝332－72
＝(33＋7)(33－7)
＝40×26＝1040
所以兩正方形之間的區域面積為 1040 平方公分。