Transcript 一個古老的定理∼畢式定理

一個古老的定理
～畢式定理
主講人：陳基正老師
畢式定理
•在一個直角三角形中，直角
的兩股（邊）為a和b，斜邊
為c，則三邊長的關係為
c2=a2+b2。
• (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25)
……
m2  1 m2  1
(m,
,
)
2
2
畢達哥拉斯（Pythagoras）
•畢達哥拉斯（西元前572年～西元前
492年）出生於愛琴海的薩摩斯島。曾在埃及住過
一段時期，後來定居於南義大利的克羅托 。
•創辦了著名的畢達格拉斯學校，這不僅是一所研
究哲學數學和自然科學的學校，而且發展成一個
有秘密儀式和盟約、組織最嚴密的團體。
•希臘於1955年8月20日紀念畢達哥拉斯成立第一
所哲學學校2500週年。
畢達哥拉斯學派
•中心思想：『萬物皆數』
•音樂方面：一弦長之2/3，得比原長高 5 度之音，
弦長之1/2時，得比原長高 8 度之音；這就是現在所謂畢
氏音階。
•建築方面：影響希臘、羅馬時期的建築藝術。
•天文方面：畢達哥拉斯首創地圓說，認為日月及五
星都是球體，懸浮在天空中。
無理數
• 無理數
• 希帕索斯
2
東方的商高定理
•中國在商高時代(公元前1100年)就已經知
道“勾三股四弦五”的關係，遠早於畢達
哥拉斯，因此有人主張畢氏定理應該稱呼
為『商高定理』。
•普遍性的定理則在陳子時代(公元前6﹑7世
紀)，而提出定理的證明則首推趙君卿(見
周髀的趙君卿注)。趙氏是三世紀的人，現
在這個定理普通稱為『勾股弦』定理或
『勾股定理』。
畢式定理的證明：
• 全世界畢式定理的證明約有四百多種，是
證明方法最多的定理之一。
• 美國總統卡特也提供一種證明。
• 台灣人也有老師和學生提供證明。
歐幾里得的證明
矩形BDKM＝2△ABD＝2△BCF＝正方形ABFG
同理：矩形CEKM＝正方形ACIH
所以：正方形BCED＝矩形BDKM＋矩形CEKM
得：正方形BCED＝正方形ABFG＋正方形ACIH
2
2
 BC  AB  AC
2
美國卡特總統的證明
趙君卿的證明
相似三角形邊長比例證明
相似三角形面積證明
向量證明法
利用托勒密(Ptolemy)定理證明
利用切割線段性質證明
利用圓冪定理證明
利用圓內基本定理證明
陳國裕數學老師的證明
利用動態幾何軟體（GSP）的證明
•GSP動態幾何繪圖板（The Geometer’s
Sketchpad）的簡稱，它可以做為幾何學的
研究與教學的輔助工具。
•GSP最主要的目的就是要展現動態幾何。
•畢式定理的證明。