Transcript 平直性

重訪理性文明之啟蒙
〈初等幾何學在文明中所扮演的角色〉
•理性文明(Civilization of rational minds)：
自古至今，世代相承，理性認知大自然之本質，結構與原理之總體
，現代科技之所基。
•哲理性的思想與信念(Pythagoras 6th C.BC)
大自然是具有和諧的結構和精簡的原理的；可以通過數、比值與形
之研究探求其理
•科學方法(scientific methodology)：
1.實驗歸納、推理演繹；交互應用相輔相成
2.數理分析，由表及裡；抽象綜合，精中求簡
3.幾何學：空間精簡，完美的本質之認識論；是理性文明之基礎與
起步：第一科學。
〈Logic and Scientific Methodology are universal!〉
初等幾何學在文明中所扮演的角色
(一)幾何知識在古文明中之展現：
有圓文明：
無圓文明：
有福、知福、造福與惜福
(二)由實驗幾何邁向推理幾何：
1.幾何推理舉例：
a) △內角和⇒多邊形內角和⇒多邊形外角和
b) 中國古算善用矩形面積公式：勾股弦，出入相輔原理
2.邏輯之返璞歸真：(Boole之創見)
集合與邏輯、思想的代數
3.定性平面幾何學：(溫故而知新)
‧連結、分隔與對稱
‧全等形，△之全等條件
‧等腰△，S.SS.定理，基本作圖，反射對稱性
‧兩個失之交臂的基本定理
(三)平直性(亦即平行性)與定量平面幾何基礎(初)論
1. 平直性與平行公設(亦稱第五公設)
2. 平行四邊形
3. 平行分割與基礎初論
a. 長度之度量，可公度性，及其誤判
b. 矩形之平行分割：面積公式之初証
c. △之平行分割：相似△定理之初証
(四)不可公度比之發現與連續性之認知
1. Hippasus的偉大發現(幾何巨震)
2. Eudoxus：逼近論之創建，震後重建
3. 連續世界之認知：無縫天衣尚須匠心裁！
(五)古天文學(概述其要)
1. 量天與測地：Aristarchus, Eratosthenes
2. 千古之謎
(六)圓錐截線的故事
1. 圓柱截線與橢圓
2. 圓錐截線：橢圓、拋物線與雙曲線
3. 引人入勝
勾股弦公式：勾方+股方=弦方
邏輯(logic)之返璞歸真(Boole)
集合與邏輯；思想的代數
定性平面幾何學
(Thales etc 7.6th C.BC)
•
•
•
•
連結、分隔與對稱性
△全等(疊合)條件：
S.A.S. , A.S.A , S.S.S.
等腰△及其特徵性質定理：
• S.S.S.定理與基本作圖
•
•
反射對稱性，旋轉，心對稱
兩個失之交臂的基本定理：
(圖-1)
其一：△之內角和小於或等於一平角。
其二：若有一個△之內角和等於一平角，則所有△之內角和皆
等於一平角。
(圖-2)
証一：圖-1 ⇒ △的外角大於其內對角，
圖-2 ⇒ △AB’C的最小內角≦1/2 △ABC
之最小內角
• 結合上述兩者，即可用反証法証明其一。
証二：設有△ABC其內角和= π
用垂線分割和其一，可得內角和為 π 之直角△，將它對併即可得一矩形，再用
常見常用之矩形堆砌，又可得任意大之矩形。
兩個當年失之交臂的定理：
其一：△內角和 ≤ 平角
其二：若有一個△其內角和 = 1平角，則所有△內角和皆為1平角
勾股弦公式與出入相輔：
〈善用面積的中華古証〉
(三) 平直性與定量平面幾何基礎(初)論
(i) 平直性：△內角= π與平行性：
(ii) 平行四邊形及其特徵性質定理
(iii) 平行分隔與定量平幾基礎初論
a.長度度量之可公度性(及其誤判)
b.矩形之平行分割與矩形面積公式
c.相似△定理之初証：(△的平行分割)
可以歸于整數比的情形以△平行分割証之。
n=2的情形：
（再對n歸納證之）
(四) 不可公度比之發現與連續性之認知
(i) Hippasus的偉大發現：
正五邊形的對角線長和邊長是不可公度的因為它們的輾轉丈量永無止休！
幾何巨震，亟待補救！總之，當年希臘文明引以自豪的定量平面幾何基礎
論乃是建築在可公度性普遍成立這個錯誤的”公設”者！
實事求是，回顧反思，初論所達成者，乃是善用平直性對於可公度的特殊
情形的嚴格論証，而一般不可公度的情形，則亟待補証！
Eudoxus逼近論與震後重建
• 頓悟：補証相似△定理之啟示：
設△ABC和△A’B’C’三內角對應相等，但是,{a,a’},{b,b’},{c,c’} 皆為不可
公度，如何論證a:a’=b:b’=c:c’？
觸機與頓悟：兩對不可公度比之間的大小相等之實質意義尚有待明確！
• 撥雲見日，順理成章，創逼近論
1)比較 則：
2)逼近定理：對於給定的和任意大之n，皆有如下之上、下夾逼，即
3)不可公度比之間的大小或相等之界定：
(i)
a:’b’，則定義
a’:b’
(ii)若a:b和a:b'對於任給分數皆有相同之大小關係，則定義a:b=a:b'
重建幾何基礎論(舉重若輕，簡樸精到)
相似△定理之補証：
由已証的可公度情形，易見
矩形面積公式之補証：
連續世界的認知與分析學之奠基
〈水到渠成，無縫天衣尚須匠心裁〉
•
•
直線的連續性：連續不斷，但是一剪就斷
上、下夾逼數列
分界數的唯一性乃是重建幾何基礎論之所用，而其存在性再是上述直線連續性
的解析描述(analytical formulation of the continuity of a line)
•
積分之初現：立體幾何的兩個基本公式
錐體體積公式(Eudoxus)
球面面積公式(Archimedes)
存在性定理之所基與存在性定理舉例
• 多項式函數的中間值定理
在[a,b]中必然有根
• 實變多項式函數基本定理：Sturm定理
• 複變多項式函數基本定理：代數學基本定理
• 閉線段上的連續函數之基本性質
連續世界之認知：
〈師法Eudoxus，高山仰止，學而時思之〉
(五) 古希臘天文學(概述其要)
（i) 量天與測地：
Aristarchus
Eratosthenes
Hipparchus
Ptolemy：Almagest
(六) 圓錐截線的故事：
• 圓柱截線與橢圓的特徵性質
• 圓錐截線：橢圓、拋物線與雙曲線
• 光學性質,etc