Transcript 數學史融入數學教學之策略概述(一)

數學史融入數學教學之
策略概述(一)
報告人：陳冠良
前言
 強調數學如果脫離豐沃文化的基礎，就可能
會被簡化為一系列的技巧，因此其形象將被
扭曲，這種情形於學生接受教育時，就不斷
地發生。
 使學習者瞭解數學是深深地鑲嵌於人類文化
發展之中。
 數學史宛如一座巨大的冰山，本講座僅能做
概略的描述，無法一窺全貌。
 以教學為主軸，嘗試藉由數學史的融入，為
數學教學注入新的元素。
為什麼要研究數學史
 『再也沒有什麼故事比科學思想發展的故事更
有魅力了』。
W.C.Dampier
 『學習數學史不一定產生更出色的數學家，但
它產生更溫雅的數學家，學習數學史能更豐富
他們的思想；撫慰他們的心靈，並培植他們的
高雅氣質。』
George Sarton,1884-1955
數學史於數學課堂中所扮演的角色
 媒介的角色
 額外的習題
 刺激另類思考
 人文啟發的角色
 跨學科整合
 減緩學習壓力
 激勵個別策略
 人格薰陶
 （多元）文化的關懷
媒介的角色
 數學史以數學概念、數學方法和數學思想之起源與發
展，及社會、政治、經濟和一般文化的關連為主要研
究的範疇。
 以數學史為橋樑，能將學生的心靈與數學概念及思維
作有機的連通。
額外的習題
 透過適當的安排，使學生接觸
文本，進一步瞭解數學在人類
文明的歷程所扮演的角色。
 使學生瞭解數學是實際滲透於
人類的生活之中。


以《海島算經》為例：
今有望海島，立兩表，齊高三
丈，前後相去千步，令後表與
前表三相直。從前表却行一百
二十三步，人目著地，取望島
峰，與表末三合。從後表却行
一百二十七步，人目著地取望
島峰，亦與表末三合。問：島
高及去表各幾何？
額外的習題
有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量
度海島的高度和離岸距離
（選自沈康身，中國古代测量技術的成就）
摘錄自http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#difference
刺激另類思考
 學習由不同的角度解決問題(一）。
 群羊逐草選自《算法統宗》
 甲趕群羊逐草茂，乙攜肥羊一只隨其後。試問甲及一百否？
甲云所得無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你
一只來方湊，玄機奧妙誰參透？答曰：甲羊三十六只
一元一次方程式
古算法
設牧童甲有x只羊，依題意列式：
在古時沒有一元一次方程時，經常用假設
法，
假設甲的羊數是12
“若得這般一群湊，再添半群小半群”
12+12+6+3=33
現在已知羊數是100-1=99
若甲童有x只
X:12=99:33
X=36
X（
111/ 2 1/ 4
）+1=100
(11/4)X=99
X=36
所以甲有36只羊
刺激另類思考
 學習由不同的角度解決問題(二）。
 隔牆分銀選自《算法統宗》
 隔牆聽得客分銀，不知人數不知銀;
七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。
答曰：六人，銀四十六兩
二元一次方程組
古算法－盈不足術
設有x個客人，分y兩銀，依題意列式： 將出銀兩與盈（多）、不足列成方陣
出銀 7
9
盈、不足 4
8
y-7x=4…
交叉相乘：7×8+9×4=92
9x-y=8…
92÷﹙9-7﹚=46…銀
+ x=6
y=46
﹙8+4﹚÷﹙9-7﹚=6…客
所以有6個客人，分46兩銀
註：1斤＝16兩
※請思考一下，此算法道理為何？
人文啟發的角色
 歷史性的啟發。
 數學發展的歷史，是文明史，亦是文化發展的歷史。
 「函數」的七次擴張，伴隨著科學的發展和社會的進步。
 哲學性的啟發。
 不可公度比的發現、芝諾悖論(二分說、阿奇里斯追龜、飛箭
靜止)
 審美性的啟發。
 9*9+7=88
 98*9+6=888
 987*9+5=8888
 9876*9+4=88888
 98765*9+3=888888
 987654*9+2=8888888
 9876543*9+1=88888888
 98765432*9+0=888888888
跨學科整合
 科學、藝術、歷史、音樂、建築等皆與數學息息相關。


數字與詩：
A. 一去二三里，煙村四五家。
樓台六七座，八九十枝花。
B. 一花一柳一點磯，一抹斜陽一鳥飛
一山一水一中寺，一林黃葉一僧歸。…清。何佩玉
黃金分割：


埃及金字塔、希臘雅典帕特農神廟、維納斯女神像、芭蕾舞演員墊
起腳尖、窗戶大小規格等。
人體的四個黃金分割點：肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節。




肚臍以上與肚臍以下
咽喉至頭頂與咽喉至肚臍
膝蓋至腳後跟與膝蓋至肚臍
肘關節至肩關節與肘關節至中指尖
減緩學習壓力
 瞭解數學發展是歷經千百年的累積，藉以減輕在授課時數
侷限下，學生學習數學所產生的挫折與壓力。

HPM通訊第二卷第一期

諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱
巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法
愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 ...... 還有言者：
甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，
看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二
輯【清聖組諭旨二】）
激勵個別策略
 學生的思維與數學發展歷程的比較，可使學生意識到
數學的『溫度』。


又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。
約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少
減多，更相減損，求其等也。以等數約之。






「可半者半之」:分子和分母可以用2除之者，先同除以2
「副置分母子之數」:(91,49)
「以少減多」：(91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7)
「更相減損，求其等也」： (91-49,49)=(42,49)=
(42,49-42)=(42,7)=…=(7,7)，7就
是「等數」。
「以等數約之」：分子與分母同除以7
以上方式與輾轉相除法有異曲同工之妙，可於介紹
輾轉相除法前做鋪陳或兩法之比較。
人格薰陶
 由數學家契而不捨的精神激發學生求真、求善、求美的情懷。
 引導學生善用理性思考解決問題。

分析、歸納、演繹、類比
（多元）文化的關懷
 不同文化與地區對數學的認知與發展歷程，同中有異，
異中存同。
 認識不同文明的發展，進而尊重與關懷各種不同文化。
如何在數學教學中融入數學史：
know-how
 基本教學策略：





說故事：
提供銘言佳句：有畫龍點睛之效
引入另類解法
貼近文本
與生活脈絡連結
如何在數學教學中融入數學史：
know-how
 進階教學策略（一）
 歷史「花絮」（snippets）
 數學史的原始文獻（primary sources）
 練習題（worksheets)
 提供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical
packages）
 恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另
類概念（alternative conceptions）、觀點的
改變（change of perspective）、隱含假設的
修訂（revision of implicit assumptions）
以及直觀論證（intuitive arguments）等等
如何在數學教學中融入數學史：knowhow
 進階教學策略（二）
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歷史上的問題
回到過去的數學實驗活動
數學話劇
多媒體工具
戶外數學古蹟的教學活動
利用網路搜尋資料
建立讀書會
基本教學策略--說故事
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數學故事的八種類型
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「數學是什麼？」的故事：
「為什麼要學數學？」的故事：
「數學的人文啟發」的故事：
「數學應用於日常生活」的故事：
「數學益智」的故事：
「數學文本」的故事：
「數學發現」的故事：
「數學家」的故事：
「數學是什麼？」的故事
 數學歷史解釋的幾大方向：



按時代區分
按數學對象、方法等本身的變化過程。
按數學發展的社會背景。
「數學的人文啟發」的故事
 數學的歷史大部分隱藏在我們所見的文化中，
也牽涉到人類生活的每一層面。舉凡交易、農
作、宗教、打仗等都與數學發生交互的影響。
「數學應用於日常生活」的故事
 數學思考與所有人類活動息息相關。如：地圖
繪製、航海、透視藝術、無線電、電視、電話、
電腦等。

生物世界的數學本質，可從費波那契數列中略窺一二，
尤其是在植物世界，例如；葉子沿著莖的排列，花瓣的
數目，百合花有三個花瓣，毛良有五個花瓣，飛燕草有
八瓣，金盞花有十三瓣，在向日葵中也發現費氏數列。
「數學益智」的故事
 埃拉托斯特尼 (Eratosthenes,276B.C.~195B.C.)測量




地球圓周長：幾何
韓信點兵：同餘
丟番圖的墓誌銘：代數
尤拉七橋問題：一筆畫
莫比烏斯帶：單側區面
「數學益智」的故事

【同餘小傳】：
 一、金庸武俠小說射雕英雄傳中有一段故事：
 有一位住在黑沼，中自稱神算子的瑛姑，武功高強，數學
卻不甚高明，經常苦思數月，解一些算術或代數中的問題。
郭靖與黃蓉因逃避裘千仞的追蹤，誤入瑛姑住的污泥湖沼，
離開前，黃蓉用竹杖在地下細沙上寫了三道算題。其中一
道為『鬼谷算題』：今有物不知其數，三三數之賸二，五
五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？黃蓉對郭靖說：
這三道題目，半年之內她必算不出來，叫她的頭髮全都白
了。
 此一問題，便是後來被西方數學家稱為中國剩餘定理
（Chinese Remainder Theorem）之一特例。最早出現在
孫子算經中（因此在中國亦稱為孫子定理），後來流傳於
民間以不同的故事出現，如韓信點兵，後來又有一些詩或
口訣，給出此題之解，如：三人同行七十稀，五樹梅花二
十一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。

二、同餘的概念是高斯（Gauss，1777-1855）在他於西元
1801年出版 的算學研究（Disquisitiones Arithmetica）
一書中最先引進。
「數學文本」的故事
 普林頓322的泥版上（如右圖），據依格包爾（otto
neuguebauer）的考證，巴比倫人還列舉出畢達格拉斯
數組，近幾十年來依格包爾（otto neuguebauer）詮
釋了許多楔形文字泥版，對巴比倫的數學給出比過去
更高的評價。
「數學發現」的故事
 教授畢氏定理時，可以談談畢達哥拉斯（Pythagoras，
580~500B.C.）的生平，及其所成立的畢達哥拉斯學派，
其宗旨是『萬物皆數』，在幾何、數論、天文、音樂等，
都有很卓越的研究成果。此學派教規甚嚴，不可洩漏教派
之機密。但該學派卻發現邊長為1的正方形之對角線長度
既非整數，也不是整數比所能表示，嚴重觸犯了畢氏學派
的教條，相傳希伯索斯洩漏此一情形，而被其他信徒丟入
海中處死，亦有數學史家認為畢是學派是研究其精神徽章
五星圖時，發現與其教義矛盾的現象。
 畢氏定理又有百牛定理之稱，相傳畢達哥拉斯發現了直角
三角形基本定律，後曾舉辦一次盛大的牛祭。從此以後，
每當新的定理被發現所有的牛都怕的瑟瑟發抖。
「數學發現」的故事
 勾股定理及其歷史：勾股定理被發現
邪
至
日
為
弦
至今大約有三千多年的歷史，巴比倫、
埃及都先後應用過它，在中國方面
【周髀算經】（約公元前一百多年）
記載，商高（約公元前1120年）答周
公曰：「勾廣三，股修四，徑隅五」
這裡勾指直角三角形的兩直角邊中較
短者，股是指另一直角邊，徑則為斜
邊。另一位陳子（公元前七—六世紀）
與榮方討論測量問題時的對話：「若
求邪至日者，以日下為勾，日高為股， 日 下 為 勾
勾股各自乘，並以開方除之，得邪至
日。」
日
高
為
股
「數學發現」的故事
 圓面積之證明：好的證明是既發現又證明
「數學發現」的故事
「數學發現」的故事
 割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則
與圓周，體而無所失矣。… 劉徽
「數學家」的故事
「數學家」的故事
 在課堂上可多提供一些資訊給學生，讓他們感
染大師的風範，大師之所以成為大師，包含了
天賦、人文素養、毅力等等，說不定透過這種
連結，在日後能激發更多的阿基米得、愛因斯
坦、劉徽。再者，一些趣聞可減少學生對數學
一些硬梆梆的成見。
休息一下！
To be countinue….