Transcript 課後照顧數學作業指導

課後照顧師資班--數學作業指導
許 長 壽
高雄市陽明國小
1
課後照顧數學作業指導
1.認識92數學正綱
2.數學成語謎
3.數學指導的技巧
4.常見的數學問題釐清
5.數學益智遊戲
6.數學網路資源
7.玻利亞解題四步驟
8.結語
2
92正綱的實施狀況
 目前實施89年暫綱的年級
4年級、5年級、6年級
(但是教材均有融入92年綱要)
 目前實施92年正綱的年級
1年級、2年級、3年級及國中所有年級
預計99年9月時國中小均實施92年正綱
3
國小數學課程標準之發展史(1)
 57年以前：八次課程標準修訂（民國18年,20
年,21年,25年,31年,37年,41年,51年）。
 57～64年：國民小學數學暫行課程標準。
 學科名稱由「算術」改為「數學」。
 九年國教開始實施。
 64～82年：國民小學數學課程標準。
 用皮亞傑的理論當基礎。
 開始大量使用數學教具。

課程最穩定的時代。
4
國小數學課程標準之發展史(2)
 82～90年：82年版課程標準。
主張知識是由學童主動建構的。
 捨棄64年版某些難以和學童解釋的數學項目。
 90～94年：九年一貫數學領域課程暫行綱要。
 94年以後：94年修訂版九年一貫數學領域課程綱要

5
國小數學教科書之發展史
 64年以前：由國立編譯館本聘請專家編寫。
(舟山模式)
 64～82年：由板橋教師研習會先編寫實驗課本，
實驗後再修正成部編本。(板橋模式)
 82～90年：部編本及民間版本混用。
 90～94年：只有民間版。
 94年以後：民間版本以及部編本混用。
(目前國小只有數學有部編本)
6
82年課程標準的教學特色
 鼓勵兒童勇於表達自己的解題方式，能
夠以多元的態度來欣賞別人的想法。
 教學方式的多元化。課堂不是只有教師
的單向授課。課堂上教師讓學童能分組
合作解題，也能適時給予學童發表討論
的機會。
7
暫行綱要的缺失
 對於學生計算能力不足的疑慮。
 無法銜接高中數學課程。
 教材落後別的國家。
 以階段畫分的能力指標在一綱多本政策
下的缺失。
 時數縮減。
8
92綱要的特色
 傳統的國中課程大部份再納入，能與高中數學
課程銜接。
 在各階段能力指標下再訂各年級的分年細目。
 實施時程按步就班。
 提高時數。(用上限15%，再加一彈性課程）
 一年級就出現直式紀錄。
 整數加減乘除計算不限位數。
 電算器很晚才引入。
9
92綱要與世界各國接軌
 這樣的標準，我們可以在以1999年加
州課程標準或 2000年NCTM 的課程標準；
新加坡；日本；中國（上海）；
香港等不同國家的教科書版本裡看到。
10
92綱要的能力指標及分年細目。
 第一階段：一至三年級
 由第一階段的能力指標再細分為1，2，3
年級的分年細目。
 第二階段：四至五年級
 第三階段：小六及國一
 第四階段：國二及國三
11
暫行綱要能力指標說明：
 N-1-1
能初步掌握非負整數數詞序列的
規律，並能以具體的量、聲音、圖像、
數字，進行說、讀、聽、寫、做的活動，
表徵2000以內的數。
 N-1-2 能掌握10、100、1000和1及100
和10之間的關係，做數的二階單位化聚。
12
92正綱能力指標說明(一)
N-1-01 能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大
1-n-01
1-n-02
1-n-03
1-n-07
小，並作位值單位的換算。
能認識100以內的數及「個位」、「十位」的
位名，並進行位值單位的換算。
能認識1元、5元、10元、50元等錢幣幣值，
並做1元與10元錢幣的換算。
能運用數表達多少、大小、順序。
能進行2個一數、5個一數、10個一數等活動。
13
92正綱能力指標說明(二)
2-n-01 能認識1000以內的數及「百位」的位
名，並作位值單位換算。
2-n-02 能認識錢幣的幣值有100元、500元等，
並作10元與100元錢幣的換算。
2-n-03 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並
在具體情境中認識遞移律。（同2-a-01）
2-a-01 能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在
具體情境中認識遞移律。（同2-n-03）
3-n-01 能認識10000以內的數及「千位」的位
名，並進行位值單位換算。
14
92正綱國民小學階段的目標
 第一階段：能掌握數、量、形的概念。
 第二階段：能熟練非負整數的四則與混合計算，
培養流暢的數字感。
 小學畢業前：能熟練小數與分數的四則計算；
能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；
能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面
積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其
概念。
15
(1)較大整數的讀法
 英文數字的書寫習慣，是從右邊數起，每三位加逗
號(，)
如：1,234,567 或432,567,890
 中文數字是每四位為一單位，但書寫習慣是不加任
何記號
 為了方便讀出數字，可仿英文寫數字的方法，從右
邊數起，每四位數字畫一個虛線，如此就很方便可
以讀出數字，又不容易寫錯
如123 4567
或4 3256 7890
16
(2)整數的位值單位換算
 (
)個十萬是一億。
兆
位
 (
 (
千
億
位
百
億
位
十
億
位
億
位
千
萬
位
百
萬
位
十
萬
位
1
0
0
0
)個千萬是十億。
(
)個十萬是一千萬。 (
萬
位
)個百萬是千億。
)個萬是一億。
17
(3)學生計算錯誤的可能原因
 題目抄下來抄錯
 把運算符號看錯
 計算未完成
 數字寫不清楚
 位值未對齊而算錯
 數字沒有寫清楚而
算錯
 答案抄錯
 計算錯誤
如: 128
× 312
256
128
1536
乘數百位的3尚未算，
就以為算完了
18
(4)學生寫應用題的錯誤的可能原因
 題意不瞭解
 搞不清楚已知什麼?要
求什麼?
 計算題會犯的錯誤
 未寫答
 答未寫單位
 答的單位寫錯
 未看清楚問什麼單位
 要同單位才可相加減
一瓶礦泉水重600公克，
同樣的礦泉水5瓶重幾公
斤?
600 ×5=3000
答：3000公斤
一片磁片厚5毫米，一本
書厚0.3公分，磁片和書
共幾公分?
5+0.3=5.3
答：5.3公分
19
(5)有單位和無單位的區別：
例1：小明有
5
例2：小明有
1
塊餅乾，吃掉了
6
6
5
1
塊餅乾，吃掉了
6
6
例1及例2的題目中，只差在「
1
例1中，
例2中，
解法：
6
，還剩多少塊餅乾？
塊餅乾」和「
6
5
塊餅乾，還剩多少塊餅乾？
1
6
」
1
及
6
5
皆為同單位,故直接用減法即可，解法：
6
1
1

1
6
5
無單位,故是吃掉全部的 6 也就是剩下全部的
6
6
5
6
 (1 
1
6
)
20
(6)加法常見的錯誤
 忘了進1
 不對稱相加
 把加0當成乘以0(N+0=0)
 應進1卻借1
 進位時多進了1
 不該進1卻進1
 跨越進位
 基本加法不熟
21
(7)減法常見的錯誤
 忘了借1
 不對稱相減
 N-0=0
 應借1卻進1
 借位時多借了1
 不該借1卻借1
 跨越借位
 基本減法不熟
 大數減小數
 不夠減用0代替
 忘了加被減數
22
(8)生活數學
 生活上，許多商家賣商品時，常常用9這個
數字來賣，如99,199,299,……等，如此我
們可以用估算，算出大概的錢，也可算出
正確的錢
 一件衣服199元，買4件大概要多少錢?
199接近200，200× 4=800 大約800元
 一件衣服199元，買4件要多少錢?
199接近200，200× 4=800，800-4=796
 買四件衣服，各是99,199,399,499元，
大概要多少錢？
23
(9)減法的另一種算法
 500-136，這類題目對某些學生是有困難的，
如果學生一直教不會，其實可以用另一種
技巧來算
 500-136=499-135
將被減數和減數同時少1，其差不變
 4000-2835=(
)-(
)
24
(10)適當用交換律來算乘法
 (1)較多位數在被乘數，
較少位數在乘數
例1:72×456，可用456×72來算
(2)將0省略不算後，較多位數
在被乘數，較少位數在乘數
例2:800×75，可用75×800來算
(3)同數字的乘法，放在乘數，
例2:88×74，可用74×88來算
如:
74
× 88
592
592
6512
25
(11)個位數字是5自乘的計算
 假設這個數的十位數字是a，因為個位數字是
5，那麼這個數字就是10a+5。
(10 a  5 )  100 a  100 a  25  100 a ( a  1)  25
2
2
由上面公式就可知道，末二位數字一定是
25，至於百位以上的數字，則是十位數字
×(十位數字+1)。
例如：35×35的百位以上的數字就是
3×4=12，因此答案就是1225
請心算出：75×75=(
)
26
(12)格乘法的介紹
4
3
7
2
4
8
5
2
3
1
4
2
5
3
5
2
2
7
4
9
0
8
6
0
3
1
1
2
8
8
要做476×753，
先畫3×3的格子，
將被乘數寫在上
面，再把乘數寫
在右邊，
最後的答案就是
在外圍的數字
358428。
請用格乘法計算89×78
27
(13)整數乘法常犯的錯誤
 忘了進位
 把乘0當作加0
 把積的位置放錯
(1) 74
× 8
562
(2)
60
× 5
305
 乘錯
 加錯
 進位後要先加再乘(正確為先
被再加)
(3) 612
×104
2448
612
8568
(4) 26
× 8
488
28
(14)以四捨五入法算到小數第幾位
時，是否要多算一位？
以四捨五入法求到小數第二位
【例1】
【例2】
3
0.12
0.14
8)1.0
7 )1.0
8
7
20
30
16
28
4
2
4恰好是8的一半， 2比7的一半少，
所以下一位商是5， 所以下一位商小於5，
因此要進位，
因此不進位，
答案是0.13
答案是0.14
【例3】
7
0.66
6)4.0
36
40
36
4
4比6的一半大，
所以下一位商大於5，
因此要進位，
答案是0.67
29
(15)利用同餘法來驗算(一）
 在數學上，要找出同餘的數很簡單，只要
將這個數分解成每個數字，再相加即可，
如果這個數還是大於9，就再將這個數分
解成每個數字，再相加即可，一直算到這
個數字是個位數字為止。如果這個數字是
9，則與它同餘的數字就是0。
 如：345和12同餘(3+4+5)，也和3同餘
(1+2)。
 又如：729和18同餘(7+2+9)，也和9同餘
(1+8)，也和0同餘。
30
(15)利用同餘法來驗算(二）
986 (23) (5)
+ 237 (12) (3)
1223
(8)
因為5+3=8，所以表
示我們算對的機會
很大。
7637 (23) (5)
- 958 (22) (4)
6689 (29) (11) (2)
因為5-4=1≠2，所以
表示我們一定算錯哦！
請再重新算一遍哦！
31
(15)利用同餘法來驗算(三）
370 (10) (1)
× 425 (11) (2)
1850
740
1480
156250 (19) (10) (1)
 因為1×2=2≠1，所以表
示我們一定算錯哦！請
再重新算一遍哦！
258 (15)(6)
(10)(1)28)7249 (22)(4)
56
164
140
249
224
25 (7)
因為1×6+7=13，13同餘於
4，所以表示我們算對的機
會很大。
用同餘來驗算除法，也需
用被除數＝除數×商＋餘數
32
(16)除法估商法則(一)
 除9同被，末位加1
 某數除以9，其估商可為某數相同之
數；末位時其估商為某數加1。
(除9是指除數的最高位數字是9，以
下同此說明)
1△△△÷9△=1
2△△△÷9△=2
3△△△÷9△=3
4△△△÷9△=4
5△△△÷9△=5
6△△△÷9△=6
7△△△÷9△=7
8△△△÷9△=8
9小△△÷9大=9
9同△△÷9同=1
9大△△÷9小=1
2
94) 2162
18
除
9
同
被
大同
前進
1
9) 162
94) 9870
9
72
9
978) 94866
33
(16)除法估商法則(二)
5
 除8加1
 某數除以8，其估商可為該某數加1。
1△△△÷8△=2
2△△△÷8△=3
3△△△÷8△=4
4△△△÷8△=5
5△△△÷8△=6
6△△△÷8△=7
7△△△÷8△=8
8小△△÷8大=9
8同△△÷8同=1
8大△△÷8小=1
9△△△÷8△=1
除
86) 4386
1
8) 9160
8
加
1
大同
前進
9
84) 75684
3
823) 288873
34
(16)除法估商法則(三)
 除7加1（四以下加1）
又有加2（五以上加2）
 1,2,3,4等數除以7，其估商為原數加
1；又5,6除以7，其估商為原數加2。
1△△△÷7△=2
2△△△÷7△=3
四以下
3△△△÷7△=4
加 1
4△△△÷7△=5
5△△△÷7△=7
五以上
6△△△÷7△=8
加 2
7小△△÷7大=9
7同△△÷7同=1
7大△△÷7小=1
大同
8△△△÷7△=1
前進
9△△△÷7△=1
1
75) 900
7
7) 539
1
2
710) 106720
4
732) 333972
35
(16)除法估商法則(四)
4
 除6加2
 某數除以6，其估商可為該某數加2。
1△△△÷6△=3
2△△△÷6△=4
3△△△÷6△=5
4△△△÷6△=6
5△△△÷6△=7
6小△△÷6大=9
6同△△÷6同=1
6大△△÷6小=1
7△△△÷6△=1
8△△△÷6△=1
9△△△÷6△=1
除
6
加
2
69) 2967
6
6) 456
5
大同
63) 3642
前進
1
623) 7750
36
(16)除法估商法則(五)
2
 除5雙倍
 某數除以5，其估商可為某數的2倍。
1△△△÷5△=2
2△△△÷5△=4
3△△△÷5△=6
4△△△÷5△=8
5小△△÷5大=9
5同△△÷5同=1
5大△△÷5小=1
6△△△÷5△=1
7△△△÷5△=1
8△△△÷5△=1
9△△△÷5△=1
除
5
雙
倍
57) 1824
6
5) 320
7
6
大同
前進
52) 3744
9
54) 52608
37
(16)除法估商法則(六)
3
 除4雙頭
 雙頭是被除數及除數，某數除以4其
估商可為被除數與除數4之和或差。
1△△△÷4△=3(4-1)
2△△△÷4△=6(4+2)
3△△△÷4△=7(4+3)
4小△△÷4大=9
4同△△÷4同=1
4大△△÷4小=1
5△△△÷4△=1
6△△△÷4△=1
7△△△÷4△=1
8△△△÷4△=2
9△△△÷4△=2
除 4
雙 頭
47) 1824
7
4) 300
2
42) 9660
大同
前進
9
426) 40044
38
(16)除法估商法則(七)
2
 除3三倍
 某數除以3，其估商可為某數的3倍。
1△△△÷3△=3
2△△△÷3△=6
3小△△÷3大=9
3同△△÷3△=1
3大△△÷3小=1
4△△△÷3△=1
5△△△÷3△=1
6△△△÷3△=2
7△△△÷3△=2
8△△△÷3△=2
9△△△÷3△=3
除 3
三倍
31) 7316
6
3) 201
2
3
大同
前進
38) 9500
3
36) 13644
39
(16)除法估商法則(八)
1
 除2作5
 某數除以2，其估商可為5。
1△△△÷2△=5
2小△△÷2大=9
2同△△÷2同=1
2大△△÷2小=1
3△△△÷2△=1
4△△△÷2△=2
5△△△÷2△=2
6△△△÷2△=3
7△△△÷2△=3
8△△△÷2△=4
9△△△÷2△=4
除2作5
29) 3770
5
2) 114
2
3
大同
前進
27) 621
8
9
267) 225081
40
(16)除法估商法則(九)
 除1繁雜，牢記另表
 被除數2以上，則自行估商
 被除數和除數同時為1，可看下表
被除數少除數1，2時，商即作9
被除數少除數3，4時，商即作8
被除數少除數5，6時，商即作7
被除數少除數7，8時，商即作6
被除數少除數9 時，商即作5
(此處的被除數與除數的比較是比被
除數與除數的次高位數字)
2(自行估商)
15) 3120
7(1比6少5)
16) 1152
5(0比9少5)
19) 1056
9(0比1少1)
112) 10165
41
(17)整數除法常犯的錯誤
 算出來的餘數比除數大或和







除數一樣
把0記錯位置
估錯商
用大數減小數
乘錯
減錯
不知道哪個是餘數?哪個是商
被除數和除數顛倒
51
230
6) 312
2)406
30
4
12
6
6
6
6
0
61
19) 1139
114
19
19
0
42
(18)除法、分數及比
 4÷5到底是五分之四，還是四分之五呢？
4
=
5
4
÷ =
5
 6:4=(
 30÷40=(
4
：
5
)
)
43
(19)誰當被除數?誰當除數
 由於三年級引入除法時，幾乎都是大數除以小數，因此養
成學生大數才能除以小數的迷思概念，到四年級，學到除
法可用分數表示，以及商可為小數，學生便對應用題中，
哪一個要當被除數，哪一個要當除數感到混淆。
 其實可用題目的“每…”或“一…”來尋得蛛絲馬跡，因
為“每…”或“一…”就是把原來的個數做等分，所以它
後面所接的數，一定當除數，而另一個數就是被除數。
 例１：3個人分4個大餅，每人得幾個大餅？
題目是問「每人得幾個大餅」，所以「人」當除數
解法為4÷3
 例２：小明走6步可走5公尺,平均一步走幾公尺?
解法為5÷6
44
(20)小數加減法常犯的錯誤
 與整數加減法同樣的錯誤
 位值沒有對齊
 小數末尾是0未處理
(1) 3.2
＋ 4
(2) 7.6
－5.6
3.6
2.0
 忘了點小數點
 小數點點錯位置
(3) 6.1
－1.8
4 3
(4) 1 2.7
＋ 1.2
1.3 9
小數加減法只要對齊小數點，
位值就會自動對齊
45
(20)小數乘法常犯的錯誤
 與整數乘法同樣的錯誤
 小數末尾是0未處理
 忘了點小數點
(1) 3.4
×
4
12.6
(2)
0.6
× 5
3.0
 小數點對齊(與加法搞混)
 小數點點錯位置(正確為：被乘數
和乘數小數點後面的位數之和)
(3) 0.8
× 0.2
1.6
(4) 1.2 7
× 0.4
5.0 8
小數乘法是唯一不用對齊位值的直式
計算，且學生容易搞混加減法和
乘法
46
(21)小數除法常犯的錯誤





與整數除法同樣的錯誤
商的小數點寫錯位置
餘數的小數點寫錯位置
忘了點小數點
搞不清楚要求什麼？(有時候除到
商為整數即可，要寫餘數，有時
候又四捨五入到小數第一位）
除數是小數的除法，商的小數點要與
新被除數的小數點對齊，而餘數
要與舊的小數點對齊
47
(22)整數四則計算常犯的錯誤
 忘了要先乘除後加減
 忘了將還沒有算的數字抄下
來
整數四則計算的三個原則：
(1)有括號先算
(2)先乘除後加減
(3)由左至右
例1：5+3 ×4
=8 ×4
=32
例2：700-125-45-65
=575-45(少了-65)
=530-65
=465
48
(23)利用長度的單位關係，導出面
積和體積的單位關係(一)
先回到1平方公尺的定義，1平方公尺就是邊長為1公尺
的正方形面積。
換個說法就是邊長為100公分的正方形面積。
那邊長為100公分的正方形面積，就可以用正方形面積
公式來算，也就是邊長×邊長，代入100公分(cm)×100
公分(cm)=10000平方公分(cm2)。(算這個算式時，不
但要算100×100=10000，也要算cm×cm= cm2)
如此可以推出1平方公尺(m2)=10000平方公分(cm2)
49
(23)利用長度的單位關係，導出面
積和體積的單位關係(二)
先回到1立方公尺的定義，1立方公尺就是邊長為1公尺
的正方體體積。
換個說法就是邊長為100公分的正方體體積。
那邊長為100公分的正方體體積，就可以用正方體體積
公式來算，也就是邊長×邊長×邊長，代入100公分
(cm)×100公分(cm)×100公分(cm)=1000000立方公分
(cm3)。(算這個算式時，不-但要算
100×100×100=1000000，也要算cm×cm×cm = cm3)
如此可以推出1立方公尺(m3)=1000000立方公分(cm3)
50
(24)量的單位換算—長度
 30公里25公尺=(
 3.7公尺=(
公
里
3
0
)公尺。
)公分
公
尺
0
2
毫
米
5
3
 52公尺3公分=(
 5.2公里=(
公
分
7
0
)公分。
)公尺。3公尺=(
)毫米
51
(24)量的單位換算—重量
 87020公斤=(
 5公斤6公克=(
)公噸
)公克
公
噸
8
7
公
斤
0
2
0
5
 5公噸40公斤=(
 4.39公斤=(
公
克
0
0
6
)公斤。
)公斤(
)公克
52
(25)分數的分母及分子
 為什麼分數的分母要在下面？
因為分數的原先用法是只有在真分數，分母就是分數
的媽媽，分子就是分數的兒子，因為媽媽比兒子大，
才可以將兒子背起來，所以分母要在下面，而分子要
在上面。
 如何判別真分數和假分數？
“分母比分子大”是真的，所以是真分數；而”分子
大於或等於分母”是假的，所以是假分數。
53
(26)如何記速度的公式
 速度的單位應是每秒幾公尺，寫成數學式是
公尺
所以就可以推測速度＝距離÷時間
秒
 再從上面的公式移項，就可得到
距離＝速度×時間
時間＝距離÷速度
 密度的單位是每立方公分幾公克，寫成數學式是
所以就可以推測密度＝質量÷體積
g
cm
3
54
(27)幾月的日期是怎麼來的?
 天文學家測出一年約366日，因此將單月訂為31日(大




月)，而雙月訂為30日(小月)
(31+30)×6=61×6=366。
有個皇帝叫August(奧古斯都)，他是八月生日，他覺
得他的生日怎麼是小月，因此就將八月改成大月
但如此，七八九就連續三個月是大月，因此，再將9
月改成小月,10月改成大月,11月改成小月,12月改成
大月
這樣，卻多了1天，恰好，以前2月常發生災難，因此
2月減成29天
後來發現一年真正是365.2422日，因此才會有平年是
365日，而閏年是366日，而平年那一年又得少一天，
因此決定再減災難的2月一天
55
(28)數三角形個數的問題—
將每個小圖形編號來數
1
3
5
2
4
6
先找單一圖形是三角形的：有1,2,3,4,5,6共6個。
再找兩個複合圖形是三角形的：有13,24,56共3個。
再找三個複合圖形是三角形的：有
123,124,135,246,356,456共6個。
再找四個複合圖形是三角形的：找不到。
再找五個複合圖形是三角形的：找不到。
最後找六個複合圖形是三角形的：有123456共1個。
56
將上面的三角形個數加起來 6+3+6+1=16個，就是答案。
(28)數三角形個數的問題—
用三個頂點構成三角形來數
A
B
C
D
E
F
G
將左圖上每一個三角形的頂點都命名為
A,B,C,D,E,F,…… ,如右圖。然後從A開始，按照順序找
三個頂點是否可構成三角形：
ABD,ABG,ACD,ACE,ADE,ADG,AEF,AEG,
AFG,BDE,BEG,CDG,CEG,DEF,DEG,DFG 共有16個。
值得注意的是，請按照英文字母的順序來找，比較不會
57
漏數或重複數。
(29)正方體展開圖的判斷(1)
要判斷六連方塊是否為正方體的展開圖，最好的方法，
就是將每個六連方塊都摺摺看，就知道了。
考試時如果可以摺摺看，那麼對小朋友而言，就不是
問題。
用歸納法來排除不可能為正方體展開圖的六連方塊。
58
(29)正方體展開圖的判斷(2)
根據上頁的排除原則，判斷下列的六連方塊是否為正
方體的展開圖？
甲
乙
丁
丙
戊
己
59
(29)長方體展開圖的判斷
甲
丙
乙
丁
60
(30)一筆畫(一)
一筆畫：用一筆經過所有路線，但每條路
線不能重複走兩次
61
(30)一筆畫(二)
2
2
4
4
4
2
4
2
3
4
4
4
3
2
2
2
2
3
3
3
尤拉定理：
(1)圖形的交叉點都有偶數條線段經過，則這個圖形可以一筆畫
(2)圖形的交叉點都有有2個奇數條線段經過，其餘皆是偶數條線段經過，則這
個圖形可以一筆畫
(3)圖形的交叉點都有3個以上(含)奇數條線段經過，則這個圖形不可以一筆畫62
3
(30)一筆畫(三)
請用尤拉定理判斷下列哪些圖形可以一筆畫?如果可以的話，
要從哪裡開始畫呢？
63
(30)一筆畫(四)
請用尤拉定理判斷下列哪些圖形可以一筆畫?如果可以的話，
要從哪裡開始畫呢？
64
(30)一筆畫(五)
哪些阿拉伯數字可以一筆畫呢？
1,……
哪些英文字母大寫可以一筆畫呢？ B,……
哪些英文字母小寫可以一筆畫呢？ a,……
哪些注音符號可以一筆畫呢？
ㄅ,……
哪些國字可以一筆畫呢？
一,……
65
學生常見的數學疑問釐清(一)
 0是不是偶數？
 -2是不是偶數?
 0.2是不是偶數?
92綱要173頁：個位數為0,2,4,6,8的整數稱為偶數
所以0和-2都是偶數，0.2不是整數，所以不是偶數
有人將偶數定義成可被2整除的數，那麼0.2是偶數，0.1也是偶
數，故此定義是錯的。只能定義成「可以被2整除的整數」
66
學生常見的數學疑問釐清(二)
 正方形是長方形嗎？正方體是長方體嗎？
從幼稚園開始，所有的教材，都將正方形和長方形視為不同類
的圖形，一直到小四或小五時教到四邊形的包含關係，正方形
才算是長方形的一個特殊例子
學生如果不容易懂，可以用正方形和長方形的定義來解釋：
正方形：四個邊都等長，四個角都是直角的四邊形
長方形：四個角都是直角的四邊形
由定義就可知，正方形滿足長方形的條件，所以正方形也是長
方形
同樣的，正方體也是長方體
只是在沒有教包含關係時，正方形和長方形還是得視為不同類
型的題目，這也是沒辦法的
67
學生常見的數學疑問釐清(三)
 正三角形是等腰三角形嗎？
一開始用邊長作三角形分類時，會三角形區分成正三角形和等
腰三角形及不等邊三角形
等到學生可以熟悉包含關係後，可以用正三角形和等腰三角形
的定義來解釋：
正三角形：三個邊都一樣長的三角形
等腰三角形：有兩個邊一樣長的三角形
由定義就可知，正三角形也滿足有兩個邊一樣長的三角形的條
件，所以正三角形也是等腰三角形
68
學生常見的數學疑問釐清(四)
到底是假分數？還是帶分數?還是兩者皆是?
1
還是兩者皆不是?
4
5
計算分數加減法時，過程有時會出現，如：
2
1
4
a
c
b
c
b
c

3
4
1
5
4
2
1
4
是帶分數的形式，所以 1
5
是帶分數
4
 b  是假分數的形式，所以 1
5
4
不是假分數
69
學生常見的數學疑問釐清(五)
0 .5
4
c
b
是不是分數?
(b  0 )
是分數的標準寫法，所以
0 .5
是分數
4
70
學生常見的數學疑問釐清(六)
2
4
c
是不是分數?是不是有理數?
( b  0 ) 是分數的標準寫法，所以
b
2
是分數
4
c
( c , b  Z , b  0 ) 是有理數的定義，所以
b
2
4
不是有理數
71
學生常見的數學疑問釐清(七)
0
是不是真分數?
7
c
b
且c＜b是真分數的定義，所以
0
7
是真分數
72
學生常見的數學疑問釐清(八)
 1是質數，還是合數？還是都不是？-2呢?
92綱要173頁對質數的定義：
一大於1的正整數只有1及本身兩個正因數時，稱為
質數。
由定義就可知，1和-2都不是質數
73
學生常見的數學疑問釐清(九)
 1.0是整數，還是小數？還是都是？
凡是有小數點的數，就是小數，所以1.0是小數
雖然1.0和1等值，但是1.0還是算小數，不能算整數
74
學生常見的數學疑問釐清(十)
 32000用無條件進入法取概數到千位，是多少?
32001呢?
32000的千位後面三個數字都是0，雖然是無條件進
入法，也無法進位的，所以答案是32000
32001的千位後面還有1的數字，所以要進位成
33000
75
學生常見的數學疑問釐清(十一)
 0.1,0.2,…0.9下一個數是一點零？還是零點十？
依照十進位的數字進位原則，0.9的下一個數是1.0，
而非0.10，因為0.9是一位小數，所以下一位數字也
是一位小數，所以是1.0，1.0和1等量，所以答案也
可以是1
個位
十分位
0
9
1
0
76
學生常見的數學疑問釐清(十二)
 為什麼小數後面的數，不用讀出位值？
78.123讀做七十八點一二三，而不讀七十八點一百
二十三
早期教科書小數後面的位值，也是有讀出來的，上
面的數字讀作七十八點一分二厘三毫，後來覺得這
種讀法太麻煩，因此才省略小數部份的位值，而只
要讀出數字即可，至於整數部份還是讀出位值
77
學生常見的數學疑問釐清(十三)
 學生在做應用題時，被乘數和乘數可以調換順序嗎？
原則上，引入乘法意義時，要求學生要按照幾的幾
倍的順序來寫，一直到教了乘法交換律後，就不必
限制被乘數和乘數的順序
目前國內，還是有相當比例的老師，要求學生絕不
能調換順序，將數學的學習狹隘化，我們應花多一
點時間，在小朋友其他常犯的錯誤上，才會有助於
小朋友數學的學習
78
學生常見的數學疑問釐清(十四)
 乘法對加減法有分配律的性質，那除法有沒有同樣的性質？
(a  b)  c 
ab

c
(a  b)  c 
c  (a  b) 
c  (a  b) 
ab
a

b
c

a
c

b
c
c
c
c
c
c
ab
c
ab



a
b
c
c
a
 acbc

b
除法對加減法有前
分配律性質
 acbc
 cacb
除法對加減法沒有
後分配律性質
 cacb
79
多人玩的數學益智遊戲：
 跳棋
 大老二、接龍、九九、橋牌、撿紅點、13張、吹牛
 拉密牌
 四色牌
80
雙人玩的數學益智遊戲：









猜數字遊戲(大太了,太小了)。
猜數字遊戲(幾A幾B的遊戲)。
放直棋(三子棋)
畫三角形遊戲
搶30遊戲
攻佔城堡(拿石頭遊戲)
四連環
畫數字遊戲
五子棋、暗棋、象棋、西洋棋、圍棋、西瓜圍棋
81
單人玩的數學益智遊戲：
 搬移遊戲
 數獨、數牆、數壹、數和、數迴、數間、數連、數龍
 智慧盤
 數字反轉
 七巧板
 河內之塔
 倉庫世家
 孔明棋、青蛙棋
82
國小數學的網路資源：
 教學網站。
 評量及練習網站。
 有關數學的益智遊戲
 其他有關數學的東西(如:謎語……)
(1)昌爸工作坊
(2)尤怪之家
(3)博愛國小許俊文老師的數學園地
(4)陽明國小許長壽老師的數學練習題
(5)數學部編版教科書網站
(6)國立台灣科學教育館—數學遊戲
83
一、問題解決的重要性:
 有一次，在一個非正式的聚會裏，一個社會科學家問
一位數學博士：“教數學最主要教些什麼呢?“數學
家答覆是“問題的解決。”要回去時，這位數學家
問：”教社會科學主要教些什麼呢?“每一個答案都
是“問題的解決。”所有成功的工程師、科學家、社
會科學家、律師、會計師、醫師、忙碌的經理..等等，
都必須是好的問題解決者。雖然人們所遭遇的問題可
能是非常的不一樣，但是它們都有共同的方法，來幫
助問題的解決變得更容易。
84
二、玻利亞的解題四步驟:
 現代解題之父—玻利亞，於西元1887年出生於匈牙利，
在他的求學過程中，他對發現的過程和數學答案的獲
得很有興趣，他的教學中強調發現的過程比只發展適
當的技巧來的重要，為了提倡問題解題的方法，他發
展出下列四個步驟：
步驟1：理解問題
步驟2：擬定計劃
步驟3：實行計畫
步驟4：回顧
85
步驟1：理解問題
 你了解題目所有字的意思嗎?
 你能用自己的話來重新表達問題的意思嗎?
 你知道題目給你哪些已知條件呢?
 你知道題目要求什麼呢?
 有足夠的已知條件嗎?(有些已知條件是隱
藏的，如一星期有7天)
 有多餘的已知條件嗎?
 問題是不是和你以前解決過的問題差不多
呢?
86
步驟2：擬定計畫
(1)猜測和測試。
(3)列表。
(5)找到規律性。
(7)使用例子。
(9)使用模式。
(11)倒推法。
(2)畫圖。
(4)簡化問題。
(6)使用數字的性質。
(8)利用公式。
(10)解相等的問題。
87
步驟3：實行計畫
 以步驟2的方法來做做看，一直到問題解
決為止。
 給你自己一段合理的時間來解決問題。假
如沒有成功，可以從其他人中找尋線索，
或者把放問題放在一旁一段時間，或許哪
天你可能有突然出現的靈感。
 不要害怕，有時重頭想或者用新的方法將
可以解題成功。
88
步驟4：回顧
 答案對嗎？合理嗎？驗算答案看看。
 你能找到一個較簡單的答案嗎？(可以約分或化成帶
分數或將小數點後面的0省略)
25÷ (
)=5
( )=25× 5=125
將125代入原式得
25÷ 125=5
不合理，
所以算法是錯的
一大袋糖果有7888顆糖果，
平分給若干小朋友，每人
分得34顆，共有幾位小朋
友？
7888×34=268192
因為根本不可能有二十多
萬的小朋友來分
所以算法是錯的
89
練習和問題的區別：
 解練習題就是解你已經解過的差不多的題目；而解問




題，你必須經過思考，並且嘗試一些從沒做過的步驟。
對於小孩子來說，假使”練習”中在解題的部份需要
許多種創意的步驟就屬於”問題”。
例1:3+2。例2:將96枝鉛筆平均分給16位小朋友，每
位得幾枝？
做練習對學習數學而言是有價值的，練習幫助你的數
學概念能夠更清楚，並且在你解題時也能適用。
後面學習到的技巧應該幫助你成為一個好的問題解決
者，也應該引導你如何幫助其他人發展他們的問題解
決技巧。
90
數學解題的過程：
原始問題
檢
查
翻譯
原始問題
的解答
翻譯
數學式子
的問題
解
題
數學式子
的解答
要解一個問題，必須先翻譯題目的字，變成使用數
學符號的相等問題，再解決這個相等的問題，然後
再判斷答案是否正確。上圖就是數學解題的過程。
91
問題實例(1)
 知剛每個月要存多少錢,一年才能存720元呢?”
(1)這個題目的”已知條件”是什麼？
(2)這個題目要求的是什麼？
(3)解這個題目你還需要知道什麼知識？
(4)列出這個題目的數學算式(不寫答案)：
(5)算出數學算式的答案：
(6)寫出原題目的答案：
(7)你算的答案對嗎？驗算看看：
92
問題實例(2)：
 馨葦想用100元去銀行換1元和5元的硬幣，她總共有
幾種換法？(可以全部換成1元的硬幣，也可以全部
換成5元的硬幣)
解這個題目用玻利亞的哪一個方法比較好？
5元的 20 19
個數
1元的 0
5
個數
18
17
…
10
15
…
1
0
95 100
93
問題實例(3)：
 一塊披薩用直線的切法切4刀，最多可以切成幾片？
解這個題目用玻利亞的哪一個方法比較好？
94
問題實例(4)：
 畫出切5刀能切成最多片的簡圖。
 畫出切6刀能切成最多片的簡圖。
切的刀數
最多可以切成幾片
1
2
2
4
3
7
4
11
5
16
6
22
根據上表不使用畫圖的方式來預測切成7刀時，最多可以切
成(
)片。
你是怎麼預測的？
95
問題實例(5)：
 餐廳有許多正方形的桌子，把它們緊靠排在一起時，
1張桌子可以排4張椅子，2張桌子可以排6張椅子。
(如下圖)50張桌子橫的併在一起時，可以排幾張椅
子？
(1)3張桌子時可以排幾張椅子？畫畫看。
(2)4張桌子時可以排幾張椅子？畫畫看。
96
問題實例(6)：
(3)不畫圖預測5張桌子時可排幾張椅子？
(4)找出任意張桌子排的椅子數的模式。
(5)根據前一題所找出的模式，算出50張桌子所
排的椅子數。
(6)請問你用了玻利亞的哪些方法？
97
問題實例(7)：
宴會裏有20個人，每個人都要跟別人握一次手，
那麼總共有幾次握手的動作?
1.假如宴會裏只有2個人，那麼有幾次握手的動作呢？
2.假如宴會裏只有3個人，那麼有幾次握手的動作呢？
3.假如宴會裏只有4個人，那麼有幾次握手的動作呢？
4.假如宴會裏只有5個人，那麼有幾次握手的動作呢？
5.請你預測宴會裏有6個人，會有幾次握手的動作呢？
6.請你找出規律性，並算出原問題的答案。
98
結語—數學指導成功的要件
1.充實自己的數學專業知識
2.讓學生寫好回家功課
3.讓學生學好數學
4.讓學生考好數學
5.讓學生喜歡數學
99