Transcript 勝負已知

數學科專題研究
數學科 陳高智
勝負已知
一‧研究動機
■在書上找到一些畫圈圈的數學遊戲，
剛好課程中有巴斯卡三角形，因此試著去
瞭解這個遊戲。只是嘗試性地試一試，也
沒想到會發現有些相同的論述，勝負似乎
有規則可循？將一開始設定的可拿1~3 個
逐漸推廣成1~a 個，希望推導出勝敗公式
。
二‧研究目的
ㄧ、研究剩下怎樣的圖形才會必勝。
二、推導出必勝圖形的公式。
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三‧研究過程及方式
(一)規則
用圓圈疊成b列的三角形
【如圖一】，若兩個人
輪流拿取，一人一次只
能從其中一列拿取1~a個，
拿到最後一個者勝。求
可拿個數（1~a）與列數
（b）對於勝敗的影響。
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
(二)方式
●為了方便大量圈圈的表示，故用第一列幾
個*第二列幾個*第三列幾個…來簡單表示。
●因為不限定拿第幾列，所以上下排列的順
序並無特別意義。
●（如1*4*5＝5*4*1）先拿，後拿，n N，
k N∪{0}，a＝可拿最大個數，b＝列數
（如b＝3 表示1*2*3，1*2*3-1 表示先拿者
在第三列拿一個）
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一、必勝圖形
在過程中，我們發現在剩下某些狀態的圈圈
圖形時就可以確認自己必勝了，因此將稱之
為必勝圖形，即剩下圖形為必勝的狀態＝此
圖形的後拿者必勝。
●a=1：只要剩下偶數個就贏了，所以a=1
的必勝圖形以下不討論。
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（一）兩列同個數
<a＝2>
1.
1* 1：後拿者必勝（以下簡稱必勝）
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4. 討論
●兩列同個數時，只要後拿者拿取與先拿者
相同的個數，使成較少數量的兩列同個數，
最後必能化簡成以上情形，故必勝。而a的
大小並不影響，因為化簡到n*n（n≦a），
先拿者仍無法拿到最後一個。
★n-(1~a) * n → n-(1~a) * n-(1~a)
★n-n * n → 0 * n-n
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（二）直向加成性
●由於不能跨列拿取，必勝圖形的垂
直相加並不彼此干擾。如1*1加上2*2
成為1*1*2*2也必勝。
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a+1＝4 必勝，且2（a+1）＝8 也必勝，因為只要後拿
者拿的個數與先拿者加起來等於a+1 即可消去a+1的倍
數，若最後能化簡達到a+1 則必勝。反過來看，必勝圖
形也可以任意消去或加上（a+1 ）的倍數，也仍然必勝
。如n * n+（a+1）必勝
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（三）特殊加成性
1.兩列同個數特殊推廣
1*0*1→1*2*3→1*4*5→…→1*2k*2k+1
（1）1*0*1 為兩列同個數∴必勝
（2）1*2*3
全部拿法如下：
a＝2
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但這種拿法，a 至少=3，故a=2 時1*2* 3 並不是必勝圖形。用
化簡法減去a+1 來檢查：1*2* 3＝1*2* 0 並非勝圖。
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a≧3 時，由於一列最多只有三個，所以
能拿超過三個也不會影響勝敗。其勝利
的關鍵在於，1*2*3無法讓先拿者達成兩
列同個數，而後拿者必然能達成。∴ a
= 1，a≧3 ，1*2*3必勝
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（3）1*4*5
a＝2，1*4* 5 消去2+1＝1*1* 2，非必勝
a＝3，1*4* 5 可消去3+1 ，因此等同1*0* 1 的結果∴必勝
a＝4，1*4* 5 消去4+1＝1*4* 0，非必勝
a＝5：
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a≧5，勝敗都與a＝5相同，因為1*4*5 一列最多不超過5個。
∴a=1ˇa=3ˇa≧5，1*2*3 必勝
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四‧研究結果
2k
0
2
4
6
8
10
12
14
圖a
1*0*1
1*2*3
1*4*5
1*6*7
1*8*9
1*10*11
1*12*13
1*14*15
2
◯
〤
〤
◯
〤
〤
◯
〤
4
◯
◯
〤
〤
〤
◯
◯
〤
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◯
◯
◯
〤
〤
〤
〤
◯
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五‧討論
（一）特殊加成性討論：1 * 2k * 1+2k
a＝奇數，設k＝n＞0：
A.1-1 * 2n * 1+2n → 0 * 2n * 1+2n-1 ＝ 2n * 2n
B.1 * 2n-1 * 1+2n → 1 * 2n-1 * 1+2n-3 ＝ 1 * 2n-2 * 2n-1
＝1* 2（n-1）* 2（n-1）+1
C.1 * 2n-2 * 1+2n → 1 * 2n-2 * 1+2n-2 ＝ 1 * 2n-2 * 2n-1
＝1* 2（n-1）* 2（n-1）+1
D.1 * 2n-3 * 1+2n → 1 * 2n-3 * 1+2n-5 ＝ 1 * 2n-4 * 2n-3
＝1* 2（n-2）* 2（n-2）+1
E.1 * 2n-4 * 1+2n → 1 * 2n-3 * 1+2n-4 ＝ 1 * 2n-4 * 2n-3
＝1* 2（n-2）* 2（n-2）+1
（按照這個規律，B、D 設先拿者在第二列已經拿a個時，則後拿者
似乎要拿a+2 個才能使成必勝圖形，然而a+1 是必勝圖形可以化
簡，所以後拿者只要拿1個便等同於拿a+2 個而必勝。）
F. 1 * 2n * 1+2n-1 → 1-1 * 2n * 2n ＝ 2n * 2n
G.1 * 2n * 1+2n-2 → 1 * 2n-2 * 2n-1 ＝ 1* 2（n-1）* 2（n20
H.1 * 2n * 1+2n-3 → 1 * 2n-1 * 2n-2 ＝ 1* 2（n-1）* 2
（n-1）+1
I. 1 * 2n * 1+2n-4 → 1 * 2n-4 * 2n-3 ＝ 1* 2（n-2）* 2
（n-2）+1
J. 1 * 2n * 1+2n-5 → 1 * 2n-3 * 2n-4 ＝ 1* 2（n-2）* 2
（n-2）+1
其他的狀況後拿者可拿個數不必大於先拿者，因此必能成為兩列
同個數或1 * 2n * 1+2n 的形式，而歸於上面討論。
a＝偶數
a＞2k+1 勝敗等同a＝2k+1 而必勝，a＜2k+1 時1 * 2n * 1+2n
卻不一定是a＝2、4…的必勝圖形。
a＝2 時1*0*1＝1*6*7…必勝
a＝4 時1*0*1＝1*10*11…；1*2* 3＝1 * 12 * 13…必勝
a＝2n 時1*0*1 ~ 1*2n-2*2n-1 必勝即a≧2k+1 所成立的圖形橫
向加成，結果如上表：必定餘a
（二）結論：1*2k*1+2k ，成立條件a奇數餘數為a
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六‧結論
雖然只是一個玩的遊戲，但必勝
圖形的堆疊、化簡、連續排列數
的疑問，需要探索，尤其是數學
不一定能找到結果。以數學歸納
法有條理的思考，發現數學有一
定規範並非艱深，並從中找到樂
趣。
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七‧參考資料：數學遊戲，科學展覽。
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報告完畢
謝謝各位
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