Transcript 鬼腳追~追~追

大家好..我叫
林己迪
鬼腳追~追~追
中國人怕鬼
外國人也怕鬼
還好這份報告
和鬼
無關
一‧研究動機：

近來在報章雜誌流行著一些數學小遊戲，如
數讀、停車場等，為順應潮流，所幸拿起手
邊九章出版的-數學遊戲-欣賞，在其中發現
了一個名為〝畫鬼腳〞的小玩意，興趣之餘
做了以下研究。
二‧研究目的：



（一）畫鬼腳與數學相通之處
（二）規則的破壞與建立
（三）立體的畫鬼腳
三‧研究過程及方式：
（一）舉例說明畫鬼腳：
A、B、C三位好友為了校慶時的競賽相約練跑，但卻為
了跑道起了爭執，此時，A便提議以“畫鬼腳”的方式
來決定跑道，方法如下：
1. 先由A在紙上畫三條垂線且將1、2、3任意寫於
垂線下方並折起來，不讓B、C看見。
1
2
3
2.然後，由B、C兩人各自隨意選一線上端，
寫下他們的名字，餘下一條便屬於A。
寫好後，再把名字折起來。
A
B
C
3.再來，由B、C隨意在兩相鄰的垂線中加上水平方
向的橫線（數目不限），把兩垂線連結起來，但注
意所連的橫線要避免相交。
4.上述步驟完成後，便可翻開所摺的部分，然後用
筆沿著垂線由上至下畫出應走的路線。前進時若走
至有橫線的地方，便要隨著它走至旁邊的一條垂線，
才再沿著它而下，如此經過一條曲曲折折的路徑，
最後到達了一垂線的下端，這路徑就把上端一名字
與下端一數字配對起來。其餘如法炮製，找到下端
的配對。這樣就解決了A、B、C三人爭跑道的問題。
如以圖1為例，由B向下行，遇線即轉，如此可得B
對應至1。同法可知A對應至2，C對應至3。
A
B
C
1
2
3
（二）畫鬼腳與數學
1.畫鬼腳的對應
（1）我們試著討論劃鬼腳的對應方式，先以三人
為例
A B C
1
2
3
由此可見，在鬼腳圖中，若無橫線，則是簡單的
一對一的對應關係；若有橫線，則只是將相鄰垂
直線的對應關係互調，也就是說無論如何複雜的
鬼腳圖，其對應方式一定是一對一。
2.從函數的觀點來看，畫鬼腳像是在等勢的兩個集
合，建立起一個一對一的對應關係。即上端集合
中的任一元都可唯一對應到下端集合中的一元。
事實上，〝畫鬼腳〞可視為一個一對一（oneone）且映成（onto）的函數 。
3.由排列的方式，我們可以找出其所有可能的對應
關係，並以矩陣的型態來表示，如下：
1 2

1 2
3

3
1 2 3 


1
3
2


1 2 3 


2
1
3


1 2 3 


2
3
1


1 2 3 


3
1
2


1 2 3 


3
2
1


共3！=6種。
事實上，依排列方式，我們可以推廣至N條垂直線
的對應關係有N！種。
4.我們發現每一種對應關係的鬼腳圖表示法並非
唯一， 例如：
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
皆表相同的對應。
5.我們以鬼腳圖形式分別表示6種對應如下：
1
2
3
e0 ＝
1
2
3
e1 ＝
1
2
3
e2 ＝
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
e3 ＝
e4 ＝
1
2
3
e5 ＝
1
2
3
事實上，複雜的畫鬼腳是由幾個或多個簡單的畫
鬼腳所組成的，但對應關係仍舊是原來六種中的
一種，對於這種性質可謂之-封閉性。
e2
e5
e3
e2
e4
e4
e1
1

3
2
1
3
  e4
2
（三）規則的破壞與建立
思考至此，發現所有畫鬼腳都符合〝一對一〞的對
應關係，但在函數的定義中說過函數是可以
〝多對一〞的，例如二次函數。那畫鬼腳是否
也會有〝多對一〞的情況出現呢？
1. 若水平線可以相接呢？
我們試著做一有水平線相接的畫鬼腳，但發現到了
十字處時，卻不知道該如何行走了。
2.所以我們將規則做了修改：
（1）若是由垂直線行至十字處者，不轉彎。
（2）若是由水平線行至十字處者，則轉彎。
如下所示，在新規則下畫鬼腳是一個〝多對一〞
的對應關係，且是〝唯一〞對應，若與函數對照
，這對應關係可以視為〝常數函數〞。
1
2
3
1 2 3 


1 1 1
1
2
3
事實上，可以發現所有的行進路線在經過十字處後
都只剩唯一的選擇。故我們可以斷定在這規則之下
的三垂線鬼腳圖是一個〝多對一〞的對應關係，且
最後一定會對應至從十字處繼續往下走所得的結果
。當然，四條垂直線以上的鬼腳圖亦會有多對一的
情形出現，但卻不一定是唯一的 。
也就是說，在我們定義的新規則之下，畫鬼腳的對
應可以像一個〝常數函數〞，也可以像一個〝多次
函數〞。
（四）立體的畫鬼腳
1.首先我們在紙上畫一鬼腳圖，如下：
A
C
1
2
3
→
1
B
2
3
D
1

3
2
2
3
  (1, 3 )
1
接著我們將紙捲起來，使得AB重疊至CD，這時我
們可以發現平面畫鬼腳變成立體了，如下：
AC
1
2
1
2
3
BD
3
如此一來我們便可
以將平面立體化了
。接著，我們嘗試
在接下來的這一個
立體畫鬼腳中畫上
水平線，使得其對
應關係和原先的平
面畫鬼腳相同。
不難發現，我們只需一條水平線便可完成原先平面
畫鬼腳的對應關係了。如此看來，某些對應關係在
立體畫鬼腳中似乎較平面畫鬼腳容易達成。
1
1
2
2
3
→
3
1

3
2
2
3
  (1, 3 )
1
2. 我們思考，平面畫鬼腳所滿足的性質，在立體
畫鬼腳中是否依然成立。事實上，由前面我們建
構立體畫鬼腳的方法，可以很容易地瞭解到在平
面畫鬼腳成立的性質，在立體畫鬼腳中仍然成立。
因為我們的立體畫鬼腳是由平面畫鬼腳所建構而
成的。
四‧研究結果
(一)畫鬼腳是一對一的對應關係。
(二)1.若是與函數對照，那畫鬼腳可說是一個〝一
對一〞且〝映成〞的函數。
2.依排列的方式，N條垂直線的畫鬼腳，其可
能對應的結果有N！種。
3.對於相同的對應關係，其畫鬼腳的表示法不
會唯一。
4.我們所定義畫鬼腳的運算滿足數學中的結合
律；但對於交換律是不成立的。
(三)若破壞原有的規則之後，並建立以下的限制：
1.允許水平線相交。
2.若是由垂線行至交叉處，不可轉彎需直行。
3.若是由水平線行至交叉處，則轉彎。
我們發現在這新的規則之下會有〝多對一〞的情
形出現。
(四)空間中的立體畫鬼腳，其對應關係及性質和平面
的畫鬼腳是相同的，但對於相同的對應關係，立
體畫鬼腳可以較平面的畫鬼腳來的簡單。
五‧討論
首先我們先定義符號：
用（1,2,3）表示1對應至2、2對應至3、3對應
至1，形成一個循環，當然沒寫的就代表本身對
應到本身。
接著我們就可以針對五條垂直線的畫鬼腳，研
究可否控制水平線以達到我們希望的對應關係（按
正常規則，水平線不相交），討論如下：
（一）有兩垂直線的位置互換，其餘不變：
1.兩垂線相鄰：例（2,3）
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
此時我們只需一條水平線。
2.兩垂線不相鄰：例（2,5）
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
（1）首先將2對至5，需
要的水平線有（2,3）、
（3,4）、（4,5）。
（2）接著我們以不影響
原先的對應將5對應至2，
需要的水平線有（4,5）
、（3,4）、（2,3），但
原先已有（4,5），故我
們只需加上（3,4）、（
2,3）兩條。
（3）然後我們便需考慮剩下的1、3、4是否對應到本身。
1
2
3
4
5
OK!
1
2
3
4
5
故（2,5）=（2,3）（3,4）（4,5）（3,4）（2,3）。
（二）有三垂直線的位置互換：
例（1,2,3）=（1,3）（1,2），而（1,3）=（1,2）（2,3）（1,2），
故（1,2,3）=（1,2）（2,3）（1,2）（1,2），其鬼腳圖如下。
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
六‧結論
（一）若想讓鬼腳圖的對應關係如己所願，可以依
照下列步驟：
1.先將對應關係表成多次對調的組合。
2.將每個對調再表示成相鄰兩垂線對調的組合。
3.接著把每個相鄰兩垂線的對調，按照順序將水
平線畫在鬼腳圖上，如此便可達成所需的對應
關係。
（二）我們可以推導上列敘述中1.及2.的規則：
1.設為 a1 , a 2 , , a n 正整數，且 a1  a 2   a n ，
則 ( a1 , a 2 , , a n )  ( a1 , a n ) ( a1 , a n 1 ) ( a1 , a 2 。
)
2.設a、b為正整數且a＜b，則
（a,b）=（a,a+1）（a+1,a+2）…（b-2,b-1）
（b-1,b）（b-2,b-1）…（a+1,a+2）（a,a+1）
例：（2,3,5）=（2,5）（2,3）=（2,3）（3,4）
（4,5）（3,4）（2,3）（2,3）。
報告到此
啦
束
結
!!
辛苦你的眼睛和耳朵啦!! Ths.