Transcript 附件下載

高年級代數教材分析
台北市社子國小 孫德蘭
低年段能力指標與分年細目
年級
能力指標
一
二
三
A-1-01能在具體情境中，認識等號兩邊數量
一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。
A-1-02能將具體情境中的單步驟問題列成算
式填充題，並解釋式子與原問題情境
的關係。
A-1-03能在具體情境中，認識加法的交換律
、結合律、乘法的交換律，並運用於
簡化計算。
A-1-04能理解加減互逆，並運用於驗算與解
題。
A-1-05能在具體情境中，認識乘除互逆。
分年細目
1-a-01能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意
義。
1-a-02能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，
並運用於簡化計算。
1-a-03能在具體情境中，認識加減互逆。
2-a-01能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情
境中認識遞移律。（同2-n-03）
2-a-02能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填
充題，並解釋式子與原問題情境的關係。
2-a-03能在具體情境中，認識乘法交換律。
2-a-04能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。
3-a-01能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填
充題，並能解釋式子與原問題情境的關係。
3-a-02能在具體情境中，認識乘除互逆。
低年級的教材內容
年級
教學目標
一
 認識等號對稱性
 認識加法的交換律、結合律
 認識加減互逆。
二





用＜、＝與＞表示數量大小關係
認識遞移律。
能將單步驟的加、減問題列成算式填充題
認識乘法交換律。
能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。
三





用＜、＝與＞表示數量大小關係
認識遞移律。
能將單步驟的加、減問題列成算式填充題
認識乘法交換律。
能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。
四年級能力指標與分年細目
四
A-2-01能在具體情境中，理解乘法
結合律、乘法對加法的分配律與其
他乘除混合計算之性質，並運用於
簡化計算。
A-2-02能理解乘除互逆，並運用於
驗算與解題。
A-2-03能解決用未知數符號列出之
單步驟算式填充題。
A-2-04能使用中文簡記式記錄常用
的公式。
4-a-01能在具體情境中，理解乘法結合律、
先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連
除兩數相當於除以此兩數之積。
4-a-02能將具體情境中所列出的單步驟算式
填充題類化至使用未知數符號的算式，並能
解釋式子與原問題情境的關係。
4-a-03能理解乘除互逆，並運用於驗算與解
題。
4-a-04能用中文簡記式表示長方形和正方形
的面積公式與周長公式。
四年級的教材內容
四






理解乘法結合律。
理解先乘再除與先除再乘的結果相同。
理解連除兩數相當於除以此兩數之積。
能將算式填充題類化至使用未知數符號的算式。
理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。
能表示長方形和正方形的面積公式與周長公式。
五年級能力指標與分年細目
五
A-2-01能在具體情境中，理解乘法
結合律、乘法對加法的分配律
與其他乘除混合計算之性質，
並運用於簡化計算。
A-2-02能理解乘除互逆，並運用於
驗算與解題。
A-2-03能解決用未知數符號列出之
單步驟算式填充題。
A-2-04能使用中文簡記式記錄常用
的公式。
5-a-01能在具體情境中，理解乘法對加法的
分配律，並運用於簡化心算。
5-a-02能熟練運用四則運算的性質，做整數
四則混合計算。
5-a-03能解決使用未知數符號所列出的單步
驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。
5-a-04能用中文簡記式表示簡單平面圖形的
面積，並說明圖形中邊長或高變化時對面
積的影響。
5-a-05能用中文簡記式表示長方體和正方體
的體積公式。
六年級能力指標與分年細目
六
A-3-01能做基本的代數運算。
A-3-02能理解並應用等量公理。
A-3-03能用x、y、…等符號表徵生活中
的未知量及變量。
A-3-04能用含未知數的等式或不等式
，表示具體情境中的問題，並解釋算
式與原問題情境的關係。
A-3-05能理解生活中常用的數量關係
，並恰當運用於解釋問題或將問題列
成算式。（N-3-14）
A-3-06能發展策略，解決含未知數之
算式題，並驗算其解的合理性。
A-3-07能運用變數表示式，說明數量
樣式之間的關係。
6-a-01能理解等量公理。（同6-n-06）
6-a-02*能使用未知數符號，將具體情境中的問題
列成兩步驟的算式題，並嘗試解題及驗算其解。
6-a-03能利用常用的數量關係，列出恰當的算式
，進行解題，並檢驗解的合理性。（同6-n-10）
6-a-04*能在比例的情境或幾何公式中，透過列表
的方式認識變數。
6-a-05能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與柱
體的體積公式。
高年級的教材內容
五
六






理解乘法對加法的分配律。
能做整數四則混合計算。
能解決使用未知數符號所列出的算式題並驗算。
能表示簡單平面圖形的面積。
說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響。
能表示長方體和正方體的體積公式。





能理解等量公理。
能使用未知數符號列兩步驟的算式題及驗算。
能利用常用的數量關係，列出恰當的算式。
能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。
能表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式。
教師的數學知識：數運算性質

三一律：A、B 二數恰有下列一種關係


A ＜ B，A ＝ B，A ＞ B
等價關係：A、B、C 三數滿足
A ＝ A(反身性)
 若A ＝ B，則B ＝ A(對稱性)
 若A ＝B，且B＝C，則A＝C(遞移性)

教師的數學知識：數運算性質

數的運算關係：A、B、C 三數滿足
A ＋ B ＝ B ＋ A(加法交換律)
 (A ＋ B) ＋ C ＝ A ＋ (B ＋ C)(加法結合律)
 A × B ＝ B × A(乘法交換律)
 (A × B) × C ＝ A × (B × C)(乘法結合律)
 (A ＋ B) × C ＝ A × C ＋ B × C(乘法對加法
的前分配律)

教師的數學知識：等量公理
A、B、C 三數，若A ＝ B 則滿足
 A ＋ C ＝ B ＋ C
 A － C ＝ B － C
 A × C ＝ B × C
 A ÷ C ＝ B ÷ C(其中C ≠ 0)
教師的數學知識：數學史

代數



在中國，曾有人使用「算術」作為代數的名稱，例如：
《九章算術》的「算術」所指的即是代數。
南宋秦九韶的《數書九章》中有「立天元一為某某」的
術語，天元就是代表未知數，用現在的術語來說就是「
設x 為某某」。「代數」這個名稱則是一直到1859 年
，晚清數學家李善蘭在代微積拾級一書中的序中指出“
中法之四元，即西法之代數也”，才正式被使用。
在西方，「Algebra」一名來自阿拉伯文al－jabr，al
為冠詞，jabr 之意為恢復或還原，解方程式時將負項移
至另一邊變成正項，也可說是還原，也有接骨術的意思
。
教師的數學知識：代數的意義

代數是通則化的算術


代數是解決特定問題的程序的學科


例如x＋3＝8，x＋3－3＝8－3，x＝5（問題才剛開始
，我們必須經由一定的程序，如等量公理，來找出答案
，x 代表未知數或常數）。
代數是一門有關數量關係的學科


例如3＋7＝7＋3可以通則化成a＋b＝b＋a（問題已經
解決，歸納出已知數值的關係，沒有未知數）。
例如面積公式（A＝L×W）敘述了長、寬與面積之間的
關係。
代數是研究數學結構的學科

例如代數可以敘述實數的運算特質之結構，如a（b＋c
）＝ab＋ac。
教師的數學知識：代數與算術的差別

未知數與任意數的差別

Hibertt(1988)指出：算術與代數的區分，是
根據文字符號所扮演的角色而定。如果它所扮
演的角色是「未知數」，就屬於算術；如果它
所扮演的是「任意數」，則屬於代數的範疇了
(詹勳國、李震甌、莊蕙元、戴政吉、侯美玲
（譯），2004)。
教師的數學知識：代數與算術的差別

運算的客體




Kieran(1992)指出算術與代數共用了許多的符號及
物件，這些符號有些在算術與代數之間的意義卻不相
同，以致造成學生認知上的困難。
算術上被運算的客體，只有數字，而代數上被運算的
客體還包括代數式、含有未知數的等式、函數、變數
、多項式等，學生不易了解為什麼χ + 3 沒有一個結
果。
算術常可用非正式的解法求出來，而代數題目的解法
則須用正式嚴格的方法
算術與代數的思維方式常常是剛好相反的，所以學生
無法用舊經驗來同化或調適到新的學習上，更增加了
他們學習代數的困難度了。
教師的數學知識：代數與算術的差別

等號的意義

Linchevski (1995)指出，在算術中，等號代
表的是一個轉換的過程，它指示出由左到右的
方向；前代數是算術的延續，因為它主要在操
作數字得到未知數，而非直接操作文字；在代
數中，等式是指等號兩邊資料的量是相等的。
教師的數學教學知識：兒童解代數問題的方法
Kieran（1992）

使用數字（use of number facts）：


解5＋□ = 8，會回憶5＋3 = 8 的事實
使用數數策略（use of counting
techniques）：

解4＋□ = 8 時，孩童會把5、6、7、8 數出
來而得到答案為8。
教師的數學教學知識：兒童解代數問題的方法
Kieran（1992）

覆蓋（cover－up）：


解2x＋9 = 5x；孩童知道5x = 2x＋3x，所以
3x = 9
逆運算（undoing）：

解2x＋4 = 18，先將18 減4，再除以2。
教師的數學教學知識：兒童解代數問題的方法
Kieran（1992）

嘗試錯誤（trial and error substitution）


移項法則（transposing）；


解2x＋5 = 13，會嘗試以不同的數值代入，例
如2、6 等等…
換邊就變號（change side, change sign）
等量公理（performing the same
operation on both sides）
教師的數學教學知識：兒童的迷失概念

對於等號的狹義解讀

這關係到學生對於運算符號的解釋，算術中的
「＋」代表執行運算，「=」則代表寫出答案。
在學生的眼中，「=」是具有方向性的，代表要
他們做某個動作，所以無法接受等號右邊有未
知數的式子。
教師的數學教學知識：兒童的迷失概念

文字符號意義的迷思概念，例如不同文字代
表不同數字

例如：學生認為x＋y＋z 不會等於x＋p＋z，因
為他們認為y 和p 分別代表了不同的數。
教師的數學教學知識：兒童的迷失概念

拒絕接受像「3a ＋ 7」這種含有未知數的
答案並出現許多文字與數字混合化簡的錯誤

例如要求學生化簡2a + 5b ，常常會得到7ab
，而3x＋4 = 7x。
教師的數學教學知識：兒童的迷失概念

解等號兩邊均有未知數的方程式出現困難

學生往往能接受5x + 3 = 6 ，但無法接受 5x
+ 3=4x − 5 。
教師的數學教學知識：兒童的迷失概念

代數文字題轉譯成方程式的失敗

在小學階段，要求孩童將文字題轉譯成方程式
是十分困難的，因為對孩童來說，等式只是代
表運算而獲得解答的過程（Freudenthal,
1974）。
不少國小老師要求學生寫方
程式解題，您認為合適嗎？
教師的數學教學知識：代數教學


Linchevski(1995)認為對代數教學而言，代數概
念的學習是學生在數學學習上的一個關鍵點，數學
由算術轉變成代數，可以說是引進並使用文字符號
來說明算術運算中的數學概念，這是學生往後學習
更高深的數學之基礎。
國小的代數課程是數學由算術轉變為正式代數的轉
換期，因此國小的代數教材主要的任務就是培養較
基礎、具體的先備概念，以為更高層次、更抽象之
代數概念作準備
教師的數學教學知識：代數課程的內容


Kieran and Bell 都指出代數課程應該包含算式及
代數式的簡化、通則化、數量結構、等式及文字題
等五個主題（Linchevski, 1995）。
研究指出：代數的先備知識包括算術的符號、運算
與定理，而代數所需的概念則包括變數、代數式、
等式、等號及等量公理。( Boulton-Lewis,
Cooper, Atweh, Pillay, Wilss, and Mutch，
1997）
究竟小學要教到哪裡？
教師的數學教學知識：乘除互逆的意思
所謂的「乘除互逆」性質是指乘法問題與除
法問題是可以互相轉換的
 在乘法問題或除法問題情境中

透過除法運算取消乘法問題
 透過乘法運算來取消除法問題

乘除互逆的例題與學生發展


「一包糖果有12 顆，老師買了一盒糖果，裡面有很多包，
全部拆開後，數一數共有84 顆，請問這盒糖果有幾包？」
此情境問題為「乘數（單位數）未知的乘法問題」，若引
入乘的分解紀錄「84＝12×（ ）」
來逆溯「分」的操作活動，反思「分」的結果，幫助學生
理解此問題，並將原問題轉換成「一盒糖果有84 顆， 12
顆裝成一包，可分裝成幾包？」之「商數未知的包含除問
題」，而以「84÷12＝（ ）」來進行解題，使學生能將「
部份－全體」之認知基模與解題策略加以連結，進而掌握
全體、單位量、單位數間的「部分－全體」關係，以提昇
學生的「乘除互逆」概念。
30g
?g
70g
30+( )=70
30+40=70
連結算式填充
題
30+40=70
30+40=70-30
40=40
將算式填充題變成文字符
號
Q+23=215
Q=215-23
=192
限定使用符號或文字，為
代數作準備
輔以圖示解題
=56
X8=56
=7
餅乾×20=320
餅乾=320÷20
=16
A:
÷25=5
=25×5
=125
回歸問題算式的寫法！
學生的解法要回歸乘法與
乘除互逆
÷
A:
840÷W=12
W=840÷12
W=40
長×寬=面積
30×寬=750
寬=750÷30
=25
人×排=450
人×18=450
人=450 ÷18
=25
您認為此時的教學是與整數的舊概
念連結，還是是使用等量公理來解？

等量公理在什麼時候引入？


一開始，還是先跟整數概念連結之後再引入？
等量公理引入時，其順序是等量加、減、乘
、除法公理嗎？
×7＜60
1 × 7=7
2 × 7=14
﹕
8 × 7=56
9 × 7=63
1.此時的解法是
嘗試錯誤法。
2.未知數已進入
變數
29×
＜200
:
29×6=174
29×7=203
錢×量＞60
口×7＞60
1×7=7
:
8×7=56
9×7=63
鳳梨酥×盒＞1000
45×口＞1000
45×1=45
數字大小要
:
由小到大。
45×22=990
45×23=1035
數字大小要
由小到大。
教學建議：等量公理

Osborne and Wilson (1992)也認為可以
用天平平衡的原理來加強等號的概念，他們
提出一個等號概念的教學策略，那就是教師
可藉由問同學天平是否保持平衡來強調等號
概念。

例如： 以天平圖示學生「5＋ 3 會等於9－ 1
嗎？ 」或者是「2×5 會等於3×4－ 2 嗎？」等
問題來強調等號兩邊相等的概念。
教學建議：等量公理
教學建議： a－ □ ＝ b

對「a－ □ ＝ b 」 中□ 的值，用□＝a－
b的方法，要如何指導？
教學建議： a ÷□ ＝ b

a÷ □ ＝ b 中□ 的值， □＝a÷b 的方法，
要如何指導？
教學現場的問題

以文字題的敘述來說明計算題中的未知數之值該如何
求出


例如78÷□＝6 這個計算題，是以「78 分做若干等分以後
，每一分是6，那麼是分成幾分呢？ 」的例子， 來導出□
＝ 78÷ 6 ＝13 這個式子
現行課程，多數教學生以逆運算來求出□的值，但對
於無法直接以逆算法求出□值的「a－□＝b」及「
a÷□＝b」這兩類問題，卻是用舉文字題來說明的方
式教學，造成概念學習上前後不連貫的問題。
注意一致性
謝謝聆聽