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高年級整數教材教法分析
~整數四則運算及解題~
林玉鴦
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簡報大綱
壹、小學中、高年級的整數教材
貳、整數應用題的教學策略
叁、小學四則運算簡便算法的教材
肆、整數四則運算的教學策略
伍、整數問題的解題教學策略
陸、結語
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壹、小學中、高年級的整數教材
三年級：3-n-01能認識10000以內的數及「千位」的位名，並進行
位值單位換算。
3-n-02能熟練加減直式計算（四位數以內，和＜10000，
含多重借位）。
3-n-03熟練三位數乘以一位數的直式計算，
並解決二位數乘以二位數的乘法問題。
3-n-04能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄
（包括有餘數的情況），並解決生活中的問題。
3-n-05能熟練三位數除以一位數的直式計算。
3-n-06能在具體情境中，解決兩步驟問題
（加、減與除，不含併式）。
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壹、小學中、高年級的整數教材
四年級：4-n-01透過位值概念，延伸整數的認識到大數
（含「億」、「兆」之位名），並作位值
單位的換算。
4-n-02能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。
4-n-03能在具體情境中，解決兩步驟問題，
並學習併式的記 法（包括連乘、連除、
乘除混合）。
4-n-04能作整數四則混合計算（兩步驟）。
五年級：5-n-01能在具體情境中，解決三步驟問題。
5-n-02能熟練整數四則混合計算。
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貳、整數應用題的教學策略
ㄧ、提升孩子讀題與解題能力
▲應用題老師應該如何提升孩子的讀題解題能力呢？
★作為數學教師，處理應用題時要注意甚麼？
在《香港教育學院小學教師進修課程小學數學課程與
教學》裏，指出下列各點：
• 考慮學生的已有知識。
• 引導學生了解題意。
• 引導學生解答問題。
• 提示學生解答應用題時必須注意的地方。
• 鼓勵學生用不同方法解答應用題。
• 鼓勵學生養成估計和驗算答案的習慣。
• 鼓勵學生自擬應用題。
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貳、整數應用題的教學策略
ㄧ、提升孩子讀題與解題能力
※應用題老師應該如何提升孩子的讀題解題能力呢？
★根據數學家波爾的經典著作《如何解題》中，指出
數學解難題中的四個步驟:
1.了解問題：
設法理解整個題目要求的是什麼，並正確理解題意。
如：「什麼是未知數？」、「什麼是已知數？」
及「有什麼已知條件？」；可以透過畫圖、
引入適當的符號，皆有助於瞭解問題，
千萬不可在瞭解題意之前就埋頭苦算。
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貳、整數應用題的教學策略
ㄧ、提升孩子讀題與解題能力
※應用題老師應該如何提升孩子的讀題解題能力呢？
2.擬定計畫：
逐漸形成或經過一連串的嘗試錯誤所激發的靈感，
所規劃的解題路徑。
如：「是否知道什麼相關題目？」、
「仔細看未知數。」、
「這裡有個以前解過的問題能否運用？」
及「是否使用了全部條件？」
可運用重述問題、一般化、特殊化、類比、
除去部分條件等方法，架構出解題計畫。
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貳、整數應用題的教學策略
ㄧ、提升孩子讀題與解題能力
※應用題老師應該如何提升孩子的讀題解題能力呢？
3.執行計畫：
穩紮穩打地執行擬定好的計畫，並「檢查每一個步驟」，
時時確保過程中沒有遺漏任何已知的條件及預定的計畫。
4.驗算與回顧：
回顧整個求解的過程可加深對數學知識的理解及培養解題能力。
如：「能否檢查這個論證？」、
「能否將其結果應用到其他問題上？」
及「把問題裡的抽象數學元素賦予具體的詮釋。」
如此加深對問題的印象，可大幅增進解題能力，
但這個步驟也是最多人容易輕忽的。
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貳、整數應用題的教學策略
二、加、減應用題
※應用題的指導：
(1)布題盡量從孩子的日常生活中取材〈可改編課本的題目〉。
(2)與孩子分析題意、從眾多文字中抽絲剝繭，
讓孩子掌握題目裡最關鍵的幾個數字所代表的意義。
(3)不要只教孩子用關鍵字來判斷加或減，容易造成誤判。
「例1」有甲、乙兩個數，甲數是12346，比乙數多5999，
乙數是多少？
「例2」成功國小有男生1327人，比女生少36人，
成功國小全校有多少學生？
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貳、整數應用題的教學策略
二、加、減應用題
※應用題的指導：
(4)尊重並鼓勵孩子多元的解題方式〈最好能窮盡各種解法〉
「例」小英原來存了2276元，買一本故事書用了99元，
媽媽又給她100元，小英現在有多少元？
(5)佈題的題型要多樣化：
加法：併加型、添加型、比較型、序列型。
減法：拿走型、比較型、序列型。
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貳、整數應用題的教學策略
三、乘、除應用題
◆乘、除應用題的指導
(1)和孩子分析題意、掌握題目中的基準量、比較量、母子和、
母子差。
▲以某數為基準，某數叫做「基準量」，又稱做「母數」。
另一個量叫做「比較量」，又稱做「子數」。
（通常應用問題「倍」或「幾分之幾」前面有一個「的」，
此「的」前面是基準量，當作1）。
「例」「甲數是乙數的4倍」，此題中乙數是基準量，
甲數是比較量。
▲母子和：母數和子數的和，叫做「母子和」。
「例」「甲數是乙數的4倍」，甲乙兩數的和就是母子和。
▲母子差：母數和子數的差，叫做「母子差」。
「例」「甲數是乙數的4倍」，甲乙兩數的差就是母子差。
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貳、整數應用題的教學策略
三、乘、除應用題
※基準量知道，要算比較量、母子和或母子差，
通常用「乘法」。
「例1」甲數是乙數的3倍，乙數是50，那麼甲數是多少？
3
1
〈知道基準量，求比較量〉
「例2」乙數是甲數的5倍，甲數是30，甲和乙共是多少？
5
1
〈知道基準量，求母子和〉
「例3」小蘭的存款是小文的6倍，小文的存款是150元，
小蘭和小文的存款相差多少元？
〈知道基準量，求母子差〉
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貳、整數應用題的教學策略
三、乘、除應用題
※知道比較量、母子和或母子差，要算基準量，
通常用「除法」。
「例1」一本故事書100元，已知一本故事書的價錢是
一枝鉛筆的5倍，一枝鉛筆多少元？
〈知道比較量，求基準量〉
「例2」甲數是乙數的3倍，已知甲、乙兩數的和是200，
那麼甲、乙兩數各是多少？
〈知道母子和，求母數和子數〉
「例3」甲數是乙數的3倍，已知甲、乙兩數相差是100，
那麼甲、乙兩數各是多少？
〈知道母子差，求母數和子數〉
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貳、整數的教學策略
三、乘、除應用題
(2)用圖解方式幫助孩子理解題意。
「例1」小文的錢是小英的4倍，已知小英有1200元，
小文有多少元？
「例2」小文的錢是小英的4倍，已知小文有1200元，
小英有多少元？
「例3」一條彩帶，做了5朵玫瑰花後，還剩下1公尺，
已知做1朵玫瑰花要用1公尺20公分，這條彩帶
原長多少公尺？
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貳、整數的教學策略
三、乘、除應用題
(3)除法中注意「裝滿」與「裝完」的區別
~商的答案是否加1。
「例1」米200公斤，每30公斤裝一袋，可以裝滿幾
袋？還剩下多少公斤？
「例2」米200公斤，每30公斤裝一袋，需要幾個袋子
才能裝完？最後一個袋子裝了幾公斤？
「例3」米200公斤，每30公斤裝一袋，需要幾個袋子
才能裝完？最後一個袋子還可以再裝幾公斤？
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叁、小學四則運算及簡化算法的教材
1-a-02能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，
並運用於簡化計算。
2-a-03能在具體情境中，認識乘法交換律。
4-a-01能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與
先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以
此兩數之積。
5-a-01能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，
並運用於簡化心算。 5-a-02能熟練運用四則運算
的性質，做整數四則混合計算
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肆、四則運算的教學策略
一、四則運算的規則
※四則混合計算的規則(利用逐次減項法)
1.由左而右計算：
一個算式裡，如果只有加減或只有乘除，
就由左而右，依照順序計算。
「例1」15－7＋3－6
「例2」120÷5×6×2
2.先乘除，後加減：
一個算式裡，如果有加減，也有乘除，
要先算乘除，最後再算加減。
「例1」13＋8×4－18÷9
「例2」100－56÷4×7
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肆、四則運算的教學策略
一、四則運算的規則
3.有括號，由括號先算：
（1）在四則混合計算的算式裡，如果有括號，
就要先算出括號裡的數。
（2）括號裡的數如果有加減，也有乘除，
則要先算乘除，最後再算加減。
「例1」15×（4＋6）－9
「例2」120＋（20＋5×2）÷5
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肆、四則運算的教學策略
二、認識交換律
※交換律：一個式子中，各數字的計算順序任意變
動，其計算結果都是一樣的。
★「交換律」只適用於連加法或連乘法的算式。
ㄅ＋ㄆ＋ㄇ
＝ㄅ＋ㄇ＋ㄆ
＝ㄆ＋ㄇ＋ㄅ
「例」799＋865 ＋201
＝799＋201＋865
＝1000＋865
＝1865
ㄅ×ㄆ×ㄇ
＝ㄅ×ㄇ×ㄆ
＝ㄆ×ㄇ×ㄅ
「例」125×78×8
＝125×8×78
＝1000×78
＝78000
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肆、四則運算的教學策略
三、認識結合律
※結合律：一個算式中，不論先算哪兩項，
其計算結果都是一樣的。
★「結合律」只適用於連加法或連乘法的算式。
ㄅ＋ㄆ＋ㄇ
ㄅ×ㄆ×ㄇ
＝〈ㄅ＋ㄆ〉＋ㄇ
＝〈ㄅ×ㄆ〉×ㄇ
＝ㄅ＋〈ㄆ＋ㄇ〉
＝ㄅ×〈ㄆ×ㄇ〉
「例」879＋64＋36
＝879＋〈64＋36〉
＝879＋100
＝979
「例」875 ×125×8
＝ 875×〈125×8 〉
＝ 875×1000
＝ 875000
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肆、四則運算的教學策略
四、認識乘法的分配律
※分配律：「乘法對加（減）法的分配律」是指乘法
可以分配到以加（減）法隔開的兩項上，
也就是先乘再加（減）與先加（減）再乘
的結果是一樣的。
★「分配律」只適用於乘法對加法或乘法對減法的算式。
「例1」56×37＋44×37
＝（56＋44）×37
＝100×37
＝3700
「例2」 25×（10－4）
＝25×10－25×4
＝250－100
＝150
※做四則計算時，若能善用交換律、結合律或分配律，
可以簡化計算，不但可以節省計算時間，
更能降低計算的錯誤率。
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肆、四則運算的教學策略
五、其他的簡便算法
1.連減法：被減數不可以換位置。
(1)可以先把減數相加後，再用被減數去減。
「例」875－49－125－151
＝875－（49＋125＋151）
＝875－325
＝550
(2)可以把減數任意對調。
「例」875－49－125－151
＝875－125－151－49
＝750－151－49
＝550
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肆、四則運算的教學策略
五、其他的簡便算法
2.連除法：被除數不可以換位置。
(1)可以先把除數相乘後，再用被除數去除。
「例」39000÷125÷8
＝39000÷（125×8）
＝39000÷1000
＝39
(2)可以把除數任意對調。
「例」4500÷25÷45÷10
＝45000÷45÷10÷25
＝1000÷10÷25
＝100÷25
＝4
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肆、四則運算的教學策略
五、其他的簡便算法
3.只有加減：第一個數不更動位置，先加後減或先減後
加，其結果是一樣的。
「例」163＋87－63
＝163－63＋87
＝100＋87
＝187
「例」163＋87－63
＝163＋（87－63）
＝163＋24
＝187
4.只有乘除：第一個數不更動位置，先乘後除或先除
後乘，其結果是一樣的。
「例」24×48÷6
＝24÷6×48
＝4×48
＝192
「例」24×48÷6
＝24×（48÷6）
＝24×8
＝192
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肆、四則運算的教學策略
五、其他的簡便算法
5、其他的簡便算法
(1)善用125×8＝1000及25×4＝100的事實來做簡化計算。
「例」125×75×8
「例」125×96
＝125×8×75
＝125×8×12 〈96＝8×12 〉
＝1000×75
＝1000×12
＝75000
＝12000
「例」25×89×4
「例」 25×96
＝25×4×89
＝25×4×24〈96＝4×24 〉
＝100×89
＝100×24
＝8900
＝2400
(2)其他：
「例」 9+99+999+9999＝10+100+1000+10000-4＝11106
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伍、整數問題的解題教學策略
一、平均問題
1.平均數的意義：
※把幾個同類量取多補少，使其一樣多，叫做「平均」。
「例1」小英有100元，小凱有200元，小凱給小英幾元後，
兩個人的錢就會一樣多？
「例2」110、111、112、113、114五數的平均數是多少？
(指導孩子用心算的方法)
2.平均數的算法：
(1)總和÷個數＝平均數。
(2)總和÷平均數＝個數。
(3)平均數×個數＝總和。
每個公式都要舉例說明，
讓孩子確實理解，不要死背
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伍、整數問題的解題教學策略
一、平均問題
3.平均數的試題類型：
「例1」子軒第一次月考各科成績如下表，子軒第一次月考的平均
分數是多少？
科目別
分數(分)
國語
數學
社會
自然
90
96
100
99
「例2」小傑數學平時考前四次的平均是88分，下一次要考幾分，
平均才能成為90分？
「例3」甲、乙、丙三數的平均是25，丁和戊兩數的平均是20，
那麼甲、乙、丙、丁和戊五數的平均數是多少？
「例4」小蘭第一次月考國語、社會、自然的平均分數是91.5分，
加上數學的平均分數是85分，小蘭數學考幾分？
27
伍、整數問題的解題教學策略
一、平均問題
3.平均數的試題類型：
「例5」貢丸每斤100元，蝦丸每斤120元，李媽媽到市場買了2斤
的貢丸和3斤蝦丸，混在一起後，平均1斤多少元？
「例6」甲、乙二數的平均是9，乙、丙二數的的和是24，甲、丙
二數的平均是13，甲、乙、丙三數各是多少？
「例7」小胖和4個同學一起去郊遊，車票共花了160元、餐費540
元、門票費300元，平均每人要分擔多少元？
「例8」有三個數分別是□32、□7、6□，這三個數的平均是214，
請填出這三個數□裡的數字。
28
伍、整數問題的解題教學策略
二、加權平均問題
※加權平均數：
★學生學期總平均成績是針對不同科目，每週上課的節數加重計分
所得到的平均數（因為不同科目每週上課的節數並不相同），
稱為「加權平均數」。
「例1」智傑第一次月考各科成績如下表，他第一次月考的
加權平均分數是多少？
科
目
國語
數學
社會
自然
分
數 (分)
80
76
88
95
每週上課節數
6
5
3
4
想想看，算加權平均數與一般的平均數(不算節數)，有何差別？
29
伍、整數問題的解題教學策略
二、加權平均問題
「例2」下面是小玉班上八八水災愛心捐款一覽表，平均每人捐
多少元？
捐款數(元) 20
人
數(人)
5
50
100
6
8
200
500
1000
4
4
3
「例3」小傑玩射飛鏢遊戲，射了三場的成績如下，小傑這三場
平均射一次得幾分？
場
次
一
二
三
次
數(次)
12
15
13
3
2
4
平均得分(分)
30
伍、整數問題的解題教學策略
三、雞兔問題
※解題策略：
1.用圖示表徵
2.用列表方式
3.列出算式
「例1」一個籠子裡雞和兔一共有6隻，牠們總共有20隻
腳，這個籠子裡的雞和兔各有幾隻？
「例2」一枝鉛筆15元，一枝原子筆20元，老師一共買了
12枝筆，總共花了200元，老師鉛筆和原子筆各
買了幾枝？
31
伍、整數問題的解題教學策略
三、雞兔問題
「例3」有88個輪胎，可以裝在六輪小貨車上，
也可以裝在四輪汽車上，昨天李伯伯裝
配了18輛車子，剛好把輪胎都用完，李
伯伯六輪貨車和四輪汽車各裝配幾輛？
「例4」三腳凳和四腳凳共有30張，凳子的腳數
一共是102隻， 三腳凳和四腳凳各有幾
張？
32
伍、整數問題的解題教學策略
四、速率問題
1.速率的意義：
單位時間（一秒、一分、一小時）內所移動的
距離，叫做「速率」。
2.「平均速率」的意義：
平均每單位時間所走的距離，叫做「平均速率」。
3.速率的基本公式：
距離÷時間＝速率。
33
伍、整數問題的解題教學策略
四、速率問題
4.速率、時間、距離的關係：
(1)距離÷時間＝速率
「例」佩陵3分鐘走210公尺，佩陵的平均分速是多少公尺？
(2)距離÷速率＝時間
「例」一輛汽車平均的時速是55公里，這輛汽車行駛165
公里，需要花幾小時？
(3)速率×時間＝距離
「例」火車的平均秒速是25公尺，這輛火車1小時30分鐘
一共行駛了幾公里？
留意題目中的已知條件是什麼？答案問什麼？
並特別注意已知條件的單位與答案的單位是否一樣？
34
伍、整數問題的解題教學策略
四、速率問題
※速率的基本題型：
「例1」有一枚人造衛星的秒速約7公里，飛行了2100
公里需要幾分鐘？
※這一題要敎孩子注意什麼資訊？
「例2」1小時10分鐘可以行駛70公里的卡車，以同樣
的速率，2小時可以行駛幾公里？
※這一題要敎孩子如何解題，比較容易算？
「例3」台灣高鐵行駛的時速約280公里。
(1)行駛2小時45分，一共行駛幾公里？
(2)行駛420公里需要幾時幾分？
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伍、整數問題的解題教學策略
四、速率問題
※速率的基本題型：
「例4」時速30公里的機車，從甲地到乙地花了1時15分，
從乙地回到甲地，如果改成分速0.6公里，回程需
要花幾分鐘？
※這一題要孩子先算出什麼？再算什麼？
「例5」聲音傳播的秒速約340公尺，小倩站在山上向著對
面的山壁大喊一聲，經過1.8秒後，聽到對面傳來
的回聲，小倩距離對面的山壁大約多少公尺？
※這一題要如何說明，孩子比較容易懂。
36
伍、整數問題的解題教學策略
五、全程平均速率問題
※全程的平均速率＝全程的距離÷全部所花的時間
「例1」小文參加登山健行活動，以每小時2.4公里的速度上山，
走了3小時後到達山頂，他下山還是走原路，卻只花了
2小時。
(1)小文下山的時速是多少公里？
(2)這次登山健行活動，小文的全程平均時速是多少公里？
「例2」小麗的爸爸以時速60公里的速率，從家裡開了2小時的車到
達阿姨家，回程走原來的路卻花了3小時。
(1)小麗的爸爸回程的時速是幾公里？
(2)小麗的爸爸來回全程的平均時速是幾公里？
37
伍、整數問題的解題教學策略
六、相遇問題
※解題策略：實作(請學生實際演出)或用圖示表徵
一、兩人同時相向而行，相遇的問題：
距離÷（兩人速率的和）＝相遇所需的時間。
「例」小芬和小伶相距2520公尺，小芬的分速是75
公尺，小伶的分速是65公尺，兩人同時相向
而行，幾分鐘以後會相會？
38
伍、整數問題的解題教學策略
六、相遇問題
二、兩人同時相背而行的問題：
兩人速率的和×時間＝兩人的距離。
距離÷（兩人速率的和）＝相遇所需的時間。
「例1」小凱和小傑兩人同時從甲地朝相反方向行走，
小凱的分速是65公尺，小傑的分速是55公尺，
1小時後，兩人相距多少公尺？
「例2」純蕙的秒速1.2公尺，思涵的秒速1.8公尺，兩人
沿著一個周長360公尺的圓形池塘，同時同地朝
著相反方向出發，幾分鐘後，兩人會相遇？
39
伍、整數問題的解題教學策略
七、追趕問題
※解題策略：實作(請學生實際演出)或用圖示表徵或用圖表
距離÷（兩人速率的差）＝追到所需的時間。
「例1」小明和小威兩人從學校出發，小明走路的分速是80公尺，
小威走路的分速是60公尺，小威出發3分鐘後，小明才出發。
(1)小明需要幾分鐘後，才能追上小威？
(2)當小明追上小威時，小威已經走了多少分鐘？
(3)小明需要走幾公尺後，才能追上小威？
「例2」小婷每個月存120元，小惠每個月存80元，小惠先存了半年後，
小婷才開始存，小婷存了幾個月後，兩人的存款會一樣多？
40
伍、整數問題的解題教學策略
八、流水問題
※流水問題包含順流和逆流兩種
1.順流速率＝船速＋水流速率
2.逆流速率＝船速－水流速率
「例1」勝利號遊艇航行的時速是45公里，水流
的時速是5公里，如果甲、乙兩地相距
200公里，從甲地順流或逆流航行到乙地
各需要花幾小時？
41
伍、整數問題的解題教學策略
八、流水問題
「例2」興隆號漁船時速32公里，在一條水流時速3公里
的海上，從甲地順流航行到乙地花了5小時，
甲、乙兩地相距幾公里？
「例3」寶發號漁船航行的時速是25公里，它從甲地逆流
到乙地，一共花了4.5小時，已知甲乙兩地相距
99公里，那麼這條河的流速每小時是幾公里？
「例4」在一條水流時速2公里的海上，自由號遊艇順流
而下，花了10小時，航行了220公里，自由號遊
艇航行的時速是幾公里？
42
陸、結語
※五年級能力指標5-n-02能熟練整數四則混合計算。
這是小學對於整數四則混合計算的總結項目。
★教學策略：
1.指導孩子確實熟悉四則混合的運算規則。
2.指導孩子善用交換律、結合律、
乘法對加(減)法的分配律或其他的簡便算法，
做簡化計算，不但可以節省計算的時間，
更能降低計算的錯誤率。
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陸、結語
※有關平均問題、雞兔問題、速率問題、追趕問題、
流水問題……應用題的教學策略：
1.確實讀題，分析、理解題意並掌握已知條件(知道題
目上每個數字所代表的意義)，題目要求的答案是什
麼。再冷靜思考，擬定解題策略，並希望孩子能思
考答案的合理性。
2.建議老師們能透過圖示、列表或實作的方式，
讓孩子真正理解公式的緣由，不要只要求孩子死背
公式。
3.鼓勵孩子能嘗試各種不同的解題策略。
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恭請賜教
祝大家教學愉快
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