Transcript 北师大版八（上）1.1 探索勾股定理(课件）

八年级数学（上册）• 新世纪版
探索勾股定理
情境引入
俄国伟大的文学家列夫·托尔斯泰在他所著的《一个人需要很多土地吗？》
中写了一个发人深思的故事：一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地，卖地
的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”
巴河姆觉得这个条件对自己有利，于是他付了1000卢布，太阳刚刚从地平线
升起就在草原上大步向前走去，他走了足足 8俄里（1俄里＝1.0668千米）这
时才朝左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，
他发现天色不早，而自己离清晨出发点足足还有17俄里，于是他只得马上改
变方向，径直朝出发点拼命跑去，最后巴河姆总算在日落前回到了出发点。
2
你知道巴河姆这一天一共
走了多少路？他能得到的
土地面积是多少？
17
8
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
C
A
9 个单位面积。
B
C
图1-1
正方形B的面积是
9 个单位面积。
A
正方形C的面积是
B
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到上面的结
果的？与同伴交流交流。
（2）
1
2
3
A
•
• •
•••
••
•
•
• •
•C • •
••••
•••
• •
•
正方形周边上
的格点数a=12
正方形内部的
格点数b=13
B
C
图1-1
A
所以，正方形C的
面积为：
1
12  13  1  18
2
B
图1-2
（单位面积）
1
利用皮克公式 S  a  b  1
2
返回
C
S正方形c
A
B
C
图1-1
A
B
图1-2
1
 4   3  3  18
2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分割成若干个直角边
为整数的三角形
返回
C
S正方形c
A
B
C
图1-1
A
B
1
  62
2
 18（单位面积）
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的
正方形面积的一半
返回
（2）在图1-2中，正
方形A，B，C中各含
有多少个小方格？它
们的面积各是多少？
C
A
B
C
图1-1
A
B
图1-2
（3）你能发现图1-1
中三个正方形A，B，
C的面积之间有什么
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
（3）
做一做
你是怎样得
到表中的结
果的？与同
伴交流交流。
C
A
B
（1）观察图
1-3、图1-4，
并填写右表：
C
A
图1-3
B
图1-4
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-3
图1-4
16
9
25
4
9
13
S正方形c
1
 4  4 3 1
2
 25
（面积单位）
C
A
B
图1-3
C
A
B
图1-4
分割成若干个直角边为
整数的三角形
（2）三个
正方形A，
B，C的面
积之间有什
么关系？
SA+SB=SC
C
A
B
图1-3
C
A
B
图1-4
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
议一议
（1）你能用三
角形的边长表示
正方形的面积吗？
（2）你能发现
C
A
B
C
A
直角三角形三边
图1-3
长度之间存在什
B
么关系吗？与同
图1-4
伴进行交流。
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一
个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
c
2
2
2
a
a b  c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达
哥拉斯定理耶！
勾
弦
股
想
一
想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘
米）的电视机。小明量了电视机的屏
幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘
米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29
英寸或74厘米的电视
机，是指其荧屏对角
线的长度
∵
58  46  5480
2
2
74  5476
2
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
小结
说说这节课你有什么收获？
内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；利用勾
股定理解决实际问题。
方法总结：①数方格看图找关系，利用面积不变的方法；
②用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归纳发现勾股定理—
—任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。
延伸拓展
1、情境引入中的“围地”问题。
2、如图，一艘船在A处要到达小岛B处，但AB之间有暗礁，
为了行船安全，船先向正西方向行驶了400海里，再向正南
方向行驶了300海里便到达了小岛B，请你计算A与B之间的
直线距离是多少？
3、高速公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小集镇，
DA⊥AB与A，CB⊥AB与B,已知DA＝15km，CB＝10km，现
在要在公路AB边上建设一个土特产收购站E，使得C、D两镇
到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
A
B
A
D
E
B
C
作业
一、P6
习题1.1
第1、2、3、4题
二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
c
b
我国数学家华罗庚曾经建议，要
探知其他星球上有没有“人”，我
们可以发射下面的图形，如果他们
是“文明人”，必定认识这种“语
言”，
勾股定理
A
勾股定理：
直角三角形中，两直角
边a、b的平方和等于斜
边c的平方
即
a
2 +
b
2 =
c
2
c
b
C
a
B
在中国古代大约是战国时期西
汉的数学著作《周髀算经》中记录
着商高同周公的一段对话。商高说：
“…故折矩，勾广三，股修四，经
隅五。”商高这段话的意思就是说：
当直角三角形的两条直角边分别为3
（短边）和4（长边）时，径隅（就
是弦）则为5。以后人们就简单地把
这个事实说成“勾三股四弦五”。
故称之为“勾股定理”或“商高定
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid，
是公元前三百年左右的人）在编著《几
何原本》时，认为这个定理是毕达哥达
斯最早发现的，所以他就把这个定理称
为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开
了。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希
腊数学家，他是公元前五世纪的人，比
商高晚出生五百多年
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定
理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛
祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
公元1945年，人们惊奇
地发现了一份古巴比伦人的
数学手稿，据考证，其年代
远在商高和毕达哥拉斯之前，
大致在公元前18世纪。手稿
中难以令人置信地列出了15
组勾股数，如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
勾股数
119、120、169
3367、3456、
4825
4601、4800、
6649
12709、13500、
18541
65、72、97
319、360、481
2291、2700、
序号
9
10
11
12
13
14
15
勾股数
481、600、769
4961、6480、
8161
45、60、75
1679、2400、
2929
161、240、289
1771、2700、
3229
56、90、106
这些数，即使在今天也远不是
人人都很熟悉，天晓得古巴比伦人
当时是怎样弄到这些数的！如果考
古学家坚信自己没有弄错历史年代
的话，那么上面的史实表明：在世
界的其他地方还不知道3、4、5的关
系的时期，古巴比伦人就已经有了
一个相当灿烂的文化。这无疑给人
类早期的文明史，又增添了一个千
古之迷！
怎样寻找勾股数：
1、牢记几组常用的勾股数
2、利用公式来推导
2
2
X=m -n
y=2mn
2
2
z=m +n
(m、n是任意两个正整数，且m＞n)
学生作品
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