第一章 模糊集合 模糊集的基本概念 模糊集的运算 模糊算子 模糊集的截集 分解定理 模糊集的模糊度 隶属函数确定方法 1.1 模糊集的基本概念 • • • • 模糊概念 模糊集定义 模糊集的表示法 模糊集举例 模糊概念 普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集 AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝 不允许模棱两可 子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划 1, C A (u) 0, u A u A 特征函数CA (u)
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 2
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 3
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 4
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 5
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 6
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 7
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 8
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 11
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 12
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 13
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 19
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 20
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 21
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 22
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 23
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 26
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 27
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 28
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 29
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 30
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 31
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 32
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 33
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 35
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 36
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 37
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 38
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 39
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 41
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 42
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 43
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 44
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 45
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 46
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 47
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 48
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 2
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 3
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 4
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 5
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 6
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 7
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 12
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 13
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 21
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 22
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 23
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 27
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 28
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 29
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 30
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 31
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 32
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 33
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 36
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 37
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 38
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 39
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 41
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 42
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 43
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 44
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 45
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 46
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 47
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
Slide 48
第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2
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第一章 模糊集合
模糊集的基本概念
模糊集的运算
模糊算子
模糊集的截集
分解定理
模糊集的模糊度
隶属函数确定方法
1.1 模糊集的基本概念
•
•
•
•
模糊概念
模糊集定义
模糊集的表示法
模糊集举例
模糊概念
普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，xA与xA , 二者必居其一且仅居其一，绝
不允许模棱两可
子集A由特征函数来CA(u) ：U{0，1}刻划
1,
C A (u)
0,
u A
u A
特征函数CA (u) 仅取两个值，在表达概念方面有其
局限性，只能表达非此即彼的现象，不能表达存
在于现实中的亦此亦彼的现象
例1 设X表示全体人组成的集合，“男人” 的
集合,“女人”的集合分别是X 的普通子集。
设H={高个子的人}， Y={年轻人}，O={老年人}。
H， Y，O不再是普通子集。
例2 设X={全体实数}，A={所有大于1的实数}
A是X 的普通子集。
设B={比1大得多的实数}，B不再是X 的普通子集。
原因：“年轻”与“年老”之间，是否“比1大得多”之
不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的
连续过渡过程。
例3 秃头悖论：任何人都是秃头。
公设：若具有n根头发的人是秃头,则有n+1根
头发的人亦是秃头。
证 由数学归纳法:
(1)仅有一根头发的人自然是秃头。
(2)假设有n根头发的人是秃头。
(3)由公设便知有n+1根头发的人也是秃头。
由数学归纳法知任何人都是秃头。
悖论出现的原因：
数学归纳法是以普通集合论为基础的数学方法，
而“秃头”是个模糊概念，用一个精确的数学方法来
处理这样的模糊概念是不合适的。
模糊集定义
定义1 设在论域U上给定一个映射
A ： U [ 0，1 ]
u A(u )
则称A为U上的模糊子集，A (u)称为A的隶属函数（
或称为u对A的隶属度）。模糊子集简称模糊集合。
对模糊集A ，若A (u)仅取0和1，则A就蜕化为普通
集合。所以普通集合是模糊集的特殊情形。
若A (u)0 ，则A为空集。
若A (u)1 ，则A为全集U。
论域U上的模糊集A由隶属函数来A (u)表征，
A (u)的大小反映了u对于模糊子集的从属程度。
模糊子集完全由隶属函数来描述。
定义2 设U是论域，记U上的模糊集的全集为F (U),
F ( U ) A A ： U [0,1]
即
称F (U)为U上的模糊幂集。F (U)是一个普通集合,
且 P (U)F (U)
模糊集表示法
模糊集合有以下的表示法：
(1)序偶表示法：
A {( u , A ( u ) ) u U }
(2)Zadeh表示法：若 U 是有限集或可数集，可表示为
A
A(ui ) / ui
若 U 是无限不可数集，可表示为
A
A(u ) / u
(3)模糊向量法：
A ( A ( u 1 ), A ( u 2 ), , A ( u n ))
模糊集举例
例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则
AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
u
1
A(u) 0
2
3
4
5
6
0.2
0.8
1
0.8
0.2
则A可用不同方式表示如下：
(1)序偶法：
A {( 1 , 0 ), ( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
或舍弃隶属度为0的项,记为
A {( 2 , 0 . 2 ), ( 3 , 0 . 8 ), ( 4 , 1 ), ( 5 , 0 . 8 ), ( 6 , 0 . 2 )}
(2)Zadeh法：
A
0
0 .2
1
0 .2
2
(3) 向量法：
0 .8
2
3
0 .8
3
1
4
1
4
0 .8
5
0 .8
5
0 .2
6
0 .2
6
A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
例5 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，
则AF (R) ，它的隶属函数是
k ( x4)
e
A( x )
0
参数
0, k
2
| x - 4 |
| x - 4 |
，参见图1.1。
图1.1
例6 以人的年龄为论域U=[0,100],则“年老”和“年轻”
可表示为U上的模糊集A和B, 隶属函数分别为：
0
A(u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u)
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
图1.2 “年轻”、“年老”隶属度曲线
B(26)=0.962, B(30)=0.5, B(35)=0.2, B(40)=0.1, B(45) ≈ 0.06,
A(55)=0.5, A(51)=0.038, A(60)=0.67, A(65)=0.9, A(70) ≈0.94
例7 设X是所有人的集合，
“height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
对不同的人有不同的含义。
下图给出了普通人和篮球队员身高的两个模糊集合 。
图1.3 “height”＝｛ tall men、medium men、short men｝
(a) 普通人的隶属函数 (b)篮球队员的隶属函数
1.2 模糊集的运算
• 模糊集的包含和相等关系
• 模糊集的并、交、补运算
• 模糊集运算的基本性质
模糊子集的包含和相等关系
定义1 设A、BF (U), 若uU, A (u)≤ B (u), 则称B包
含A，记为AB
如果AB且BA ,则称A与B相等. 记作A=B .
包含关系“”是模糊幂集F (U)上的二元关系，具
有如下性质：
(1)自反性： AF (U), AA
(2)反对称性： AB, BA, 则A=B
(3)传递性： 若AB, BC,则AC
因此,（F (U), ）是偏序集。
模糊子集的并、交、补运算
定义2 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，AC称为A的补集，也称为余集。
它们的隶属函数分别为：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) max( A ( u ), B ( u ))
( A B )( u ) A ( u ) B ( u ) min( A ( u ), B ( u ))
A (u ) 1 A(u )
c
任给A(u)=a [0,1], B(u)=b [0,1],由于0≤ab ≤1
0≤a b≤1, 0≤1-a ≤1 ，故对A、BF (U), 有
AB、 AB ， AC F (U).
图1.4 模糊集的包含、并、交、补运算
• 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A
0 .2
0 .7
u1
u2
1
u3
0 .5
,B
0 .5
u5
0 .3
u1
u2
0 .1
u4
求AB、 AB ， AC
A(u1)B(u1)
解：
A
B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u2
u1
0.5
u1
0.7
u2
1
u3
u3
0.1
u4
0.7
u5
u4
u5
0 .7
u5
B
A
0.2 0.5
u1
A(u1)B(u1)
0.2
A
1 0 .2
0.3
u1
0
u2
u3
0
u2
0
u3
u4
0.5
u4
0.2
u1
1 0
u3
1
u5
0.3
0 .5
u2
0.5
隶属度为零的
项省略
u5
1 0 .5
u4
u5
0.5 0.7
u4
u5
11
u2
0 .3
0 0.1
u3
1 0 .7
u1
0 .8
1 0
u2
u1
c
0.7 0.3
1-A(u5)
u5
0 .8
u1
0 .3
u2
1
u4
0 .5
u5
一般地，模糊集A与B的并、交和补运算，按论域U为
有限和无限分为两种情况：
(1)设有限论域U={u1, u2,…,un},且模糊集
n
A
n
A (u i )
,
ui
i 1
则
B
n
B
ui
A (u i ) B (u i )
ui
i 1
A
c
n
1 A (u i )
i 1
ui
ui
A (u i ) B (u i )
i 1
A
i 1
n
A
B
B (u i )
(2)设无限论域U，且模糊集
A
则
A (u )
u U
,
u
A B
A B
u U
A
u U
u U
c
B
u U
B (u )
u
A (u ) B (u )
u
A (u ) B (u )
u
1 A (u )
u
• 例2 设模糊集A和B分别表示“年老”和“年
轻”，隶属函数分别为：
0
A (u )
u - 50 2 1
) ]
[1 (
5
1
B (u )
u - 25 2 1
) ]
[1 (
5
求AB、 AB ， AC
0 u 50
50 u 100
0 u 25
25 u 100
• 解: 令u*为曲线A (u)与B (u)的交点坐标。
A (u ) B (u )
B
A
u
u U
1
[1 (
B
25 u u
u -50
u U
*
u u 100
*
1 A (u )
u
2 1
[1 (
) ]
5
u
50 u u
A
u
[1 (
c
*
[1 (
) ]
A (u ) B (u )
u U
2 1
5
u
u
0 u 25
A
u -25
0 u 50
*
u u 100
1
u
1 [1 (
50 u 100
u -25
2 1
) ]
5
u
u -50
5
u
2 1
) ]
u -50
5
u
2 1
) ]
• 例3 设论域X为实数域，xX为正实数，且
0≤x≤1。考虑X上的两个模糊集A=“x远远大于0.5”
和B=“大约等于0.707”。A和B的隶属函数定义为：
0 x 0 .5
0
A( x)
1
[1 ( x 0 . 5 ) 2 ]
B ( x)
0 .5 x 1
1
[1 ( x 0 . 707 ) ]
4
， 0 x 1
观察图1.5(d),由于点x=0.5属于B和BC 的隶属度不
同，因此模糊集的互补律运算不成立。
图1.5
• 定义3 设At F (U), tT, T为指标集, 对uU规定：
At ( u ) sup At ( u )
At )( u )
(
t T
(
t T
t T
t T
At )( u ) At ( u ) inf At ( u )
t T
t T
称 tT At 为 A t tT 的并集，
t T
A t 为 At
t T
的交集。
例4 一组无限多个模糊集合Ai定义如下，Ai ( x ) 1 1
i 1
i是自然数，
Ai )( x ) su p Ai ( x )
(
i
i
1
sup (1 i 1 ) 1
i
sup代表最小上界,与最大值不同。
模糊集运算的基本性质
• 定理 模糊集下的并、交、补具有如下性质：
• (1) 幂等律：AA=A, AA=A
• (2) 交换律： AB= BA，AB= BA
• (3) 结合律： (AB)C = A( B C )
(AB)C = A (B C)
(4) 吸收律: (AB) A = A, (AB) A = A
(5) 分配律: A(B C) = (AB) (A C)
A (B C) = (AB) (A C)
(6) 零壹律 A=A, A=, AU=U, AU=A;
• (7) 复原律 (AC)C=A
• (8) 对偶律 (AB)C=ACBC, (AB)C= ACBC
证明：
(A
B ) (u ) 1 ( A
c
B )( u )
1 ( A ( u ) B ( u ))
(1 A ( u )) (1 B ( u ))
(A
c
c
B )( u )
模糊集运算的基本性质
• 模糊集上的补运算不满足互补律，其原因是模糊集
没有明确的边界。
AAC≠ A和AC交叠，
但AF (U),
A (u) AC(u) ≤1/2
AAC≠U A AC不一定完全覆盖U,
但AF (U),
A (u) AC(u) ≥ 1/2
例5 设U=[0,1]，A(u)=u, 则AC(u)=1-u ，
1 u
c
( A A )( u )
u
特别是
u
2
u
1
2
u
c
( A A )( u )
1-u
1
1
u
1
2
u
1
2
1
1
( A A )( ) ( A A )( )
2
2
2
c
c
1.3 模糊算子
• T范数和S范数
• 模糊算子
T范数和S范数
• 定义1 映射 T:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律：
（2）结合律：
T ( a , b ) T (b , a )
T (T ( a , b ), c ) T ( a , T ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2 ,则T ( a 1 , b1 ) T ( a 2 , b 2 )
（4）边界条件： T (1, a ) a
则称为t-三角模，也称为T范数。
• 定义2 映射 S:[0,1]2[0,1]，如果对
a,b,c[0,1]，满足条件：
（1）交换律： S ( a , b ) S ( b , a )
（2）结合律：
S ( S ( a , b ), c ) S ( a , S ( b , c ))
（3）单调性：若 a 1
a 2 , b1 b 2,则 S ( a , b ) S ( a , b )
1
1
2
2
（4）边界条件：S ( a , 0) a
则称为s－三角模，也称为S范数(T余范）。
T范数和S范数统称为三角算子。
• 例1 设T是T范数算子，证明：a,b,[0,1]，
•
S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
证:(1) S ( b , a ) 1 T (1 b ,1 a ) S ( a , b )
(2) S ( S ( a , b ), c ) 1 T (1 S ( a , b ),1 c )
1 T (1 (1 T (1 a ,1 b )),1 c )
1 T (T (1 a ,1 b ),1 c )
1 T (1 a , T (1 b ,1 c ))
1 T (1 a ,1 S ( b , c )) S ( a , S ( b , c ))
(3)若 a 1 a 2 , b1 b 2 ，则
S ( a1 , b1 ) 1 T (1 a1 ,1 b1 )
1 T (1 a 2 ,1 b2 ) S ( a 2 , b 2 )
(4)
S ( a , 0 ) 1 T (1 a ,1) 1 (1 a ) a
所以， S(a,b)= 1－T(1－a,1－b)是S范数。
记数“余”运算为aC=1－a，0≤a≤1, 则
T C(ac,bc)=1－[1-T(1－a,1－b)]= S(a,b)
故
SC (a,b)=T (aC,bC)
TC (a,b)=S (aC,bC)
• 定理
• 性质1
(1)
(2)
三角范算子T和S是对偶算子。
设T是T范数，则a,b,[0,1] ，有
0 T (a, b) a b
T ( a ,0 ) 0
证 由T范数的单调性和交换性，a,b,[0,1]
有
0 T ( a , b ) T ( a ,1) T (1, a ) a ,
0 T ( a , b ) T (1, b ) T ( b ,1) b
0 T (a, b) a b
,上式中若令b=0则得
故 0 T ( a , 0) 0 即 T ( a , 0 ) 0
• 性质2
设S是S范数，则a,b,[0,1]，有
(1)
a b S (a, b) 1
(2)
S ( a ,1) 1
推论
(1)
T (0, 0) 0,
T (1, 1) 1
(2)
S (0, 0) 0,
S (1, 1) 1
模糊算子
• 定义3 设A,BF (U), 对uU, 规定：
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
( A B )( u ) A ( u ) B ( u )
*
式中*, *是[0,1]中的二元运算，简称为模糊
算子。 令a=A(u), b=B(u), 常用算子如下:
(1) Zadeh 算子: ,
a b max( a , b )
a b min( a , b )
(2)最大乘积算子、.
a b max( a , b )
a b ab
.
(3)代数算子： 、.
a b a b ab
a b ab
(4)有界算子： 、⊙
a b min( a b ,1)
a ⊙ b max( 0 , a b 1)
(5)强烈算子：
a
a b b
1
b 0
a
a 0
a b b
0
a, b 0
.
(6)Einstein算子:
ab
a b 1 ab
ab
a b
1 (1 a )( 1 b )
b 1
a 1
a, b 1
.
(7) Hamacher算子：
a b
a ˆ b (1 ) ab
a b
(1 )( 1 ab )
ab
(1 )( a ˆ b )
(8) Yager算子： Y v Y
v
1
a Y v b min( 1, ( a b ) v )
v
v
1
a Y v b 1 min( 1, [( 1 a ) (1 b ) ] v )
v
v
Zadeh算子、代数算子、有界算子和强烈算子下的
并与交运算 如图1.6
四种模糊算子
图1.6 四种算子下的并与交运算
四种算子下的并、交运算之间的关系：
A B A⊙ B A B A B
A B A B A B A B X
图1.7
T
图1.7 T范数：(a) Zadeh取小,(b)代数积,(c)有界积,(d)强烈积
S
图1.8 S范数：(a) Zadeh取大,(b)代数和,(c)有界和,(d)强烈和
模糊算子
• 算子*中的( · )(⊙ )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“与”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
有 A (u ) B (u ) A (u ) B (u ) A (u ) B (u )
.
⊙
*
• 算子 中的( )( )( )运算，各以不同程度表示逻
辑上的“或”运算，当A,B中有一个是普通集合时，
A (u ) . B (u ) A (u )
B (u ) A (u ) B (u )
有 .
“·和 ”, “⊙ 和”都满足交换律，结合律，零
壹律和对偶律，但都不满足幂等律，吸收律和分配
课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 } , 模糊集
A (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A
B, A
B , (A
B)
C
, A c.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
A
B
0.9
0.8
1
0.6
0.7
0.8
0.9
0.9
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0.8
0.9
0.8
0.9
0.9
0.9
0.7
0.8
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
u8
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
x 1 , x [1 , 2 ]
A( x ) 3 x , x [2, 3]
0,
其它
x 2, x [2, 3]
B ( x ) 4 x , x [3, 4]
0,
其它
5. 设论域R(实数域)， x R
A( x ) e
求：A
B，A
x 1
2
B
2
B ( x) e
x2
2
，A c，并作图。
2