Transcript 1.4 模糊集的截集   截集定义 截集的性质 截集定义  定义1 设AF (U),  [0,1], 分别定义 A  {u u U , A(u)  } A  {u u  U.

1.4 模糊集的截集


截集定义
截集的性质
截集定义

定义1 设AF (U),  [0,1], 分别定义
A  {u u U , A(u)  }
A  {u u  U , A(u )  }

则称A为A的一个—截集，称 A为A的一个—强

截集。 称为阈值（或置信水平）。
A是一个普通集。对uU,
当A (u)≥时，就说 u  A ，意即在水平下，
u属于模糊集A，
当 A (u)< 时，就说u  A ，意即在水平下，
u不属于模糊集A。
模糊集的截集
A
图1.9 A的截集
截集的性质
• 性质1 设A，B F (U), 对 [0,1], 则
( A  B)   A  B , ( A  B)   A  B
证 (A
B)  {u ( A
B)(u )  }
 {u A(u)  B(u)  }
 {u A(u )  或B(u )  }
 {u A(u)  } {u B(u)  }  A
(A
B
B)  {u ( A B)(u)  }  {u A(u)  B(u)  }
 {u A(u)  } {u B(u)  }  A
B
• 对于F (U)中的有限个模糊集，此结论仍然成立。
n
n
n
n
t 1
t 1
t 1
t 1
(  At )    ( At )  , (  At )    ( At ) 
• 但是，对于无限多个模糊集，等号未必成立。
• 性质2 若{At| tT } F (U) ，T为指标集，则
tT
tT
( At )  (
( At )  (
tT
tT
At ) ,
At )
• 证
若 u   ( At )  则存在 t0T 使 u  ( At ) 
0
tT
于是 At0 (u )   ，即 sup At (u )   ，故
tT
u  (  At ) 
tT
第二式
u (
tT
At )   At (u )  
tT
 At (u )   , t  T
 u  ( At ) , t  T
 u
tT
( At )
1
1
• 例2 令 An (u )  (1  ) uU，则
2
n

1
(  An )(u ) 
,于是
n 1
2
但是 ( An ) 0.5   , n  1
因此


n 1
n 1

(  An ) 0.5  U
n 1

,从而  ( An ) 0.5  
n 1
 ( An ) 0.5  (  An ) 0.5
说明性质2中的包含关系一般不能换为等式。
 ( At )   (  At ) 
tT
tT
• 性质3 设1 , 2 [0,1], A F (U ) ，若 1  2 ，
•
则
A1  A2
证 对 u  A ，有 A(u)  2  A(u)  2  1
2
所以 u  A1 ，即 A1  A2

性质4 设 t  T , t  [0,1] ，则 A(  t )   At
tT
证
tT
u  A(  t )  A(u )   t
tT
tT
 t  T , A(u )  t
 t  T , u  At  u 
tT
At
• 关于 —强截集也有相应的四个性质，证明方法与
前面类似。
性质1＇设A，B F (U), 对 [0,1], 则
( A  B)   A  B , ( A  B)   A  B






性质2＇设{At| tT } F (U) ，则
 ( At )   (  At )  ,
tT

tT

 ( At )   (  At ) 
tT

tT

性质3 ＇设 1, 2 [0,1]，A F (U), 且 12 ，则
A 1  A2


• 性质4 ＇设 tT ,  t[0,1], 则
A(  t )   At
tT 
tT
c
c
c
c
• 性质5 ( A )   ( A1 ) , ( A )   ( A1 )
• 证 仅证第二式


u  ( Ac )  Ac (u )    1  A(u)  

 A(u )  1  
 u  A1  u  ( A1 )c
一般地
( A c )   ( A ) c

0.5 0.7
,试按

• 例3 设 U  {a, b}, A 
a
b
( A ) c 和 ( A c ) 
解 当=0.6时， A0.6  {b}
0 .5 0 .3

又因为 A 
a
b
C
  0.6 求出
于是得 ( A0.6 ) c  {a}
c
(
A
) 0 .6  
故
因此 ( A c ) 0.6  ( A0.6 ) c
特殊的截集：
（1）取 = 0，则A0=U，但 A0 不一定等于U；
（2）取 =1 ，则 A  ，但A1不一定等于。
1
• 定义2 设AF (U),
(1) 称 A0 为A的支撑集，记作SuppA, 即
SuppA={ u|uU, A(u)>0}
(2) A的核记为KerA: KerA={u|uU, A(u)=1}
(3) 若KerA ，则称A为正规模糊集。
支撑集与核的性质：
(1) Supp  = Ker= ， Supp U = KerU= U;
(2) Supp (SuppA)= SuppA, Ker (KerA)= KerA;
(3) AB=  SuppA  SuppB = 
图1.10 模糊集A的SuppA,KerA
• 证明: (3) AB=  uU, A(u)B(u)=0
 uU, A(u)=0或B(u)=0
 uU, uSuppA或
uSuppB
 uU, uSuppA  SuppB
 SuppA  SuppB = 
 关于1/2截集的几何意义
设AF (U), U={u1,u2,…,un},则由截集的定义
A1/2={ui|A(ui)1/2} P (U), Kaufmann指出：
A1/2是距离“模糊信息”最近的“非模糊信息”
它是P (U)中的一个元素，而当A={0.5,0.5,…0.5,}
时，A与P (U)中每个点都是等距离的。易证:
对AF (U), 有 (AAC)1/2=U, (AAC)1/2=
并且还有对uU
| (AAC)(u)U(u)|=|1  max{A(u),1  A(u)}|
=|min{A(u),1  A(u)}|
=| (AAC)(u) |
=| (AAC)(u)   (u) |
即AAC与U的距离等于AAC与的距离。
u2
U={u1,u2}
{u2}
A

0.5
{u1}
图1.11 A1/2的几何意义
u1
1.5 分解定理
• 定义1 设[0,1], AF (U), 定义
(A)(u )    A(u )
称A为与A的数积。显然A F (U).
• 当A为普通集时，( A)(u)    CA (u)
A仍为模糊集，因而A称为数乘模糊集。
 性质1 若   ，则 A A;
1
2
1
2
• 性质2 若AB, 则 A  B。
• 定理1(分解定理I) 设 AF (U),则
A   (A )
[ 0 ,1]
证 因为A是普通集合，且其特征函数
1 A(u )  
C A (u )  
0 A(u )  
于是，对 uU 有
(
[0,1]
 A )(u )   (  CA (u))

[0,1]
 max(  (  CA (u)),  (  CA (u)))
  A( u )
A( u )  
 max(  (  1),  (  0))
  A( u )
A( u )  
 max(   ,  0)
  A(u )
A(u )
 max(A(u ),0)  A(u )
即
A   (A )
[ 0 ,1]
模糊集A的隶属函数
 u  A
(A )(u)  
0 u  A
• 分解定理反映了模糊集与普通集的相互转化关系
• 例1 设模糊集
0.5 0.6 1 0.7 0.3
A




u1
u 2 u3 u 4
u5
• 取截集得
A1  {u 3 }
A0.7  {u 3 , u 4 }
A0.6  {u 2 , u 3 , u 4 }
A0.5  {u1 , u 2 , u 3 , u 4 }
A0.3  {u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 }
• 将截集写成模糊集的形式，再由数乘模糊集定义，
有
1
1A1 
u3
0.7 A0.7
0.7 0 .7


u3
u4
0.6 A0.6
0.6 0.6 0. 6



u2
u3
u4
0.5 A0.5 
0.3 A0.3
0.6A0.6=0.6A(u)
0.5 0.5 0.5 0.5



u1
u2
u3 u 4
0.3 0.3 0.3 0.3 0.3





u1 u 2 u 3 u 4 u 5
• 应用分解定理Ⅰ构成原来的模糊集
A   A  1A1  0.7 A0.7  0.6 A0.6  0.5 A0.5  0.3 A0.3
[ 0 ,1]
1  0.7 0.7   0.6 0.6 0.6 
  
 

 



u3  u3
u4   u2
u3
u4 
 0.5 0.5 0.5 0.5   0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 

  








u 3 u 4   u1 u 2 u 3 u 4 u 5 
 u1 u 2
0.3  0.5 0.3  0.5  0.6 0.3  0.5  0.6  0.7  1



u1
u2
u3
0.3  0.5  0.6  0.7 0.3


u4
u5

0.5 0.6 1 0.7 0.3

 

u1
u 2 u3 u 4
u5
分解定理
图1.12 分解定理示意图
• 推论1 已知模糊集A的各截集为A , [0,1], 则
uU ，有
A(u)  sup{ u  A }
例2 设 U={u1,u2, u3, u4,u5},
{u1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 }
{u , u , u , u }
 1 2 3 5
A  {u1 , u 3 , u 5 }
{u , u }
 1 3
{ u 3 }
试求出模糊集A.
0    0. 2
0.2    0.5
0.5    0.6
0.6    0.7
0.7    1
• 解 由于含有元素u1的一切A中，最大的值为0.7，
所以，A(u1)= 0.7,
• 含有元素u2的一切A中，最大的值为0.5，所以,
A(u2)=0.5, 类似可得,
A(u3)=1, A(u4)=0.2, A(u5)=0.6,
所以，模糊集 A可表示为
0.7 0.5 1 0.2 0.6
A




u1
u 2 u3 u 4
u5
• 例3 设论域 U=[0,5], AF (U), 且[0,1]，

[0, 5]


A  [3 , 5]


(3, 5]
• 求A(x).
 0
2
0 
3
2
  1
3
• 解 按推论A(x)=max{| xA}.
当 0≤x≤5 时,
A( x)     0
 0
x
当x=3时, 即0<x2时, A( x)    
x
3

3
当 2<x5 时,
2
A( x)    
2
3
0  
3
当3<x5时，
A( x)     1
2
  1
3
于是
0
x

3
A( x)  
2
3
1

x0
0 x2
2 x3
3 x5
• 定理2(分解定理II)设 AF (U), 则
A   A
[ 0,1]

• 推论2 uU ， A(u )  sup{ u  A }

• 例4 设 U={u1,u2, u3, u4,u5},模糊集的强截集为
(1,1,1,1,1)
(1, 0,1,1,1)

A 

(1, 0,1,1, 0)
(0, 0,1, 0, 0)
求出模糊集A.
0    0.2
0.2    0.5
0.5    0.7
0.7    1
解 根据 A(u )  sup{ u  A } 并注意到 A 是按模糊集


的形式给出, 不难知道，在含u1的一切 A中, 没有

最大值(因为A(u1)> ), 上确界是0.7, 所以, A(u1)=0.7.
类似可得：
A(u 2 )  0.2, A(u3 )  1, A(u 4 )  0.7, A(u5 )  0.5
所以
0.7 0.2 1 0.7 0.5
A




u1
u 2 u3 u 4
u5
定理3 (分解定理III) 设A∈F (U) ，若存在集合值映射
H：
[0,1]  F (U )
  H ( )
使得   [0,1]
A  H ( )  A ，则

(1) A   H ( )
[ 0 ,1]
(2) 1   2  H (1 )  H ( 2 )
(3) A   H ( ),   0
 
A    H ( ),   1

 
1.6 模糊集的模糊度

定义1 若映射 d: F (U)  [0,1]
满足条件:
(1) 当且仅当AP (U)时, d(A)=0;
(2) uU, 当且仅当A(u)1/2时, d(A)=1;
(3) uU, 当B(u)A(u)  1/2时, d(B)  d(A);
(4) AF (U), d(A)=d(AC).
称映射d为F (U)上的一个模糊度, d(A)称为模糊
集A的模糊度.
定义1给出了关于模糊度的4条公理，它们所反映
的现实是

条件(1)表明普通集是清晰的。

条件(2),(3)表明，越靠近0.5就越模糊，尤其是当
A(u)1/2时, 最模糊。此时AC(u)=1A(u)=0.5 ,这种
模棱两可的情况最难决策。

条件(4)表明模糊集A与其补集AC具有同等的模糊
度，因为 | A(u )0.5| =| AC(u) 0.5 |, 即 A(u )与
AC(u)与0.5的距离相等。


当论域为有限时，模糊度有下面的一般形式。
定理 设 U={u1,u2,…,un}, 且映射
d: F (U)  [0,1]
n
为 AF (U),d ( A)  g[ f ( A(u i ))]
i 1
n
其中，g:[0,a]  [0,1] 严格增加且g (0)  0, a  
而 f :[0,1] [0,]满足条件：
(1)x[0,1], f (x)=f (1x);
(2) f (0)=0;
(3) f (x)在[0,1/2]上严格增加;
则d(A)是A在F (U)上的模糊度。
i 1
1
f( )
2



若g是线性的，即若g(x)=kx(k>0), 则有A,BF (U),
d(AB)+d(AB)=d(A)+d(B).
例1 设 U={u1,u2,…,un},  AF (U), 有
f ( A(ui )) | A(ui )  A1 (ui ) | p
( p  0)
2
n
2
d p ( A) 
1
n
p
( | A(ui )  A1 (ui ) | p )
i 1
1
p
( p  0)
2
则dp(A)是A的模糊度。
1
x p
证 根据定理和本题条件，应有 g ( x)  2( )
n
显然它满足定理条件，下面考虑函数 f (x)
对于模糊集A的1/2截集 A1 有
2
1

1
A
(
u
)

i

2
A1 (u i )  
2
0 A(u )  1
i

2
• 为简单起见，记x=A(ui), 于是，x[0,1], 有
即
1

p
x
| x  1 |
2
f ( x)  
| x  0 | p x  1

2
1 1
f ( x)  (  |  x |) p
2 2
显然
1 1
1 1
p
（1） f (1  x)  (  |  (1  x) |)  (  |  x |) p  f ( x)
2 2
2 2
（2） f (0)  ( 1  | 1  0 |) p  0
2
2
（3） x1, x2[0,1/2], 当 x1<x2,时，
1 1
p
p
p
f ( x1 )  (  |  x1 |)  x1  x 2  f ( x 2 )
2 2
可见，f (x)满足定理的三个条件，故dp(A)是模糊
集A的模糊度。
• 常见的有以下三种模糊度：
• (1) 海明(Haming)模糊度：当p=1时，记为
2 n
d1 ( A)   | A(u i )  A1 (u i ) |
2
n i 1
• (2) 欧几里得(Euclid)模糊度：当p=2时, 记为
d 2 ( A) 
2
n
1
2
n
( | A(u i )  A1 (u i ) | 2 )
i 1
1
2
2
• (3) 明可夫斯基(Minkowski)模糊度：记为
n
2
d p ( A) 
1
n
p
( | A(u i )  A1 (ui ) | p )
i 1
2
1
p
• 验证海明模糊度d1(A)满足4条公理
 (1)当AP(U)时, uiU , A(ui)=A1/2(ui), 即
uiA uiA1/2, 于是d1(A)=0
 (2) 若uiU ，有A(ui)=1/2，则A1/2=U, 从而

uiU ， A1/2(ui)=1，于是
2 n
2 n 1 2 n
d1 ( A)   | A(ui )  A1 (ui ) |   
1
2
n i 1
n i 1 2 n 2

(3)若uiU , B(ui)A(ui) < ½, 则B1/2=A1/2=, 即
 uiU, B1/2(ui)=A1/2(ui)=0, 于是
2 n
2 n
d1 ( B)   | B(ui ) |   | A(ui ) |  d1 ( A)
n i 1
n i 1
若uiU , B(ui)A(ui) = ½, 则| A(ui)A1/2(ui)|=1/2,
于是 当B(ui) = 1/2时,
| B(ui)B1/2(ui)|= 1/2=| A(ui)A1/2(ui)|
当B(ui) <1/2 时,
| B(ui)B1/2(ui)|= |B(ui)|< 1/2=| A(ui)A1/2(ui)|
总有 d(B)  d(A)
• (4) 由于uiU ,
| A(ui)A1/2(ui)|=
1  A(ui ), ui  A1/ 2  A(ui )  1/ 2  AC (ui )  1/ 2  ui  A1/C2

C
C
A
(
u
),
u

A

A
(
u
)

1/
2

A
(
u
)

1/
2

u

A
i
i
1/ 2
i
i
i
1/ 2

 AC (ui ), ui  A1/C2
C
C


|
A
(
u
)

A
i
1/ 2 (ui ) |
C
 1  A (ui )
故d1(A)=d1(AC)
• 例2 给定模糊集
0 . 8 0 . 9 0 . 1 0 .8
A



a
b
c
d
0 .3 0 0 . 3 0
B
 

a b
c
d
计算它们的海明模糊度和欧几里得模糊度。
解 因为
1 1 0 1
0 0 0 0
A1     , B1    
a b c d
a b c d
2
2
2
(| 0.8  1|  | 0.9  1|  | 0.1  0 |  | 0.8  1|)  0.3
4
2
d1 ( B)  (| 0.3  0 |  | 0  0 |  | 0.3  0 |  | 0  0 |)  0.3
4
1
2
d 2 ( A) 
[(0.8  1) 2  (0.9  1) 2  (0.1  0) 2  (0.8  1) 2 ] 2  0.316
4
d1 ( A) 
1
2
2
2
2
2 2
d 2 ( B) 
[(0.3  0)  (0  0)  (0.3  0)  (0  0) ]  0.425
4
按海明模糊度计算，模糊集A与B的模糊度一样，而按欧
几里得模糊度计算d2(A)<d2(B)。d1采用线性运算虽然方便，
但不能区分A与B的模糊度的大小，说明误差较大,d2采用
非线性运算，虽然较前者麻烦，但比较准确。
• 例3 设 U={u1,u2,…,un}, S (x)为熵农函数
 x ln x  (1  x) ln( 1  x)
S ( x)  
0

• 则
1 n
H ( A) 
S ( A(u i ))

n ln 2 i 1
x  (0,1)
x  1或x  0
是模糊集A的模糊度。
证 只须验证定理中的三个条件对 S (x)成立即可。
条件(1) S (x)= S (1x)显然成立,
条件(2) S (0)=0显然成立.
只需验证条件(3)。
由S (x)是(0,1)上的连续函数，并且当 x(0,1/2) 时，
1 x
S ( x)   ln x  ln( 1  x)  ln
0
x
因此， S (x)在[0，1/2]上严格增加，条件(3)成
立。从而，H(A)是A的模糊度，常称之为模糊熵。
注： 熵本是热力学的一个概念，原意是热量可
转变为功的程度。统计物理学重新给与解释：
 熵是描述分子无规则运动的一种度量。在信息论
中，引用它作为剩余信息量大小的一种度量，模
糊集用它作为模糊程度的度量。

课后练习
1.取论域U={1,2,…,9,10}，用模糊集A表示“小的
数”，而用模糊集B表示“接近10”，试写出U上
的模糊集A和B的表达式。
2. 设论域 U  {u1 , u2 , u3 , u4 , u5} , 模糊集
A  (0.5, 0.1, 0,1, 0.8)
B  (0.1, 0.4, 0.9, 0.7, 0.2)
C  (0.8, 0.2,1, 0.4, 0.3)
计算 A B, A B , ( A B) C , Ac.
• 3.设一足球队某些队员论域: U={u1,u2,…,u8},有模
糊子集“高”(A )和“体能好”(B )，其中，
0.9 0.8 1 0.6 0.7 0.8 0.9 0.9
A

 




u1 u2 u3 u4
u5 u6 u7
u8
0.8 0.9 0.8 0.9 0.9 0.9 0.7 0.8
B







u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8
• 则(1) AB, AB和AC有什么意义？
•
(2) 计算AB,AB和AC
• 4. 设A、B为论域X上的模糊集，它们的隶属函数
如下。试计算AB、AB、BC。
 x  1, x  [1, 2]

A( x )   3  x , x  [2, 3]
 0,
其它

 x  2, x  [2, 3]

B( x)   4  x, x  [3, 4]
 0,
其它

5. 设论域R(实数域)，x  R
A( x)  e
 x 1 


 2 
2
B( x)  e
 x2 


 2 
2
求：A B，A B ，Ac，并作图。
6. 模糊集 A  x
e
 x2
x
，求截集：A1 ，A1 和 A0 .
e
0.2 0.8 1
x

{
a
,
b
,
c
,
d
}
，模糊集 A 
7. 论域


a
b c
c
(
A
) .
A
A
求 ，  和
8. 设U=[0,10 ]为论域，对  [0,1]，若模糊集A的
λ-截集分别为：
[0,10]

[3,10]

A  
[5 ,10]

[5,10]

 0
3
0 
5
3
  1
5
 1
求出: (1)隶属函数A(x),x∈[0,10];
(2) Supp A ；（3）Ker A
0.1 0.3 0.7 0.8 0.5




9. 设模糊集 A 
a
b
c
d
e
计算Haming模糊度d1 (A)和欧几里得模糊度d2 (A).