Transcript 托勒密定理

托勒密定理
AC  BD  AB CD  BC  AD
(兩條對角線乘積=兩雙對邊乘積之和)
餘
弦
定
理
和
差
角
公
式
商
高
定
理
某些時候
半徑趨近
Euler定理

推廣
托勒密定理
任意凸四邊形
當圓內接四邊形為矩形時
AC  BD  AB CD  BC  AD
b b  c c  a a
(商高定
理)
當圓內接四邊形為等腰梯形時
AC  BD  AB CD  BC  AD
b b  c c  a d
 B E  F C  c  cos B 


  d  a  2 c  cos B

所以，
b b
即
 c  c  a   a  2 c co s B 
b  c  a  2 a c co s B
2
2
2
(餘弦定理)
有一邊為直徑(=1)時
AC  BD  AB CD  BC  AD
1  sin    
  co s 
 sin   sin   co s 
(正弦和角公式)
有一邊為直徑(=1)時
AC  BD  AB CD  BC  AD
sin   co s   co s   sin   1  sin    
sin    
  sin 
 cos   cos   sin 
(正弦差角公式)

推廣的托勒密定理
設ABCD為平面上任意凸四邊形，則
AC  BD  AB CD  AD  BC
，當ABCD四點共圓等號成立
u v  a c  b d  2 abcd cos   B   D 
2
2
2
2
2
2
 a c  b d  2 abcd cos   A   C 
2
2
2
2
Euler定理
設A，B，C，D為直線上按序的四點，則
AC  BD  AB CD  BC  AD
【證明】
延伸至三倍角公式
AC  BD  AB  CD  BC  AD
sin(180  2 )  sin(180  2 )  sin 3  sin   sin   sin 
sin 2  sin 2  sin 3  sin   sin   sin 
4 sin   cos   sin 3  sin   sin   sin 
2
2
約 分 sin 得
4 sin   cos   sin 3  sin 
2


4 sin   1- sin   sin 3  sin 
故
2
sin 3 = 3 sin  -4 sin 
3
報告完畢
謝謝聆聽！