Transcript 1-5 有效數字

CHAPTER
01
物理量及單位
大綱
圖片
1-1 物理學的內涵
1-2 物理量的觀念
1-3 國際單位系統
1-4 因次分析
1-5 有效數字
1-6 數量級
1-7 長度及其單位
1-8 質量及其單位
1-9 時間及其單位
表格
CHAPTER
01
物理量及單位
大綱
圖片
圖1-4
圖1-11
圖1-5
圖1-12
圖1-6
圖1-13
圖1-7
圖1-14
圖1-8
圖1-15
圖1-10
圖1-16
表格
CHAPTER
01
物理量及單位
大綱
表1-1
表1-2
表1-3
表1-4
圖片
表格
1-1 物理學的內涵
（一）牛頓集前人研究成果之大成，建立了力學的基
本理論體系，包括著名的牛頓三大運動定律及萬
有引力定律。在牛頓完成力學系統後將近二百年
之間，熱力學、聲學、電磁學、光學等各門學問
也都漸趨發展成熟，很多的宏觀現象得到了合理
的解釋，對十九世紀的工業技術和應用科學也產
生了極大的推動作用，在這一階段內完成的各物
理部門，一般稱為古典物理學。
P. 4
（二）在十九世紀末和二十世紀初這段期間內陸續出
現了很多不能用古典物理理論來解釋的實驗結
果，例如X射線、天然放射性、黑體輻射、光
電效應等，因此促使物理學家們重新檢討物理
學的最基本觀念，也因而發展出相對論和量子
力學這兩個近代物理學的基石，成功的解釋有
關電子、原子和分子的現象，使物理學的領域
大幅地擴張。
P. 5
（三）古典物理理論是建立在如行星運行等宏觀現象
的觀察，而近代物理的研究領域則延伸到原子
與分子的微觀世界，所以兩者的基本觀念有所
差異。
P. 6
1-2 物理量的觀念
（一）人的感官常有錯覺，而且每個人的感覺也不一
樣，所以定性的描述常產生模糊不清的印象與
不一定正確的結論。如圖1-4所示，當兩手分
別放入熱水和冷水中後，再一起放入溫水中，
則一手覺得水冷，而另一手覺得水熱，這是觸
覺的錯覺。
P. 7
P. 8
（二）要將自然現象的物理性特定量化，必定先要利
用儀器來進行測量（或稱量度），測量是學習
物理的基礎，測量的結果必須包括含數字和單
位兩部分，例如身高165公分，溫度25ºC等。
物理現象中可以用數字和單位來表示的觀念稱
為物理量，例如長度、質量、時間、速度、溫
度、力電流等。每一種物理量一定要有一套明
確的敘述來說明如何測量它，此種嚴格的定義
稱為操作型定義。
P. 9
（三）物理量的種類非常繁多，但彼此之間有些是有互相
關聯的，例如速度是長度除以時間，再如電流可以
產生磁場，磁性現象的各種物理量與電性也有關聯，
因此，科學家們選定了長度、質量、時間、電流、
溫度、物量、光度等七種物理量，並且制定出它們
的標準，此七種物理量稱為基本量。
（四）其它的物理量則可用這些基本量來定義，稱為導出
量，如面積、速度、力、電量等物理量都可利用基
本量之間的數學關係式來表示。
P. 10
1-3 國際單位系統
（一）國際單位系統(Intetnationa System of Units)，
或稱SI單位制，又稱公制單位系統，在此單位系統
中，將物理量的單位分為：
(1)基本單位：指前述之七種基本量的單位，表1-1
為其名稱和符號。
(2)輔助單位：指幾何學中平面角和立體角的度量
單位，表1-2為其名稱和符號。
P. 11
(3)導出單位：指導出量的單位，它可由基本單位組
合而成，例如速度的單位（如公尺/秒），可由長
度和時間二種基本單位來組成；力的單位（如牛
頓，即公斤·公尺/秒2），則須再加入質量的基本
單位來組成，表1-3為一些常見的導出單位。
P. 12
P. 13
P. 14
（二）在力學中，所有的物理量都可用長度、質量、
時間三種基本量來表示，由於基本單位的選用不同，
常使用的單位制可分成三種：
(1)SI制：長度以公尺(m)，質量以公斤(kg)，時間以
秒(s)表示，SI制早期的名稱為MKS制。
(2)CGS制：長度以公分(cm)，質量以公克(g)，時間
以秒表示，CGS與MKS均為公制單位系統，兩者
換算十分方便。
(3)FPS制：此為英制單位系統，長度以呎(foot)，質
量以磅(pound)，時間以秒為單位。
P. 15
例題一
如圖1-5所示為一子彈列車，其速率可達504公里/
時，若改以公尺/秒表示，試求其值為何？
P. 16
解
1公里＝1000公尺，1時＝60分＝3600秒
公里
1000公尺
504
 504 
 140公尺 / 秒
時
3600秒
P. 17
例題二
在CGS制中水的密度為1g/cm3，若換算為SI制的單
位kg/m3，求其值為何？
解
1kg＝103g，1g＝1/103kg＝10-3kg，
1m＝102cm，1cm＝10-2m
3
g
10 kg
3
3
1 3  1 2 3  10 kg/m
cm
(10 m)
P. 18
1-4 因次分析
（一）用以說明每個物理量與基本量之間的關係式，
稱為因次。長度、質量、時間為力學中的三個
基本量，其因次符號常分別以L、M、T來表示，
力學中各種物理量的因次皆可用此三種因次的
組合來表示。
P. 19
（二）欲表示一個物理量的因次時，可將其置於一中括弧
內：
(1)面積A為長度乘以長度，所以面積之因次為
[A]＝L2
(2)速度v為長度除以時間，故其因次為
[v ]＝L／T＝LT -1
(3)加速度a定義為速度的變化量除以時間，得其因次為
[a]＝ LT -1 ／T ＝LT - 2
(4)力F (＝ma)為質量與加速度的乘積，而加速度的因次
如上式所示，故其因次為
[F ]＝MLT - 2
P. 20
（三）相同性質的物理量具有相同的因次，因此須具
有相同因次的物理量才能相加減，否則沒有意義，
例如速度加長度並不合理。
例如在等加速度運動中的位移公式為
s＝v0 t＋(1/2) at2
(1-1)
上式中左邊位移s的因次為[s]=L，右邊兩項的因次
分別為
[v0t]＝(LT -1)(T)＝L
及 [at2]=(LT -2)(T2)=L
在(1-1)中的1/2為無因次的常數，所以(1-1)式中之每
一項的因次皆為L，符合因次相同的要求。
P. 21
例題三
試利用因次分析的方法，找出單擺的週期T與擺長L、重
力加速度g、和擺錘質量m之間的關係式為何？
解
設T與L、g和m的關係式為
T＝k L a g b m c
(1)
上式中k為無因次的比例常數，a、b、c為未知數，週
期T的因次為[T]=T，擺長為[L]=L，重力加速度為
[g]=LT -2，擺錘質量為[m]=M，將這些因次代入(1)式
中，得
T＝La(LT -2)bM c = L a+b T -2b M c
P. 22
由於上程式等號兩邊的因次必須相等，可得
a＋b＝0
－2b＝1
c=0
解上面的聯立方式可得，a=1/2，b=－1/2, c=0，因此
(1)式之單擺的週期公式可寫為
T＝k L1/2 g -1/2 = k
L
g
(2)
應用因次分析無法得悉比例常數k的真正數值，但可
得知週期T與擺錘質量m無關。
P. 23
1-5 有效數字
一個完整測量值的數字部分，是由一組準確的數字和一位
估計的數字所組成。
(1)準確數字是指記錄到測量儀器上最小刻度單位的數字。
(2)估計數字則指最小刻度單位的下一位，亦即讀取數據時，
須記錄到最小刻度的下一位。
(3)如圖1-6所示之直尺，其最小刻度為1公分，圖中筆長度之
測量值為13.6公分，其中1和3是由直尺上直接讀出來，這
是準確的，而最後一位數字6是由估計得來的，此估計值
常因人而異，並不一定準確，因此任何測量值必定含有因
估計而產生的誤差。
P. 24
P. 25
(4)無論是準確數字或估計數字都是有意義的，這些
有根據的數字稱為有效數字，所以13.6公分的有
效數字為三位。有效數字的位數為
有效位數＝一組準確數字的位數＋一位估計數字
(5)對同一事物進行測量時，當其儀器的最小刻度愈
小時，其測量值的有效數字之位數就愈多，準確
度也愈高。
P. 26
（一）有效數字的判斷
關於有效數字的判斷須遵守下列一些法則：
(1)所有非零數字均為有效數字，如：123.456（六位）。
(2)有兩非零數字間的零為有效數字，如：8605.004（七
位）。
(3)純小數中，非零數字前之零不計，但非零數字後之零
需要計，如：0.0123（四位）。
(4)帶小數，非零數字後面的零要計，如：12.300（五
位）。
(5)整數末端的零如果為有效，則需在最後的一個零上加
一橫槓。如：5670 0 00（五位）。
P. 27
（二）有效數字的運算
例題四
考慮有效數字的運算法，三支桿子的長度分別為5.24公
分、12.302公分、100.4公分，當其首尾相接成一直線時，
其長度為何？
解：在框內的數字為估計數字
P. 28
測量值中，除準確數字外，只保留一位估計數字，
所以其和應記為117.9公分。
P. 29
例題五
考慮測量的準確程度，求長為21.14公分，寬為2.3公分
之長方形的面積為何？
解
四捨五入後，此面積應記為49平方公分。一般而言，
考慮有效數字之乘或除中，其積或商之有效數字的位
數與原運算數值中最少位有效數字者相等。
P. 30
有些數字如果不是由量度而來，則其有效數字不能
加以限定。例如2.64平方公分的2倍應為2.64×2=5.28
平方公分，不能記為5平方公分。
P. 31
（三）科學記號
科學記號的一般式為a × 10b，其中1≦a＜10，而b為整數。
科學記號除了能簡化數字的表示外，亦能明確指出其有
效位數，如地球半徑6,370,000公尺的有效位數並不確定，
當表示為6.37×106公尺時，則可明確顯出其有效數字為三
位，若表示為6.4×106公尺時，則其有效數字為二位。
P. 32
（四）十的乘冪字首縮冪符號
為了簡便，在單位的前方有時加上符號以代表10的
乘方，如表1-4所示，以下列舉數例說明：
P. 33
費米
P. 34
(1)台灣核能三廠一號機的裝置容量為951×106W（瓦
特），可表示為951MW（百萬瓦），其中M(mega)
代表百萬(106)。
(2)地球平均半徑6370×103m，可寫為6370km（公里或仟
米），其中k(kilo)代表仟(103)。
(3)手指寬度1.7×10-2m，可寫為1.7cm（公分或厘米），
其中c(centi)表示百分之一(10-2)。
(4)螞蟻身長3.2×10-3m，可寫成3.2mm（公厘或毫米），
其中第一個m(milli)表示千分之一(10-3)，第二個m表
示單位米(meter)。
P. 35
1-6
數量級
（一）有些物理量，常以10若干次乘方來表示其近似
值，稱為數量級。
（二）一般是以相鄰的兩個數量級之幾何平均值作為
分界點，10x與10x+1的幾何平均值是
(1-2)
P. 36
(1)大於或等於3.16×10x的數，其數量級定為10 x+1。
(2)小於3.16×10x的數，其數量級則為10 x。
(3)例如，地球至太陽的平均距離1.49 ×1011公尺的數
量級為1011公尺。
(4)電子質量9.11×10-31公斤的數量級是10- 30公斤。
(5)質子質量1.67×10-27公斤的數量級為10- 27公斤。
P. 37
1-7
長度及其單位
（一）長度標準是由法國科學院1792年所定，1公尺
的原始定義為通過巴黎的子午線由北極到赤道
之長度的一千萬分之一，如圖1-10所示。
P. 38
（二）1889年法國才根據此原始定義製造一支鉑銥合
金棒，規定在0℃時棒兩端的兩條微細刻線間的
距離為1公尺，如圖1-11所示。
P. 39
（三）1960年將1公尺改定義為氪86(86kr)原子在放電管中
所發出之橘紅色光之波長的1,650,763.73倍。
（四）光在真空中的速度c恆為定值，即
c=299,792,458公尺/秒
(1-3)
1983年以光在真空中於299,792,458分之一秒內所走
的長度為1公尺。
（五）長度單位與公尺的關係式為
1km=103m
1cm=10-2m
1nm=10-9m
1Å=10-10m
1mm=10-3m
(1-4)
P. 40
1-8 質量及其單位
（一）在SI單位制中，質量的基本單位是公斤，亦稱
為仟克(kg)，此質量標準是以1公升的純水在一
大氣壓和4℃時的質量來定的。
（二）1889年改用一個由鉑銥合金所製造之圓柱型公
斤原器的質量定義為1公斤。
P. 41
P. 42
（三）質量單位與公斤的換算關係為
1t=103kg
1g=10- 3kg
1mg=10- 3g=10- 6kg
P. 43
1-9
時間及其單位
（一）地球自轉時，太陽連續兩次正對某子午線所經歷的
時間稱為1太陽日，連續兩次月圓所隔的時間稱為1
月，地球繞太陽公轉一週所經歷的時間稱為1年。
（二）太陽日的長短常隨季節而變化，因此後來科學家們
取一年內各太陽日的平均值作為時間單位，稱為平
均太陽日。
（三）SI制中的時間單位，就是取平均太陽日的86400分
之一定義為1秒。
P. 44
P. 45
（四）1976年重新定義1秒為：銫133(133Cs)原子在
基態的兩個超精細能階之間作躍遷時所放出之
電磁波週期的9,192,631,770倍的時間。
P. 46
（五）閃光攝影術
(1)在研究快速變化的過程時，如鳥類翅膀的振動，
可使用閃光攝影術，其原理是將照相機放在暗室
內，將快門打開，以連續的高速閃光照射在被攝
物上，每閃光一次，底片上就形成一個影像，經
過多次閃光後，在同一張底片上就留下一連串的
影像，再以每秒閃光的次數，可算出相鄰影像所
經歷的時間。
(2)在圖1-15中，如果閃光燈每秒閃光100次，則相鄰
兩個高爾夫球棒影像的移動時間為1/100秒。
P. 47
P. 48
(六)曠時攝影術
(1)在研究緩慢變化的過程時，例如花朵的開放，如
果以攝影機對準被攝物，每隔一小時或二小時拍
攝一張，經過一星期或一個月後，再以每秒24張
的正常速率放映，則可在很短的時間內看出其完
整的變化過程，這種慢拍快放的方法稱為曠時攝
影術。
P. 49
(2)反之，我們在電視上或電影上，看到球賽、體操、
賽跑等精彩劃面時，常以慢動作播映，則是快拍
慢放的應用，其基本原理是在拍攝時快速地攝影，
再以正常速率放映所得的效果，例如在1秒內的動
作過程拍攝了72張影像，而以每秒24張的速率放
映，則需要3秒才能映完，因此可欣賞到比原來慢
3倍的慢動作。
P. 50
例題六
在研究某植物的成長過程時，以攝影機每隔5分鐘拍攝一
張相片，然後以每秒放映24張的速率，在4分鐘內映完
其成長過程，試求此植物實際的成長過程為若干日？
解：每秒放映24張，4分鐘內放映的總張數為
（24張／秒）×（60秒 × 4）=5760張
拍攝張數等於放映張數5760張，而每隔5分鐘拍攝一
張，因此拍攝的總時間為
5分×5760=28800分=20日
故植物實際成長時間為20日。
P. 51
（七）放射性物質
(1)放射性元素的原子核向外發射帶電的粒子和能量時，
本身會改變為另一種元素，此現象稱為原子核蛻變，
而放射性元素的質量衰減為原來質量的一半所需的時
間稱該元素的半衰期。
(2)經過一個半衰期t＝T 時，剩餘質量變為原來質量的二
分之一；經過二個半衰期t ＝2T 時，剩餘質量變為原
來質量的四分之一，依此類推，我們可以得到經過t時
間後，剩餘質量m與原來質量m 0的關係式可表示為
m
1
( )
m0
2
t
T
(1-6)
P. 52
(3)圖1-16為放射性區域的警示標誌。
P. 53
例題七
14C的的半衰期為5770年，今有14C的質量48克，求需經
多久時間後14C僅剩3克？
解：由
m
3
1
1 4
1

 ( ) ( )
m0 48 16 2
2
t
T
得 t=4T=4 × 5770年=23080年
P. 54