Transcript Document

CHAPTER
06
功與能
大綱
圖片
6-1 功的概念
6-2 變力所作的功
6-3 功率
6-4 能
6-5 動能
6-6 位能
6-7 能量守恆原理及其應用
CHAPTER
06
功與能
大綱
圖片
圖6-1
圖6-13
圖6-23
圖6-2
圖6-14
圖6-24
圖6-3
圖6-15
圖6-25
圖6-4
圖6-16
圖6-26
圖6-5
圖6-17
圖6-27
圖6-6
圖6-18
圖6-28
圖6-7
圖6-19
圖6-8
圖6-20
圖6-10
圖6-21
圖6-12
圖6-22
6-1 功的概念
（一）功的定義如下：當物體受外力作用的期間，產生


了位移，將此施力 F 沿位移方向上的分量和位移 s 的
乘積，稱為功，以符號W表示，則
功＝（施力在位移方向上的分量）×（位移的大小）
或
W＝(F cosθ)s＝Fs cosθ
(6-1)
上式中θ表示力與位移之方向的夾角。以向量的形式，可
將(6-1)
 
W  F s
(6-2)
P. 3
P. 4
（二）力對物體作功，可為正功，亦可為負功。當力與
位移的夾角θ的范圍為0˚≦θ＜90˚時，亦即施力在位移
方向上的分力與位移方向相同時，力對物體作正功。當
夾角θ的范圍為90˚＜θ≦180˚時，亦即施力在位移方向
上的分力與位移方向相反時，力對物體作負功。
P. 5
（三）功的單位可由力的單位和位移的單位導出
1焦耳＝1牛頓•公尺
1耳格＝1達因•公分
1焦耳＝107耳格
(6-3)
在原子尺度中，功有一個較小的單位是電子伏特
(eV)，其與焦耳的大小關係為
1電子伏特＝1.60×10－19焦耳
(6-4)
P. 6
P. 7
例題一
如圖6-3(a)所示，斜面與平面均無摩擦力，其中實線
斜面長為5米高為3米，其底部置一質量為10公斤的物
體，試求(a)施一平行於斜面的力，將物體以等速度
移至頂端，此施力作功多少？(b)若不用斜面，施力
將物體自底部以等速度鉛直向上舉高至頂端，此時施
力作功多少？(c) 在(b) 中，重力作功若干？(d)若物體
自斜面頂端A治實線斜面滑下至底部D時，重力作功
多少？(e)若物體自斜面頂端A沿長8米之虛線斜面滑
下至底部D 時，重力作功多少？
P. 8
P. 9
解
(a)圖6-3(b) 為物體之自由體圖，物體所受外力有: (1)



重力 m g ， (2)正向力 N ，(3) 施力 F1。將重力分解
可得其沿斜面的下滑分力為m g sinα，因物體沿斜
面等速度移動時，其加速度為零，故平行於斜面
的合力應為零，因此，沿斜面之施力大小等於物
體的下滑分力，即
F1＝m g sinα＝10×9.8×(3／5)＝58.8 牛頓
沿斜面施力時，施力方向與位移方向的夾角為0˚，
由功的定義得
W1＝F1s1 cos θ1 ＝ 58.8×5×cos0˚＝294 焦耳
P. 10
(b)圖6-3(c)為鉛直舉高物體時之自由體圖，因物體等
速度向上移動，無加速度，物體所受鉛直方向上的
合力為零，故此時之施力大小與重力相等，但方向
相反，即
F2＝m g＝10×9.8＝98牛頓
此施力F2比利用斜面時之施力F1大，故較費力。物
體鉛直向上時，施力方向與位移方向的夾角為0˚，
故施力所作的功為
W2＝F2 s2 cosθ2＝98×3×cos0˚＝294焦耳
此值與(b) 中之值相同，也就是說，利用斜面可以
省力，但所作的功卻相同。
P. 11
(c)在圖6-3(c)中，物體鉛直向上時，其所受重力的方
向與位移方向的夾角為180˚，故此過程中重力所作
的功為
W3＝F3s3cosθ3＝m g s3 cosθ3
＝10×9.8×3×cos180º＝－294焦耳
(d)物體沿實線斜面滑下時，重力方向與物體位移方
向的夾角為θ4＝90º－a，故由A至B的過程中，重力
所作的功為
WAB＝F4s4 cosθ4＝m g s4 cos(90º－a)＝m g s4 sin a
＝10×9.8×5×(3／5)＝294焦耳
P. 12
物體由B至D的過程中，重力方向與物體位移方向
垂直，故重力不作功，即WBD＝0，因此，沿ABD之
路徑時，重力所作的總功為
WABD＝WAB＋WBD＝294焦耳＋0＝294焦耳
(e)物體沿虛線斜面滑下時，重力方向與物體位移方
向的夾角為θ5＝90˚－β ，故由A至C的過程中，重力
所作的功為
WAC＝F5s5 cosθ5＝m g s5 cos(90º－β)＝m g s5 sin β
＝10×9.8×8×(3／8)＝294焦耳
P. 13
與(d)相同，物體由C至D的過程中，重力所作的功
為零，即WCD＝0，因此，沿ACD之路徑時，重力
所作的總功為
WACD＝WAC＋WCD＝294焦耳＋0＝294焦耳
P. 14
（四）一力作用在物體上，使其在兩點間移動時，若此
力對物體所作的功與物體所經的路徑無關，則此力稱為
保守力。除重力外，彈力、電力、磁力亦均為保守力。
而空氣阻力、摩擦力所作的功與物體所經的路徑有關，
則稱為非保守力。
P. 15
例題二
如圖6-5(a)所示，一質量為20公斤的皮箱，受一仰角
為37º的拉力作用，而沿動摩擦係數為0.2的水平面作
等速度運動，皮箱被推動10公尺後，求(a)此推力所
作的功為何？(b)摩擦力所作的功為何？(c)所有作用
在皮箱上的力所作的淨功為何？
P. 16
P. 17
解
(a)圖6-5(b)為皮箱之自由體圓，皮箱所受外力有：(1)




拉力 F ，(2)重力 W  mg ，(3)正向力 N，(4)摩擦


力 f 。將拉力 F 分解為x分量和y分量，其大小分
別為
Fx＝F cos37º＝0.8F
Fy＝F sin37º＝0.6F
由於皮箱無加速度，其x軸和y軸方向的合力
皆為零，得
f＝Fx＝0.8 F
(1)
N＋Fy＝m g
P. 18
或 N＝mg－0.6F＝20×9.8－0.6F
(2)
摩擦力與正向力的關係式為
f＝μN＝0.2N
(3)
將(1)式和(2)式代入(3)式，整理可得推力為
F＝42.6牛頓
故推力F所作的功為
WF＝F s cos37º＝42.6×10×cos37º＝341焦耳
P. 19
(b)由(1)式可得摩擦力的大小為
f＝0.8 F＝0.8×42.6＝34.1牛頓
摩擦力的方向與皮箱位移方向相反，故其功為
Wf＝f s cos180º＝34.1×10×(－1)＝－341焦耳


(c)在圖6-5(b)中，正向力 N 與重力W 的方向，皆與

位移 s 的方向夾90º，而cos90º＝0，所以此兩力對
皮箱所作的功均為零，故得淨功為
W＝WF＋Wf＋WN＋WW＝341＋(－341)＋0＋0
＝0
如所期待，因為皮箱作等速度運動，所受合力為
零，故合力所作的淨功亦為零。
P. 20
6-2 變力所作的功
（一）圖6-6(a)為變力對位置的關係圖，現在來計算此變
力將物體由x1移到x2時所作的功。
首先將總位移分為n個很小的區間∆xi，如圖6-6(b)所
示，當∆xi取的足夠小時，在這區間內的作用力Fi幾乎
為定值，此力在∆xi位移內所作微量的功為
∆Wi＝Fi∆xi
(6-5)
總功為
W＝F1∆x1＋F2x2＋…＋Fn∆xn＝ΣFi∆xi
(6-6)
P. 21
圖6-6
P. 22
（二）如果位移區間∆xi趨近於零，即區間數n趨於無限大
時，(6-6)式可改寫為
W  lim  FiΔ xi
(6-7)
xi 0
無限多微小量的相加就是積分，故上式可寫為
x2
W   Fdx
(6-8)
x1
此值W表示曲線下由x1到x2範圍內的面積，如圖6-6(a)
所示。也就是說，力對位置之關係圖曲線底下的面積
代表此力所作的功。
P. 23

（三）若變力 F 可改變其大小和方向，且質點可沿一
在三維的彎曲路徑運動，如圖6-7所示，此時計算變力


所作的功，需先將力 F 與位移 dr 作純量積，再積分，
即
W 
b
a
 
F  dr
(6-9)
P. 24
例題三
有一物體所受外力與其位置的關係為F＝2x＋2（牛
頓），此力使物體沿x軸由x＝0移至x＝3公尺處，試
求此力所作的功為何？
解
3
3
0
0
W   Fdx   (2x  2)dx  (x 2  2x ) | 30  15焦耳
P. 25
另解
P. 26
圖6-8為外力對位置的關係圖，當位置x＝0公尺時，
外力F＝2牛頓；當x＝3公尺時，F＝8牛頓；外力
所作的功為圖中之梯形面積，即
28
W
 3  15焦耳
2
P. 27
6-3 功率
（一）在物理學上，將作功的速率，亦即在單位時間內所
作的功，稱為功率。
（二）如果在∆t的時間內，作了∆W的功，則在此段時間
內的平均功率定義為
ΔW
P
Δt
(6-10)
（三）當時間間隔∆t趨近於零時，平均功率的極限值稱為
某時刻的瞬時功率，即
ΔW
(6-11)
P  lim
Δ t 0 Δ t
P. 28
如果用微分符號來表示，上式可改寫為
dW
P
dt
(6-12)
（四）功率的單位為焦耳／秒表示，此單位組合又稱為瓦
特(W)，工程上通用的功率單位為馬力(hp)
1馬力＝746瓦特
(6-13)
（五）由(6-10)式可知，功率與時間單位的乘積亦可表示
功，這是仟瓦小時這名詞的來源，它是以1仟瓦特的固定
功率，工作1小時所作的功，即
1仟瓦小時＝(1000瓦特)×(3600秒)＝3.6×106 (6-14)
此即電力公司收電費時，計算所消耗能量的單位，亦
稱為1度。
P. 29
（六）(6-11)式之瞬時功率可改寫為
 
ΔW
F Δ s  
P  lim
 lim
 F v
Δ t 0 Δ t
Δ t 0 Δ t
(6-16)
即瞬時功率亦可表示為力與速度的純量積。
P. 30
例題四
在一無摩擦的水平面上，施20牛頓的水平推力於質量
為10仟克的靜止物體，試求
何？
(a)前3秒內所作的功為
(b)前3秒內的平均功率為何？
(c)第3秒末的瞬
時功率為何？
解
由牛頓第二定律，F＝ma，得此物體之加速度為
F 20牛頓
a 
＝2
m 10仟克
米／秒2
P. 31
因此，其3秒內的位移及第3秒末之速度分別為
1 2 1
2
s  v0t  at   2  3  9米
2
2
v=v0+at=2×3=6米／秒
(a)3秒內此力所作的功為
W＝F s cosθ＝20×9×cos 0º＝180焦耳
P. 32
(b)故其平均功率為
W
180焦耳
P 

 60瓦特
t
3秒
(c)由(6-16)式可知，第3秒末之瞬時功率為
 
P  F  v  Fv cos  20  6  cos0  120 瓦特
P. 33
例題五
如圖6-10(a)所示，有一質量為1000公斤的汽車，在平
路上需要20馬力的功率，以維持90公里／時的速率，
試求(a)此時汽車的推進力為何？(b)設汽車所受的動摩
擦力和空氣阻力不變，當此汽車亦以90公里／時的速
率，爬上傾斜角為5˚的斜坡時，如圖6-10(b)所示，求
此時汽車的輸出功率為何？
P. 34
P. 35
解
(a)將單位改為SI制
20馬力＝746×20＝14920瓦特
公里
1000公尺
90
 90
 25 公尺／秒
時
3600秒
 
由 P  F  v  Fv cos0  Fv
P 14920瓦特
得 F 
 597牛頓
v 25公尺 / 秒
由於汽車速率為定值，此汽車引擎的推進力為路面
動摩擦力和空氣阻力所平衡
P. 36
(b)當汽車等速上坡時，其推進力F'必須平衡(a)中之
路面及空氣阻力所形成的總摩擦力f＝F＝597牛頓，
以及汽車的下滑分力m g sin5º，即F'＝f＋m g sin5º，
因此上坡時所需的功率為
P=F' v=(f+mgsin5º)v
=(597+1000×9.8×0.087)×25
1馬力
 36240瓦特  36240瓦特 
746瓦特
=48.6馬力
速率相同時，此汽車爬5º斜坡所需的功率48.6馬力，
遠比平路時20馬力大很多。
P. 37
6-4 能
（一）物體運動而具有之能量，稱為動能。
（二）因為位置的不同或物體形狀的改變，而具有之能量，
稱為位能。
（三）上述之動能與位能，皆屬於力學的討論範圍，兩者
均稱為機械能或力學能。
P. 38
6-5 動能
12
P. 39
（一）如圖6-12所示，在無摩擦的水平桌面上，施一水平
固定力F於一質量為m的物體，使其由靜止加速到速度為v，
在此期間物體之位移s可由(3-14)式求得，即
v2＝v02＋2as
(3-14)
但物體初速度v0為零，故位移s為
2
v
s
2a
因此，施力F對物體所作的功W為
v2
1 2
W  Fs  (m a)( )  m v
2a
2
P. 40
此功全部轉變成物體的動能，如以K表示動能，則
1
K  mv 2
2
(6-17)
（二）若有一質量為m的物體，正以速度v0運動，今施一
與速度同方向的力F於此物體，使物體由初速度v0加速到
末速度v，在此期間物體的位移可由(3-14)式求得，即
v  v0
s
2a
此施力對物體所作的功為
2
2
v  v0
1 2 1
2
W  Fs  (m a)(
)  m v  m v0
2a
2
2
2
2
P. 41
上式中，mv02／2為物體最初的動能K0，mv2／2為物體
被加速後的動能K，因此上式可改寫為
W＝K－K0＝ΔK
(6-18)
上式表示合力對一物體所作的功W等於其動能的變化
量ΔK，此稱為功能定理。
P. 42
例題六
如圖6-13所示，有一質量為20公克的子彈，其速率為
200公尺／秒，當其正直射穿一厚為10公分的木板後，
其速率減為100公尺／秒，求子彈所受木板的平均阻力
為何？
P. 43
解
由於木板阻力的方向與子彈速度的方向相反，故阻力對
子彈作負功，所以子彈的速率減少。設子彈所受木板
的平均阻力為 f，此阻力對子彈所作的功等於子彈動能
的變化量，由(6-18)式功能定理W＝ΔK，得
f s cos180  K  K0
得
故
1
1
2
f  0.1 (1)   0.02 100   0.02  200 2
2
2
f  3000牛頓
P. 44
例題七
有一質量為10公斤的木塊，在一傾斜角為37的斜面
底部，以5公尺／秒的初速率沿斜面往上滑行，木塊
與斜面間的動摩擦係數為0.2，試求木塊在停止前所
滑行的距離為何？
解
P. 45
如圖6-14所示，作用於木塊的外力有：(1)重力
，




(2)正向力
，(3)摩擦力
，將重力
分解，可
mg
mg
f
N
得正向力N＝m g cos37，而摩擦力為
f＝μN＝μ m g cos37
設木塊滑行的距離為s，則這些力所作的功分別為
W重力＝(mg) s cosθ1＝m g s cos(90＋37)
＝10×9.8×s×(－0.6)＝－58.8 s 焦耳
W正向力＝N s cosθ2＝N s cos90＝0
W摩擦力＝f s cosθ3＝( m g cos37)s(cos180)
＝(0.2×10×9.8×0.8)×s×(－1)
＝－15.7 s 焦耳
P. 46
木塊達最高點時，其末速度為零，因此動能變化量
為
1
1
1
2
2
K  mv  mv  0   10  52
2
2
2
＝－125焦耳
由功能定理W合力＝ΔK得
W重力＋W正向力＋W摩擦力＝ΔK
或 (－58.8 s)＋0＋(－15.7 s)＝－125
故 s＝1.7公尺
P. 47
6-6 位能
P. 48
（一）重力位能
(1)如圖6-17所示，以地平面為基準，施一力F，將一質
量為m的物體，由地平面緩慢地以等速度垂直向上，
將其移到高度為h處，施力F必需平衡物體所受的地
心引力，所以其大小等於物重mg，因此，施力對物
體所作的功為
W＝F h cos0＝m g h
此外力所輸入的功轉變為該物體在高度h處時的重力
位能，若以U表示重力位能，則
U＝mgh
(6-19)
P. 49
(2)事實上，我們常考慮的是位能的變化量，一物體在
兩點間的重力位能的變化量，僅與此兩點間的鉛直高
度有關，而與重力位能為零之參考面的選擇無關。
P. 50
（二）彈性位能
(1)如圖6-18(a)所示，彈簧沒有發生形變，位於自由
端視如質點之木塊所受的合力為零，此時木塊之位
置稱為平衡位置。
(2)在彈性限度內，彈簧之恢復力F的大小與其自由端
之位移x的大小成正比，而方向與自由端之位移的方
向相反，換言之，恢復力的方向永遠指向平衡位置，
此關係稱為虎克定律，以數學式表示則為
F＝－kx
(6-20)
上式之負號表示恢復力與位移方向相反，k為一比例
常數，稱為彈簧的力常數。
P. 51
(3)欲使彈簧緩慢地伸長x，需施外力F‘於彈簧，以克服
彈簧的恢復力F，故F'之大小與F相等，但方向與F
相反，因此，外力F'與彈簧自由端的位移x之關係式
為
F'＝kx
(6-21)
上式有時也稱為虎克定律。
P. 52
P. 53
(4)當位移x＝0時，外力F'＝0；當位移為x時，外力增至
F'＝kx；因此當彈簧的伸長量由0增至x時，作用在彈
簧之外力的平均值為
0  kx
1
F' 
 kx
2
2
此過程中外力對彈簧所作的功為
1
1 2
W  F ' x  ( kx )  x  kx
2
2
(6-22)
P. 54
此值等於圖6-19外力對位移的關係圖之典線底下的面
積，此外力輸入的功轉換為彈簧在伸長量為x時所貯存
之彈性位能，以U表示彈性位能，則
1 2
U  kx
2
(6-23)
上式中之x為彈簧之伸長量或壓縮量時皆成立。
P. 55
P. 56
（三）位能與保守力
(1)在前面的敘述中，我們是以外力所作的功來定義位能，
即
W外力＝ΔU＝Uf－Ui
(6-24)
(2)實際上，位能的觀念可由相關的保守力來定義更恰當，
在(6-24)式的位能定義中，由於物體等速度運動，其動
能變化量ΔK＝0，由功能定理W合力＝ΔK可知，作用在
物體上的外力和保守力之合力所作的淨功亦為零，W合
力＝0，即
W外力＋W保守力＝0 或 W外力＝－W保守力
(6-25)
P. 57
由(6-24)式及(6-25)式可得
W保守力＝－ΔU 或 ΔU＝－W保守力
(6-26)
依上式，我們可定義系統位能的變化量為保守力所作
之功的負值
P. 58
例題八
已知彈簧所受外力F'與伸長量x的關係式為F'=kx ，當
彈簧的伸長量由0增至x時，試導出外力對彈簧所作的
功為kx2／2。
解
由(6-8)式可得外力所作的功為
W 
x
0
1 2
F ' dx   (kx )dx  kx
0
2
x
P. 59
例題九
一抽水機每分鐘能將300公斤的水由10公尺深的井中抽
上來，且以20公尺／秒的速度射出，試求此抽水機馬
達的平均功率為若干馬力？
解
抽水機對水所作的功，為水由井底抽至地面之位能
變化量，以及水由靜止到產生速度之動能變化量的
總和，若以10公尺深處為零位面，則
m v2
W  U  K  (m gh 0)  (
 0)
2
300 202
 300 9.8 10 
 89400焦耳
2
P. 60
功在1分鐘內完成，故平均功率為
W 89400焦耳
1490
P 
 1490瓦特 
馬力  2馬力
t
60秒
746
P. 61
例題十
如圖6-20所示，單擺之擺長為L，擺錘質量為m，今施
力使其由最低點側移升高，當單擺繩子與鉛直線夾a後
靜止，求此力作功若干？
P. 62
解
外力所作之功等於擺錘重力位能的變化量，若以擺
錘最低點A處為零位面，則擺錘上升的鉛直高度h為
h  OA  OB  L  L cosa
故所作的功W為
W＝ΔU＝m g h＝m g ( L－L cos a)＝mgL(1－cos a)
P. 63
例題十一
有垂直縣掛的彈簧，在其下端掛上質量10公斤的物體
時，其長度為1米；如果改掛質量15公斤的物體時，其
長度為1.1米，試求(a)彈簧的力常數為何？(b)將此彈簧
由1米拉至1.1米時，外力須作功若干？
解
(a)設彈簧原長為L0，力常數為k，則由外力與伸長量
的關係式F'＝kx得
m1g＝k(1－L0)
(1)
m2g＝k(1.1－L0)
(2)
P. 64
上面兩式相除，且m1＝10公斤，m2＝－15公斤，得
1  L0
m1
10


m2
1.1  L0
15
故 L0＝0.8米
將此原長L0代入(1)式，得
10×9.8=k(1－0.8)
故 k＝490牛頓／米
P. 65
(b)外力所作的功等於彈簧從1米拉至1.1米時之彈性位
能的變化量，即
1 2 1
2
W  U  U  U 0  kx  kx0
2
2
1
1
2
  490  (1.1  0.8)   490  (1  0.8) 2
2
2
＝12.25焦耳
注意：功並不是W＝k(x－x0)2／2。
P. 66
例題十二
有一長為L，質量為m的均勻木材，平置於地面，若欲
將木材鉛直豎起，需作功若干？
解
木材每單位長度的質量為λ＝m／L。如圖6-21所示，
離木材左端x處之微小長度dx之微小質量為dm＝λdx
＝(m／L)dx，將木材豎起時，此微小質量的鉛直高
度增加h＝x，增加的位能為
dU＝(dm)gh＝gx(dm)＝gx(m／L)dx
P. 67
P. 68
因此外力對其所作微量的功為
dW＝dU＝(mgx／L)dx
由x＝0至x＝L，外力對木材所作的總功為
L
W   dW  
0
L
0
mgx
mg
dx 
L
L

L
0
xdx
mg 1 2
L
mgL

( L )  mg ( ) 
L 2
2
2
上述的結果顯示，可將均勻木材的質量m視為集中
於中心（即質心）處，當木材豎起時，其中心升高
h＝L／2，因此木材的位能增加 m g L／2。
P. 69
6-7 能量守恆原理及其應用
(A)如圖6-22所示，會發現其速度會隨
著高度的增加而逐漸減小，也就是
說，球之高度增加時，其動能逐漸
減少，而重力位能卻逐漸增加。反
之，球在落下過程中，其速度會隨
著高度的降低而逐漸增加，亦即高
度降低時，球之重力位能漸減，而
動能漸增，這些現象顯示重力位能
和動能是可以互相轉換的。
圖 6-22
P. 70
圖6-23
P. 71
(B)如圖6-24所示之彈簧擺，當水平放置的彈簧及其上的
物體在無摩擦的平面上作往復運動（稱為簡諧運動）
時，其彈性位能與物體之動能會互相轉換，各有消長，
但彈性位能和動能的總和亦保持不變。
P. 72
圖6-24
P. 73
(C)以下我們將探討上述這些力學能的數學關係式：
（一）力學能守恆
(1)當物體僅受重力或彈力等保守力的作用時，由功能原
理可知，保守力所作的淨功等於物體動能的變化量，
即
W合力＝ΔK 或
K保守力＝ΔK
(6-30)
(2)由(6-26)式位能的定義可知，保守力所作的功等於系
統位能變化量的負值，即
W保守力＝－ΔU
(6-26)
P. 74
(3)由上面兩式可得
ΔK＝－ΔU
或 ΔK＋ΔU＝0
(6-31)
動能變化量ΔK＝Kf－Ki，位能變化量ΔU＝Uf－Ui，代
入上式整理可得
Kf＋Uf＝Ki＋Ui 或
K＋U＝常數
(6-32)
動能K與位能U的和稱為力學能E，即E＝K＋U，因此
上式亦可寫為
Ef＝Ei 或 ΔE＝0
(6-33)
上面三式均顯示，物體僅受保守力作用時，系統中的
動能和位能可以互相轉換，但其總和卻是不變的，此
項關係稱為力學能守恆定律或是機械能守恆定律。
P. 75
(4)在圖6-22中，由力學能守恆定律可知，在任意高度時，
系統的動能K和重力位能Ug的總和保持不變，即
1
1
2
2
(6-34)
mv f  mgh f  mvi  mghi
2
2
(5)在圖6-24中，在任意位移時，系統之動能和彈性位能
的總和維持不變，即
1
1
1
1 2
2
2
2
(6-35)
mv f  kx f  mvi  kxi
2
2
2
2
(6)如果作用在一系統上有重力和彈力等兩種保守力時，
(6-32)式中的位能U包括重力位能Ug和彈力位能Us，因
此，此式之力學能E改寫為
E＝K＋Ug＋Us＝常數
(6-36)
P. 76
（二）力學能和非保守力
(1)如果作用在系統上同時有保守力和非保守力時，由功
能原理可得
W合力＝ΔK 或 K保守力＋W非保守力＝ΔK
(6-37)
(2)由(6-26)式可知，W保守力＝－ΔU，因此上式可改寫為
W非保守力＝ΔK＋ΔU
(6-38)
或 W非保守力＝(Kf－Ki)＋(Uf－Ui)＝(Kf＋Uf)＋(Ki＋Ui)
即 W非保守力＝Ef－Ei＝ΔE
(6-39)
(6-38)式或(6-39)式說明了非保守力所作的功等於系統
之力學能的變化量，也就是說，非保守力作功會改變
系統的力學能，非保守力所作的功可為正功或負功。
P. 77
(3)以發射火箭為例，其所受的重力為保守力，引擎的推
力和空氣阻力則為非保守力，其中推力的方向和火箭
運動的方向相同，對火箭作正功，會增系統的力學能；
而空氣阻力的方向和火箭運動的方向相反，對火箭作
負功，會減少系統的力學能。
P. 78
（三）能量守恆原理
(1)前面談到系統之力學能總和保持不變的特性，只有在
物體僅受保守力作用的情況下才適用。如果考慮空氣
阻力和摩擦力等非保守力的作用，則力學能不再守恆，
會隨著物體運動的進行而逐漸減少。
(2)力學能雖然不再守恆，但是如果考慮一切因摩擦所產
生的熱能，以及在其它交互作用中所呈現的能量，則
總能量或許還是保持不變的。這個想法經過許多實驗
加以證實後，在1847年，德國物理學家赫姆霍茲
(Helmholtz, 1821~1894)主張：能量有各種不同的形
式，可以從一種形式轉換為另一種形式，但能量卻不
P. 79
能創造，也不能毀滅。換言之，宇宙間的總能量是保
持不變的，此稱為能量守恆原理。
P. 80
例題十三
如圖6-25所示，在光滑平面上有一力常數為9牛頓／公
分的彈簧，彈簧先被壓縮5公分後，在其前端放置質量
為10公克的物體，當放鬆彈簧後，試求此物體離開彈
簧時的速率為何？
圖6-25
P. 81
解
系統最初之力學能為彈簧的彈性位能kx2／2，而物
體的動能為零；最後的力學能為物體的動能mv2／2，
而彈簧的彈性位能為零，由力學能守恆定律得
1 2
1
kx  0  mv 2  0
2
2
(1)
將物理量的單位轉換為SI制：
力常數：k＝9牛頓／公分＝900牛頓／公尺
壓縮量：x＝5公分＝0.05公尺
質量：m＝10公克＝0.01公斤
P. 82
將以上數據代入(1)式，可得物體離開彈簧時的速率
為
v＝15公尺／秒
P. 83
例題十四
有一垂直懸掛而質量可忽略不計的彈簧，其力常數為k，
在其下端懸掛質量為m的物體後，突然釋放，使物體
由彈簧之自然長度下端開始自由下墜，試求(a)彈簧最
大可伸長若干？(b)當物體所受合力為零時，彈簧伸長
量為何？(c)物體在受力為零處時的速度為何？
解
(a)如圖6-26(a)所示，當物體下墜達到最低點時，彈
簧伸長量亦達到最大為xm，此時物體速度為零，物
體因為下墜所減少的重力位能，將全部轉換為彈簧
的彈性位能，即
P. 84
1
2
kx m  mgxm
2
得
2mg
xm 
k
(b)如圖6-26(b)所示，當物體所受的合力為零時，其
所受向上的彈力等於向下的重力，若此時彈簧的伸
長量為x，則
kx=mg
得
mg
x
k
P. 85
圖626
P. 86
(c)在(b)中之合力為零處，物體下降x＝mg／k時，物
體減少的重力位能轉換為物體的動能和彈簧的彈性
位能，即
mg
1
1 mg 2
2
mg (
)  mv  k (
)
k
2
2
k
故
v
m
g
k
此為物體在上下往復運動過程中之最大速度。
P. 87
例題十五
如圖6-27(a)所示，A與B兩球的質量分別為2m與m，兩
球以細繩相連接，此繩跨過一無摩擦的定滑論，A球
距地面之高度為h，而B球靜止於地面，當A球釋放後，
求(a)兩球達同一高度時，B球速率為何？(b)A球著地瞬
間，B球速率為何？(c)A球著地後，B球能達的最大高
度為何？
P. 88
P. 89
解
(a)以地面為零位面，如圖(a)所示，當B球靜止於地面
時，A球的位能為(2m)gh，而B球的位能為零，此時
兩球的動能均為零。如圖(b)所示，當兩球達同一高
度時，A球下降h／2，離地面的高度為h-h／2=h／2，
位能為(2m)g(h／2)；B球升高h／2，位能為mg(h／
2)，此睦A、B兩球的速率均為v，兩者的動能分別
為(2m)v2／2與mv2／2。比較圖(a)和圖(c)，由力學
能守恆定律得
h
h
( 2 m )v 2
mv 2
(2m) gh  ( 2m) g ( )  mg ( ) 

2
2
2
2
1
故 v
gh
3
P. 90
(b)如圖(c)所示，A球著地瞬間，A球的位能為零；B
球升高h，B球的位能為mgh，此時A、B兩球的速率
均為v'，兩者的動能分別為(2m)v' 2／2與mv' 2／2。
比較圖(a)和圖(c)，由力學能守恆定律得
2
(2m)v'
m v'
(2m) gh  0  0  0  0  m gh

2
2
故
v'
2
2
gh
3
P. 91
(c)A球著地後，B球以v' 為初速度，繼續作向上拋體
運動，此時B球的位能為mgh，動能為mv' 2／2。當
B球到達最大高度h' 時，其位能為mgh'，動能為0，
由力學能守恆定律得
2
mv'
mgh 
 mgh'0
2
2
(
2
gh
/
3
)
v'
4
h'  h 
 h
 h
2g
2g
3
2
故
P. 92
例題十六
如圖6-28所示，質量為20公斤的物體置於傾斜角為37
的斜面上，物體由靜止釋放沿斜面滑下10公尺後，其
速度為6公尺／秒，求物體與斜面間的動摩擦係數為何？
P. 93
解
物體下降的鉛直高度
h＝10公尺×sin37＝6公尺
設物體在斜面頂端的初位置為零位面，此題中的非
保守力為動摩擦力，由(6-38)式，W非保守力
=ΔK+ΔU，得
W摩擦力＝ΔK＋ΔU＝(Kf－Ki)＋(Uf－Ui)
1
或  f 10  (  20  62  0)  [(20  9.8  6)  0]
2
故 f＝81.6牛頓
P. 94
物體在斜面上的正向力為
N＝m g cosθ＝20×9.8×cos37＝157牛頓
動摩擦係數為動摩擦力與正向力的比值，即
f
81.6


 0.52
N
157
P. 95