Transcript 5功與能
第五章 功與能 •5-1功的定義 •5-2動能與位能 •5-3力學能的守恆 •5-4質點的碰撞 •5-5摩擦與力學能不守恆 5-1 功的定義 •功的定義與公式說明（圖示） •圖示（徒勞無功） •功的單位 •功率與功率的單位 •例題一 •例題二 功的定義與公式說明（圖示） •功：施力與所生位移的向量內積。 •公式：W F S FS cos ( 為F與S的夾角) 圖示（徒勞無功） 功的單位 物理量 制度 絕 對 單 位 重 力 單 位 單位 力（F） 位移（S） 功（W） MKS 牛頓（N） 公尺（m） 焦耳（J） CGS 達因（dyne） 公分（cm） 耳格（erg） MKS 公斤重（kgw） 公尺（m） 公斤重-公尺 CGS 公克重（gw） 公分（cm） 公克重-公分 功率與功率的單位 •功率：單位時間內所作的功 P=W t •功率的單位： 1瓦特= 1焦耳/秒 1馬力= 746瓦特 例題一 某人以 10 牛頓的力，拖一置於無摩擦力之水平面上的 行李箱，使行李箱沿著平面直線移動4公尺，若此力與 水平方向 (1) 同方向 (2) 成 60°角 (3) 互為垂直時，此 力所作之功若干？ 解：由功的公式W=FScosθ (1) W1=10 ×4cos0°= 40（焦耳） (2) W2=10 ×4cos60°= 20（焦耳） (3) W3=10 ×4cos90°= 0（焦耳） 例題二 將一行李箱放在水平路上，以5公尺/秒等速度拖動， 所需功率若為200瓦特，則 (1)路面平均阻力為多少牛頓？ (2)拖動5秒所作 的功為多少焦耳？ 解：(1) 設平均阻力為 f，因行李箱等速度拖動，合力 為0， 所以所施力的大小亦為 f 由P = fυ → 200 = f ×5 得 f = 40（牛頓） (2) 由W = Pt → W = 200 ×5 = 1000（焦耳） 5-2 動能與位能 •動能與公式說明 •例題三 •重力位能 •重力位能圖示（一），圖示（二） •例題四 •虎克定律與彈性位能 •彈性位能圖示 •例題五 動能與公式說明 • 動能：物體因運動而具有的能量。（Ek表動能） a F m 由 2 2 aS 2 2 F S m 即 FS 1 m 2 Ek 1 m 2 2 2 例題三 一力作用於質量2公斤之靜止物體，使其在光滑水平面上 運動，5秒內共移動25公尺之距離，求5秒末時 (1)物體之 動能 (2) 施力作功若干？ 解：(1)設加速度為a，5秒末速度大小為υ，因初速度為零 由公式S 1 at2 25 1 a 52 a 2 (公尺/秒2 ) 2 2 再由公式 at 2 5 10 (公尺/秒) 物體之動能 Ek 1 m 2 1 2 102 100 (焦耳) 2 2 (2)施力作功=物體獲得之動能=100(焦耳) 重力位能 重力位能：以地面為起算點，設物體之質量為m，距 地面高度為h，則重力位能 Ep＝mgh （此種位能係因物體在重力場中的位置改變而來） 重力位能圖示（一） 物體之位能 重力位能圖示（二） 物 體 位 能 隨 起 算 點 而 不 同 例題四 有一塔高 20 公尺，一石子質量為2公斤，由塔頂自由 落下，設空氣阻力可忽略，求石子在塔頂時相對於地 面的位能？又掉落至地面時之速度多大？（重力加速 度為10公尺/秒2） 解：相對於地面的位能為 EP= mgh = 2 ×10 ×20 = 400（焦耳） 落至地面時，位能完全變為動能，所以 1/2 ×2υ 2 = 400 得落至地面之速度大小υ= 20（公尺/秒） 虎克定律與彈性位能 •虎克定律：彈簧在彈性限度內，彈簧的壓縮量或伸 長量與所施外力成正比。 •彈性位能：彈簧由於形狀的改變而產生的能量。合 乎虎克定律 F = k x之彈簧，其所具有之 彈性位能U表為 U = 1 kx2 （x為彈簧之壓縮量或伸長量） 2 彈性位能圖示 彈性位能 例題五 一彈簧之彈力常數為100牛頓/公尺，今將彈簧壓縮2 公尺後，在彈簧前端置一質量為1公斤之鐵球，將彈 簧釋放之，則鐵球離開彈簧之速度為多少公尺/秒？ 解：設鐵球離開彈簧之速度為ν公尺/秒，因彈簧之 彈性位能轉為鐵球之動能，即 1 2 1 2 1 1 2 kx mv 100 2 1 v 2 2 2 2 2 得 v 20 (公尺/秒 ) (負不合) 5-3 力學能的守恆 •力學能守恆的意義 •力學能守恆圖示與說明 •例題六題目 •例題六解答 力學能守恆的意義 •動能與位能之和稱為總力學能 •力學能守恆定律：在同一系統內，力學能（動 能 與位能）可以透過力交互作用互相轉換，但其總 和不變。 力學能守恆圖示與說明 質量m的物體，受地球引力， 於高度h1時，速度 υ1；高度h2 時，速度υ2，則 1 m 2 + mgh = 1 m 2 + mgh 2 1 2 2 2 1 例題六題目 如圖，在光滑的曲面上，一物體自離地面15公尺高之曲面A點 下滑至離地面10公尺高之B點，求到達B點之速率？（設重力 加速度為10公尺/秒2） 例題六解答 解：設物體之質量為m，則由力學能守 恆定律，在A點之總力學能應等於 在B點之總力學能，即 1 2 + m ×10 ×10 0 + m ×10 ×15 = mυ 2 得υ= 10（公尺/秒） 5-4 質點的碰撞 •恢復係數的定義 •非彈性碰撞與完全彈性碰撞的定義 •完全彈性碰撞公式說明 •例題七 •斜向彈性碰撞 （圖示一）（補充） •斜向彈性碰撞說明（補充） •斜向碰撞 （圖示二）m1 = m2，υ2 = 0 （補充） 恢復係數的定義 兩質點碰撞前速度分別為 υ1、υ2；碰撞後速度為u1、 u2接近速度大小υ1 υ2，分離速度大小u2 u1 u 2 u1 碰撞後遠離速度 恢復係數e 1 2 碰撞前接近速度 1.若e = 1，則兩質點作完全彈性碰撞。 2.若0 ≤ e＜1，則兩質點作非彈性碰撞。 3.若e = 0，則兩質點作完全非彈性碰撞。 非彈性碰撞與完全彈性碰撞的定義 •非彈性碰撞：兩質點碰撞遵守動量守恆定 律， 但有能量損失者。 •完全彈性碰撞：兩質點碰撞遵守動量守恆 定 律與能量守恆定律。 完全彈性碰撞公式說明 兩質點質量為m1及m2作完全彈性碰撞 ，碰撞前之速 度分別為υ1、υ2；碰撞後之速度為u1、u2，則必合乎 m1υ1＋m2υ2＝m1u1＋m2u2 1m 2 1 m 2 1 m u 2 1 m u 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 m1 m 2 2m 2 可解出u1及u2為 u1 1 2 m1 m 2 m1 m 2 u2 2 m1 m1 m 2 1 m 2 m1 m1 m 2 2 例題七 質量為6公克之 A 球在一直線上以20公分/秒之速率正 面撞擊另一質量為2公克靜止之B球。若為完全彈性碰 撞，求碰撞後兩球之速度各為若干？ 解：因 2 0 ，且為完全彈性碰撞，所以 m1 m 2 2 m1 u1 1 ，u 2 1 代入得 m1 m 2 m1 m 2 62 u1 20 10 （公分/ 秒） 6 2 2 6 u2 20 30 （公分/ 秒） 6 2 斜向彈性碰撞(圖示一)(補充) 斜向彈性碰撞說明(補充) m1 1 m 2 2 m1 1' m 2 2' 1 m 2 1 m 2 1 m ' 2 1 m ' 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 因為是彈性碰撞所以碰撞前後總動量守恆， 總動能守恆 斜向碰撞(圖示二) (補充) m1＝m2，υ2=0 碰撞前 碰撞後 5-5 摩擦與力學能不守恆 •摩擦力產生原因 •靜摩擦力與動摩擦力 •（圖示）水平拉力與摩擦力 •（圖示）最大靜摩擦力 •（圖示）動摩擦力 •摩擦係數（表） •例題八 •例題九題目、解說 摩擦力產生原因 摩擦力的產生是由於互相接觸的物體表面凹凸不 平，阻礙雙方相互運動，摩擦力的方向與物體運 動或將發生運動的方向相反。 測定摩擦力 靜摩擦力與動摩擦力 •當拉力較小時，木塊仍靜止不動，此時之摩擦力稱為靜 摩擦力 •靜摩擦力的大小是隨著拉力的增大而增大，拉力逐漸增 加到某一個限度，物體才會開始運動，此時接觸面之 摩擦力稱為最大靜摩擦力 •動摩擦力小於最大靜摩擦力 •摩擦力大小與接觸之面積無關，與垂直於接觸面之正向 力N成正比 •滑動摩擦遠較滾動摩擦為大 （圖示）水平拉力與摩擦力 （圖示）最大靜摩擦力 （圖示）動摩擦力 摩擦係數（表） 材 料 橡木與橡木 皮與橡木 鋼與鋼 銅與鋼 鑄鐵與鑄鐵 銅與鑄鐵 橡膠與乾水泥地 橡膠與溼水泥地 s k 0.50 0.40 0.74 0.53 1.10 1.05 1.00 0.70 0.30 0.30 0.57 0.36 0.15 0.29 0.70 0.50 例題八 鐵塊與水泥地間之靜摩擦係數為0.30。若在水平的 水泥地上，要將40公斤的鐵塊滑動拉行，需加多少 力？ (設當地重力加速度10公尺/秒2) 解：正向力N之大小與鐵塊重量相等 由靜摩擦力公式 fs s N mg 0.30 40 10 120 （牛頓） 例題九題目 質量為5公斤的鐵塊，在水泥地上滑行。以 初速度為12公尺/秒，滑行11公尺。若鐵塊與 水平的水泥地之動摩擦係數為0.2，且重力加 速度大小為10公尺/秒2，則 (1)未動能變為多大？ (2)速度變為多大？ (3)動量改為多少？ 例題九解答 解：(1)摩擦力所消耗的功Wf為 Wf = f S =μNS =μmgS = 0.2 ×5 ×10 ×11 = 110（焦耳） 未動能 = 初動能−摩擦力所消耗的功 = 1/2 ×mυ02 − Wf = 1/2 ×5 ×122 − 110 = 250(焦耳) (2)1/2 ×mυf2 = 250 ∴1/2 ×5 ×υ2 = 250 得υf = 10 (公尺/秒) (3)動量變化 = mυf − mυ0 = 5 ×10 − 5 ×12 = −10 (公斤－公尺/秒)負號表示動量減少