Transcript Kvantum informatika

Kvantum informatika
Kvantum és klasszikus fizika
 Klasszikus fizika:
 A világnak leegyszerűsített ugyanakkor elképesztően pontos leírása.
 Pontszerű test leírása: r(x,y,z) + v(vx,vy,vz)
r = r(x0,y,0,z0) és v = v(vx0,vy,0vz0) r(x1,y1,z1) és v(vx1,vy,1vz1),
szigorúan kauzális
 Kvantum fizika:
 Pontszerű részecske a térben kiterjedten mozog, amit a ψ(r,t)
hullámfüggvénnyel írunk le. Benne van minden az r-ről, P-ről és még sok
mindenről.
 Időbeli változását a Schrödinger-egyenlet adja meg:
H ψ = E ψ, ahol:
Hilbert – tér:
 f,g: CC, ekkor, a két függvény skalárszorzata:
 Ez a hullámfüggvénnyel jellemezhető kvantumállapotok Hilbert



tere
Geometriai fogalmakkal lehet leírni olyan elemek halmazát,
amelyek között definiálható az összeadás és a skalárszorzat.
Összeadás: Szuperpozíció
Skalárszorzat: Kvadratikus Born-szabály biztosítja: P =
|ψ(r,t)|2d3r megtalálási valószínűség
L2-beli függvények alkotják
 1.: Hullámfüggvény Hilbert-térbeli reprezentációja:
|ψ(t)>=Σn cn(t)|n>, ahol:
|n> (n=1,2,…) jele egy un(r) hullám-függvényekből álló
ortonormált bázisnak: <m|n>=δmn
 |ψ(t)>=Σn |n><n| ψ(t)>, Σn |n><n| = 1
 2.: X hely- , P impulzus operátor:
<x|X|x’> = xδ(x-x’), <x|P|x’ > = -iħδ(x-x’)
 3.: Schrödinger-egyenlet:
Mérés, Unitér operátor
 Bázisváltás: Áttérünk |m>  |α>
| ψ >= Σ m cm|m> = Σ α dα | α >  dα = Σ U α m cm
 U:=< α|m> transzformációs mátrix
 Fizikai mennyiségnek megfelelő operátorok mátrixának
transzformáltja:
< α|A|β>=(U A U-1) αβ
 U unitér mátrix: U+U=1, ui.: (U-1) αβ = (U αβ)* A bázisváltás
nem változtatja meg a kvantumállapot normálását.
Izolált rendszer
 Egy elszigetelt kvantumrendszer transzformálása:
|ψ(t)>= U(t) | ψ(0) >, ahol
Ez mindig unitáris, de nincs valóban elszigetelt rendszer (Esetleg az
egész Univerzum?)
 Hogyan írható fel egy valós rendszer Schrödinger egyenlete?
 Rendszer: Q, Környezete: T
 Felírjuk Q változásának Schrödinger – egyenletét. Ez nem unitáris
(mivel a projekció nem unitáris)
Informatika és Kvantummechanika
 1. Tekinthetünk a Természetre úgy, mint egy információs
processzorra?
 2. Tudja-e egy számítógép szimulálni az egész Természetet?
 A válasz az elsőre igen:
|ψ(t)> ↔ Absztrakt egység, mely pontosan tartalmaz
mindent Q-ról.
Ugyanakkor nem csak |ψ(t)> egy teljes leírása Q-nak.
Church - Turing tézis
 Minden formalizálható probléma, ami megoldható
algoritmussal, az megoldható Turing-géppel vagy lambdakalkulussal is.
 Church Turing princímium (1985): Minden valóságos és
véges fizikai rendszer tetszőleges közelítéssel szimulálható
egy univerzális számítógépen véges erőforrással.  Ez nem
utal Turing gépre
Kvantum számítógép
 Klasszikus Bitek  kvantum állapotok alakulása
 Lehetséges Univerzális Turing gép
 Klasszikus számítógép nem tudja szimulálni a Természet
bizonyos viselkedéseit.
 Lehetőség van új fajta számoló eljárást kifejleszteni, ami
különbözik klasszikus számítógép tudománytól.
EPR Paradoxon
EPR Paradoxon leírása
 Az EPR-paradoxon Bohm által adott (EPRB-paradoxonnak is nevezett) megfogalmazásában
egy forrás két elektront bocsát ki, amelyek együttes spinje nulla, és mindkettő a pozitív és a
negatív spin kvantum szuperpozíciójában van, (azaz a két részecske összefonódott állapotban
van). A részecskék eléggé eltávolodnak egymástól ahhoz, hogy fénysebességnél lassabb
kölcsönhatás ne jöhessen közöttük számításba. Ha ezek után a két részecske spinjét megmérjük
a (tetszőlegesen választott) z tengely mentén, azt kapjuk, hogy ellentétes spinűek. Ha az x
tengely mentén mérjük meg, ugyanezt kapjuk. A másodjára mért részecskénél tehát a mérés
eredménye determinisztikus (az első részécskénél mért érték ellentéte).
 A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint egy részecske spinje két, egymásra
merőleges irányban egyszerre nem mérhető meg. Így, ha megmérjük az első részecskén a z,
majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet
ellentéte az első részecske mérések előtti spinjének, mert akkor az első részecske mindkét
iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az első részecske z irányú mérésének valahogy „el kell
rontania” a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja.
A két részecske azonban – ha a lokalitást elfogadjuk – túl messze van ahhoz, hogy bármiféle
kölcsönhatás felléphessen közöttük.
EPR Paradoxon
 Előzmények: - Honnan tudják a detektorok, hogy az egyik
megszólalt?
 Kétfoton állapot nem két foton állapot
 Einstein – féle nonszeparabilitás
 1935: Ha szétrepülő 2 részecskék 2 független rendszert
alkotnak, akkor a kvantummechanika nem teljes, ui.
ellentmondásra jutunk.
 1965: Egy szinglett állapotú részecskepárt kell szétrepíteni,
akkor a spinvetületét megmérve (Stern-Gerlach k.) tökéletes
antikorrelációt kapunk.
„EPR követelmények”
 Tökéletes antikorreláció
 Lokalitás: A 2. rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy




mit mérünk az elsőn.
Valóság: 2. spinvetület értékét az első mérés után a rendszer
megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ezért „egy eleme a fizikai
valóságnak”, ami kvantummechanikában nincs benne.
Teljesség
Ma: A kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske –
állapotok a valóságosak, amelyek egy részecske spin vetületét
megmérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak
ellenőrizheti.  Ez nem lokális kapcsolat
Jeladásra nem használható.
Bell, 1964
 Véletlen = Rejtett paraméterek, hiányos a leírás
 Lokális rejtett paraméter idézi elő az (anti)korrelációt
 Bell kérdése: Le lehet-e írni a tökéletes antikorrelációt egy lokális
közös okkal, vagy egy véletlen paraméterrel, amelyek egyes
értékeihez (↑,↓) , másokhoz (↓ ,↑) tartozik?
 Ha a két spin vetülete nem párhuzamos a Stern-Gerlach analizátorral
mérjük Válasz: NEM.
A Kísérlet
 Két SG irány egységvektora:
a = (sinθ1cosφ1, sinθ1sinφ1, cosθ2)
b = (sinθ2cosφ2, sinθ2sinφ2, cosθ2)
 Mindkettőhöz tartozzon egy detektorpár Egyikhez +1 a
másikhoz -1 tartozik, ħ/2 egységekben mérve
 Amikor a forrás kibocsájt egy részecske párt, akkor az szinglett
állapotban van:
 A két oldalon egy-egy detektor megszólal, a két oldali
eredményeket összeszorozva +1 vagy -1-et kapunk
 Átlagoljuk a méréseket: Eψ(a,b)= -a b
 Cél az volt, hogy találjon olyan kísérletsorozatot, amelyben a
kvantummechaniai eredményt nem lehet reprodukálni lokális
rejtett paraméteres modellel.
 CHSH: Koincidenciák: ++, +- …. 
 1. analizátor iránya: a vagy a’
2. analizátor iránya b vagy b’ :
|E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’)| ≤ 2
 Könnyű olyan a,b,a’,b’ vessző irányokat találni, melyek sértik az
egyenlőtlenséget. Ezekbe az irányokba állítva az analizátorokat, a
kísérletek a CHSH (Bell) egyenlőtlenséget megsértő eredményt
adnak
Cáfolat a lokális rejtett paraméterek feltevésének
Aliz és Bob
 Aliz és Bob mérik a spin komponenseket különböző tengelyeken:
x’,z’, amelyek az x-z síkon vannak. Mindkét mérés eredménye +
vagy -.
 Mindkét válasz valószínűsége egyforma:
sin2((φA- φB)/2), ahol φA, φB tengelyek x’ z illetve z’ z
tengelyek között.
 Eredmények: φA= φB Ellentétes, 0
φA= φB + 180  Egyenlő ,1
φA- φB = 120  3/4
Kvantum Információk
Qbitek
 Kvantumbit: bit = 0 vagy 1, addig a qbit két állapot
szuperpozíciójában is képes lenni.
 n db qbit a Hilbert térben 2n dimenziós teret alkot, ami 2n
kölcsönösen ortogonális kvantumállapot.
 Például: 3 regiszteres qbit:
|ψ>=a|000>+b|001>+c|010>+d|011>+e|100>+f|101>
+g|110>+h|111>, ahol a,..h є C
 Egy kvantum regiszter leírásához exponenciálisan növekvő számú
komplex szám szükséges (a fenti 3-qubites regiszter leírásához 23
= 8 komplex szám szükséges). A valamely kvantumállapot
becslésére szükséges klasszikus bitek száma a qubitek számával
exponenciálisan nő (n  2n). Egy 300 qubites kvantum
regiszterhez 1090 nagyságrendű klasszikus regiszter szükséges,
ami több, mint ahány atom van a megfigyelhető világegyetemben
Qbitek hordozói
 Mezoszkópikus kvantumrendszerek, makro- és mikro rendszerek
között
 Repülő qbit: A foton, többféle módon kódolható bele egy qbitnyi
koherens információ. Lineáris polarizáció
Cirkuláris polarizáció
Időben szétválasztott imp. Pár
 Foton hullámcsomagok lelassítása gondot okoz
 Fotonokkal gyorsan lehet számolni, de át kell írni tömeges
adathordozókról qbitre
 Szilárdtest rendszer; Kvantum - pötty
 Keresztezett lézersugarak
 Chipek, stb.
Kvantum kapuk 1.
 Qbitek egyszerű unitáris operátorai.
 Például:
|0>  |0> és |1> exp(iωt)|1>, akkor t idő elteltével a
műveletet elvégezzük a qbiten, azaz:
 P = |0><0|+exp(iθ)|1>
Kvantum kapuk 2.
 I ≡ |0><0| + |1><1| Identitás
 X ≡ |0><1| + |1><0| Nem
 Z ≡ P(π)
 Y ≡ XZ
 H ≡ (1/√2)[(|0>+|1>)<0| + (|0> - |1>)<1|]
 Az unitáris operátorok két qbiten végeznek műveletet, de:
|0><0| X I + |1><1| X U, ahol I: szinglett - qbit identitás
operátor U: szinglett –qbit
 Irányított-NEM (Controlled-NOT):
|00>  |00> ; |01>  |01>
|10>  |11> ; |11>  |10>
aa, ba X b
X: XOR
 ÉS (AND): 3 qbit „ Irányított-Irányított-NEM” kapu:
aa, bb, 0ab
Klónozás?
 Az eredeti és a klón közös Hilbert-térben rávetítene egy
olyan altérre, ahol a klón és az eredeti megegyezik, azaz
projektor, ami nem lehet unitér transzformáció.
 Ugyanakkor dekoherencia bevezetésével a projektorok is
megvalósíthatók.
 DE: Ha egy kvantumállapotra elkészítjük ezt a projektort, az
már egy másik állapotra nem működik.
Nincs klónozás
 Egy kvantum állapot nem klónozható / másolható
 Készítsünk|α> -ról másolatot:
U: unitér operátor  U(|α>|0>)=|α>|α>
U nem függ α-tól, így U(|β>|0>)= |β>|β>
Összefonódott állapotuk |γ>=(|α>+ |β>)/√2, ekkor: U(| γ
>|0>)= (|α>|α>+ |β>|β>)/√2≠|γ>|γ>  Hiba történt a
másoláskor
 Kontraszt a klasszikus másolással
 C-NOT vagy XOR |0>-t vagy |1>-et „másolhat”, de már gond lehet
a |+>=(|0>+|1>) √2 és a
|->=(|0>-|1>)/ √2 állapotoknál is.
Következmény
 Nincs klónozás és az EPR paradoxonnal azt mutatja, hogy
kvantum mechanika konzisztens.
 Ha van klónozás EPR korrelációval lehet a fénysebességnél
gyorsabban üzenni.
Sűrű kódolás 1.
 Qbitek alkalmasak információ tárolásra és küldésre.
 Például: Klasszikus 00101 string
Aliz: |00101>
Bob: Tudja tömöríteni az információt mindegyese qbit mérésével a
{|0>,|1>} alapján.
 Aliz és Bob: |00> + |11> állapotban vannak
 Soha nem beszéltek még
 Aliz küld 2 klasszikus bitet, Bob 1 qbitet (Bennet és Weisner, 1992)
 Bell bázis: Kölcsönösen ortogonális állapotok:
|00>+|11>, |00>-|11>,|01>+|10>,|01>-|10>
Sűrű kódolás 2
 Aliz legenerálja valamelyik Bell bázis állapotot a qbit-jén az




{I,X,Y,Z} operátorokkal. 4 lehetősége van, hogy a választása 2
klasszikus bitet reprezentáljon.
Elküldi Bobnak, akinek vissza kell fejteni, melyik bázis állapotban
van a qbit. XOR kapu: |00> ±|11>-től |01> ±|10>-ig
Megtalálja a jelet egy szuperponált állapotban, H operátorral
megméri a maradékokat.
Nehezen megvalósítható
Nem praktikus a klasszikus kommunikációban
Kvantum Teleportáció 1.
 Egy rendszer tetszőleges kvantum állapotát átmásolni lehet




egy másik rendszerre úgy, hogy az eredeti megváltozik
megvalósítható.
Alapművelet
Másolás: Foton Atomos hordozók vagy vissza megfelel egy
kvantumszámítógép memória műveleteire: írás-olvasás
Egy összefonódott részecskepárt pl. polarizált szinglett
fotonpárt használ átvitelre
A fotonpárt szétküldjük az információt leadó ill. felvevő
rendszer felé. Ezután:
 Határozzuk meg kvantumméréssel a teleportálandó állapotú
rendszerek és a pár hozzá küldött tagjának közös kvantum állapotát
 Klasszikus információs csatornán továbbítás
 A megkapott eredmény és fotonpár vevőoldali tagja együttesen
meghatározza, hogy milyen unitér tr. viszi át a vevő rendszert az
eredetivel azonos, teleportált állapotba.
 Prototípus: LOCC
 Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk
Kvantum teleportáció 2.
 Aliz szeretne Bobbal kommunikálni egy szinglett qbit állapotban |φ>.






Ha Aliz ismeri – mondjuk |φ>=0 – akkor tud üzenetet küldeni.
Ha nem ismeri nem tud küldeni, és bizonyossággal nem is ismerheti
meg Vagy egy fizikai qbitet küld (elektron, atom) vagy állapotot
változtat.
Aliz és Bob pozíciója:|00>+|11>
Aliz üzenni szeretne Bobnak az ismeretlen |φ> állapotba.
Felírhatjuk, hogy |φ> = a|0> + b|1>, ahol a,b ismeretlen
együttható
3 qbit inicializált állapota:
a|000>+b|100>+a|011>+b|111>
Aliz kiszámolja a Bell bázist az első 2 qbiten
Aliz alkalamzza XOR és a H kapukat, mielőtt megmérné a qbitjét,
majd az állapot bekerül a 4 különböző lehetséges állapot egyikébe
(összeomlik) és 2 bitet küld el.
 Bob: {I,X,Y,Z} operátorokat alkalmazza az ő qbitjére a|0>
+ b|1> = |φ>
 Megkapta azt az üzenetet, amit Aliz akart
 Amint megérkezik az üzenet Bobnak Aliznál eltünik  Ez nem
klónozás.
Kvantum titkosírás
 Charles Bennett és Gilles Brassand 1984 BB’84
 Polarizált fotonok sorozatában kódolva, kétféle polarizációs rendszer




véletlen váltogatásával kell elküldeni, pl.: 0 = ↕ vagy↗ 1 = ↔ vagy ↖
Példa: 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 …
Alíz: ↕ ↗ ↖ ↗ ↔ ↗ ↔ ↖ ↕ …
Bob: Nem tudja, hogy a 2 közül melyik kódolást használta Aliz. Utólag
nyilvános telefonon megbeszélik, hogy polarizátor-analizátor beállításait és
amelyik bitnél azonos volt a beállítások, azt elfogadják a kód részének.
Aliz és Bob feláldozzák a kód egy részét, hogy megállapítsák történt –e
lehallgatás.
Megmondják egymásnak, hogy a küldött és fogadott bit értékét és ha a
kettő különbözik, akkor zaj vagy lehallgatás történt. Ha a zaj szinthez
képest túl sok az eltérés, akkor lehallgatás történt, és a kódot elvetik.
Lehallgatás legegyszerűbb módja
 Éva feltartóztatja a qbiteket és megnézi őket, majd tovább küldi






Bobnak
Átlagosan fele annyi idő alatt Éva kitalálja Aliz bázisát helyesen és
nem zavarja biteket.
Habár kitalálja nem esik egybe Bobéval ui. Éva a bitek felét találta
el. Aliz és Bob később megzavarják a másik felét.
Bob |+> Aliz |0>-t küld  Éva már csak n/4-t ismer
Aliz és Bob most már tudják érzékelni a lehallgatást.
Ha megegyezik minden bit, meggyőződhetnek arról, hogy nincs
lehallgató, akkor annak a valószínűsége, hogy mégis jelen van:
n = 1000 (3/4)n/2 ≈ 10-125
Sok rendszert dolgoztak már ki.:
E91, EPR párok, stb.
Adattömörítés
 Mennyi információ nyerhető ki egy qbitből?:




S(ρ) = -Tr ρ log ρ, ahol Tr.: nyom operátor (trace) , ρ: sűrűség
operátor
Tfh.: X valószínűsége: p(X)
Ha kvantum rendszer a |x> állapotban van, akkor: ρ = Σx
p(x)|x><x|  S(ρ)
Kapcsolat: Ha n>>1, akkor bontsuk fel kisebb részekre és azokat
küldjük el. Encode – Decode
q, n  átküldés  q’, n, ρ’ akkor sikeres, ha: ρ’ közel van ρ-hoz (q:
kvantum rendszer állapota)
Hűség:
 Ha ρ, ρ’ ua. az állapota |φ>< φ| és |φ’>< φ’| 
f = |< φ| φ>|2