第七章 力學能與碰撞 七－１ 七－２ 七－３ 七－４ 七－５ 七－６ 功、能與功能原理 力學能 力學能守恆 碰撞 功率 能量守恆定律 七－１ 功、能與功能原理 功的定義：功=外力大小沿受力方向的位 移分量=位移大小沿位移方向的外力分量 （１）定力： （２）變力： 2/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功的單位 （１）M.K.S.制：焦耳（joule=N-m，J） 1焦耳=1牛頓-公尺 （２）C.G.S.制：耳格（erg=dyne-cm） 1耳格=1達因-公分 （３）1焦耳=10,000,000耳格 3/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功的特性 （１）功為純量，其值有正負之分： （２）外力為零，功必為零； （３）位移為零，功必為零； （４）位移和外力垂直，功必為零。 （５）F-s圖下面包圍的面積=功， s軸以上取正(W>0)，s軸以下取 負(W 4/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 能（能量） （１）意義：「能做功」的物理量稱為「能量」； （２）能和功屬於同一類物理量； （３）各種能量之間可以互相轉換，且其總和為 一定值（能量守恆定律）； （４）熱力Ⅱ定律：熱量無法100%轉換成其它 種類的能量，但其它種類的能量可以100%轉 換成熱量。 5/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 能（能量） （５）類型： 6/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功能原理： W合外力=DK 合外力對物體所做的功會轉換成物體的動 能，若合外力作正功，則物體的動能增加； 若合外力作負功，則物體的動能減少。 （１）一個可以對外界做功的物體便具有能量； （２）能量可以轉換為功，功亦可以轉換為能量。 7/71 結束 七－２ 力學能 力學能的意義 動能和位能合稱「力學能」或「機械能」 動能 （１）定義： （２）物理意義 ①動能和物體是否在運動有關，靜止不動者動能為零； ②動能和速率平方成正比（子彈的殺傷力比石頭大的 原因），和質量亦成正比（卡車的破壞力比汽車 大的原因）； ③動能會隨著觀察者的不同而異。 8/71 結束 七－２ 力學能 動能 （３）來源：對等加速度直線運動而言 v2=v02+2aS mv2/2=mv02/2+maS 將C值選為0，表示物體靜止時的動能為零。 （４）動能與動量的關係 ①動量相同時動能不一定相同，反之亦然； ②質點系統之總動量為零時總動能未必為零，但是總 動能為零時總動量必定為零。 9/71 結束 七－２ 力學能 位能 （１）意義：物體彼此之間的相對位置或形狀發 生改變時便伴隨有能量的變化，此種能量變 化統稱為「位能」。 10/71 結束 七－２ 力學能 位能 （２）例子 ①物體高度不同所對應的能量稱為「重力位能」； ②彈簧形變時所對應的能量稱為「彈力位能」； ③帶電體分佈不同所對應的能量稱為「電位能」。 11/71 結束 七－２ 力學能 位能 （３）特性 ①位能屬於所有參與作用的物體所共有； ②位能的變化量才有實質意義； ③物理系統的自然趨勢是朝位能最小的狀態演變，當 位能無法再改變時系統便達到平衡狀態。 12/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （１）意義：物體間由於有重力作用，當其距離 改變時便伴隨能量的增減，此能量以「重力 位能」來表示。 ①重力位能是屬於整個系統的能量，而非單獨屬於某 一物體所有；蘋果的重力位能是指蘋果和地球共 有的重力位能，沒有地球的存在就沒有此位能。 ②一物體的重力位能（相對於地球而言）是其位置的 函數。若重力作負功，則物體的位置上升，物體 的重力位能增加；若重力作正功，則物體的位置 下降，物體的重力位能減少。 13/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （２）地表附近（均勻重力場）的重力位能 Ug(0)=C Ug(h)=W(0h)=C+Fh =C+mgh ①施力將物體從高度a移至高度b所需做的功為 W(ab)=Ug(b)-Ug(a)=mg(b-a) 重力位能的大小只和起點與終 點的位置有關，和運動路徑無 關，也和C值（零位面的選擇） 無關。 14/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （２）地表附近的重力位能（續） ②重力位能的絕對大小無實質意義，其差值才有實際 作用；我們可以選擇任意高度當作零位面，但是 選定後就不可再變更； ③「等位面」是由重力位能相等的所 F 有點集合而成的假想面，等位面 的法線方向就是重力的方向。 ④範例：若一自由落體自高h處掉至地面，則 重力對自由落體所做的功變成自由落體的動能 15/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能 常數C和零位面的選擇有關，通常選擇兩物 體相距無窮遠處的重力位能為零，即 Ug()≡0 C=0 16/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ①簡易推導：將質量m的物體等速從距離質量M的星 球r處推至R處，分成n個步驟，每次移動Dr=(Rr)/n（r=r0、 R=rn，rk=r+kDr），則第k步做功 17/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ②星球的重力位能 18/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ③星球表面（地表附近）的重力位能 重新定義零位面Ug(R)=0使得上式中的定值為零，則 地表附近的重力位能可以表示成Ug(h)=mgh。 19/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ④球狀物體的等位面： 球狀物體的重力場具有球對稱的特性，因此其等 位面為以物體球心為中心的同心球面。物體從等 位面A移動至等位面B所需的能量是固定的，和路 徑（a、b或c）或起點、終點的位置無關。 20/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑤圓軌道人造衛星之力學能：定無限遠處為零位面 圓： 21/71 第一宇宙速率（繞地球做圓周運動的最小速率） 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑥脫離能Ee：物體自星球表面脫離星球引力所需的最 少能量 U(R)+Ee=0 第二宇宙速率（脫離地球跑到無窮遠） 22/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑦束縛能Eb：使物體從公轉軌道脫離 星球引力所需的最少能量 E(r)+Eb=0 第三宇宙速率（脫離太陽跑到無窮遠） 23/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （１）意義：在物體形狀改變（伸縮、彎曲或扭 轉）的過程中會造成能量的增減，此種能量 變化以「彈力位能」的形式來表示，此時物 體欲恢復原形的力量稱為「恢復力」。 24/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （２）特性：彈力位能是形變量的函數。恢復力 作負功時形變量增加、彈力位能增加，恢復 力作正功時形變量減少、彈力位能減少。 25/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （３）公式：當彈力係數k的彈簧從原長（自然 長度）L0伸長或壓縮x時（末長度為L=L0±x）， 其儲存的彈力位能為 （面積法） 或 （積分法） ①參考動畫：鉛直S.H.M. 26/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （４）零位面：固定將原長的彈力位能當作零位 面，彈簧的伸長量或壓縮量都是和原長比較 的結果。 （５）與路徑無關：施力將彈簧從形變量 x1 拉 （或壓）至形變量x2所需做的功為 27/71 功的大小只和起點與終點的形變量有關 ，和施力過程無關。 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與非保守力 （１）保守力的意義：力所做的功僅和起點與終 點有關，和所經歷的路徑無關。 ①例子：重力、彈力、庫倫靜電力......等。 ②特性：若運動路徑為一封閉的迴路，則保守力所做 的功為零。 W(acb)=W(adb) W(acbda) =W(acb)+W(bda) =W(acb)-W(adb) =0 保守力所做的功可以用「位能」表示 28/71 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與非保守力 （２）非保守力的意義：不屬於保守力的作用力 均稱為「非保守力」。 ①例子：摩擦力、空氣阻力......。 ②特性：非保守力對物體做負功時物體的力學能減少， 非保守力對物體做正功時物體的力學能增加。 （３）比較 ①保守力所做的功可以用位能表示，非保守力則否； ②非保守力對物體所做的功和路徑有關，保守力則否。 （４）參考動畫：滑板競技場 29/71 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與力學能守恆 （１）內容：根據功能原理 W合外力=DK 若F非=0（W非=0） 定W保-DU=U初-U末 30/71 W保+W非=K末-K初 W保=K末-K初 U初-U末=K末-K初 U初+K初=U末+K末=U任意+K任意=定值 力學能守恆定律：若系統只受保守力作用， 則其力學能在運動過程中會保持定值，此 定值只和初力學能（初動能+初位能）有關 ，和運動路徑無關。 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與力學能守恆 （２）特性：保守力做正功時系統位能減少、動 能增加，保守力做負功時系統位能增加、動 能減少。 （３）力學能的變化量=非保守力所作的功 F合力=F保守力+F非保守力 31/71 W合力=W保守力+W非保守力 DK=-DU+W非保守力 W非保守力=DK+DU=(K末+U末)-(K初+U初) =E末-E初=DE 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： 動能+重力位能=定值 （１）拋體 vy22=vy12-2g(y2-y1) 拋體在運動過程中任何時刻的力學能保持 定值，上升過程重力位能增加、動能減少， 下降過程重力位能減少、動能增加。 32/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （２）鉛直面的圓周運動 ①重力位能（鉛直高度）會改變，故動能（切線速率） 和向心力也會改變，即鉛直面的圓周運動是變速 率及變加速度運動。 ②選擇軌道中心點為零位面： 33/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （２）鉛直面的圓周運動（續） ③最低點的速率不能太小，否則無法到達頂點。 F頂=mg+N頂mg 34/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （３）其它：單擺、雲霄飛車1（2）、拆除鐵球 35/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 動能+彈力位能+重力位能=定值 （１）水平彈簧的S.H.M.（動畫示範）： 動能+彈力位能=定值（重力位能固定） ①起始（端點）狀態：速率為0、形變量最大(x=x0) ②平衡點狀態：形變量為0、速率最大(v=v0) 36/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （１）水平彈簧的S.H.M.（續） ③任意點狀態：形變量為x、速率為v v-x關係圖和p-x關係圖（相圖） 均為橢圓，不同的起始能量對應 不同的橢圓。 37/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （２）鉛直彈簧的S.H.M. ①平衡點的伸長量為x0： mg=kx0
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第七章 力學能與碰撞 七－１ 七－２ 七－３ 七－４ 七－５ 七－６ 功、能與功能原理 力學能 力學能守恆 碰撞 功率 能量守恆定律 七－１ 功、能與功能原理 功的定義：功=外力大小沿受力方向的位 移分量=位移大小沿位移方向的外力分量 （１）定力： （２）變力： 2/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功的單位 （１）M.K.S.制：焦耳（joule=N-m，J） 1焦耳=1牛頓-公尺 （２）C.G.S.制：耳格（erg=dyne-cm） 1耳格=1達因-公分 （３）1焦耳=10,000,000耳格 3/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功的特性 （１）功為純量，其值有正負之分： （２）外力為零，功必為零； （３）位移為零，功必為零； （４）位移和外力垂直，功必為零。 （５）F-s圖下面包圍的面積=功， s軸以上取正(W>0)，s軸以下取 負(W<0)。 4/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 能（能量） （１）意義：「能做功」的物理量稱為「能量」； （２）能和功屬於同一類物理量； （３）各種能量之間可以互相轉換，且其總和為 一定值（能量守恆定律）； （４）熱力Ⅱ定律：熱量無法100%轉換成其它 種類的能量，但其它種類的能量可以100%轉 換成熱量。 5/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 能（能量） （５）類型： 6/71 結束 七－１ 功、能與功能原理 功能原理： W合外力=DK 合外力對物體所做的功會轉換成物體的動 能，若合外力作正功，則物體的動能增加； 若合外力作負功，則物體的動能減少。 （１）一個可以對外界做功的物體便具有能量； （２）能量可以轉換為功，功亦可以轉換為能量。 7/71 結束 七－２ 力學能 力學能的意義 動能和位能合稱「力學能」或「機械能」 動能 （１）定義： （２）物理意義 ①動能和物體是否在運動有關，靜止不動者動能為零； ②動能和速率平方成正比（子彈的殺傷力比石頭大的 原因），和質量亦成正比（卡車的破壞力比汽車 大的原因）； ③動能會隨著觀察者的不同而異。 8/71 結束 七－２ 力學能 動能 （３）來源：對等加速度直線運動而言 v2=v02+2aS mv2/2=mv02/2+maS 將C值選為0，表示物體靜止時的動能為零。 （４）動能與動量的關係 ①動量相同時動能不一定相同，反之亦然； ②質點系統之總動量為零時總動能未必為零，但是總 動能為零時總動量必定為零。 9/71 結束 七－２ 力學能 位能 （１）意義：物體彼此之間的相對位置或形狀發 生改變時便伴隨有能量的變化，此種能量變 化統稱為「位能」。 10/71 結束 七－２ 力學能 位能 （２）例子 ①物體高度不同所對應的能量稱為「重力位能」； ②彈簧形變時所對應的能量稱為「彈力位能」； ③帶電體分佈不同所對應的能量稱為「電位能」。 11/71 結束 七－２ 力學能 位能 （３）特性 ①位能屬於所有參與作用的物體所共有； ②位能的變化量才有實質意義； ③物理系統的自然趨勢是朝位能最小的狀態演變，當 位能無法再改變時系統便達到平衡狀態。 12/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （１）意義：物體間由於有重力作用，當其距離 改變時便伴隨能量的增減，此能量以「重力 位能」來表示。 ①重力位能是屬於整個系統的能量，而非單獨屬於某 一物體所有；蘋果的重力位能是指蘋果和地球共 有的重力位能，沒有地球的存在就沒有此位能。 ②一物體的重力位能（相對於地球而言）是其位置的 函數。若重力作負功，則物體的位置上升，物體 的重力位能增加；若重力作正功，則物體的位置 下降，物體的重力位能減少。 13/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （２）地表附近（均勻重力場）的重力位能 Ug(0)=C Ug(h)=W(0h)=C+Fh =C+mgh ①施力將物體從高度a移至高度b所需做的功為 W(ab)=Ug(b)-Ug(a)=mg(b-a) 重力位能的大小只和起點與終 點的位置有關，和運動路徑無 關，也和C值（零位面的選擇） 無關。 14/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （２）地表附近的重力位能（續） ②重力位能的絕對大小無實質意義，其差值才有實際 作用；我們可以選擇任意高度當作零位面，但是 選定後就不可再變更； ③「等位面」是由重力位能相等的所 F 有點集合而成的假想面，等位面 的法線方向就是重力的方向。 ④範例：若一自由落體自高h處掉至地面，則 重力對自由落體所做的功變成自由落體的動能 15/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能 常數C和零位面的選擇有關，通常選擇兩物 體相距無窮遠處的重力位能為零，即 Ug()≡0 C=0 16/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ①簡易推導：將質量m的物體等速從距離質量M的星 球r處推至R處，分成n個步驟，每次移動Dr=(Rr)/n（r=r0、 R=rn，rk=r+kDr），則第k步做功 17/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ②星球的重力位能 18/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ③星球表面（地表附近）的重力位能 重新定義零位面Ug(R)=0使得上式中的定值為零，則 地表附近的重力位能可以表示成Ug(h)=mgh。 19/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ④球狀物體的等位面： 球狀物體的重力場具有球對稱的特性，因此其等 位面為以物體球心為中心的同心球面。物體從等 位面A移動至等位面B所需的能量是固定的，和路 徑（a、b或c）或起點、終點的位置無關。 20/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑤圓軌道人造衛星之力學能：定無限遠處為零位面 圓： 21/71 第一宇宙速率（繞地球做圓周運動的最小速率） 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑥脫離能Ee：物體自星球表面脫離星球引力所需的最 少能量 U(R)+Ee=0 第二宇宙速率（脫離地球跑到無窮遠） 22/71 結束 七－２ 力學能 重力位能 （３）一般化的重力位能（續） ⑦束縛能Eb：使物體從公轉軌道脫離 星球引力所需的最少能量 E(r)+Eb=0 第三宇宙速率（脫離太陽跑到無窮遠） 23/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （１）意義：在物體形狀改變（伸縮、彎曲或扭 轉）的過程中會造成能量的增減，此種能量 變化以「彈力位能」的形式來表示，此時物 體欲恢復原形的力量稱為「恢復力」。 24/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （２）特性：彈力位能是形變量的函數。恢復力 作負功時形變量增加、彈力位能增加，恢復 力作正功時形變量減少、彈力位能減少。 25/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （３）公式：當彈力係數k的彈簧從原長（自然 長度）L0伸長或壓縮x時（末長度為L=L0±x）， 其儲存的彈力位能為 （面積法） 或 （積分法） ①參考動畫：鉛直S.H.M. 26/71 結束 七－２ 力學能 彈力位能 （４）零位面：固定將原長的彈力位能當作零位 面，彈簧的伸長量或壓縮量都是和原長比較 的結果。 （５）與路徑無關：施力將彈簧從形變量 x1 拉 （或壓）至形變量x2所需做的功為 27/71 功的大小只和起點與終點的形變量有關 ，和施力過程無關。 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與非保守力 （１）保守力的意義：力所做的功僅和起點與終 點有關，和所經歷的路徑無關。 ①例子：重力、彈力、庫倫靜電力......等。 ②特性：若運動路徑為一封閉的迴路，則保守力所做 的功為零。 W(acb)=W(adb) W(acbda) =W(acb)+W(bda) =W(acb)-W(adb) =0 保守力所做的功可以用「位能」表示 28/71 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與非保守力 （２）非保守力的意義：不屬於保守力的作用力 均稱為「非保守力」。 ①例子：摩擦力、空氣阻力......。 ②特性：非保守力對物體做負功時物體的力學能減少， 非保守力對物體做正功時物體的力學能增加。 （３）比較 ①保守力所做的功可以用位能表示，非保守力則否； ②非保守力對物體所做的功和路徑有關，保守力則否。 （４）參考動畫：滑板競技場 29/71 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與力學能守恆 （１）內容：根據功能原理 W合外力=DK 若F非=0（W非=0） 定W保-DU=U初-U末 30/71 W保+W非=K末-K初 W保=K末-K初 U初-U末=K末-K初 U初+K初=U末+K末=U任意+K任意=定值 力學能守恆定律：若系統只受保守力作用， 則其力學能在運動過程中會保持定值，此 定值只和初力學能（初動能+初位能）有關 ，和運動路徑無關。 結束 七－３ 力學能守恆 保守力與力學能守恆 （２）特性：保守力做正功時系統位能減少、動 能增加，保守力做負功時系統位能增加、動 能減少。 （３）力學能的變化量=非保守力所作的功 F合力=F保守力+F非保守力 31/71 W合力=W保守力+W非保守力 DK=-DU+W非保守力 W非保守力=DK+DU=(K末+U末)-(K初+U初) =E末-E初=DE 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： 動能+重力位能=定值 （１）拋體 vy22=vy12-2g(y2-y1) 拋體在運動過程中任何時刻的力學能保持 定值，上升過程重力位能增加、動能減少， 下降過程重力位能減少、動能增加。 32/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （２）鉛直面的圓周運動 ①重力位能（鉛直高度）會改變，故動能（切線速率） 和向心力也會改變，即鉛直面的圓周運動是變速 率及變加速度運動。 ②選擇軌道中心點為零位面： 33/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （２）鉛直面的圓周運動（續） ③最低點的速率不能太小，否則無法到達頂點。 F頂=mg+N頂mg 34/71 結束 七－３ 力學能守恆 重力作用下的力學能守恆： （３）其它：單擺、雲霄飛車1（2）、拆除鐵球 35/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 動能+彈力位能+重力位能=定值 （１）水平彈簧的S.H.M.（動畫示範）： 動能+彈力位能=定值（重力位能固定） ①起始（端點）狀態：速率為0、形變量最大(x=x0) ②平衡點狀態：形變量為0、速率最大(v=v0) 36/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （１）水平彈簧的S.H.M.（續） ③任意點狀態：形變量為x、速率為v v-x關係圖和p-x關係圖（相圖） 均為橢圓，不同的起始能量對應 不同的橢圓。 37/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （２）鉛直彈簧的S.H.M. ①平衡點的伸長量為x0： mg=kx0 x0=mg/k 當物體離平衡點x時（向上取正），其所受的合力為 F=k(x0-x)-mg=-kx 鉛直彈簧的運動屬於S.H.M. ②鉛直彈簧的S.H.M.牽涉到動能、重力位能和彈力位 能，若將重力位能的零位面設在彈簧原長處，則 零位面的選擇不恰當 38/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （２）鉛直彈簧的S.H.M.（續） ③將重力位能的零位面設在平衡點處，則系統的力學 能可以被簡化成與水平振盪相同的數學式。 第一項為等效位能（包含重力位能和彈力位能），x 的參考點是平衡點而非原長。 39/71 結束 七－３ 力學能守恆 彈力作用下的力學能守恆 （２）鉛直彈簧的S.H.M. （續） ④特性： 將平衡位置定為形變量的起點，則鉛直彈簧可看成「以平 衡點為中心做S.H.M.」的水平彈簧系統。 x=相對於平衡位置的形變量，A=相對於平衡位置的振幅， v0=平衡位置的速率（全程的最大速率）。 系統的等效位能（包含彈力位能和重力位能）為 彈簧的彈力位能（由原長算形變量）為 （３）其它範例：撐竿跳 40/71 結束 七－３ 力學能守恆 討論力學的兩種策略 （１）作用力法：從力的角度出發，先算出物體 的加速度，接著使用運動學的概念來算出物 體運動的各種物理量。 （２）能量法：利用「功能原理」、「力學能守 恆」或「能量守恆」的概念來計算物體在某 一運動狀態時的各種物理量。 （３）比較 ①「作用力法」處理向量的運算，所以較複雜；「能 量法」處理純量之間的守恆關係，所以較單純。 ②「作用力法」能夠得知系統的變動細節，「能量法」 較難瞭解運動細節。 41/71 結束 七－３ 力學能守恆 討論力學的兩種策略 （４）範例：試求出自由落體之速率與高度的關 係（不考慮空氣阻力）。 ①作用力法： 受力情況：F=mg=ma 加速度a=g 瞬時速度v(t)=gt 掉落高度h(t)=gt2/2=v2(t)／2g （與時間的關係清楚） ②能量法： 定出發點的重力位能為零：0+0=mv2/2-mgh h=v2／2g （與時間的關係不清楚） 實驗：力學能守恆－軌道、單擺 42/71 結束 七－４ 碰撞 碰撞的意義與分類 （１）意義：傳遞動量與力學能的物理過程 ①狹義：兩物體碰觸時因接觸力作用 而使速度或能量改變的物理現象， 例如：打棒球、撞球、車禍等。 剛體與彈性體：剛體只在接觸的那一瞬 間才有交互作用，不牽涉到彈力位能 的變化；彈性體的交互作用會持續一 段時間，且有彈力位能的變化。 ②廣義：兩物體因超距力作用而使速 度或能量改變的物理現象，例如： α粒子散射、探測船飛越木星等。 43/71 結束 七－４ 碰撞 碰撞的意義與分類 （２）分類－依據維度多寡 ①一維（直線）碰撞（牛頓擺）： 用一個速度分量便可描述的碰 撞，碰撞前後物體均在同一直 線上運動，又稱「正向碰撞」。 ②二維（平面）碰撞： 用兩個速度分量才能描述的碰 撞，碰撞的結果和「撞擊參數」 有關，又稱「斜向碰撞」 。 ③三維（立體）碰撞： 用三個速度分量才能描述的碰撞過程，在特殊條 件之下可簡化成二維碰撞或一維碰撞。 44/71 結束 七－４ 碰撞 碰撞的意義與分類 （３）分類－依據力學能守恆與否（實例） ①彈性碰撞： 系統的動量守恆、力學能守恆的碰撞過程，碰撞 前後系統的質心動能和內動能保持不變。 ②非彈性碰撞： 系統的動量守恆、力學能減少的碰撞過程，碰撞 後系統的質心動能不變、內動能減少，部份動能 轉變成熱能、聲能、光能等能量。 完全非彈性碰撞： 碰撞後兩物體合而為一，碰撞後系統的質心動能不變、 內動能為零，力學能損失最多。 45/71 結束 七－４ 碰撞 碰撞的意義與分類 （４）分類－依據恢復係數（針對一維碰撞） ①e=1：彈性碰撞，動量守恆、力學能守恆； ②0e<1：非彈性碰撞，動量守恆、力學能減少； e=0：完全非彈性碰撞，動量守恆、力學能損失最多。 46/71 結束 七－４ 碰撞 基本特性 設質量m1、速度v1和質量m2、速度v2的兩質 點發生碰撞 （１）系統總動量=質心動量+內動量 ①質心動量=系統總動量 ②內動量（質心所看到的動量）=0 47/71 結束 七－４ 碰撞 基本特性 （２）系統總動能=質心動能+內動能 ①質心動能 48/71 結束 七－４ 碰撞 基本特性 （２）系統總動能=質心動能+內動能（續） ②內動能 為「縮減質量」，v12=v1-v2 為相對速度。 49/71 結束 七－４ 碰撞 基本特性 （３）碰撞前、後 ①碰撞時的作用力屬於內力，故碰撞前的總動量=碰 撞後的總動量； ②碰撞時的作用力若為保守力，則碰撞前後的總動能 守恆；若有非保守力（摩擦力等）的作用，則碰 撞前後的總動能會減少，部份動能會轉變成熱能 或其它能量。 50/71 結束 七－４ 碰撞 基本特性 （４）碰撞期間 ①碰撞前期－接近過程 彈性碰撞：質心動能不變， 內動能逐漸轉變成位能； 非彈性碰撞：質心動能不變 ，內動能逐漸轉變成位能 和其它能量。 ②碰撞後期－遠離過程 彈性碰撞：質心動能不變，位能逐漸轉變成內動能； 非彈性碰撞：質心動能不變，位能逐漸轉變成內動能和其 它能量。 51/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞：兩物體保持在同一直線上 （１）從「地面座標系統」來看 動量守恆： p=m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'=p' m1(v1-v1')=m2(v2'-v2) 動能守恆： m1(v1-v1')(v1+v1')=m2(v2'-v2)(v2'+v2) v1+v1'=v2+v2'=2vc v1-v2=v2'-v1'（接近速度=遠離速度） 52/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （１）從「地面座標系統」來看（續） ①恢復係數：e=1（任何質量） ②通用公式： ③速度交換：若m1=m2，則 等質量的質點做一維彈性碰撞後速度互換 53/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （２）從「質心座標系統」來看（環與球） ①質心速度： 54/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （２）從「質心座標系統」來看（續） ②撞前： m1v1c+m2v2c=0 撞後： m1v1c'+m2v2c'=0 對質心而言，彈性碰撞前、後質點之速度相反。 55/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （３）速度和質量的關係：設v2=0 ①m1（卡車）>>m2 v1'v1、v2'2v1 ②m1>m2 v1'>0、v2'>0 56/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （３）速度和質量的關係：設v2=0（續） ③m1=m2 v1'=0、v2'=v1 （速度交換） 57/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （３）速度和質量的關係：設v2=0（續） ④m1<m2 v1'<0、v2'>0 ⑤m1<<m2（牆壁） v1'-v1、v2'0 58/71 結束 七－４ 碰撞 一維彈性碰撞 （４）能量的轉移：設v2=0 ，t=m1/m2為兩物體的質量比值。 ①ge(t)=ge(1/t) ②t=1時ge有最大值1（動能全部轉移） ，質量相差愈大能量轉移率愈低。 59/71 結束 七－４ 碰撞 一維非彈性碰撞 （１）動量守恆、力學能減少，部份內動能轉變 成其它種類的能量（熱量等）。 （２）力學能減少的量和碰撞細節有關，故無法 得知碰撞後狀況，但完全非彈性碰撞除外。 60/71 結束 七－４ 碰撞 一維非彈性碰撞 （３）一維完全非彈性碰撞 ①撞後合為一體，故合體速度=質心速度： ②恢復係數e=0； ③碰前總動能： ④碰後總動能=質心動能： ⑤碰後損失的動能=內動能： 61/71 結束 七－４ 碰撞 二維彈性碰撞 （１）意義：兩物體的質心在同一平面上運動， 但未共線；此時未知數變有4個（加上撞擊參 數則為5個），而方程式只有3個（2個動量守 恆及1個動能守恆，考慮撞擊參數時再加1個 角動量守恆），所以無法得到公式解，只能 根據題目的條件解出特定的解。 62/71 結束 七－４ 碰撞 二維彈性碰撞 （２）設v2=0，則 63/71 結束 七－４ 碰撞 二維彈性碰撞 （３）質量與角度的關係：若m1=m2 等質量的物體做斜向彈性碰撞後其行進方 向必互相垂直，和撞擊參數無關。 64/71 結束 七－４ 碰撞 二維彈性碰撞 （４）撞擊參數與角度的關係（動畫） ①b=0時，二維的正向彈性碰撞可以化簡成一維的彈 性碰撞，此時碰撞後的運動狀況可以完全掌握。 ②若b≠0且無外力的參與，則 系統的角動量必須守恆。 bv1=yv1' 多一個角動量守恆的關係式卻也多了一個未知 數y，y的大小和物體的質量、形狀及作用力有關。 65/71 結束 七－４ 碰撞 二維彈性碰撞 （４）撞擊參數與角度的關係（續） ③若不考慮摩擦力（球體表面光滑），則碰撞時的作 用力將沿著兩球連心線的方向（徑向）。設兩球 體的半徑分別為r1和r2、撞擊參數為b，則 （５）參考動畫：碰撞實驗室 （６）實驗：二維空間的碰撞 （７）趣味範例：虛擬保齡球、撞球 66/71 結束 七－５ 功率 定義 功率＝單位時間內所做的功 ＝做功速率的快慢＝功的時變率 （１）平均功率 （２）瞬時功率 67/71 瞬時功率＝外力與物體運動速度的內積 結束 七－５ 功率 單位 （１）MKS制：瓦特(W) 1瓦特＝1焦耳／秒＝1牛頓．公尺／秒 （２）1仟瓦＝1000瓦特 （３）1馬力(horse power, HP)＝746瓦特 度：電能的單位 1度電＝以1仟瓦的功率連續用電1小時所消 耗的電能＝3,600,000焦耳 （１）「度」是能量的單位，不是功率的單位； （２）家用電錶（瓦時計）紀錄的是用電的度數 68/71 結束 七－６ 能量守恆定律 意義： 「孤立系統」中各種能量可互相轉變，但其 總和保持不變。 「力學能守恆定律」是「能量守恆定律」的 一個特例 69/71 結束 七－６ 能量守恆定律 能量守恆定律是強而有力的假設 ，其有效性建立在無數實驗的基 礎之上。當我們發現新型式的能 量時，將其加入能量守恆的內容 便可維持該定律的有效性。 相對論之「質能互換公式」： E=mC2 「質能守恆定律」是適用 範圍最廣的能量定律 70/71 結束 七－６ 能量守恆定律 總結 71/71 結束 參考資料 當哈利波特遇上物理-力學篇（翰林） 創意教學-動靜皆宜（南一） 骨子裡不一樣：轉動動能 72/71 結束