課程名稱：功能定理與能量守恆
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Transcript 課程名稱：功能定理與能量守恆
課程名稱：
功能定理與能量守恆
編授教師：
中興國中 楊秉鈞
功能定理
功能定理
功能定理：
（1）原理：合力對物體所作的功等於 動能的變化量
（2）導證：
。
1
1
2
2
mV
mV
W＝EK
2
1
2
2
V2 EK 2
V1 EK1
F
F
X
2
2
1
1
V2 V1 2aX
2
2
EK EK 2 EK 1 mV2 mV1
2
2
2
2
V2 V1 2aX
1
1
2
2
m V2 V1 m2aX
2
2
ma X FX W
W EK
功能定理：
功能定理
（3）功能轉換：
鉛直面上運動：
以外力將物體鉛直方向上提時：
外力作功＝物體增加之位能
。
W U FX mgh
V1
or
h
W W f U FX fX mgh
X
物體由高處落下時：
F
V2
減少的位能＝物體增加的動能
。 V1
X
1
1
2
2
U EK mgh mV2 mV1
2
2
or
F
V2
1
1
2
2
U W f EK mgh fh mV2 mV1
2
2
功能定理
功能定理：
（3）功能轉換：
水平面上運動：以水平外力推物體沿力方向運動：
外力作功＝物體增加之動能 。
1
1
2
2
W EK FX mV2 mV1
2
2
W W f EK FX fX
or
V1
1
1 F 2
2
mVh2 mV1
2
2
X
F
V1
V2
X
V2
範例解說
1.質量為 5 kg的靜止物體，受30 N的外力水平向右推動。
當作用力推動物體 4秒後，隨即放手。試回答下列問題：
4秒時，物體的動能大小為 1440 焦耳。
0～4秒間，外力作功 1440 焦耳。
F ma 30 5 a
a 6 m
s2
1 2 1
2
X V1t at 6 4 48m
2
2
W FX 30 48 1440J
1
1
2
FX W EK mV2 mV12
2
2
範例解說
2. （ D ）如圖所示，以不同的方式將同一物體等速提升2m，則有關
施力對物體作功的敘述，下列何者是正確的？（不計摩擦）
（A）Fa 所作的功最小 （B）Fb 所作的功最大
（C）Fc 不作功
（D）三力所作的功相同。
外力作功 物體提升之位能
Wa Fa 2
Wb Fb 4
Wc Fc 6
U mgh Wa Wb Wc
Fa Fb Fc
力學能守恆
力學能守恆：
力學能守恆
（1）力學能： 動能 與 位能 的總和，也稱作 機械能
。
E EK U
（2）力學能守恆：
物體只受 重力 或 彈力 而沒有其他外力（如阻力）作用時，
物體在整個運動過程中，動能與位能的總和不變。
E EK1 U1 EK 2 U 2 ... EKn U n
動能與彈力位能總和不變：
動能與重力位能總和不變：
E EK1 U1 EK 2 U 2 ... EKn U n
1
1
1
2
2
2
E mV1 mgh1 mV2 mgh2 ... mVn mghn
2
2
2
力學能守恆：
力學能守恆
（3）實例討論：
自由落體：m公斤的物體由高 h 公尺處自由釋放
C 點位能最小； A 點位能最大。
A 點動能最小； C 點動能最大。
列出各位置的力學能守恆式：
EK A U A EK B U B EK C U C
。
2 gh
由最高點靜止下落，著地時的速率＝
U mgh U h
VA A
h
VB B
V C
m/s。
E EK U U , EK : 一 大一小
最高點位能 最低點動能
EK A U A EK C U C
1
0 mgh mV 2 0
2
V 2 2 gh V 2 gh
力學能守恆
力學能守恆：
（3）實例討論：
斜面（或軌道）：m公斤的物體由高 h 公尺斜面 A 處自由釋放
B 點位能最小； A、D 點位能最大。
A、D 點動能最小； B 點動能最大。
列出各位置的力學能守恆式：
EK A U A EK B U B E K C U C EK D U D
。
2 gh
由最高點 A 自由下滑，至最低點 B的速率＝
m/s。
由右側 A 釋放後，能達到左側高度hD，大小關係？ h hD 。
EK A U A E K B U B
EK A U A EK D U D
1
mgh mV 2 V 2 gh
2
A
D
hD
mgh mghD
h hD
h
C
B
（媒體：1，4’54”）
力學能守恆：
力學能守恆
（媒體：1）
（3）實例討論：
單擺：m公斤的物體由高 h 公尺 A 處自由釋放，C 點達最高點
B 點位能最小； A、C 點位能最大。
A、C 點動能最小； B 點動能最大。
列出各位置的力學能守恆式：
EK A U A EK B U B EK C U C 。
2 gh
由最高點 A 自由下滑，至最低點 B的速率＝
m/s。
由左側 A 釋放後，能達到右側高度hC，大小關係？ h hC 。
EK A U A E K B U B
1
mgh mV 2 V 2 gh
2
EK A U A E K C U C
h
hC
mgh mghC h hC
力學能守恆：
力學能守恆
（媒體：1，1’20”）
（3）實例討論：
彈簧：於 B 拉動彈簧至形變 C，使之往復運動
B 點位能最小； A、C 點位能最大。
A、C 點動能最小； B 點動能最大。
列出各位置的力學能守恆式：
EK A U A EK B U B EK C U C 。
B
C
A
UX
2
範例解說
1. 下列六個運動過程：
甲：垂直上拋，若不計阻力
；乙：單擺往復擺動，若不計阻力
丙：物體自由落下，若不計阻力；丁：自空中等速度下降的雨滴。
戊：自粗糙斜面滾下的物體
；己：自光滑軌道滑下的滑車
其動能與位能的總和保持不變者為何？ 甲、乙、丙、己
。
2. （ D ）沿鉛直線拋上的物體，高度逐漸增加時，下列何者正確？ 符合
(A) 位能、動能均隨之增加 (B) 位能增加，動能不變。 力學能
守恆
(C) 位能減少，動能增加
(D) 位能增加，動能減少。
3. （ D ）如圖所示，甲、乙為均勻材質木板上的兩點，丙為水平地面
上的一點。丁丁將貨物置於甲點，使其沿斜面自由滑下。由
於摩擦力的作用，該貨物最後停止於丙點。當此貨物在水平
地面上由乙到丙之間滑動時，下列能量變化情形何者正確？
(A)貨物動能增加，重力位能減少
不符合
(B)貨物動能增加，重力位能不變
力學能守恆
(C)貨物動能減少，重力位能減少
(D)貨物動能減少，重力位能不變
範例解說
4.某人站在高臺上A點，分別從三個不同的斜面滑下，摩擦力可忽略：
（ D ）此人沿著那一斜面滑行至B 點時，重力所作的功最多？
(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 相同。
（ A ） 沿著哪一個斜面滑至B 點之動能最大？
(Ａ) 相同 (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 。
（ D ）到達 B 點時之速度，以沿哪一個斜面滑下者最大？
(Ａ)
(Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) 相同。
U EK
mg
h
W FX mgh
1
mgh mV 2
2
V 2 gh
範例解說
5. （ B ）質量 5 公斤物體，自距地面 20 公尺高處自由落下，當其位
能與動能相等時，物體距地面的高度為？
(A) 5公尺 (B) 10公尺 (C) 15公尺 (D) 20公尺。
EK1 U1
20m
EK 1 U1 EK 2 U 2
0 mg 20 2mg h
EK 2 U 2
h
EK 2 U 2 mgh
h 10
6.一10 公斤物體自高 490公尺自由落下，求物體著地瞬間的動能？
48020
焦耳。
EK U mgh 10 9.8 490 48020J
範例解說
7.有一小球沿光滑軌道由 A 點自由滾下，如圖所示，若不計任何阻力，
試回答下列問題：
( B )在運動的過程中，
小球在下列何處的動能最大？
(A) A、E (B) B、D
(C) C、D (D) D、E。
( A )在運動的過程中，小球在下列
何處的位能最大？
(A) A (B) B (C) C (D) D。
( B )在運動的過程中，小球是否可達到 E 點？
(A) 可以 (B) 不可以 (C) 視小球重量而定。
EK A U A EK B U B EK C U C EK D U D ...
1
1
1
2
2
2
0 mg 10 mVB 0 mVC mg 6 mVD 0 ...
2
2
2
VB VD 20 g
VC 8g
能量守恆
能量守恆定律
能量守恆定律：
（1）各種形式的能量可以互相轉換。
（2）能量的形式：
化學能
動能
位能
熱能
有速率
源自化學反應
有溫差 △T
有高度差
電能
光能
聲能
核能
發光
有聲波
發生核反應
產生電能
（3）能量守恆定律：
能量不會無中生有，也不會消失，
只是由一種形式的能量轉換成其他形式的能量，
但能量的總值 不變
。
能量守恆定律
能量守恆定律：
（4）能量轉換實例：
瓦斯爐： 化學 能
喇叭： 電
能
電
電燈：
能
化學能 光、熱能
光
聲
光
能及
能及
能及
電能 聲能、熱能
熱
熱
熱
能。
能。
能。
電能 光能、熱能
能量守恆定律
能量守恆定律：
（4）能量轉換實例：
核能發電： 核 能 熱 能 動 能 電 能。
動 能 電 能。
火力發電： 化學 能 熱 能
蒸汽
蒸汽
渦輪機
渦輪機
核
能
加
熱
水
火
力
發電機
發電機
蒸汽
蒸汽
能量守恆定律
能量守恆定律：
（4）能量轉換實例：
水力發電供電： 位 能
水力推渦輪
動 能
發電機發電
電 能 光、熱 能。
日光燈、烤箱
範例解說
1.如圖，將質量10公斤的物體置於斜面頂的A點。當它由靜止下滑，
到達底部B點時，速率為 4公尺/秒。（g=10公尺/秒2）
試回答下列問題：
B 若定B點的重力位能為0，則物體在A點的重力位能？
(A) 196 (B) 200 (C) 490 (D) 500焦耳。
C
物體到達 B 點時，動能？
(A) 4 (B)200 (C) 80 (D) 160焦耳。
U A mgh 10 10 2 200J
EKB
1
1
2
mV 10 4 2 80J
2
2
U A EKB
有摩擦力作負功
範例解說
1.如圖，將質量10公斤的物體置於斜面頂的A點。當它由靜止下滑，到達底
部B點時，速率為 4公尺/秒。（g=10公尺/秒2）試回答下列問題：
B
在物體由A下滑至B的過程中，摩擦產生熱能多少焦耳？
(A) 116 (B) 120 (C) 36 (D) 40 焦耳。
B
若不計摩擦，物體到達 B 點時，動能？ U E
A
KB
(A) 4 (B)200 (C) 80 (D) 160焦耳。
U A W f EKB
200 W f 80 W f 120 J
可再求摩擦力大小:
W f fX
120 f 5
f 24 N
範例解說
2.如圖，今沿斜面施以30牛頓之力，將一重50牛頓的物體由A處等速推
上至B處：
此力共作功 600 焦耳。 物體獲得 500 焦耳的位能。
摩擦力共消耗了 100 焦耳的能量。
合力對物體作功 0 焦耳。
W人外力 FX 30 20 600J
U 物體 mg h 50 10 500J
30N
50N
W人外力 W f U 物體
W f 600 500 100J
等速 合力 0, 不作功
W f fX
100 f 20
f 5 N
課程結束