Transcript 動能與功

第七章 動能與功
7-2 能量是什麼？
7-4 功
7-6 重力所作的功
7-8 變力所作的功
7-3 動能
7-5 功和動能
7-7 彈力所作的功
7-9 功率
7-2 能量是什麼？
能量是和一個物體、系統有關的數
量。
能量可以由一種形式轉換成另一種
形式。
7-2 動能
動能 (Kinetic Energy): 和一物體運動
狀態有關的能量。
K
1
mv 2
2
其中 m 是物體質量， v 是速率。
動能的單位是焦耳 (Joule)
1 joule = 1 J = 1 kg˙m2/s2
例 7-1
當1986年在德州 Waco這個地方，Katy鐵路局的Willian Grush將兩個火車頭停在相距
6.4km長的鐵軌兩端，然後發動它們，讓它們以全速於30,000個觀眾前正面碰撞。假
設火車頭的重量為1.2×106 N，而碰撞前所保持著0.26 m/s2 的加速度，則兩個火車頭
碰撞之前的剎那間，總動能為何？
例 7-1
K
K
1
mv 2
2
v 2  vo2  2a( x  xo )
v 2  0 2  2(0.26m / s 2 )(6.4  103  2m )
v  40.8m / s (150km / h)
w  mg  1.2  106 N
1.2  106 N
5
m

1
.
22

10
kg
2
9.8 m / s
1
K  2( mv 2 )  mv 2  (1.22  105 kg)(40.8 m / s ) 2  2.0  108 J
2
1
mv 2
2
7-4 功
功 W 是將一力作用在物體上，使
能量轉移至物體或從物體轉移出來。
能量轉移至物體是正功。
從物體轉移出來是負功。
7-5 功和動能
力F 對物體所作的功為 W = F  d，其中d是物體受力後的位移向量， 是 F
和 d 之間的夾角。
Fx  max
K  K f  K i 
v 2  vo2  2a x d
1
1
mv 2  mvo2  ma x d  Fx d  ( F cos )d
2
2
 
W  K  Fd cos  F  d
7-5 功和動能
質點動能的變化  在質點所做的淨功
K  K f  Ki  W
 
W  F  d  F (d cos )  ( F cos )d

F


d
( F cos )d
F (d cos ) F


d
測試站 1：
一質點沿著 x 軸運動，在下列狀況下質點的動能會增加、減少或不變。速度改變(a)
從 -3m/s 到 -2m/s，(b) 從 -2m/s 到 2m/s，(c) 上述兩種情況中，對質點所作的功為正、
負或零？
例 7-2
圖為兩個工業間諜正在推動一原為靜止的保險箱，保險箱之質量為225kg，兩間諜沿
著直線將保險箱移動了8.50m。間諜1的推力F1=12.0N，方向為向下與水平夾30o角，
間諜2的拉力F2=10.0N，方向為向上與水平面夾40o角。若兩間諜施力的方向於保險
箱移動的過程中沒有改變，地板與保險箱之間亦無摩擦力。則(a) F1 和 F2 在保險箱
位移d其間，對保險箱作的總功為何？(b)此段位移中，重力 Fg 對保險箱作的功 Wg
為何？地板之正向力 N 對保險箱作的 WN 功又為何？(c)保險箱由靜止至移動了
8.50m的距離後，其速率 Vf 為何？
例 7-2
 
(a) W  F  d
 
W1  F1  d  F1d cos1
 (12.0 N )(8.50m )(cos30o )  88.33J
 
W2  F2  d  F2 d cos2
 (10.0 N )(8.50m )(cos40o )  65.11J
W  W1  W2  88.33J  65.11J  153.4 J  153J
(b)
 
Wg  Fg  d  mgd cos90o  0
 
WN  N  d  Nd cos90o  0
(c)
1
1
mv 2f  mvo2
2
2
2(153.4 J )
 1.17 m / s
225kg
W  K  K f  K i 
vf 
2W

m
例 7-3
暴風中，一箱子於地板上移動。為使木箱的移動慢下來，風施了一個力F來推它。其


ˆ
ˆ
d
中 F  (2.0 N )i  (6.0 N ) j ，在風推動的過程中，木箱移動的位移為  (3.0m)iˆ 。則(a)
在此位移的過程中，風施的力對木箱作了多少功？(b)若此木箱於位移d開始前具有
動能10J，則其於位移後之動能為何？
例 7-3
(a)
 
W  F d
 
W  F d
 [(2.0 N )iˆ  ( 6.0 N ) ˆj ]  [(3.0 m )iˆ ]
 ( 6.0 J )(iˆ  iˆ )  (18.0 J )( ˆj  iˆ )
 ( 6.0 J )
(b)
W  K
W  K  K f  K i
K f  W  K i  ( 6.0 J )  (10 .0 J )  4.0 J
測試站 2：
下圖為力作用於盒子上的四種情形，盒子向右滑過無摩擦力的地板而有位移d。若力
的大小是相同的，方向則如圖所示。試根據位移時力對盒子作功的情況，由大至小
排列之。
7-6 重力所作的功
 
Wg  Fg  d  mgd cos
 垂直上升的物體
(  = 180o )
Wg = －mgd
垂直掉落的物體
(  = 0o )
W g = ＋m g d
7-6 重力所作的功
W F ,up
F
g
 
 F d
 Fy cos0 o  Fy
W F ,down
 
 F d
 Fy cos 180 o   Fy
y
WF ,up  WF ,down  ( Fy )  (  Fy )
0
例 ex-1
將一個五斗櫃推上一片長4.0 m的活動斜板，來搬上卡車。五斗櫃加上包裝
材料的重量是1400 N。搬運工人必須決定要如何把五斗櫃從地面搬到1.0 m
高的卡車底座上。 (a)若工人以恆速把五斗櫃直接舉高1.0 m，請求出工人在
五斗櫃上做的功。 (b)若工人以恆速把五斗櫃推上4.0 m長的無摩擦力活動斜
板，五斗櫃被推的方向與活動斜板平行，請求出工人所做的功。 (c)請求出
以上兩種情形中，重力對五斗櫃所做的功。(d)請求出活動斜板的法線力對五
斗櫃所做的功。假設所有的力都是恆定的 。
例 ex-1
(a)
 
W  F d


W工 人  F工 人  d  Fd cos
 (1400N )(1.0 m )(cos0 o )  1400J
在此=0，因為力和位移的方向是一致的(向上)。
(b)
Fnet , x  F工人  mg sin  max  m(0)  0
h
1.0 m
F工 人  mg si n  mg   (1400N )(
)  350N
d
4.0 m


W工人  F工人  d  F工人d cos  (350N )(4.0m)(cos0 o )  1400J
(c)
 
Wg  Fg  d  mgd cos180o  (1400N )(1.0m)(1)  1400J
(d)
 
WN  N  d  Nd cos90o  0 J
測試站 3：
假設我們以相同的高度h但較長的斜坡抬起五斗櫃(如上例)，則(a)此時工人所作的功
較先前為大、小或相同？(b)此時移動五斗櫃工人所需之力較先前為大、小或相同？
例 7-6
一質量m = 500 kg的升降機正以vi =
4.0 m/s的速率下降，此時控制它的
纜繩開始滑動，使它以固定的加速
度a = g/5 下降。則(a)當其落下一段
距離 d = 12m 時，重力 Fg 對機廂所
作的功Wg 為何？(b)落下12m時，升
降機的纜繩作用於機廂的向上拉力T
對機廂所作的功WT為何？(c)在落下
過程中，作用於機廂的淨功為何？
(d)下落12m的最後，機廂的動能為
何？
例 7-6
(a)
 
W g  Fg  d  mgd cos0 o
 (500kg)(9.8 m / s 2 )(12m )(1)
 5.88  104 J  59kJ
(b)



Fg  T  ma


4 

 
 1
 T  Fg  ma  m( g  a )  m( g  g )  mg
5
5
  4
WT  T  d  mgd cos
5
4
 ( 500kg)(9.8 m / s 2 )(12m )(cos180o )
5
 4.70  104 J  47 kJ
 
W  F d
例 7-6
(c)
W  W g  WT
 (5.88  104 J )  ( 4.70  104 J )
 1.18  104 J  12kJ
(d)
W  K  K f  K i
K f  W  Ki
1
 mvi2  W
2
1
 (500kg)(4.0 m / s ) 2  1.18  104 J
2
 1.58  104 J  16kJ
7-7 彈力所作的功
虎克定律 (Hooke’s Law): 彈簧所施的力
正比於彈簧的位移
F=kd
k 稱為力常數 (force constant)。
-F
kd
d
x
7-7 彈力所作的功
若木塊初始的位置為 xi 且移動後末位置為 xf，則
彈力所作的功
Ws   FjΔx  Ws    Fx dx
x
xf
x 0
xi
i
W s    kxdx   k 
xf
xf
xi
xi
xdx
1
1
2 xf
 (  k )[ x ] xi  (  k )( x 2f  x i2 )
2
2
1 2 1 2
 kxi  kx f
2
2
xf
Fj
△x
-F
kx
1 2 1 2
W s  kxi  kx f  K
2
2
x
x
測試站 4：
下圖中，木塊沿著x軸的初位置和末位置分別為(a) -3cm , 2cm (b) 2cm, 3cm (c) -2cm,
2cm。上述這些情形，彈力對木塊所作的功為正值、負值或為零？
例 7-8
一質量m = 0.4 kg的木塊在一無摩擦的水平面上以v = 0.5m/s的固定速率滑
動。在其行進路徑上，將由於壓縮彈簧而暫時靜止。則彈簧被壓縮的距
離d為何？設彈力常數k為 750 N/m。
例 7-8
Ws 
0
d
1 2 1 2
kxi  kx f  K  K f  K i
2
2
1
1
kd 2  0  mvi2
2
2
m
0.4 kg
v
(0.5 m / s )  1.2  10 2 m  1.2cm
k
750N / m
例 ex-2
在一把射飛標的槍裡(如圖)，當裝上飛標(質量20.0 g) 時，一根k=400.0N/m的
彈簧被擠短了80.0 cm。當彈簧被放開時(如圖6.10(b)) 飛標在槍口的速率是多
少？
W壓縮彈簧= K飛鏢
1
1 2 1
2
2
 k(x f  x i )  kx i  m2
2
2
2

kxi2

m
400.0 N/m  (0.080 m)2
 11 m/s
0.0200 kg
7-8 變力所作的功
 當一力在作功時並不保持一定(變力),我們並不能直接將其乘上位移
來求功.
 要求功,首先須將位移分成許多小段,而在這些小位移內,力幾乎可以
視為常數,然後將這些小路徑的所有的功加總,以求得全部的功(其實
這就是積分).
Aj  底高  x  Fj ,avg
W j  Aj  Fj ,avg x
W   W j   Fj ,avg x
W  lim  Fj ,avg x   F ( x )dx
x
xf
x 0
i
7-8 變力所作的功
W 
xf
xi
F ( x )dx   madx
xf
F  ma
xi
x f dv
dv
dx
 m
dx  m  ( )( )dx
x i dt
xi
dx dt
xf
vf
dv
 m  v ( )dx  m  vdv
xi
vi
dx
1 2 vf
 m[ v ]v i
2
1
1
2
 mv f  mvi2
2
2
 K f  K i  K
xf
a
dv
dt
v
dx
dt
習題 36
當一沿著正x方向的水平力F作用於一重1.5kg的木塊上，木塊最初靜止置於

無摩擦力的平面上。若此力的大小為 F ( x)  ( 2.5  x 2 )iˆN ，此處x以公尺為
單位且木塊的初始位置為x = 0。則(a)當經過x=2.0m時，木塊之動能為何？(b)
物體由x = 0運動至x = 2.0m的過程中，木塊之最大動能為何？
W   F ( x )dx  K f  K i  K
xf
xi
1 3 2
1
x ]0  ( 2.5 )  ( 2.0 )   ( 2.0 ) 3  0  2.3 J  K f  K i
0
3
3
 K f  K i  W  0 J  2.3 J  2.3 J
(a) W   ( 2.5  x 2 )dx  [ 2.5 x 
2
(b)
dW
 F ( x )  0  2.5  x 2  0  x  2.5  1.6 m
dx
K f  Ki  
o
2.5
1
( 2.5  x 2 )dx  0  ( 2.5 )( 2.5 )  ( 2.5 ) 3  2.6 J
3
7-9 功率
功率乃能量轉換率或是作功的速率.
在SI單位制下,功率的單位為瓦 (W).
P
W
t

t  0
dW
dt
單位: 瓦特 (W)
1 瓦特 = 1 W = 1 J/s
1 馬力 = 1hp = 746 W。
對一沿著直線運動的物體，若有
定力 F 作用其上使其運動速率為
v (F 和直線的夾角為  )，則施力
的功率為
 
P  F  v  Fv cos


 dx
 
dW d
dF 

P
 (F  x) 
 ( x)  F  ( )  F  v
dt
dt
dt
dt
測試站 5：
一木塊做等速率圓周運動，而繫住木塊繩索另一端被固定於圓的中心。則繩索中心
部分對木塊施力的功率為正值、負值或零？
P  Fv cos
因施力方向與木塊移動之方向永遠成90o，故所作之功為零，所以功率
即為零。
例 7-11
如圖一盒子於無摩擦的地板向滑動時，有力 F1 與 F2 作用其上，其中 F1 是水
平的，其大小為2.0N；F2 大小為4.0N，方向向上與地面夾60o角。盒子在某
一瞬間的速率為3m/s。(a)於此瞬間每一力作用於盒子上所造成的功率為何？
淨功率為何？在那瞬間淨功率是否有改變？(b)若 F2 的大小改為6.0N，現在
淨功率為何？淨功率是否有改變？
 
dW
P
 F  v  Fv cos 
dt
For F1：
P1  F1v cos 1  (2.0N)(3.0m / s) cos180o  6.0W
For F2：
P2  F2 v cos 2  (4.0N)(3.0m / s) cos 60o  6.0W
P  P1  P2  6  6  0 (能量轉移的淨速率為零)
盒子沒有動能變化，因其速率、所受的力皆無變化，所一淨功率亦無變化。
例 7-11
P2  F2 v cos 2  (6.0N)(3.0m / s) cos 60o  9.0W
P  P1  P2  6  9  3(W)
因淨功率為正直，故動能會增加，即表示盒子的速率會增加，故
只有速率為3m/s時之瞬間功率為3W。
問：4, 6, 10
習： 2, 11,17, 25, 37, 40