Transcript 向量內積應用 內容說明： 柯西不等式 柯西不等式 柯西(Cauchy)不等式 ( 用於求最大值與最小值 ) 柯西不等式 柯西(Cauchy)不等式 ( 用於求最大值與最小值 )      • 向量形式：對任意平面向量 u, v , 則 u  v  u v 。 柯西不等式 柯西(Cauchy)不等式 (

向量內積應用
內容說明：
柯西不等式
柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值與最小值 )
1
柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值與最小值 )
 
  
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u  v  u v 。
2
柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值與最小值 )
 
  
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u  v  u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1，a2，b1，b2，則
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值與最小值 )
 
  
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u  v  u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1，a2，b1，b2，則
(a1 b1  a2 b2 )2  (a12  a2 2 )( b12  b2 2 ) 。
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值與最小值 )
 
  
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u  v  u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1，a2，b1，b2，則
(a1 b1  a2 b2 )2  (a12  a2 2 )( b12  b2 2 ) 。
口訣：平方和的乘積  乘積和的平方。
5
柯西不等式


u  (a1 , a2 )，v  (b1 , b2 ) 是兩非零向量，設 θ 是兩向量
之間的夾角，則
6
柯西不等式


u  (a1 , a2 )，v  (b1 , b2 ) 是兩非零向量，設 θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1  a2b2  u  v
7
柯西不等式


u  (a1 , a2 )，v  (b1 , b2 ) 是兩非零向量，設 θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1  a2b2  u  v
 
 u  v cos θ
8
柯西不等式


u  (a1 , a2 )，v  (b1 , b2 ) 是兩非零向量，設 θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1  a2b2  u  v
 
 u  v cos θ
 a1  a2
2
2
b1  b2 cos θ，
2
2
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柯西不等式


u  (a1 , a2 )，v  (b1 , b2 ) 是兩非零向量，設 θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1  a2b2  u  v
 
 u  v cos θ
 a1  a2
2
因此
cos θ 
2
b1  b2 cos θ，
2
2
a1b1  a2b2
a  a2
2
1
2
b  b2
2
1
2
。
10
柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
11
柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
2
b  b2 ，
2
1
2
12
柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
平方得出
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
2
b  b2 ，
2
1
2
13
柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
平方得出
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
b  b2 ，
2
2
1
2
(a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )。
2
2
1
2
2
1
2
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柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
平方得出
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
b  b2 ，
2
2
1
2
(a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )。
2
2
1
2
2
1
2
   
 
(1) u  v  u  v，等號成立在當u//v。
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柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
平方得出
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
b  b2 ，
2
2
1
2
(a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )。
2
2
1
2
2
1
2
   
 
(1) u  v  u  v，等號成立在當u//v。
(2) (a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )，
2
2
1
2
2
1
2
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柯西不等式
因為  1  cos θ  1，所以
平方得出
a1b1  a2b2  a  a2
2
1
b  b2 ，
2
2
1
2
(a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )。
2
2
1
2
2
1
2
   
 
(1) u  v  u  v，等號成立在當u//v。
(2) (a1b1  a2b2 )  (a  a2 )(b  b2 )，
2
2
1
2
2
1
2
a1 a2
等號成立在

時，且 b1b2  0 。
b1 b2
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
 
 
u  v 相當於是 u、v 兩向量作用所得之 功 的大小，
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
 
 
u  v 相當於是 u、v 兩向量作用所得之 功 的大小，
  兩向量作用所得之功的大小 u  v 何時最大？
u、v
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
 
 
u  v 相當於是 u、v 兩向量作用所得之 功 的大小，
  兩向量作用所得之功的大小 u  v 何時最大？
u、v
  同方向或反方向？
u、v
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
 
 
u  v 相當於是 u、v 兩向量作用所得之 功 的大小，
  兩向量作用所得之功的大小 u  v 何時最大？
u、v
  同方向或反方向？
u、v
 
 
答： u、v 兩向量 平行 時， u  v 為最大。
(此時等號成立)
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax  by
2
 (a2  b2 )( x2  y 2 )
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax  by
2
 (a2  b2 )( x2  y 2 )  4 9
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax  by
2
 (a2  b2 )( x2  y 2 )  4 9  36，
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax  by
2
 (a2  b2 )( x2  y 2 )  4 9  36，
開平方得 ax  by  6，即  6  ax  by  6，
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柯西不等式
例題1： 設 a, b, x, y 都是實數且 a 2  b 2  4 , x 2  y 2  9,
求 ax  by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax  by
2
 (a2  b2 )( x2  y 2 )  4 9  36，
開平方得 ax  by  6，即  6  ax  by  6，
故 ax  by 的最大值是 6，最小值是  6。
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柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
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柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a 2  b 2 )  (
)  ( a  b) 2
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柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a 2  b 2 )  ( 12 + 12 )  (a  b) 2
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柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a 2  b 2 )  ( 12 + 12 )  (a  b) 2
 (a  b )  2  1
2
2
33
柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a 2  b 2 )  ( 12 + 12 )  (a  b) 2
1
 (a  b )  2  1  (a  b ) 
2
2
2
2
2
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柯西不等式
例題2： 設 a、b 為實數，且 a  b  1，則 a 2  b2之
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a 2  b 2 )  ( 12 + 12 )  (a  b) 2
1
 (a  b )  2  1  (a  b ) 
2
1
2
2
 a  b 之最小值為
2
2
2
2
2
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柯西不等式
例題3： 設 a、b 為實數，若 a 2  b 2  10，求 a  3b 之
最大值與最小值為何？
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柯西不等式
例題3： 設 a、b 為實數，若 a 2  b 2  10，求 a  3b 之
最大值與最小值為何？
解答： (a 2  b 2 )  ( 12  32 )  (a  3b) 2
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柯西不等式
例題3： 設 a、b 為實數，若 a 2  b 2  10，求 a  3b 之
最大值與最小值為何？
解答： (a 2  b 2 )  ( 12  32 )  (a  3b) 2
 10  10  (a  3b)
2
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柯西不等式
例題3： 設 a、b 為實數，若 a 2  b 2  10，求 a  3b 之
最大值與最小值為何？
解答： (a 2  b 2 )  ( 12  32 )  (a  3b) 2
 10  10  (a  3b)
2
 10  (a  3b)  10
2
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柯西不等式
例題3： 設 a、b 為實數，若 a 2  b 2  10，求 a  3b 之
最大值與最小值為何？
解答： (a 2  b 2 )  ( 12  32 )  (a  3b) 2
 10  10  (a  3b)
2
 10  (a  3b)  10
2
 a  3b 之最大值為 10，最小值為  10。
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