Transcript 1 電機機械原理簡介 1.1 電機機械、變壓器與日常生活 電機機械 (electrical machine) 是把機械能轉成電能， 或把電能轉成機械能的裝置。當這種裝置用來把機械能轉 換成電能時，稱為發電機；用來把電能轉換成機械能時， 稱為電動機。電動機和發電機，都是經由磁場的作用來完 成能量的轉換。 變壓器是另一種相關的裝置，它把某一準位的交流電 能轉換成另一準位的交流電能。 上述三種電機裝置在日常生活中到處可見。在家中， 電動機驅動電冰箱、冰凍機、吸塵器、攪拌器、冰氣機、 電風扇及其他許多類似的器具；在工廠中，電動機幾乎供 應所有工作機械的運動能量。 為什麼電動機和發電機會如此普遍？答案非常簡單︰ 電能是一種乾淨而且有效率的能源，它容易作長途傳送且 容易控制。在電能的傳送過程中，我們使用變壓器來減少 在產生及使用電能的兩地之間，因傳送而產生的能量損失。 符 號 本書中向量、電的相量與複數值用粗體字表示（例如 F），而純量用斜體字表示（如 R）。此外，特殊字型用 來表示如磁動勢（ℱ）之磁場量。 1.3 旋轉運動、牛頓定理與功率關係 通常，要完全描述一個在空間中旋轉的物體需要三次 元的向量，但正常的電機均在一個固定的軸上旋轉，因此 僅需一個角的次元來描述。在本節中的觀念裡，沿固定軸 的旋轉均簡化成純量。 角位置 θ 物體的角位置（angular position）θ 係從某一任意參考 點所量得的角度，通常以弳度（radians）或度（degrees） 為單位，角位置對應於直線運動中的距離（distance）。 角速度 ω 角速度（angular velocity）係角位置對時間的變化率。 角速度對應於直線運動中的速度（velocity），如同一維空 間中的線性速度被定義為沿直線（r）對時間之位移變化 率 v dr dt （1-1） 角速度 ω之定義為角位移θ 對時間的變化率 dθ （1-2） dt 如果角位置的單位是弳度，則角速度的單位是弳度/秒。 ω  在處理一般的電機機械時，通常不用弳度/秒為單位而 使用每秒轉數或每分鐘轉數來描述軸速度。 下面所列是本書用來表示角速度的符號︰  m 以弳度/秒為單位的角速度 fm 以轉數/秒為單位的角速度 nm 以轉數/分為單位的角速度 下標.

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電機機械原理簡介
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1.1 電機機械、變壓器與日常生活
電機機械 (electrical machine) 是把機械能轉成電能，
或把電能轉成機械能的裝置。當這種裝置用來把機械能轉
換成電能時，稱為發電機；用來把電能轉換成機械能時，
稱為電動機。電動機和發電機，都是經由磁場的作用來完
成能量的轉換。
變壓器是另一種相關的裝置，它把某一準位的交流電
能轉換成另一準位的交流電能。
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上述三種電機裝置在日常生活中到處可見。在家中，
電動機驅動電冰箱、冰凍機、吸塵器、攪拌器、冰氣機、
電風扇及其他許多類似的器具；在工廠中，電動機幾乎供
應所有工作機械的運動能量。
為什麼電動機和發電機會如此普遍？答案非常簡單︰
電能是一種乾淨而且有效率的能源，它容易作長途傳送且
容易控制。在電能的傳送過程中，我們使用變壓器來減少
在產生及使用電能的兩地之間，因傳送而產生的能量損失。
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符 號
本書中向量、電的相量與複數值用粗體字表示（例如
F），而純量用斜體字表示（如 R）。此外，特殊字型用
來表示如磁動勢（ℱ）之磁場量。
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1.3 旋轉運動、牛頓定理與功率關係
通常，要完全描述一個在空間中旋轉的物體需要三次
元的向量，但正常的電機均在一個固定的軸上旋轉，因此
僅需一個角的次元來描述。在本節中的觀念裡，沿固定軸
的旋轉均簡化成純量。
角位置 θ
物體的角位置（angular position）θ 係從某一任意參考
點所量得的角度，通常以弳度（radians）或度（degrees）
為單位，角位置對應於直線運動中的距離（distance）。
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角速度 ω
角速度（angular velocity）係角位置對時間的變化率。
角速度對應於直線運動中的速度（velocity），如同一維空
間中的線性速度被定義為沿直線（r）對時間之位移變化
率
v
dr
dt
（1-1）
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角速度 ω之定義為角位移θ 對時間的變化率
dθ
（1-2）
dt
如果角位置的單位是弳度，則角速度的單位是弳度/秒。
ω
在處理一般的電機機械時，通常不用弳度/秒為單位而
使用每秒轉數或每分鐘轉數來描述軸速度。
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下面所列是本書用來表示角速度的符號︰
 m 以弳度/秒為單位的角速度
fm 以轉數/秒為單位的角速度
nm 以轉數/分為單位的角速度
下標 m 表示上述的符號是代表機械的量，以用來區別電氣
的量。
這幾個角速度之間的關係如下所示︰
nm =60 fm
（1-3a）
ωm
fm 
2ω
（1-3b）
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角加速度 α
角加速度（angular acceleration）是角速度對時間的變
化率，角加速度對應於直線運動中的加速度，如同在一度
空間的直線加速度被下式所定義
a
角加速度亦被下式所定義
dv
dt
（1-4）
dω

（1-5）
dt
如果角速度以弳度/秒為單位，則角加速度以弳度/秒平方
為單位。
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圖 1-1 (a) 施於圓柱上的力通過軸心， τ ＝0。 (b) 施於圓柱上的力不通過軸
心，此處的轉矩 τ 為逆時針方向。
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轉矩是什麼？大致上我們可以稱它是作用在物體上的
扭力。轉矩或扭力的大小是根據（1）作用力的大小，（2）
旋轉軸至作用力延伸線的距離所決定。
物體的轉矩定義為作用力與作用力延伸線至旋轉軸之
最短距離的乘積，如果以 r 表示從轉軸指向施力點的向
量， F 表示作用力，則轉矩可以描述如下
τ＝(作用力)(垂直距離)
＝(F)(r sinθ)
＝rF sinθ
（1-6）
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其中 θ 表示向量 r 及 F 之間的夾角。如果轉矩引起順時
針方向的旋轉，我們稱之為順時針力矩，反之則稱為逆時
針力矩（圖 1-2）。
轉矩的單位在 SI 單位
系統為牛頓-米；在英制單
位系統則為磅-呎。
圖 1-2 物體所受轉矩公式的推導。
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牛頓旋轉定律
在直線運動中，牛頓定理描述作用在物體上的力和此
物體加速度的關係，如下式所示︰
F＝ma
（1-7）
上式中
F＝作用在物體上的淨力
m＝物體質量
a＝所產生的加速度
在 SI 單位系統中，力的單位為牛頓，質量的單位為公斤，
加速度的單位為米/秒平方。
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類似上式的另一公式用來描述作用在物體上的轉矩和
此物體角加速度之間的關係，此一關係稱為牛頓旋轉定律
（Newton’s law of rotation），其公式如下
τ＝Jα
（1-8）
其中 τ 表示作用在物體上的淨力矩，α 表示所產生的角加
速度，J 表示物體的轉動慣量。
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功W
直線運動中，功（work）的定義為經過一段距離的力
之作用，如下式所示︰
W   F dr
（1-9）
在 SI 單位系統中，功的單位為焦耳。
旋轉運動中，功的定義為經過一角度的力矩之作用，
如下式所示︰
W    dθ
（1-11）
如果轉矩為常數，則
W  θ
（1-12）
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功率 P
功率（power）就是做功的比率，或單位時間內所增
加的功，如下式所示︰
dW
P
（1-13）
dt
通常功率的單位為焦耳/秒(瓦特）。
根據功率的定義，同時假設作用力大小為常數且其方
向和運動方向在同一線上，則功率可以表示如下︰
dW d
 dr 
P
 ( Fr )  F    Fv
dt
dt
 dt 
（1-14）
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同理，假設轉矩為常數，則旋轉運動中的功率可以表示如
下︰
dW d
 d 
P
 (τ ) τ  τ
dt
dt
 dt 
P τ
（1-15）
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1.4 磁 場
磁場是電動機、發電機、變壓器作能量轉換的主要機
制，下面有四個基本定理，用來描述磁場在這些裝置中如
何被使用︰
1. 一段通過電流的導線會在其周圍產生磁場。
2. 如果通過一線圈的磁場隨時間而變化，則會在這線圈
上感應出電壓（這就是變壓器的基本原理）。
3. 一段帶有電流的導線放置在磁場中，會感應出一作用
力在這導線上（這就是電動機的基本原理）。
4. 一段導線在磁場中運動，則此導線會感應出一電壓
（這就是發電機的基本原理）。
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磁場的產生
安培定律（Ampere’s laws）說明了電流如何產生磁
場︰
Ηd l  I
net
（1-18）
上式中，H 表示由電流 Inet 所產生的磁場強度（magnetic
field intensity），dl 為沿積分路徑的長度之微分。在 SI 單
位系統中，I 的單位為安培(amperes)，H 的單位為安-匝/米
(ampere-turns/meter）。
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圖 1-3 簡單的鐵心。
圖 1-3 為一腳繞著 N 匝線圈的鐵心，如果鐵心是由鐵或其
他類似的金屬（統稱為鐵磁材料）所製成，則由電流所產
生的磁場會被限制在鐵心內，安培定律中的積分路徑就等
於鐵心的平均長度 lc。因線圈有 N 匝，當其流有電流 i 時，
穿越積分路徑的電流 Inet 為 Ni，因此安培定律變成
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Hlc＝Ni
（1-19）
上式中，H 是磁場強度向量 H 的大小，因此在鐵心中由供
應的電流所產生的磁場強度大小為
H
Ni
lc
（1-20）
對一種材料而言，其磁場強度 H 和磁通密度
（magnetic flux density）B 之間的關係為
B＝ μ H
（1-21）
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上式中
H＝磁場強度（magnetic field intensity）
μ＝材料的導磁係數（magnetic permeability）
B＝產生的總磁通密度
磁場強度的單位為安-匝/米，導磁係數的單位為亨利/米
(henrys per meter ） ， 磁 通 密 度 的 單 位 為 韋 伯 / 米 平 方
(webers per square meter），稱為特士拉（teslas，T）。
真空中的導磁係數以 μ0表示，其值為
μ0  4π10 7 H/m
（1-22）
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其他各種材料的導磁係數和 μ0 的比值我們稱為相對導磁係
數（relative permeability）︰
μ
μr 
（1-23）
μ0
在如圖 1-3 所示的鐵心中，其磁通密度的大小為
μNi
B  μH 
lc
（1-24）
而對一已知的面積，其上的總磁通為
   Β d Α
A
（1-25a）
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上式中，dA 是此面積上的一微小單位。如果磁通密度向
量垂直於面積 A，而且磁通密度在整個面積上均為常數，
則上式可以簡化為
  BA
（1-25b）
因此圖 1-3 中由電流 i 所產生的總磁通為
  BA 
NiA
lc
（1-26）
其中 A 表示鐵心的截面積。
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圖 1-4 (a)簡單的電路。 (b)類似變壓器鐵心的磁路。
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磁 路
如圖 1-4a 為一簡單的電路，電壓源 V 推動電流 I 流經
電阻 R，歐姆定律（Ohm’s law）可以表示出它們之間的關
係︰
V＝IR
在電路中，電壓或電動勢（electromotive force）推動電流；
同樣的，在磁路中其相對應的量稱為磁動勢
（magnetomotive force）（mmf）。磁路中的磁動勢等於
供應給鐵心的有效電流︰
ℱ ＝Ni
（1-27）
上式中， ℱ 是磁動勢的符號，其單位為安-匝（ampereturns）。
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磁路中的磁動勢也有極性（如圖 1-5 所示）。磁動勢
的正端是磁通流出的一端；而磁動勢的負端是磁通流入的
那一端。由線圈所圍繞的鐵心的極性可由修改過的右手定
則得到︰如果右手四指順著線圈電流流動的方向，則拇指
就指向磁動勢正端的方向（見圖 1-5）。
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圖 1-5 決定磁路中磁動勢源的極性。
29
在磁路中，磁動勢產生了磁通  。磁動勢和磁通之間
的關係為
ℱ=  ℛ
（1-28）
上式中
ℱ ＝磁路中的磁動勢
 ＝磁路中的磁通量
ℛ ＝磁路中的磁阻（reluctance）
磁路中的磁阻對應於電路中的電阻，磁阻的單位為安-匝/
韋伯（ampere-turns per weber）。
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如何計算圖 1-3 中鐵心的磁阻呢？根據式（1-26）鐵
心的總磁通為︰
  BA 
μNiA
lc
（1-26）
μA 

 Ni 
 lc 
  ℱ
μA
lc
（1-31）
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比較式（1-31）和式（1-28），可得鐵心的磁阻為
lc
ℛ
μA
（1-32）
數個串聯磁阻的等效磁阻就等於各個磁阻的總和︰
（1-33）
ℛ = ℛ + ℛ +ℛ + …
eq
1
2
3
數個並聯磁阻的等效磁阻亦根據下式計算︰
1
1
1
1



 
ℛeq ℛ 1 ℛ 2 ℛ 3
（1-34）
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例題 1-2 圖 1-8a 為一鐵磁性鐵心，其平均路徑長度為 40
cm，在鐵心的結構中有一 0.05 cm 的氣隙，鐵心的截面積
為 12 cm2 ，相對導磁係數為 4000，鐵心上的線圈有 400
匝。假設氣隙的有效截面積較鐵心的截面積增加 5%，根
據上面所給的資料，試計算︰
(a)整個磁通路徑的磁阻（包括鐵心和氣隙）。
(b)欲在氣隙中產生 0.5 Wb/m2 的磁通密度須多少電流。
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圖 1-8 (a)例題 1-2 的鐵心。 (b)相對於 (a)的磁路。
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解︰相對於此鐵心的磁路如圖 1-8b 所示。
(a)鐵心的磁阻為
lc
lc

ℛc 
Ac  r 0 Ac

0.4m
( 4000)( 4 10 7 )( 0.0012m 2 )
 66,300A  turns/Wb
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氣隙的有效面積為 1.05 × 12 cm2 = 12.6 cm2 ，所以氣
隙的磁阻為
lc

ℛa
0 Aa
0.0005m

( 4 10 7 )( 0.00126m 2 )
 316,000A  turns/Wb
因此磁通路徑的總磁阻為
ℛeq = ℛc+ ℛa
= 66,300 A‧turns/Wb＋316,000 A‧turns /Wb
= 382,300 A‧turns /Wb
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雖然氣隙的長度較鐵心小 800 倍，但氣隙提供了大部
分的磁阻。
(b)根據式（1-28）
ℱ=ℛ
（1-28）
同時因為  = BA 和 ℱ ＝Ni，因此上式變成
Ni＝BA ℛ
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因此
ℛAB
i
N
(0.5T)(0.0 0126m 2 )(382,300A‧turns/Wb)

400turns
 0.602A
必須注意的是，題目的要求是氣隙的磁通，因此計算
時使用氣隙的有效截面積。
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鐵磁性材料的磁化特性
導磁係數由下面的公式所定義︰
B＝ μH
（1-21）
為了說明鐵磁性材料中導磁係數變化的情形，我們供應一
直流電流到圖 1-3 中的鐵心，且電流的大小由零安培 慢 慢
的增加到最大的容許值，把磁通量對磁動勢的值繪 出，可
得如圖 1-10a 的曲線，這曲線稱為飽和曲線（saturation
curve）或磁化曲線（magnetization curve）。
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圖 1-10b 是另一個類似的曲線，其為磁通密度 B 和磁
場強度 H 之間的關係。根據式 1-20 和式 1-25b
H
Ni ℱ

lc
lc
 =BA
（1-20）
（1-25b）
40
我們可以很容易的看出，對一已知的鐵心而言，磁場
強度和磁動勢成正比，磁通密度和磁通量成正比，因此 B
對 H 的曲線和磁通對磁動勢的曲線有相同的形狀。根據圖
1-10b 中磁通密度對磁場強度的曲線，在任一點的斜率依
照定義就是鐵心在該 H 值時的導磁係數。從曲線上可以看
出，導磁係數在未飽和區時很大且幾乎保持常數，而當鐵
心飽和時就降到一個很小的值。
圖 1-10c 是典型鋼片的磁化曲線，為了使巨大的飽和
區能在圖上表示出來，我們把磁場強度取了對數值。
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圖 1-10 (a)鐵磁性鐵心的磁化曲線。 (b)以磁通密度和磁場強度表示的磁
化曲線。
42
圖 1-10 (c)典型鋼片的磁化曲線。
43
圖 1-10 (d)典型鋼片的相對導磁係數對磁場強度的作圖。
44
例題 1-4 試求出圖 1-10c 中，對應於下列各磁場強度時的
相對導磁係數︰(a) H＝50， (b) H＝100， (c) H＝500， (d)
H＝1000 A‧turns/m。
解︰材料的導磁係數的公式為
B
μ
H
相對導磁係數的公式為
μ
μr 
μ0
（1-23）
因此，對一已知的磁場強度可以求出其導磁係數。
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(a)當 H＝50 A‧turns/m，B＝0.25 T，所以
以及
B
0.25T
μ 
 0.0050H/m
H 50A  turns/m
μ
0.0050H/m
μr 

 3980
7
μ0 4π10 H/m
(b)當 H＝100 A‧turns/m ，B＝0.72 T，所以
以及
B
0.72T
μ

 0.0072H/m
H 100A  turns/m
μ
0.0072H/m
μr 

 5730
7
μ0 4π10 H/m
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(c)當 H＝500 A‧turns/m，B＝1.40 T，所以
以及
B
1.40T
μ 
 0.0028H/m
H 500A  turns/m
μ
0.0028H/m
μr 

 2230
7
μ0 4π10 H/m
(d)當 H＝1000 A‧turns/m ，B＝1·51 T，所以
以及
B
1.51T
μ

 0.00151H/m
H 1000A  turns/m
μ 0.00151H/m
μr 

 1200
7
μ0 4π10 H/m
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值得注意的是，當磁場強度增加時，相對導磁係數先
增加而後再減少。圖 1-10d 是上述材料其相對導磁係數對
磁場強度的曲線，所有鐵磁性材料都有這種典型的曲線。
由圖上的 μr 對 H，可看出，在例題 1-1 到 1-3 中相對導磁
係數為常數的假設，只在一小段的範圍內適用。
48
鐵磁性鐵心中的能量損失
假設鐵心內起初沒有磁通，當電流第一次增加的過程
中，磁通量沿著圖 1-11b 中路徑 ab 上升，這如同圖 1-10
中所示的磁化曲線。當電流再次減少時，磁通量卻不沿 ab
下降，而沿路徑 bcd 下降。當電流再次增加時，磁通量沿
路徑 deb 上升。上述的現象稱為磁滯（hysteresis），圖 111b 中路徑 bcdeb 稱為磁滯迴線（hysteresis loop）。
49
圖 1-11 由交流電流 i(t) 所形成鐵心的磁滯迴線。
50
鐵心的磁滯損失（hysteresis loss）就是每一外加交流
電流週期中，分域重新定位所需的能量。對一已知的交流
電流，我們可以證明磁滯迴線所包圍的面積和每一週期的
能量損失成正比，供應到鐵心的磁動勢較小，則所形成磁
滯迴線的面積就較小，所引起的損失也較小。圖 1-13 說明
了這個觀點。
磁滯損失和渦流損失都會使鐵心產生熱，上述兩種損
失均發生於鐵心的金屬內，他們統稱為鐵心損失（core
losses） 。
51
圖 1-13 磁動勢的大小影響磁滯迴線的面積。
52
1.5 法拉第定律––從一時變磁場感應電壓
法拉第定律的敘述如下︰當磁通穿過一匝線圈繞組時，
會使線圈感應出一正比於磁通時變率的電壓，寫成方程式
的形式︰
d
eind  
（1-35）
dt
上式中，eind 表示線圈的感應電壓， 是穿過線圈的磁通。
如果線圈有 N 匝，而穿過每一匝線圈的磁通都相同時，線
圈所感應出的全部電壓為︰
eind   N
d
dt
（1-36）
53
上式中
eind＝線圈的感應電壓
N＝線圈匝數
 ＝穿過線圈的磁通量
方程式中的負號稱為冷次定律（Lenz’ law），冷次定律敘
述如下︰如果把線圈的兩端短路，則線圈中感應電壓所引
起的電流將產生一反抗外加磁場變化的磁場，因為感應電
壓反抗外在的改變，因此式（1-36）中加入一個負號。
54
圖 1-14 冷次定律的意義︰(a)通過鐵心的磁通增加；(b)感應電壓的極性。
55
法拉第定律可重新以磁交鏈的方式表示
eind
其中
d

dt
（1-41）
N
   i
（1-42）
i 1
磁交鏈的單位是韋伯-匝（weber-turns）。
法拉第定律是變壓器操作的基本原理，而冷次定律可
以預測變壓器線圈感應電壓的極性。
56
由渦流所引起的能量損失和渦流的路徑長度成正比，
所以通常把鐵心分解成許多小疊片，鐵片間加以絕緣，這
可使得渦流的路徑被限制在一小區域內。實際的渦流損失
與疊片厚度的平方成正比，所以疊片厚度愈薄愈好。
例題 1-6 圖 1-15 所示為一繞有線圈的鐵心，如果鐵心中
的磁通如下式所示︰
 =0.05 sin 377t Wb
而且線圈為 100 匝，則產生在線圈兩端的感應電壓為何？
依圖上所示的方向，在磁通增加的時間內感應電壓的極性
為何？（假設沒有漏磁通）
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解︰根據前面的討論，當磁通量增加時，感應電壓的極性
須如圖 1-15 中所示的極性。感應電壓的大小則為
eind
d
N
dt
d
(0.05 sin 377t )
dt
 1885 cos 377t
 (100 turns)
或
eind  1885 sin (377t  90)
58
圖 1-15 例題 1-6 的鐵心，感應電壓的方向如圖所示。
59
1.6 導線感應力的產生
磁場會對在此磁場中帶有電流的導體感應一力量，圖
1-16 說明了這個基本觀念，導體放在磁通密度為 B 的固定
磁場中，磁場的方向指向紙內，導體長度為 l 公尺，流過 i
安培的電流。導體所受力的大小為
F＝i ( l ×B)
（1-43）
上式中
i＝導線中電流的大小
l＝導線的長度，為一向量，它的方向和電流流動的方向
相同。
B＝磁通密度向量
60
圖 1-16 磁場中一帶有電流的導線。
61
力的方向由右手定則決定，如果右手食指代表向量 l，中
指代表向量 B，則拇指將指向導線受力的方向。此力的大
小由下式表示
F＝ilB sinθ
（1-44）
上式中，θ 是導線和磁通密度之間的夾角。
磁場中帶有電流的導線會受一作用力，此為電動機操
作的基本原理。幾乎所有的電動機都是根據這基本原理以
產生力和轉矩而使電動機轉動。
62
1.7 磁場中運動導體的感應電壓
如果導線以適當方向的移動通過磁場，在導線上將感
應出一電壓，這觀念如圖 1-17 所示。導線感應的電壓如下
式所示
eind＝(v × B)‧l
（1-45）
上式中
v ＝導線的速度
B＝磁通密度向量
l ＝導體在磁場中的長度
63
圖 1-17 在磁場中移動的導數。
64
例題 1-9 圖 1-18 所示為一導體以 10 m/s 的速度在磁場中
向右移動，磁通密度為 0.5 T，方向指向紙外，導體長 1.0
m，其方位如圖所示。試問感應電壓的大小和極性？
解︰v × B 的方向為向下，因導線不是上下垂直的擺放，
因此 l 的方向選擇如圖上所示，以使 l 和 v×B 間有最小的
夾角。導體的感應電壓是底端為正極，其大小為
eind  (v B)  l
(1-45）
eind  (vB sin 90)l cos30
 (10.0 m/s)(0.5T) (1.0m)cos 30
 4.33 V
65
在磁場中移動的導線會感應出一電壓，此為發電機操
作的基本原理，所以稱此現象為發電機作用（generator
action）。
圖 1-18 例題 1-9 中的導體。
66
複數功率
實功與虛功有時可以複數功率 S 來表示為
S＝P＋jQ
（1-69）
供給一負載的複數功率 S 可由下列計算得到
S＝VI*
（1-70）
其中星號（*) 表共軛複數運算子。
67
假定負載電壓為 V＝V∠α，而流過負載的電流為 I＝
I∠β，則供給負載之複數功率為
S＝VI*＝(V∠α)(I∠β)＝VI∠(α－β)
＝VI cos(α－β)＋jVI sin(α－β)
阻抗角 θ 為電壓與電流間的相角差（θ＝α－β），故此式
可簡化為
S＝VI cos θ＋jVI sin θ
＝P＋jQ
68