Transcript 功與柯西不等式
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向量內積應用
內容說明：
柯西不等式
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
1
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向
量
u ,v ,則 u v u v
。
2
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向
u ,v ,則 u v u v
。 a ， a ， b ， b ，則
• 量
一般形式：對任意實數
1
2
1
2
3
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u v u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1， a 2， b1， b2，則
( a1 b1 a 2 b 2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 ) 。
2
2
2
2
2
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u v u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1， a 2， b1， b2，則
( a1 b1 a 2 b 2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 ) 。
2
2
2
2
2
口訣：平方和的乘積 乘積和的平方。
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
6
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 cos θ ，
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
因此
cos θ
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 cos θ ，
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
b1 b 2
。
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
11
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 ，
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 ，
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
u // v 。
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
2
a1b1 a 2 b 2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
2
2
u // v 。
2
2
( 2 ) ( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )，
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
2
a1b1 a 2 b 2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
2
2
u // v 。
2
2
( 2 ) ( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )，
2
等號成立在
a1
b1
a2
b2
時，且 b1b 2 0。
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
18
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
20
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
u 、 v 同方向或反方向？
21
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
u 、 v 同方向或反方向？
即 u 、 v 兩向量 平行 時， u v 為最大。
(此時等號成立)
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
23
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
24
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y )
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
開平方得 ax by 6 ， 即 6 ax by 6 ，
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
開平方得 ax by 6 ， 即 6 ax by 6 ，
故 ax by 的最大值是
6 ， 最小值是 6 。
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) (
2
2
) (a b)
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1
2
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1 (a b )
2
2
2
2
1
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1 (a b )
2
2
2
2
1
2
a b 之最小值為
2
2
1
2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
10 ( a 3 b ) 10
2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
10 ( a 3 b ) 10
2
a 3 b 之最大值為
10 ， 最小值為 10 。
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向量內積應用
內容說明：
柯西不等式
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向
量
u ,v ,則 u v u v
。
2
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向
u ,v ,則 u v u v
。 a ， a ， b ， b ，則
• 量
一般形式：對任意實數
1
2
1
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u v u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1， a 2， b1， b2，則
( a1 b1 a 2 b 2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 ) 。
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柯西不等式
柯西(Cauchy)不等式
( 用於求最大值最小值 )
• 向量形式：對任意平面向量 u , v , 則 u v u v 。
• 一般形式：對任意實數 a1， a 2， b1， b2，則
( a1 b1 a 2 b 2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 ) 。
2
2
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2
口訣：平方和的乘積 乘積和的平方。
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
6
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 cos θ ，
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柯西不等式
u ( a1 , a 2 )，v ( b1 , b2 ) 是兩非零向量，設θ 是兩向量
之間的夾角，則
a1b1 a 2 b2 u v
u v cos θ
因此
cos θ
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 cos θ ，
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
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b1 b 2
。
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 ，
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
b1 b 2 ，
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
a1b1 a 2 b 2
2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
u // v 。
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
2
a1b1 a 2 b 2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
2
2
u // v 。
2
2
( 2 ) ( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )，
2
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柯西不等式
因為 1 cos θ 1，所以
平方得出
2
a1b1 a 2 b 2
a1 a 2
2
2
2
2
b1 b 2 ，
2
2
2
( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )。
2
(1) u v a v，等號成立在當
2
2
u // v 。
2
2
( 2 ) ( a1b1 a 2 b2 ) ( a1 a 2 )( b1 b2 )，
2
等號成立在
a1
b1
a2
b2
時，且 b1b 2 0。
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
u 、 v 同方向或反方向？
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柯西不等式
柯西不等式的物理意義：
u v 相當於是 u 、 v 兩向量作用所得之
功 的大小，
u 、 v 兩向量作用所得之功的大小 u v 何時最大？
u 、 v 同方向或反方向？
即 u 、 v 兩向量 平行 時， u v 為最大。
(此時等號成立)
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
23
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
24
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y )
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
開平方得 ax by 6 ， 即 6 ax by 6 ，
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柯西不等式
例題1： 設 a , b , x , y 都是實數且 a 2 b 2 4 , x 2 y 2 9 ,
求 ax by 的最大值與最小值。
解答： 利用柯西不等式得
ax by
2
( a b )( x y ) 4 9 3 6 ，
2
2
2
2
開平方得 ax by 6 ， 即 6 ax by 6 ，
故 ax by 的最大值是
6 ， 最小值是 6 。
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) (
2
2
) (a b)
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1
2
2
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
2
最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1 (a b )
2
2
2
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1
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柯西不等式
例題2： 設 a 、 b 為實數，且
a b 1，則 a b 之
2
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最小值為何？
解答： 由柯西不等式
(a b ) ( 1 + 1 ) (a b)
2
2
2
2
2
(a b ) 2 1 (a b )
2
2
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1
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a b 之最小值為
2
2
1
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
2
最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
10 ( a 3 b ) 10
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柯西不等式
例題3： 設 a 、 b 為實數，若
a b 10，求 a 3 b 之
2
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最大值與最小值為何？
解答： ( a 2 b 2 ) ( 12 3 2 ) ( a 3b ) 2
10 10 ( a 3 b )
2
10 ( a 3 b ) 10
2
a 3 b 之最大值為
10 ， 最小值為 10 。
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