Transcript 3.3 柯西积分公式

第三节 柯西积分公式
• 一、解析函数的柯西积分公式
• 二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理
三、柯西不等式与刘维尔定理
• 四、调和函数
一、解析函数的柯西积分公式
1. 问题的提出
设 D 为 一 单 连 通 区 域 , z 0 为 D 中 一 点.
f (z)
如 果 f (z) 在 D内 解 析, 那 末
在 z0 不 解 析.
z  z0
f (z)
所以 
dz 一 般 不 为 零.
C z  z
0
L 为 D 内 围 绕 z 0 的 闭 曲 线.
根据多连通区域上的柯西积分定理得
该积分值不随闭曲线 L 的变化而改变。
如何求这个值？
2. 柯西积分公式
设 f ( z ) 在 以 圆 L :| z  z 0 |  0 (0   0    )
引理3.3.1
为边界的闭圆盘上解析，则

f (z)
L
z  z0
dz  2  if ( z 0 ).
证 作 以 z 0 心 ， 以  (0     0 ) 为 半 径 的 圆 L  ，
根据多连通区域上的柯西积分定理得

f (z)
L
z  z0
dz 

f (z)
L
z  z0
dz .
上 式 对 满 足 0     0的 任 何  成 立 ， 于 是

下 证 lim
0
f (z)
L

z  z0
dz  lim
f (z)
L
z  z0
0

L
z  z0
L
z  z0
dz .
dz＝ 2  if ( z 0 ).
由 于 2  if ( z 0 )  f ( z 0 ) 
f (z)

f (z)
dz
L
z  z0
dz－ 2  if ( z 0 ) 



f ( z0 )
L
z  z0
dz , 则
f ( z )  f ( z0 )
z  z0
L
dz .
因 为 f ( z )在 z 0 连 续 ，
所 以    0,    0 (   0 ), 使 当 z  z 0   时 有
f ( z )  f ( z0 ) 

2
.
于是当  时有

f (z)
dz－ 2  if ( z 0 ) 
z  z0
L

f ( z )  f ( z0 )
z  z0
L
dz



2
0
2    d    , ( z  z   e i , 0    2  )
0

所 以 lim
0
故

f (z)
L
f (z)
L
z  z0
z  z0
dz＝ 2  if ( z 0 ).
dz  lim
0

f (z)
L
z  z0
dz＝ 2  i f ( z 0 ).
定理3.3.1(柯西积分公式) 设 D 是 有 界 区 域 , 其 边 界 L由
有 限 条 简 单 闭 曲 线 组 成 , f ( z )在 D 及 L 所 组 成 的 闭 区 域 D
上 连 续 ， 在 区 域 D内 解 析 ， 则 对 任 意 z  D 有
f (z) 
f ( )
1

2 i
L
 z
d .
证 取 定 z  D , 作 以 z 心 ， 充 分 小 的   0为 半 径 的 圆 L  ，
使 以 L  为 边 界 的 闭 圆 盘 包 含 在 D内 ( 如 图 ).
记 D  为 D挖 去 以 L 为 边 界 的
开圆盘所得到的闭区域.
f ( )
于 是 f ( ) 及
z
在 D  上 连 续 , 在 区 域 D 内 解 析 .
所 以 由 定 理 3 .2 .7 有 ,

f ( )
L
 z
d 

f ( )
L
 z
d .
注 意 到 f ( ) 在 以 L  为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ,
于 是 由 上 式 及 引 理 3. 3. 1知 ,

证毕.
f ( )
L
 z
d   2 if ( z ).
例1 求下列积分
(1)
1
2i

sin z
z 4
解 (1)
1
2i
z

d z;
z 4
sin z
z
2 
 1
(2)  

dz .
 z  1 z  3
z 4
dz
因为 f ( z )  sin z 在复平面内解析
z  0 位于 z  4 内 ,
,
由柯西积分公式
1
2i
sin z

z
z 4
dz 
1
2i
 2  i  sin z
z0
 0;
2 
 1
(2)  

dz .
 z  1 z  3
z 4


z 4
1
z1
 6i .
dz 

z 4
2
z3
dz  2i  1  2i  2
sin

z
1
4
d z , 其中 C : (1) z  1  ;
例2 计算积分  2
2
z 1
C

sin z

4
sin z
z1
4 dz 
解 (1 ) 
dz
2

z 1
z1
1
1
z1 
z1 
2
2
sin

z
4
 2i 
z1

2
2
z  1
 i;
sin
例2
解

z
1
4
计算积分  2
d z , 其中 C : (2) z  1  ;
2
z 1
C

sin z

4
sin z
z1
4 dz 
(2)
dz
 z2  1

z1
1
1
z 1 
z 1 
2
2
sin

z
4
 2i 
z1

2
2
z 1
 i;
sin
C
sin

解 (3)
z 2
z
4 d z , 其中 C : (3) z  2 .
2
z 1

例2 计算积分


z
4 dz
2
z 1
根据多连通区域上的柯西积分定理得
sin

z 2

sin
z
4 dz 
2
z 1

z1 
1

z
4 dz 
2
z 1

2
i 

z 1 
1
2
2
2
sin
2
2
i 
2 i .
π
z
4 dz
2
z 1
例3
计算I 
解 显 然 f (z) 

3z  1
|z| 2
( z  1)( z  3)
3z  1
( z  1)( z  3)
内, 且 函 数 g ( z ) 
3z  1
z3
dz .
只 有 一 个 奇 点 z   1在 | z | 2
在 | z | 2内 解 析 , 在 | z | 2内 连 续 .
于 是 根 据 定 理 3 .3 .1得 ,
I 

|z| 2
 2 i 
3z  1
( z  1)( z  3)
3z  1
z3
3z  1
dz 
 2 i.
z  1

|z| 2
z  3 dz
z  (  1)
二、解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理
1. 问题的提出
问题:
(1) 解析函数是否有高阶导数?
(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函
数相同?
回答:
(1) 解析函数有各高阶导数.
(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通
过积分来表示, 这与实变函数完全不同.
解析函数高阶导数的定义是什么?
2. 解析函数的任意阶导数
定理3.3.2 设 D 是 有 界 区 域 , 其 边 界 L由 有 限 条
简 单 闭 曲 线 组 成 , f ( z ) 在 区 域 D内 解 析 , 在 D 及 L
所 组 成 的 闭 区 域 D上 连 续 ， 则 对 任 意 z  D ,
f ( z ) 在 D内 有 任 意 阶 导 数
f
(n)
(z) 
f ( )
n!

2 i
L
(  z )
n 1
d  , ( n  1, 2,
).
证 只证 n  1 的情况, 其它情况可用数学归纳法证明.
当 n  1 时 , 取 定 z  D , 取 h  0， 使 得 z  h  D ， 则 有
根据导数的定义, f ( z )  lim
f (z  h)  f (z)
h 0
.
h
从柯西积分公式得
f (z) 
f ( )
1

2 i
L
 z
f ( z  h)  f ( z)

h
1 1
 
h  2 i

L
 zh
f ( )
1

2 i
f ( )
f ( z  h) 
L
d 
(  z )

2 i
L
(  z  h )(  z )
2
2
L
d .

2 i
L
 zh
d ,
d
f ( )
1
f ( )
h

2 i

d ,
f ( )
1
 z
d 
h
2 i

f ( )
L

d 
2
(  z )

下 面 来 估 计 上 式 右 边 的 积 分.
取 d  0 使 得 { :|   z | 2 d }  D .
限 制 0  | h | d , 则 当   L时 ，
|   z |  2 d , |   z  h | |   z |  | h |  2 d  d  d .
设 M 是 | f ( z )| 在 L 上 的 一 个 上 界 ， L的 长 度 为 s , 则 M 与 s
均有界，于是
f ( z  h)  f ( z)

2 i

h

2 i

L
(  z  h )(  z )
2
f ( ) d 
h

2 i
L
f ( )
h
＝
f ( )
1
 zh  z
L
2
(  z )
2
d
d

h

Ms
2 i 4 d
所 以 当 h  0时 ， 上 式 的 极 限 为 0，
即
f (z) 
'
f ( )
1

2 i
L
(  z )
2
d .
3
,
推论3.3.1 设 f ( z ) 在 区 域 D内 解 析 , 则 f ( z ) 在 D内
有任意阶导数.
证
 z 0  D , 则    0, 使 得 U ( z 0 ,  )  D ,
对 f ( z ) 在 U ( z 0 ,  )上 应 用 定 理 3 .3 .2,
f ( z ) 在 U ( z 0 ,  )内 有 任 意 阶 导 数 .
再 由 z 0的 任 意 性 ， f ( z ) 在 D内 有 任 意 阶 导 数 .
注
由 推 论 3.3.1知 推 论 2.2.2的 充 分 条 件 也 是 必 要 的 .
f ( z ) 在 D内 解 析 
u x , u y , v x , v y 在 D内 连 续 且 满 足 C .  R .条 件 .
例4 计 算 I 
解

sin z
| z 1| 1
( z  1)
3
dz .
根 据 定 理 3 .3 .2 得 ,
I 

| z  1|  1
sin z
( z  1)
3
  i  (  sin z )
dz 
2 i
 (sin z )
2!
z 1
   i sin 1 .
''
z 1
z 1
3
例5 求积分 (1)

z 2
解
( z  1)
4
d z;
3
根据公式
f
(n)
( z0 ) 
z 1
2i
( z  1)
3!
3
z 2
dz 
4
n!
,
n  3,
f (z)
2  i C ( z  z
[ z  1 ]

z
z 1
( 1 ) 函数 z  1 在复平面内解析
z0   1 在 z  2 内,

(2)
e
3
z  1
0
)
n1
dz
 2  i;
cos z
z
2
dz.
(2)

e
z
cos z
z
z 1
函数 e
2
z
dz
cos z 在复平面内解析
n  1,
z0  0 在 z  1 内,

z 1
e
z
cos z
z
2
 2  i[  e
z
dz 
2i
1!
cos z  e
,
(e
z
z
cos z )
sin z ]
z0
z0
 2i .
例6 计 算 I 
解
1

z (1  z )
|z|3
3
dz .
根 据 定 理 3 .2 .7 , 定 理 3 .3 .1和 定 理 3. 3. 2得 ,
I 

|z| 3
 2 i 
1
1
z (1  z )
3
dz 
1
(1  z )
 2 i   i 
3
z0
2
z
3

1
2
dz 
z
2 i  1 

 
2!  z 
 0.
z 1
|z|
(1  z )
3
''
z 1

| z  1| 

1
2
1
z
( z  1)
3
dz
3. 莫勒拉定理
定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理) 设 f ( z ) 在 区 域 D内 连 续 ，
且 对 D内 任 意 简 单 闭 曲 线 L 有

f ( z ) dz  0,
L
则 f ( z ) 在 D内 解 析 .
证
取 定 z 0  D , 作 以 z 0为 心 的 圆 盘 K  D ,
于 是 在 区 域 K内, f ( z )连 续 ， 且 对 K 内 任 一 简 单 闭 曲 线 L ,

f ( z ) dz  0,
L
所 以 根 据 推 论 3. 2. 1,
F (z) 

z
f ( ) d  ,
z0
是 K 内 确 定 的 一 个 函 数 ， 并 应 用 定 理 3.2.5 得
F ( z )  f ( z ), z  K ,
'
因 此 F ( z ) 在 K 内 解 析 , 故 由 推 论 3 .3 .1, f ( z ) 在 K 内 解 析 .
f ( z ) 特 别 在 z 0 处 解 析 . 由 z 0的 任 意 性 ， f ( z ) 在 D内 解 析 .
三、柯西不等式与刘维尔定理
1. 整函数
定义3.3.1 在 整 个 复 平 面 上 解 析 的 函 数 称 为 整 函 数 .
如：
z
多 项 式 , e , sin z , cos z 都 是 整 函 数 .
2. 柯西不等式
设 f ( z ) 在 以 圆 L :| z  z 0 |  0
定理3.3.4(柯西不等式)
(0   0    )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 连 续 ， 在 | z  z 0 |  0 上
解析，则
f
(n)
( z0 ) 
n !M ( )

n
, ( n  1, 2,
其 中 M (  )  m ax f ( z ) (0     0 ).
| z  z0 | 
, 0 !  1),
证 应 用 定 理 3.3.2 于 闭 圆 盘 K
f
(n)
( z0 ) 




:| z  z 0 |  (0     0 ) 上 有
f ( )
n!

2 i
| z  z 0 |＝ 
n!
n!
2
| z  z 0 |＝ 
|   z0 |
n 1
M ( ) | d |

| z  z 0 |＝ 
n!M ( )
n 1
2
n !M ( )
2
d
| f ( ) || d  |

2 i
(  z 0 )
n 1
n 1


| z  z 0 |＝ 
 2 
n 1
| d |
n !M ( )

n
.
3. 刘维尔定理
定理3.3.5(刘维尔定理) 有 界 整 函 数 必 定 恒 为 常 数 .
证 设 f ( z )是 一 有 界 整 函 数 , 则 f ( z ) 在 整 个 复 平 面 上 解 析 ,
且 存 在 M  0 使 得 | f ( z ) | M .
下 证 f ( z )  常 数 , 只 需 证 f ( z )  0.
'
 z 0  C ,    [0,  ), f ( z ) 在{ z :| z  z 0 |  }上 解 析 .
于是由柯西不等式,有
0  | f ( z 0 ) |
'
令    得 f ( z 0 )  0.
'
M

.
而 z 0 是 任 意 的 ， 所 以 f ( z )  0.
故 f ( z )在 C 上 恒 等 于 常 数 .
'
例7 设 f ( z )为 一 整 函 数 , 且 存 在 M
 R,使 得 z  C ,有
Re f (z)  M ,
则 f ( z )恒 为 常 数 .
解 设 F (z)  e f (z) ,
F (z)  e
则 F ( z )也 为 整 函 数 ， 且
 f (z)
＝e
 Re f ( z )
e
由 刘 维 尔 定 理 得 F ( z )恒 为 常 数 .
故 f ( z )  ln F ( z ) 也 恒 为 常 数 .
M
.
例8
1
设 f ( z )为 整 函 数 , 且 | f ( z ) | 1 | z | 2 (  z  C ),
则 f ( z )恒 为 常 数 .
解 任 取 z 0  C , R  0, 则 f ( z ) 在 | z－ z 0 | R 上 解 析 .
于是由柯西不等式得,
f ( z0 ) 
'
M (R)
R
,
1
1
而 M ( R )  | f ( z ) | m ax (1 | z | 2 )  1  (| z 0 |  R ) 2 ,
| z－ z 0 |  R
1
所 以 | f ( z 0 ) |
'
1  (| z 0 |  R ) 2
R

1
R
(
| z0 |
R
2

1
1
)2.
R
令 R   得 ， f ( z 0 )  0. 而 z 0 任 意 的 ， 则 f ( z )  0(  z  C
'
故 f ( z )恒 为 常 数 .
'
四、调和函数
1. 调和函数
定义3.3.2 如 果 二 元 实 变 函 数 H ( x , y ) 在 区 域 D内 具
有二阶连续偏导数, 且满足拉普拉斯方程
 H
2
x
2
 H
2

y
2
 0,
那 末 称 H ( x, y ) 为 区 域 D 内 的 调 和 函 数 .
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中有很重要的应用.
2. 解析函数与调和函数的关系
如 果 复 函 数 f ( z )  u ( x , y )  iv ( x , y ) 在 区 域 D内 解 析 ，
则 其 实 部 u ( x , y ) 和 虚 部 v ( x , y ) 是 区 域 D内 的 调 和 函 数 .
由 于 实 部 u ( x , y ) 和 虚 部 v ( x , y ) 是 区 域 D内 满 足
C .  R .条 件 ，
u
v u
v

,

,
x
y y
x
且具有任意阶偏导数，所以
 u
2
x
2
 v
2

 u
2
,
yx y
2
 v
2

xy
 v
2

yx
,
 u
2
因此
u 
x
2
 u
2

y
2
 0,
即 实 部 u ( x , y ) 是 区 域 D内 的 调 和 函 数 .
同 理 可 证 ， 虚 部 v ( x , y ) 是 区 域 D内 的 调 和 函 数 .
3. 共轭调和函数
设 u ( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数
们把使 u  iv 在 D 内构成解析函数的调和
v ( x , y ) 称为 u ( x , y ) 的共轭调和函数
换句话说 , 在 D 内满足方程
两个调和函数中
u
x

,我
函数
.
v
y
,
u
y
, v 称为 u 的共轭调和函数
 
v
x
的
.
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调
和函数.
定理3.3.6 如 果 复 函 数 f ( z )  u ( x , y )  iv ( x , y ) 在 区 域 D
内 解 析 , 则 u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 都 是 D内 的 调 和 函 数 , 且
v ( x , y ) 是 u ( x , y ) 在 D内 的 共 轭 调 和 函 数 .
4. 共轭调和函数的求法－偏积分法
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用
柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而
构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
例9
验 证 u ( x , y )  x  y  x是 z 平 面 上 的 调 和 函 数 ，
2
2
并 求 以 u ( x , y )为 实 部 的 解 析 函 数 f ( z ), 使 得 f (0)  0.
解 因 为 在 z平 面 上 有
 u
2
u 
x
2
 u
2

y
2
 2  2  0,
所 以 u ( x , y )  x  y  x是 z 平 面 上 的 调 和 函 数 .
2
2
设 v ( x , y )是 u ( x , y ) 在 z 平 面 上 的 共 轭 调 和 函 数 , 则
v
y
由
v
y
从而

v
x
u

x
u
x
 2 x  1,
v
x
 得 , v( x, y ) 
 2 y   ( x ),
'

u
y
 2 y,
 (2 x  1) dy  2 xy  y   ( x ),
又
v
x

u
y
 2 y,
'
'
2 y   ( x )  2 y , 所 以  ( x )  0, 因 此  ( x )  c ,
即 v ( x , y )  2 xy  y  c ,
f ( z )  u ( x , y )  iv ( x , y )  x  y  x  i (2 xy  y  c ),
2
2
 ( x  y  i 2 xy )  ( x  iy )  ic  z  z  ic ,
2
2
2
又 由 于 f (0 )  0 得 c  0， 故 f ( z )  z  z .
2
例10
证 明 u ( x, y )  y  3 x y 为 调 和 函 数 , 并 求
3
2
其 共 轭 调 和 函 数 v( x, y ) 和 由 它 们 构 成 的 解 析 函 数.
解 因为
u
  6 xy ,
x
u
y
 3y  3x ,
2
 u
因为
x
x
2
 6 y,
 u
2
2
于是
 u
2
2
v
y
2
 u
y
2
 6 y,
2


y
u
x
2
 0 , 故 u ( x , y ) 为调和函数 .
  6 xy ,
v   6  xy d y   3 xy  g ( x ),
2
v
x
  3 y  g  ( x ),
2
又因为
v
x
 
u
y
 3 y  3 x ,
2
2
 3 y  g ( x )   3 y  3 x ,
2
2
故 g( x) 
2
( c 为任意常数 )
3
2

x

c
,
3
x
d
x
v
(
x
,
y
)

x

3
xy
 c,

2
3
得一个解析函数 w  y 3  3 x 2 y  i ( x 3  3 xy 2  c ).
这个函数可以化为 w  f ( z )  i ( z 3  c ).