Transcript Ch3 平面向量 3-3 平面向量的內積 製作老師：趙益男/基隆女中教師 發行公司：龍騰文化事業股份有限公司 甲、向量的內積 (一)向量的夾角 對於兩個非零向量 a 和 b 將它們平移, 使其始點重合, 此時它們的夾角  (0     180  ) , 稱為向量 a  a 課本頁次：176 b 與.

Ch3 平面向量
3-3 平面向量的內積
製作老師：趙益男/基隆女中教師
發行公司：龍騰文化事業股份有限公司
甲、向量的內積
(一)向量的夾角
對於兩個非零向量 a 和 b
將它們平移, 使其始點重合, 此時它們的夾角 
(0     180  ) , 稱為向量 a

a
課本頁次：176
b
與 b 的夾角.
甲、向量的內積
(一)向量的夾角
例如：在正三角形 ABC 中,
(1) A B 與 A C 的夾角為 60
C
60
A
課本頁次：176
B
甲、向量的內積
(一)向量的夾角
例如：在正三角形 ABC 中,
(2) A B 與 B C 的夾角為 120
C
120
A
課本頁次：176
B
甲、向量的內積
(一)向量的夾角
例如：在正三角形 ABC 中,
(3) B C 與 A C 的夾角為 60
60
C
A
課本頁次：176
B
甲、向量的內積
(二)向量的內積
在物理學中,當用定力拖動一物體時,如果拖力 f
的方向與物體移動的方向成  角,且物體在力 f
的作用下產生的位移為 d ,那麼力 f 對該物體所
作的功 W 為 W  |
|
f
f
| | d | cos  ,在數學上稱
| | d | cos  為向量 f 與向量 d 的內積.
f

課本頁次：177
d
向量的內積的定義
當兩個非零向量 a , b 的夾角為  時,向量
a
與 b 的內積 a  b
a  b 
|
a
||
定義為
b
| cos 
另外,我們規定對任意向量 a 與 0 的內積為0﹐
即 a  0  0  a  0.
課本頁次：177
甲、向量的內積
(二)向量的內積
要注意的是：
(1) 內積 a  b 不是「向量」, 而是一個「實數」.
因為 |
a
|, |
b
| 與 cos  都是「實數」﹐
(2) 在內積的記法中,「 」不能省略,
也不可以寫成「  」。
符號 a  b 另有特定的含義,但在本節中不作介紹.
課本頁次：177
例1 已知
(1)
△ ABC
是邊長為6的正三角形, 求
A B  A C 的值
解 ： AB AC
C
 6  6  cos 60 
 66
1
6
 18
2
A
60
6
課本頁次：178
B
例1 已知
(2)
△ ABC
是邊長為6的正三角形, 求
A B  B C 的值
解 ： AB BC
C
 6  6  cos120 
 6  6  (
1
)  18
2
6
120
A
B
課本頁次：178
6
隨1 已知向量
|
解：
a
a
|  2﹐ |
與 b 的夾角為 45 ﹐
b | 3
﹐ 求 a  b 的值.
a  b
 | a | | b | cos 45
 2  3
2
2
b
45
3 2
a
課本頁次：178
甲、向量的內積
(三)內積的坐標表示
 設 a  O A  ( x1 , y 1 ),
b  O B  ( x2 , y2 )
為坐標平面上兩不平行向量, 且  為此兩個向量
的夾角﹒ 在 △ O A B 中, 利用餘弦定理
2
2
2
得 A B  O A  O B  2 O A  O B  cos 
 AB  OA  OB  2 |
2
課本頁次：178
2
2
a
||
b
| cos 
甲、向量的內積
(三)內積的坐標表示
設 a  O A  ( x1 , y 1 ),
b  O B  ( x2 , y2 )
 AB 2  O A2  O B 2  2 |
 2|
a
||
a
2
b
||
| cos 
b
2
| cos   O A  O B  A B
2
 2 a  b  ( x1  y 1 )  ( x 2  y 2 )  ( ( x1  x 2 )  ( y 1  y 2 ) )
2
2
2
2
2
 2 a  b  2 x1 x 2  2 y 1 y 2  a  b  x1 x 2  y 1 y 2
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2
甲、向量的內積
(三)內積的坐標表示
 設 a  O A  ( x1 , y 1 ),
b  O B  ( x2 , y2 )
為坐標平面上兩平行向量﹒
 ( x1 , y 1 )  r ( x 2 , y 2 )
 a  r b (r 
)
a  b  (r b )  b
 r | b |2  r ( x 2 2  y 2 2 )
 ( rx 2 ) x 2  ( ry 2 ) y 2  x1 x 2  y1 y 2
 若 a 與 b 有一為 0 時， a  b  x x  y y  0
1 2
1 2
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內積的坐標表示
若 a  ( x1 , y 1 ), b  ( x 2 , y 2 )
是坐標平面上任意兩個非零向量,
則 a 與 b 的內積 a  b 為
a  b  x1 x 2  y 1 y 2
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例2 已知
a  (7,1)
(1) a  b
解：
a  b
 (7,1)  (3,4)
 7  3  1 4
 25
課本頁次：180
﹐b  (3, 4) ﹐求
例2 已知
a  (7,1)
﹐b  (3, 4) ﹐求
(1) a  b  25
(2) a 與
b
的夾角
解 ： (2) 設 a 與 b 的夾角為 
|
|
a
|  7 2  12  5 0  5 2
b
|  32  4 2  2 5  5
a  b
 cos  
|
a
||
b

|
25
5 2 5
∴   45 
課本頁次：180

1
2
隨2 在
△ ABC
中﹐已知三頂點坐標為
A (  2, 3), B (2,  2 ), C (3, 7 )
解：
AB  AC
  4,  5    5, 4 
 4  5   5  4
0
課本頁次：180
﹐求 (1) A B  A C
隨2 在
△ ABC
中﹐已知三頂點坐標為
A (  2, 3), B (2,  2 ), C (3, 7 )
解：
﹐求 (2)  B A C
cos  BAC
AB  AC
  4,  5    5, 4 
AB AC

| AB | |AC |
 4  5   5  4
0
0

| AB | |AC |
∴
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  90 
0
內積的性質
設 r 為實數, a , b 與 c 為任意向量
(1)
a  a 
(2)
a  b  b  a
|
a |2
(3) ( r a )  b  r ( a  b )
(4) a  ( b  c )  a  b  a  c
課本頁次：180
甲、向量的內積
(4) a  ( b  c )  a  b  a  c
證： 設 a   x1 , y 1  , b   x 2 , y 2  , c   x 3 , y 3 
a  ( b  c )   x1 , y 1    x 2  x 3 , y 2  y 3 
 x1  x 2  x 3   y 1  y 2  y 3 
 x1 x 2  x1 x 3  y 1 y 2  y 1 y 3
a  b  a  c   x1 , y 1    x 2 , y 2    x1 , y 1    x 3 , y 3 
 x1 x 2  y 1 y 2  x1 x 3  y 1 y 3
∴
課本頁次：181
a ( b  c )  a  b  a  c
例3 已知 | a |
 2 ﹐| b |  3
﹐ a 與 b 的夾角為 60 ﹐
求 (1) ( a  b )  ( a  b ) 的值.
解：
( a  b )( a  b )
 a  a  a  b  b  a  b  b
 | a |2  | b |2
2 3
2
 5
課本頁次：181
2
例3 已知 | a |
求 (2) |
解：
|
 2 ﹐| b |  3
3 a 2 b
3 a 2 b
|2
﹐ a 與 b 的夾角為 60 ﹐
| 的值.
 (3 a  2 b )  (3 a  2 b )
9 a  a 6 a  b 6 b  a 4 b  b
 9| a |2  12 a  b +4| b |2
 9  2  12  2  3  cos 60   4  3
2
∴
課本頁次：181
|
3 a 2 b
| 6
2
 36
隨3 已知 | a |
求 |
解：
|
 3 ﹐| b |  4 ﹐ a 與 b 的夾角為 120﹐
a  b
| 的值.
a  b
|2
 ( a  b )( a  b )
 a  a  a  b  b  a  b  b
 | a |2  2 a  b + | b |2
 3  2  3  4  cos 1 20   4
2
∴
課本頁次：182
|
a  b
2
 13
|  13
例4 已知ABCD為平行四邊形，試證：
2
2
2
2
D
A C  B D  2( A B  A D )
b
證明 ：令 AB  a , AD  b
2
 AC  BD  AC  BD
2
C
2
2
A
B
a
＝ |
＝(|
= 2( |
a  b
a
|2  2 a  b + |
a
|2
課本頁次：182
+|
b
|2
|2 ＋ |
b |2 
2
|
b
2
b  a
|2
|2  2 b  a + |
a |2
)
)  2( A B  A D ) 「平行四邊形定理」
隨4 在
D
△ ABC
中﹐已知 A B  4, A C  6, B C  8 ,
為 B C 的中點﹐求中線 A D 的長﹒
解 ： 設 A D  x  四邊形ABEC 為平行四邊形
由平行四邊形定理
A
2
2
2
x
B
 64  4 x  104
2
 x 2  10  x  1 0
∴
課本頁次：182
AD 
6
4
得 8  (2 x )  2(4  6 )
2
8 D
C
x
E
10
甲、向量的內積
(四)兩向量垂直的判定
兩向量垂直的定義
當向量 a 與 b 的夾角為直角時,
我們稱 a 與 b 垂直, 記作 a  b
課本頁次：182
甲、向量的內積
(四)兩向量垂直的判定
a  b 
|
a
|
  90 
b
| cos 
a  b
 cos  

||
a
||
b
|
 cos   0  a  b  0
 a  b  0  cos   0
   90 
課本頁次：183
(0     180  )
甲、向量的內積
(四)兩向量垂直的判定
(1) 設 a 與 b 為任意兩個向量.
若 a  b ,則 a  b  0 ；反之亦成立。
(2) a  ( x1 , y 1 ) 與 b  ( x 2 , y 2 ) 為任意兩個向量.
若 a  b ,則 x1 x 2  y1 y 2  0 ；反之亦成立。
課本頁次：183
例5 設向量
a  (1,  3)﹐b  (2,  1) ﹐ c  (3, s )
(1) 已知 a  c ﹐求實數 s 的值﹒
解：
a  c  a  c 0
  1,  3    3, s   0
 1  3   3  s  0
 s 1
課本頁次：183
例5 設向量
a  (1,  3)﹐b  (2,  1) ﹐ c  (3, s )
(2) 已知 ( a  t b )  b ﹐求實數 t 的值﹒
解：
a  t b  (1,  3)  t (2,  1)  (1  2 t ,  3  t )
( a  t b )  b  ( a  t b ) b  0
 (1  2 t ,  3  t )   2,  1   0
 (1  2 t )  2  (  3  t )  (  1)  0
 5t  5  0
課本頁次：183
 t  1
隨5 已知
a  (k , 2)
﹐b  (  4, 3 k  1) 垂直 ﹐
求實數 k 的值﹒
解：
a  b  a  b 0
 ( k , 2 )  (  4, 3 k  1)  0
 k  (  4)  2  (3 k  1)  0
 k 1
課本頁次：184
例6 設向量
a
與 b 垂直,且 | a |  2 ﹐|
b
|  4 ﹐若
向量 r a  b 與 2 a  b 亦垂直,則實數 r 的值為何？
解 ： (r a  b )  ( 2 a  b )
 (r a  b )  ( 2 a  b )0
 2r |
 2r |
a
|2  r a  b  2 a  b － |
a
|2 － |
b
|2  0 (
 2r  2  4  0
2
2
 8 r  16  0
課本頁次：184
 r2
b
|2  0
a  b  a  b  0)
隨6 設向量
與 b 的夾角為30°, | a |  2 ﹐|
a
b
|  3﹐
若向量 a 與 r a  2 b 垂直,則實數 r 的值為何？
解：
a
 (r a  2 b )
 a
 (r a 2 b )0
 r|
a
(
|2  2 a  b
a  b  2
0
3
3
 3)
2
 r2 23 0
2
 r
3
2
課本頁次：184
乙、兩直線的交角
直線法向量的定義
當非零向量 n 與直線 L 的一個方向向量垂直時﹐
稱向量 n 與直線 L 垂直﹐並稱其為直線 L的
一個法向量﹒
n
L
課本頁次：185
乙、兩直線的交角
y
Q (a, b)
設 L : ax  by  c  0
P (  b, a )
L  : ax  by  0
在直線 L  上取一點 P   b , a 
x
O
L
L
 O P  (  b , a ) / / L ∴ (  b , a ) 為 L 的一個方向向量
在平面上取一點 Q  a , b  得向量 O Q  ( a , b )
O P  O Q  (  b , a )  ( a , b )   ab  a b  0
 OQ  OP  OQ  L
∴ ( a , b ) 為 L 的一個法向量
課本頁次：185
直線的方向向量與法向量
若直線 L 的方程式 L : ax  by  c  0 ﹐則
(1) 向量 v    b , a  為直線 L 的一個方向向量﹒
(2) 向量 n   a , b 
為直線 L 的一個法向量﹒
n  a,b
v    b, a 
課本頁次：186
L : ax  by  c  0
隨堂 設直線
L : 4x  6y  5  0
﹐
下列哪些向量可為 L 的法向量﹖
(1) n 1   4, 6 
(2) n 2    6, 4 
(4) n 4   3,  2 
(5) n 5   6, 9 
解 ： (1) ○﹒
n 1  n   4, 6 
(3) n 3   2, 3 
是 L 的一個法向量﹒
(2) ×﹒
(3) ○﹒
n 3   2, 3  / / n   4, 6 
(4) ×﹒
(5) ○﹒
課本頁次：186
n 5   6, 9  / / n   4, 6 
乙、兩直線的交角
兩直線 L1 , L2 相交,
其交角形成兩雙對頂角
 1 和  2   1   2  180 
設 n 1 與 n 2 分別為 L1 與 L 2
的一個法向量, 且其夾角為      2  180 
∴   1
即 n 1 與 n 2 的夾角  為 L1 與 L 2 的一個交角
若求兩直線的交角,則求兩直線法向量的夾角即可.
課本頁次：186
例7 求兩直線
L1 : 3 x  y  3  0
與 L2 : 2 x  y  1  0
的交角.
解 ： L1 的法向量為 n1  (3,1)
L2 的法向量為 n 2  (2,  1)
設L1 與L2的銳夾角為θ
n1  n 2
 cos  
|
   45 
課本頁次：187
n1
||
n2

|
6 1
10 

5
5
5 2

1
2
∴交角為 45° 或 180°－45°＝135°
隨7 求兩直線
L1 :
3x  y  1  0
與 L2 : x  3 y  2  0
的交角.
解 ： L1 的法向量為 n1  ( 3 ,  1)
L2 的法向量為 n 2  (1,  3 )
設L1 與L2的銳夾角為θ
n1  n 2
 cos  
|
   30 
課本頁次：187
n1
||
n2
|

3
3
4
4

2 3
4

3
2
∴交角為 30° 或 180°－30°＝150°
丙、點到直線的距離
設 L : ax  by  c  0 與點 P ( x 0 , y 0 )
則 Q P ＝點P到直線L的距離
Q P / / n  Q P  t n (t 
P ( x0 , y0 )
n  a,b
L
)
 ( x 0  x1 , y 0  y 1 )  t ( a , b )
Q ( x1 , y 1 )
 ( x1 , y1 )  ( x 0  at , y 0  bt )
∵ Q ( x1 , y1 ) 在L上  ax1  by1  c  0
 a ( x 0  at )  b ( y 0  bt )  c  0
課本頁次：188
 t
ax 0  by 0  c
a b
2
2
丙、點到直線的距離
設 L : ax  by  c  0 與點 P ( x 0 , y 0 )
則 Q P ＝點P到直線L的距離
Q P / / n  Q P  t n (t 
t
QP


L
)
ax 0  by 0  c
a b
2
t n
= t
a b
2
Q ( x1 , y 1 )
2
n
ax 0  by 0  c
課本頁次：188
P ( x0 , y0 )
n  a,b
2

a b
2
2

ax 0  by 0  c
a b
2
2
點到直線的距離公式
點 P ( x 0 , y 0 ) 到直線 L : ax  by  c  0 的距離d 為
d 
ax 0  by 0  c
a b
2
課本頁次：188
2
.
例8 求點 P ( 3,1) 到直線
解：
d 
3 3  4 1 5
3  (4)
2

10
5
2
課本頁次：188
2
L : 3x  4 y  5  0
的距離.
隨8 求點P (  1, 2 ) 到直線 L : 12 x  5 y  4  0 的距離.
解：
d 
12  (  1)  5  2  4
12  (  5 )
2

26
13
2
課本頁次：189
2
例9 已知圓
C : ( x  5)  y  25
2
2
﹐求通過圓外一點
P(2 1)且與圓C相切的直線方程式
解： 設m為過P的切線L的斜率
y
 L : y  1  m ( x  2)
 m x  y  (2 m  1)  0

| 5m  0  2 m  1 |
m  (  1)
2
P (  2,1)
5
O
5
x
(5, 0)
2
49 m  14 m  1
2

課本頁次：189
m 1
2
 25
 12 m  7 m  12  0
2
例9 已知圓
C : ( x  5)  y  25
2
2
﹐求通過圓外一點
P(2 1)且與圓C相切的直線方程式
解：
L : y  1  m ( x  2)
y
 12 m  7 m  12  0
2
P (  2,1)
5
 (4 m  3)(3 m  4)  0
O
 m 
3
4
或 
4
x
(5, 0)
3
∴切線方程式為 y  1 
3
( x  2) 和 y  1  
4
( x  2)
3
4
即 3 x  4 y  10  0 和 4 x  3 y  5  0
課本頁次：189
隨9 設圓
C : ( x  2)  ( y  1)  5 ﹐求通過圓外一點
2
2
P(7 4)且與圓C相切的直線方程式
解： 設m為過P的切線L的斜率
y
P (7, 4)
 L : y  4  m ( x  7)
 mx  y  7m  4  0

| 2m  1  7m  4 |
m  (  1)
2
O
5
2
25 m  50 m  25
2

課本頁次：190
m 1
2
 25  m  0
x
(2,  1)
隨9 設圓 C : ( x  2 ) 2  ( y  1) 2
 25 ﹐求通過圓外一點
P(7 4)且與圓C相切的直線方程式
解：
L : y  4  m ( x  7)
y
P (7, 4)
 m 0
 y 4
(水平切線)
O
另一條為鉛直切線 x  7
∴切線方程式為 y  4 和 x  7
課本頁次：190
x
(2,  1)
兩平行直線的距離公式
兩平行直線 L1 : ax  by  c1  0 與 L2 : ax  by  c 2  0
設 P ( x1 , y1 ) 在 L1 上﹐ 則 ax1  by1  c1  0
ax1  by1   c1
又 L1 與 L 2 的距離d ＝ 點 P 到直線 L 2 的距離
∴
d 
ax1  by 1  c 2
a b
2
 d 
 c1  c 2
a b
2
課本頁次：190
2
P ( x1 , y 1 )
2

c1  c 2
a b
2
.
2
d
L1
L2
兩平行直線的距離公式
兩平行直線 L1 : ax  by  c1  0 與 L2 : ax  by  c 2  0
的距離d 為
d 
c1  c 2
a b
2
課本頁次：190
.
2
例10 求兩平行直線
L1 : 3 x  4 y  2  0
與 L2 : 6 x  8 y  7  0 的距離.
解：
L1 : 3 x  4 y  2  0
 6x  8y  4  0
L2 : 6 x  8 y  7  0
∴ d 
課本頁次：190
47
6 8
2

2
3
10
隨10 求兩平行直線
L1 : x  2 y  3  0
與 L2 : x  2 y  2  0 的距離.
解：
L1 : x  2 y  3  0
L2 : x  2 y  2  0
∴ d 
課本頁次：191
3  (2)
1  (2)
2
2

5
5

5
例11 已知兩直線 L : 2 x 
1
y  1  0 與 L2 : x  2 y  5  0
求兩直線的交角平分線方程式.
解：
2x  y 1
2  (  1)
2
2

x 2y 5
1  (2)
2
2
 2x  y 1  x  2 y  5
即 2 x  y  1   ( x  2 y  5)
∴ 兩直線的交角平分線方程式為
x y40
課本頁次：191
或 x y20
,
隨11 求兩直線 L : 3 x  4 y  7  0 與 L : 4 x  3 y  2  0 ,
2
1
的交角平分線方程式.
解：
3x  4 y  7
3 4
2

4x  3y  2
2
4 3
2
2
 3x  4 y  7  4 x  3 y  2
即 3x  4 y  7   (4 x  3 y  2)
∴ 兩直線的交角平分線方程式為
x y90
課本頁次：191
或 7x  7 y  5  0
丁、柯西不等式
設 a 與 b 為兩個非零向量﹐ 且  為其夾角
 a  b 
|


a  b
||
a
|
a
b
| cos  ﹐因為 cos   1
||
b
| cos 
當不等式等號成立時﹐ cos 
   0
或   180 

|
a
||
b
|
1
 a 與 b 平行﹒
當 a 與 b 中有一為 0 時﹒柯西不等式也成立﹒
課本頁次：192
柯西不等式
對於任意兩向量
a  b
不等式
b ,
a ,

|
恆成立,且等號成立於
a
||
b
|
a // b
或 a 與 b 中有一為 0 時﹒
課本頁次：192
柯西不等式
設 a  ( x1 , y 1 ), b  ( x 2 , y 2 ),
由
a  b

|
 x1 x 2  y 1 y 2 
a
||
b
|
x1  y 1 
2
2
x2  y2
2
2
 ( x1 x 2  y 1 y 2 )  ( x1  y 1 )( x 2  y 2 )
2
2
等號成立  x1 y 2  x 2 y1
課本頁次：192
2
2
2
柯西不等式
對於任意實數 x1 , x 2 , y1 , y 2 , 不等式
( x1  y 1 )( x 2  y 2 )  ( x1 x 2  y 1 y 2 )
2
2
2
2
2
恆成立,且等號成立於 x1 y 2  x 2 y1 時.
課本頁次：193
例12 已知實數
x, y
滿足 3 x  y  24 , 求 9 x 2  y 2
的最小值,並求此時 x 與 y 的值.
解：
( (3 x )  y ) ( 1 2  1 2 )  ( 3 x  y ) 2
2
2
 ( 9 x  y )  2  24
2
 9 x  y  288
 9 x  y 有最小值288
2
2
2
此時
3x
1

2
y
1
2
2
 3x  y
 
 x  4, y  12
 3 x  y  24
故當 x  4, y  12 時﹐ 9 x  y 有最小值288
2
課本頁次：193
2
隨12 已知實數
x, y
滿足 8 x  9 y  25 , 求 4 x 2  9 y 2
的最小值,並求此時 x 與 y 的值.
解 ： ( (2 x ) 2  (3 y ) 2 ) ( 4 2  (  3) 2 )  ( 8 x  9 y ) 2
 (4 x  9 y )  25  25
2
2
 4 x  9 y  25
2
此時
2x
4

2
3y
3
2
 4 x  9 y 有最小值25
2
2
 x  2 y
 
 x  2, y   1
8 x  9 y  25
故當 x  2, y   1 時﹐4 x  9 y 有最小值25
2
課本頁次：193
2
例13 已知實數
滿足 x 2  y 2  25 , 求 3 x  4 y
x, y
的最大值與最小值,並分別求最大值與最小值時﹐
x 與 y 的值.
解：
( x  y
2
2
2
) ( 32  4 2 )  ( 3 x  4 y )
 25  25  ( 3 x  4 y )
此時
x

3
 x  3, y  4
y
4
2
  25  3 x  4 y  25
 4x  3y
  2
2
x

y
 25

或 x   3, y   4
故當 x  3, y  4 時﹐ 3 x  4 y 有最大值25﹒
課本頁次：194
例13 已知實數
滿足 x 2  y 2  25 , 求 3 x  4 y
x, y
的最大值與最小值,並分別求最大值與最小值時﹐
x 與 y 的值.
解：
( x  y
2
2
2
) ( 32  4 2 )  ( 3 x  4 y )
 25  25  ( 3 x  4 y )
此時
x

3
 x  3, y  4
y
4
2
  25  3 x  4 y  25
 4x  3y
  2
2
x

y
 25

或 x   3, y   4
故當 x   3, y   4 時﹐ 3 x  4 y 有最小值  25
課本頁次：194
隨13 已知實數
滿足 x 2  y 2  2 , 求
x, y
x y
的最大值與最小值,並分別求最大值與最小值時﹐
x 與 y 的值.
解：
2
2
2
2
( x  y ) ( 1  (  1) )  ( x  y ) 2
 2  2  (x  y)
此時
x

1
 x  1, y   1
y
1
或
2
 2  x  y  2
 x  y
  2
2
x

y
2

x   1, y  1
故當 x  1, y   1 時﹐ x  y
課本頁次：194
有最大值 2
隨13 已知實數
滿足 x 2  y 2  2 , 求
x, y
x y
的最大值與最小值,並分別求最大值與最小值時﹐
x 與 y 的值.
解：
2
2
2
2
( x  y ) ( 1  (  1) )  ( x  y ) 2
 2  2  (x  y)
此時
x

1
 x  1, y   1
y
1
或
2
 2  x  y  2
 x  y
  2
2
x

y
2

x   1, y  1
故當 x   1, y  1 時﹐ x  y 有最小值  2
課本頁次：194
例14 小菱在一半徑為1公里的半圓形
C
湖游泳.她先由湖畔的A點沿直線
採自由式游到湖邊的某個點C,再
x
A
y
B
2
沿直線採蛙式游到B點,如圖所示,其中 A B 為湖的直徑.
已知她游自由式速度為每小時2公里,游蛙式速度為
每小時 1.5公里,請問小菱運動的時間最長為多少小時？
解 ： 設 x  A C , y  B C , 則運動的時間為
又 AB  2  x2  y 2  4
課本頁次：195
x
2

y
1.5
例14 解 ： 設 x 
AC
x
則運動的時間為
y

2
, y  BC ,
1.5
C

x

2
2y
A
1
2
2
2
x 2y 2
2
(
)

(
)
( x  y )(
)  (
)

2
3
2
3
2
 4
2
25
(
36
x
2

2
2y
3
)
2
 
5
3

x

2
故小菱的運動時間最長為
課本頁次：195
y
3
又 AB  2  x  y  4
2
x
2y
3
5
3

5
3
小時
B
隨14 如右圖,在邊長為1的正方形內,
2y
y
圓O1與圓O2外切,並分別與正方形的
y
兩鄰邊相切
x
2x
(1)求這兩圓的半徑之和
x
解 ： 設圓O1的半徑為x, 圓O2的半徑為y
2x  x  y 
2y
 ( 2  1)( x  y ) 
1 1 
2
2
2  x y
x
1
2
2
2 1
∴兩圓的半徑之和為 2  2
課本頁次：196
y
 2
2
1
隨14 如右圖,在邊長為1的正方形內,
圓O1與圓O2外切,並分別與正方形的
y
兩鄰邊相切
(2)求這兩圓面積之和的最小值
x
解： x y  2 2
( x  y )(
2
2
1 1
2
 2( x  y )  ( 2 
2
2
)  ( x  y )2
2
2)
2
 x  y 
2
2
(2 
2)
2
2
∴兩圓圓面積之和的最小值為 (3  2 2 )
課本頁次：196
 32 2
戊、正射影
設平面上兩個非零向量 a  O A , b  O B ,
自A點向直線OB作垂線交於 C點﹐此時向量 O C
稱為向量 a 在 b 上的正射影﹒
(1) 夾角為銳角
A
a
O
課本頁次：196
c
C
B
b
戊、正射影
設平面上兩個非零向量 a  O A , b  O B ,
自A點向直線OB作垂線交於 C點﹐此時向量 O C
稱為向量 a 在 b 上的正射影﹒
(2) 夾角為直角
A
a
O C
課本頁次：196
B
b
戊、正射影
設平面上兩個非零向量 a  O A , b  O B ,
自A點向直線OB作垂線交於 C點﹐此時向量 O C
稱為向量 a 在 b 上的正射影﹒
(3) 夾角為鈍角
A
a
C
課本頁次：196
c
O
B
b
戊、正射影
A
OC / / b
a r b
 OC  r b (r 
)
C
CA  OA OC  a  r b
 ( a  r b ) b  0
 r
a
b
| b |
2
課本頁次：197
a
∴
B
O
c
b
,且 C A  b ,
 a
b r| b | 0
OC  r b  (
2
a
b
| b |
2
) b
正射影公式
向量 a 在非零向量 b 上的正射影為 c
c
課本頁次：197
(
a
b
| b |
2
) b
例15 已知
a  (7, 4), b  (1, 2)
,求 a 在 b 上
的正射影及正射影的長.
解 ： 設 a 在 b 上的正射影為 c
(1) c  (
(
a
b
| b |
2
78
5
) b
) b
 3 b  3(1, 2)  (3, 6 )
(2) 正射影的長為 | c |  3 2  6 2  3 5
課本頁次：197
隨15 已知
a  (1,  2), b  (  4, 3)
,求 b 在 a 上
的正射影及正射影的長.
解 ： 設 b 在 a 上的正射影為 c
(1) c  (
(
a
b
| a |
2
4  6
5
) a
) a   2 a   2(1,  2)  (  2, 4 )
(2) 正射影的長為 | c |  (  2 ) 2  4 2  2 5
課本頁次：198
例16 將向量
a  (4, 7 )
分解為與向量 b  (2,1)
y
平行與垂直的兩個向量.
解 ： 設 向量 c
b
,且
a
a 在 b 上的正射影為 c
c (
(
a
b
| b |
2
87
5
c
O
) b
) b
 3 b  3(2,1)  (6, 3)
∴平行向量為 (6, 3)
課本頁次：198
b
x
例16 將向量
a  (4, 7 )
分解為與向量 b  (2,1)
y
平行與垂直的兩個向量.
解 ： c  (6, 3)
a
設 向量 d  b
d
c
O
c  d  a
 d  a  c
 (4, 7 )  (6, 3)  (  2 , 4 )
∴垂直向量為 (  2, 4 )
課本頁次：198
b
x
隨16 將向量
a  (8, 0)
分解為與向量 b  (1,1)
平行與垂直的兩個向量.
解 ： 設 向量 c
a
b
,且
在 b 上的正射影為 c
c (
(
a
b
| b |
2
80
2
c
b
O
x
a
) b
) b
 4 b  4(1,1)  (4, 4 )
∴平行向量為 (4, 4 )
課本頁次：198
y
隨16 將向量
a  (8, 0)
分解為與向量 b  (1,1)
平行與垂直的兩個向量.
y
解 ： c  (4, 4 )
c
設 向量 d  b
b
x
O
a
d
c  d  a
 d  a  c
 (8, 0)  (4, 4 )  (4,  4 )
∴垂直向量為 ( 4,  4 )
課本頁次：198
離開確認
你確定要離開嗎？