Transcript 誤差理論 - OceanSurvey

第二章
測量誤差
誤差是指觀測量與已知值(真值)之間的差
異情形，即
『誤差=觀測值－已知值(真值) 』
Error = Observed value - True value
概述
測 量 時 由 於 人 為 能 力 (human skill) 、 儀 器 構 造
(mechanical equipment) 及 自 然 環 境 (nature
environment)之種種影響，故任何測量工作，皆不
能求得其真值，每次觀測值都會含有不可避免之誤
差存在。
 將觀測次數增加，其多於所必要者，即為多餘觀測
(redundancy)，可藉此多餘觀測施行平差計算，以
探討觀測之誤差與成果之精度；並取得多餘觀測之
平均值，當作為最或是值(most probable value)。
 任何測量作業應按測量目的之需求，釐定誤差界限，
促使測量成果能達到需用之精度為目標。

觀測與觀測值的分類
 構成測量工作的要素包括觀測者、測量儀器和
外界環境條件，稱為觀測條件。
同精度觀測和不同精度觀測
 在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀
器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件
下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀
測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測
值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀
測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。
觀測與觀測值的分類
例如:
 兩人用同一經緯儀各自測得的一測回水
平角度屬於同精度觀測值
 若一人用T2經緯儀、一人用NT2經緯儀測
得的一測回水平角角度，或都用同一經
緯儀，但一人測二測回，一人測四測回，
各自所得到的均值則屬於不同精度觀測
值。
觀測與觀測值的分類
直接觀測和間接觀測
(Direct and Indirect Observations)
為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測
量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測
值稱為直接觀測值。
 通過被觀測量與未知量的函數關係來確定未知
量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測
值。
 例如，為確定兩點間的距離，用鋼尺直接丈量
屬於直接觀測；而視距測量則屬於間接觀測。

觀測與觀測值的分類
獨立觀測和非獨立觀測
各觀測量之間無任何依存關係，是相互獨立的
觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。
若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的
約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立
觀測值。
如對某一單個未知量進行重複觀測，各次觀測
是獨立的，各觀測值屬於獨立觀測值。觀測某
平面三角形的三個內角，因三角形內角之和應
滿足180°這個幾何條件，則屬於非獨立觀測，
三個內角的觀測值屬於非獨立觀測值。
相關名詞
真值（true value）
任何物理量正確之值，此值在測量中絕無法
獲得(the true value of an observation
is never known）
最或是值（most probable value）
與真值最近似之值
測量之誤差（error）
測量之觀測值與最或是值之差
觀測值與真值之差稱為真誤差
誤差之來源(sources of errors)
（1）儀器誤差（instrumental errors）：
起因於儀器裝置及校正不完善所致。
譬如量尺刻度的不均勻不準確
（2）人為誤差（personal errors）-觀測者：
起因於人之視力與反應能力不同所致。
（3）自然誤差（natural errors）-外在環境：
起因於日曬、風吹、溫度及大氣之折光與磁
針偏差等自然現象之變化所致。
誤差之種類(Types of errors)
（1) 錯誤（mistakes）或粗差（gross error）：
錯誤之產生係由於人為之疏忽，無經驗或因
精神緊張1）、不細心所引起
（2）系統誤差（systematic errors）：
系統誤差常係由於儀器本身或儀器改正欠完
善之小誤差，經多次觀測後，累積成大錯誤
（3）偶然誤差(accidental errors, random errors):
偶然誤差係由於儀器不夠精細，自然環境之
變化等所引起
誤差之消除
（1）錯誤
增加測量次數，多加檢核工作，當可減少發生
錯誤之機會。
（2）系統誤差
於施測前需將儀器妥為檢點與校正、採用對稱
觀測的方法或於施測後加以改正。
（3）偶然誤差
改良測量技術及以計算或圖解方法平差改正之
偶然誤差性質
1.
2.
3.
4.
偶然誤差，具有以下四個統計特性：
在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會
超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；
絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會
大；絕對值越小的偶然誤差，其出現機率 越高
絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；
在相同條件下，對同一量進行重複觀測，偶然
誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而
趨於零，即
1   2  .......   n

lim
n 
n
 lim
n 
n
0
誤差曲線 (error density curve)
誤差之性質
(1)累積誤差
其誤差總值為測量次數累積數，即誤差
與觀測次數成比例。
(2)相消誤差:
其誤差出現為偶然，或正或負，若以多
次觀測可能減小或相消。
誤差之性質
在測量工作中，無論如何小心從事，謹
慎操作，其所測得之結果，總會多少有一點
誤差，每一測量工作均可能產生誤差。
(Every observation contains errors)
從事測量工作者，應熟諳誤差之性質，
誤差可能產生之情況，儘量避免;並應暸解測
量工作精度之需求，採用適當方法及合適之
儀器施測，以期達到預定之目標。
較 差(discrepancy)
對同一量經二次觀測，此二次觀測之差，稱為較差
較差甚小時，可表示觀測無重大錯誤,或亦表示偶然
誤差甚小，但卻無法顯示出系統誤差之大小，蓋較
差小並非表示系統誤亦小。
如以鋼捲尺測量距離，二次之較差為0.002公尺,但
由於尺本身之長度不準，或溫度變化所產生之誤差，
則可能大於0.002公尺以上，如無做其他校正，僅重
複測量，並無法發現此系統誤差。
最或是值
(1)同一量複測數次
在同一環境下對某量多次複測所得之數
個觀測值，求其平均值即為最或是值，
觀測次數愈多，其平均值愈接近真值。
平均值接近真值

觀測次數愈多，其平均值 L 愈接近真值 X
1  l1  X ,
 2  l2  X
,
 n  X  ln
[  ]  [l ]  nX
[  ] [l ]


 X  L X
n
n
[]
n
0
n
L  X
(l1  l2 
其中L 
n
 ln )
[l ]

 算術平均 值
n
n次同權直接觀測其最或是值為算術平均值
設l1,l2,…ln為同權直接觀測值，Z為最或是值，則
其剩餘誤差residuals（改正值）為
 1  Z  l1 ,  2  Z  l2
( Z  l1 ) 2  ( Z  l2 ) 2 
,
 n  Z  ln
 ( Z  ln ) 2  最小
d
d
d
2
2

( Z  l1 ) 
( Z  l2 )  
( Z  ln ) 2  0
dZ
dZ
dZ
 ( Z  l1 )  ( Z  l2 )   ( Z  ln )  0
 nZ  (l1  l2 
(l1  l2 
Z 
n
ln )  0
 ln )
[l ]

 L  算術平均值
n
例題2-l
一距離以鋼捲尺丈量三次，三次之觀測值分別為
127.483公尺、127.481公尺、127.486公尺，試
求其最或是值為若干公尺？
解：
最或是值
1
 127.483  127.481  127.486   127.483 公尺
3
例題2-2
一經緯儀經詳細檢點、校正後，用其測量一水
平 角 ， 重 複 觀 測 該 角 四 次 ， 其 值 各
為 7204'20"、7203'40"、7204'00"、 7203'20"，試
求該角最或是值為若干？
解：
最或是值
1(
 7204'20" 7203'40" 7204'00" 7203'20" )
4
 7203'55"
最或是值
(2)相互間有一定關係之數量分別施測
(a)數個觀測值總和應等於已知之固定值時
可計算其總和與固定值之差數，然後
將此差數平均分配或以一定比例分配於該
數個觀測值．即得各觀測值之最或是值
例題2-3 (a)

以經偉儀測量一三角形之三內角，得其觀測值，
分別為 4212'38" 、8139'07"、5608'06"，試
分別求其三角度之最或是值
解：
三角度觀測值之總和為 17959'51"
三內角觀測值之總和與 180 之差為 9"
平均改正於三觀測值中，得三內角之最或是值
分別為 (各+3秒)
4212'41" 8139'10" 5608'09"
權(權數)
權又稱權數乃用於衡量一觀測值可靠程度的數。
 權之釐定方法有下列三種:

(1)依主觀之決定:考量觀測者之經驗、儀器之性能、
觀測之次數、觀測時之條件等，綜合以主觀的判
斷以決定其權數之大小。
(2)同等精度重複觀測次數:依據出現重複次數以決
定其權數上大小。
(3)依據權與中誤差之平方成反比之關係以決定其
權數之大小。P : P : P : : P  1 : 1 : 1 : 1
1
2
3
n
m12 m22 m32
mn2
例題2-3 (b)

以經偉儀測量一三角形之三內角，分別觀測3次、
4次、6次，得其觀測值如下，試求其各角之最
或是值。 4212'38" 8139'07" 5608'06"
解：觀測次數的倒數為各角修正之權重 1/3:1/4:1/6
三角度觀測值之總和為 17959'51"
三內角觀測值之總改正數為 9"
各改正數＝總改正數 x（各權/總權）
按權重改正各觀測值之改正數為 +4”,+3”,+2”
得三內角之最或是值分別為
42o12’42”, 81o39’10”, 56o08’08”
最或是值
(b)數個觀測值之總和應等於總量之觀測值時
可計算該數個觀測值之總和與總量觀測值
之差數，然後將此差數平均改正於各觀測值，
倘總量之觀測值亦係在同一環境、條件下作業，
則改正時必須包括總量之觀測值;如總量之觀
測值，精度較高，且經確定者，則僅改正各分
量之觀測值。總量觀測值如有分配改正數，其
符號與各分量觀測值改正數之符號相反
例題2-4

一水平角以經緯儀測量，得其觀測值為 10759'20"
，
今再將該角分為三部份，分別觀測其角度，得
三觀測值為 2415'20"、3827'40"、4516'00"，試
求各觀測值之最或是值
解：三觀測值之總和為 10759'00"
三角總量觀測值與該三角觀測值之總和，
其間之差數為 20"
因觀測角共有四個，故應將該差數平均分配於
四個觀測值內 (大角減5秒，各分角加5秒)
測量之精度

測量之精度常以測量誤差的大小來衡量，
測量誤差愈大，則精度愈低；反之誤差愈
小，精度愈高。

任何測量成果既然難免存有偶然誤差，為
暸解其對成果之影響，仍以平差計算定出
最或是值及衡量精度之誤差數值。
衡量精度之方法
(1) 平均誤差 (average error)
為各偶然誤差絕對值之算術平均值
t =
1   2  3   n
n

  
n
真誤差Δ亦無從獲得，故以剩餘誤差v表示
  
n
t=
式中符號[ ] 稱為高斯符號，
表示總和之意。
衡量精度之方法
(2)標準(中)誤差(standard error)
 各觀測值之真誤差若為 1、 2、…，即此組觀測
值之中誤差為m
12   22  32 
m
n
m
 
n 1
  2n

 
n
最或是誤差 = 觀測值-最或是值
(剩餘誤差或殘差)
 i  li  L
改正數 = 最或是值-觀測值
中誤差
真誤差 i  li  X
i  1, 2    , n
剩餘誤差 i  li  L
兩式相減 i   i  L  X  

 i   i  
[ ]  [ ]  n 2  2 [ ]
[ ]  0
[]  [ ]  n 2
[1     n ][1     n ]
[]  [ ]  n   
n2 0
[ ]
1 2  1 3       n1 n
2
 n 
2
n
n
2
2
 
[] [ ] [ ]
m
[ ]

2


 2 m 

m
n
n
n
n
n
n 1
例題 2-6
各 觀 測 值 分 別 為 127.483 公 尺 、 127.481 公 尺 、
127.485公尺，最或是值為127.483公尺，故各觀
測值之剩餘誤差分別為
1 ＝127.483－127.483＝0.000（公尺）
 2 ＝127.481－127.483＝-0.002（公尺）
 3 ＝127.485－127.483＝0.002（公尺）
各觀測值之中誤差為
 0.000   0.002   0.002
2
m
2
3 1
2
 0.002  公尺
衡量精度之方法
(3) 或是誤差 (probable error)

將各觀測值所得之偶然誤差之絕對值，依大小
排序，取其中央之值，即為或是誤差，以 r 表
示，即大於或是誤差出現之或然率與小於或是
誤差出現之或然率相等。
衡量精度之方法
衡量精度之方法
衡量精度之方法





由題目知在乙組的成果中有明顯的大誤差 (+10) 存在，其
可靠度是較甲組差，故可確定甲組的精度應較乙組高。
由兩組的平均誤差相等來看，根本無法判定兩組成果之好
壞。
由兩組的或是誤差結果來看，乙組的精度較甲組高，此與
事實並不符合。
由兩組的標準誤差結果來看，甲組的精度較乙組高，此與
事實相符合。
因為標準誤差的公式中有[Pvv]項，當有大誤差存在時，
因為平方和的效應，在有限的觀測量中可以很容易地被發
現。而平均誤差與或是誤差則不易反映出大誤差的影響，
只有當觀測量的數目達到一定的程度時，平均誤差與或是
誤差才有存在的價值。
衡量精度之方法
結論：
 精度之表示法主要有三種，分別為中誤差、平均
誤差及或是誤差，其中最能符合最小自乘法原理
者為中誤差表示法。
 中誤差值小者是精度高。
1
 權與中誤差的平方成反比，即 p  2
m

由於觀測量中的錯誤及系統誤差均須於平差計算
前剔除或改正，因此改正數之意義便相當於偶然
誤差 ( 雖然符號相反 )，換句話說影響成果精度
的因素是偶然誤差。
誤差比率 (ratio of error)
距離測量工作，使用中誤差有時不足以顯示觀
測值精度的高低時，遂取中誤差與觀測值最或
是值的比率以作判定，此比率稱誤差比率或相
對誤差，亦稱距離測量的精度
 假設測量距離之最或是值為 L0，觀測值之中誤
差為 m 則其精度 P 為

m 1
P 
L0 L0
m
相對誤差
一段距離長100公尺標準誤差 m1   0.01m
另一段距離長200公尺標準誤差 m2   0.01m
試比較其精度
0.01
1
P1 

100 10, 000
0.01
1
P2 

200 20, 000
例題 2-7
某電子測距儀其中誤差為 ±(5mm+5ppm×D) ， D
為測量之距離，今測量得三段距離，分別為
40.000 公尺、 240.000 公尺、 640.000 公尺，試求
該三段距離之精度各為若干 ? (1ppm=1mm/km=10-6)
 解 : m  (0.005  5 106  40.000)  0.0052( m)
1
m2  (0.005  5 106  240.000)  0.0062( m)
m3  (0.005  5 106  640.000)  0.0082( m)
0.0052
1
0.0062
1
0.0082
1
P1 

P2 

P3 

40.000 7692
240.000 38710
640.000 78049
容許誤差與最大誤差

在測量作業中常把兩倍中誤差值作為容許誤差
(allowable error)，又以三倍中誤差值為誤差極限，
稱為最大誤差(maximum error)，超過最大誤差值
者，認定係為錯誤(mistake)，而非偶然誤差，平
差時該值應摒除不用。
提高精度之原則
測量人員欲得到高精度的觀測值，基本條件
為具備優良的測量技術，使用精密的儀
器，並且需檢點校正。
欲提高測量成果的精度，有下列三原則：
(1)改良觀測方法
(2)重複測量或多餘觀測取平均值優於單次
觀測值。
(3)使用精密的儀器
誤差傳播定律

如一測量成果為由其他數個獨立觀測值
(independent observed value) 經計算而求得
者，即該成果為一組獨立觀測值之函數時，
則諸觀測值之誤差必影響該成果。

各觀測值之各自中誤差，其影響到測量成
果中誤差之關係稱為誤差傳播定律(law of
error propagation)。
誤差傳播定律
誤差傳播定律
l.倍 數
假設測量成果 y 為觀測值 x 之 a 倍，則
y  ax
a 為一常數並無誤差。倘 x 之中誤差為 m ，
則用 a 乘後其誤差亦增大 a 倍，故 y 之中
誤差為
my   a  m
誤差傳播定律
2.和(差）數
假設測量成果y為觀測值
x1 及 x2 之和 y  x1  x2
y之中誤差為my，x1 及 x2 之中誤差為 m1 及 m2
v y1  v11  v21

v  v12  v22
觀測n次，剩餘誤差為  y 2


v  v  v
 yn 1n 2 n
誤差傳播定律
將上式平方後相加
v y2   v12   v22   2v1  v2 
v12  v22  2v1v2 
my  


n
n
n
v12  v22 
my  

n
n
my   m12  m22
誤差傳播定律
若測量成果y為n個觀測值之和（差）時
xn
n個觀測值 x1、x2、
各自中誤差為 m1、m2
mn

my   m12  m22  m32 
 mn2
如n個獨立觀測值精度相同，則
m1  m2  m3 
 mn  m
 my   n  m 2   m n
誤差傳播定律
3.直線函數
y  a0  a1x1  a2 x2 
my  
 an xn
 a1m1    a2m2    a3m3 
2
2
若諸觀測值之精度相同
m1  m2  m3 
 my   m
 mn  m
 aa
2

  anmn 
2
誤差傳播定律
4.任意函數
設 y 為獨立觀測值之任意函數，
y  f ( x1, x2 ....xn )
此函數之中誤差
2
2
 f 
 f 
2
2
my  

m


m



1
2 
 x1 
 x2 
2
 f 
2


m

n

x
 n
解算誤差傳播的題目可分為三個步驟：
一、先獲得未知數與觀測量之間的函數關係
（即計算公式）。
二、求未知數對各個觀測量的偏微分值。
三、將各觀測量的偏微分值及中誤差值代入
一般式計算未知數中誤差。
例題2-8

AC  AB  BC ，AB、BC之最或是值及其中誤
差分別為 BC  93.45  0.03， AB  151.36  0.02
公尺，試求AC之最或是值及其中誤差。
解： AC=151.36＋93.45＝244.81（公尺）
mAC   m
2
AB
m
2
BC
   0.02   0.03  0.04
2
2
AC  AB  BC  244.81  0.04公尺
例題2-9

如圖所示，平面三角
形ABC中，已測得邊
長、角度之最或是值
及其中誤差各為
a  600.25m  0.15m
  4320'20" 20"
  5604'20" 20"
，試計算C邊及β角之最或是值及中誤差。
C
例題2-9[解]
（1）求AB邊之最或是值c，由正弦定律
a  sin  600.25  sin5604'20"
c

 725.69  m 
sin 
sin 4320'20"
（2）AB邊之中誤差 mc  0.19  m 
2
 c 
 c 
 c 
2
2
2
m     ma     m  

m


 a 
  
  
2
2
2
c
2
 sin  
 a  cos    m    a  sin  cos  
2

  ma  
    

2
sin

sin


sin




   

 0.0350
2
2
2
 m 
 
  
2
例題2-9[解]
（3）β角之最或是值
  180       180   4320'20" 5604'20"
 8035'20"
（4）β角之中誤差
2
  
2
2
  
2
2
2
2
m  

m


m


1

m


1

m











  
  
2
2
  20    20   800
2
m  28"
2
例題2-10
測得圓半徑r之最或是值及其中誤差為 16.15  0.005m，
試求圓周長l和圓面積 A之最或是值及中誤差。
解：
l  2 r  2  16.15  101.47
2
2
A    r    16.15  819.40
l
ml    mr  2   0.05  0.31
r
A
mA    mr    2 r   mr
r
 2 16.15    0.05   5.07
l=101.47  0.31公尺，A=819.40  5.07平方公尺
同精度觀測最或是值的中誤差
例題2-11
對某角進行5次同精度觀測，觀測結果如下表，試求其
觀測值的中誤差，及最或是值的中誤差。
觀測值中誤差
最或是值中誤差
最或是值
最小自乘法原理(Least squares)
同精度之觀測，其最或是值須使剩餘誤差之平
方和為最小。
 而所謂最或是值者為同精度直接觀測某量多次
之算術平均值

v12  v22  v32 
 vn2   vv   最小
對於不等權之觀測，最小自乘法原理可解釋為其
最或是值須使剩餘誤差之權平方和為最小
2
2
2
Pv

P
v

P
v
1 1
2 2
3 3 
 Pnvn2   Pvv   最小
權(權數)
權又稱權數乃用於衡量一觀測值可靠程度的數。
 權之釐定方法有下列三種:

(1)依主觀之決定:考量觀測者之經驗、儀器之性能、
觀測之次數、觀測時之條件等，综合以主觀的判
斷以決定其權數之大小。
(2)同等精度重複觀測次數:依據出現重複次數以決
定其權數上大小。
(3)依據權與中誤差之平方成反比之關係以決定其
權數之大小。P : P : P : : P  1 : 1 : 1 : 1
1
2
3
n
m12 m22 m32
mn2
權(權數)

測量一角度兩次，每次所用之經緯儀不同，根
據經驗第一次所用之經緯儀可量至  10”之精度，
設其權為 P1，第二次所用之經緯儀可量至  6”之
精度，其權為 P 於是兩權之比可定為
2
P1 : P2 
1
:
1
10  6 
2
2
 36 :100  9 : 25
權(權數)

在水準測量及導線測量，權(P)與觀測長度(L)
成反比
1
1 1
P  或 P1 : P2  :
L
L1 L2
依測量員主觀之認定，其情形優者觀測一次
所得之值，足抵其情形劣者兩次所得之平均值，
於是可給予前者觀測值之權為2，後者觀測值之權
為1，但因主觀認定。除非有具體數據可供判斷，
否則較少應用。
權(權數)

以同等精度直接量得二點間距離，先量2次得平
均值59.45公尺，其次量測6次共計8個觀測值之平
均為59.43公尺，此外再量2次共得10個觀測值之
平均為59.44公尺，故各個平均值之觀測次數為
59.44公尺10次、59.43公尺8次、59.45公尺2次，
設59.44公尺之權為 P1，59.43公尺為 P2 ，59.45公
尺為 P3。即其權之比為
p1 : p2 : p3 =10：8：2＝5：4：1
觀測量的加權平均值

對同一個未知數進行重複觀測，測得n個觀測量
, n ，又因為重複觀測過程中，
為： 1, 2 ,
觀測量之間的精度可能不同，利用觀測量本身
的精度定義出重要性的高低，稱之為『權』，
,Pn
即每個觀測量都可獲得一個權值為：P1,P2 ,
，最後在計算各個觀測量的加權平均值，當作
觀測成果，稱為最或是值。即
P1 1  P2 2 
L
P1  P2 
 Pn
 Pn
n
P


P
L
等權最或是值
[l ]
L
n
例題2-12
 p 
123.0
M 

(n  1)[ p]
(3  1)[1.15]
 7.3mm
例題2-13