Transcript 四參數轉換
圖根及中心樁測量坐標轉 換實例分析與操作技巧 GPS輔助圖根測量及土地複丈實務研討會 鄭鼎耀 e-mail : [email protected] Tel：04-23010616 ext 30 一、坐標系統的概念 描述點在空間中的位 置，包括坐標原點的 位置、坐標軸的方位、 坐標參數（如卡氏坐 標之X，Y或曲面坐標ψ, λ ) 。 一個點在空間中的位 置可以用不同的坐標 系統來表示，如卡氏 直角坐標系統或球面 坐標等。 F3 ( x, y , z ) ( , , h) P h F2 F1 1 坐標系統的概念（1） 平面坐標(右手系統) 平面坐標(左手系統) 影像坐標 極坐標 2 坐標系統的概念（2） 空間直角坐標系(右手系統) 空間直角坐標系(左手系統) 球面坐標系 3 基準轉換與坐標系統轉換 基準轉換是指將同一點在基於某一基準下的坐標 轉換到另一基準下的坐標，例如TWD67轉 TWD97。 坐標系統轉換指的是同一點的坐標在同一個基準 下，由一種坐標系統下的坐標轉換到另一種坐標 系統下的坐標，例如空間直角坐標與大地坐標之 間的相互轉換。 4 基準轉換 完整的基準轉換包含有平移、旋轉和尺度轉換等 問題。 兩組不同的坐標基準之間的轉換可透過一個轉換 矩陣來完成。 二維的平面坐標轉換:三、四、六參數 三維的平面坐標轉換:七參數 5 旋轉矩陣 兩組不同的坐標基準之間 的轉換可透過一個轉換矩 陣來完成 F2 E2 P ( x, y ) E1 cos sin F1 E - sin cos F 2 2 E1 旋轉矩陣 F1 6 旋轉矩陣 繞Z軸旋轉一角度 旋轉後之坐標系統 可藉由原坐標系統 乘上一旋轉矩陣 x cos y - sin z 0 sin cos 0 0 x 0 y 1 z 7 三度空間的旋轉矩陣 （1）繞第一軸逆時針旋轉α角度， 0 0 1 R 1 () 0 cos sin 0 - sin cos （2）繞第二軸逆時針旋轉β角度， cos 0 - sin R 2 () 0 1 0 sin 0 cos （3）繞第三軸逆時針旋轉γ角度， cos sin 0 R 3 ( ) - sin cos 0 0 0 1 8 三參數轉換 僅做平移及旋轉，轉換後保持圖籍不伸縮變形。 X cos sin x C Y sin cos y D 其中 x,y:原坐標系統 X,Y:轉換後坐標系統 C、D：平移量 ：旋轉量 9 四參數轉換 又稱正形轉換(Helmert Transformation)，兩坐標系間 包含一個比例尺因子、一個旋轉 量及兩個平移量，其物理意義為 轉換後原為正方形之特徵物仍保 持正方形狀，一般用於兩平面直 角坐標系統之坐標轉換 。 X cos sin x x Ax By C Y S sin cos y y Bx Ay D 其中A、B、C、D：轉換參數 10 比比比 四參數轉換示意圖 ( Scal e) Y y Y Y y 比比比 ( Scal e) y Sy 比 比y Y ( Rot at e) 比比 Y at e) ( Rot 比比 Y ( Tr ans) y S = x = x X x X θ x X △ θ x △ x y xx X X X X x = S X Y = yS Y x y X = S Y x X -sinθ cosθ y cosθ sinθ Y = S X cosθ sinθ x X △x cos= θ θ S sin + x -sinθ cosθ y Y △y -sinθ cosθ y 11 六參數轉換 又稱仿射轉換(Affine Trasformation)，其物理意義為兩 坐標系間包含二個比例尺因子、一個剪量變形因子(坐標 系兩軸間之非正交 )、一個旋轉量及兩個平移量，至少 要三個共同點來求解，基本上大多數的坐標轉換均能以６ 參數為之。 X S x cos Y S sin x S y (sin sin cos ) x x Ax By C S y (sin sin cos ) y y Dx Ey F 12 六參數轉換示意圖 13 正交變換 Orthogonal 相似變換 Helmert 仿射變換 Affine 平移量 2 2 2 旋轉因子 1 1 1 1 x軸與y軸尺度比 例因子相同 2 x軸與y軸尺度比例 因子不相同 尺度比例 因子 1 剪力變形 非正交微 偏值 參數個數 3 4 6 控制點個 數 1.5 2 3 一個點的新舊坐標 另一個點的舊坐標 新的X或Y坐標 二個點的新舊坐標 三個點的新舊坐標 14 轉換方式 正交變換 影響效果 改變位置與方向，尺度與形狀保持不變。 Orthogonal 相似變換 Helmert 各軸同一尺度均改變其大小，形狀保持 不變。 仿射變換 改變形狀與大小。 Affine 歸納整理自(曾清凉2005，朱杏修等1999) 15 七參數轉換 包含1個尺度參數、3個平移參數及三個旋轉參數， 一般用在兩組三維坐標系統之間的轉換 。 X x X Y S R , , y Y x y z Z z Z 16 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变 换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如 图所示，设旋转次序为： X , Y , Z 为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角 17 七參數轉換 相应的坐标变换公式为： X2 X 1 0 Z Y X 1 X 0 Y (1 m) Y 0 Y Y 2 1 Z X 1 0 Z 2 Z1 Y X 0 Z1 Z 0 上式为两个不同空间直角坐标之间 的转换模型(布尔莎模型)，其中含 有7个转换参数，为了求得7个转换 参数，至少需要3个公共点，当多 于3个公共点时，可按最小二乘法 求得7个参数的最或是值。 18 TWD67、TWD97 坐標轉換 TWD67轉換TWD97 地表 點1 電子測距距離 點2 1980年國際參考橢球體 A B GPS測算基線 坐標反算距離 C D TWD67橢球 1967年國際參考橢球體 AB、CD長度不同 A B :點1,點2 GPS測 算基線(TWD97) TWD97橢球體 中心 C D :點1,點2 坐標反 算的距離(TWD67) 20 TWD67 橢球體中心(非地心) TWD67與TWD97轉換 方法一 2O T M GRS67 H, N 7 參數轉換 (, , h)67 (X,Y, Z)67 (X,Y, Z)97 (N,E)67 (, )67 (X,Y, Z)97 ( , , h)97 (N,E)97 2O TM 方法二 (N,E)67 (N,E)97 四或六參數轉換 21 TWD67與TWD97轉換 X B Y TWD67 (N,E,h) GRS67 TWD67(φ, λ,h) TWD67(X,Y,Z) X B Y TWD97 (N,E,h) GRS80 TWD97(φ, λ,h) TWD97(X,Y,Z) 22 TWD67與TWD97轉換 實務上多以共同點 (Common Points)作為求取 轉換參數值之方式，此時，如未知參數數量小於 觀測值數量，即可能有多餘觀測，而測量界求取 最佳化之常用方法為最小二乘法(Least Squares)，亦即「使平差後，觀測量之改正數平 方和為最小」。 就求取TWD67與TWD97間轉換之共同點而言， TWD67系統中之框架性控制點為三等以上三角點 23 TWD67與TWD97轉換 工 作 項 目 作 業 內 容 說 明 1.規劃準備 作業準備、資料收集 2.資料整理 整理相關資料 3.共同點之改 算 以測區外圍之控制點為共 同點進行坐標轉換 4.獲得轉換參 數 獲得測區內一組最佳轉換 參數 5.坐標轉換及 分析 以同一組轉換參數進行圖 根點、界址點、都市計劃 樁坐標轉換 6.成果檢查 7.成果整理 以原始觀測資料重新計算測 區圖根點(TWD97)為檢核點， 檢核轉換後坐標之精度 成果整理 24 內政部-TWD67與TWD97轉換程式 內政部為解決舊有TWD67與新TWD97平面坐標基準間、 卡式坐標與橢球體坐標間之轉換問題，已經完成一套「台 灣地區大地基準及坐標系統轉換程式」供各界線上計算及 申請使用。有關新國家坐標系統「1997台灣大地基準 （TWD 97）」及其轉換程式，另可參見內政部地政司衛 星測量中心網站(http://www.gps.moi.gov.tw/)。」 採用最小曲率法(楊名等，1999)。以TWD67與TWD97 間之共同點，求取坐標之差值，將三維坐標分開各別進行 面擬合。實際之執行面，分成兩個階段，先以內插方式求 取格網點之值，建立格網式之數值模型。而後，以此數值 模型採用較簡易之方法如雙線性內插進行內插。 25 最小二乘配置 least squares collocation, LSC 又稱“最小二乘擬合推估法 最小二乘配置包括了平差、濾波和推估 轉換後已知點坐標不變 26 最小二乘配置 N a bx cy s x E d ex fy s y S x T 1 N S P C p C ( AX ) E S y Cp為轉換點P與這n個共同點之間變形量的協變方矩陣，其階數為2n×2n。 27 作業實例 28 簡 報 完 畢 敬請指正 & Question? 29