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第 3 章 物體的運動
我雖可計算天體的運動，卻無法算計人類
的癡狂。
──牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）
本章概念圖
→{
 位移 {
參考坐標→位置→位置改變 
平均速率
 路程 { 瞬時速率
平均速度
瞬時速度
平均加速度
瞬時加速度
→重力加速度
3-1 物體運動的軌跡1
• 剛開始研究一個問題時，應盡可能從較簡單
的部分著手。
• 為了避免有體積的物體由於本身形體的變化
而使得問題過於複雜，我們先從僅占有位置、
不具體積但擁有質量的質點（particle）開始
了解運動學，以下未特別強調時皆將物體視
為質點。
3-1 物體運動的軌跡2
• 描述一個質點的位置時，需要一個共同的
參考點（以下稱為原點）作為描述的基準，
此外描述中還包含遠近距離及方向的概念。
原點、距離與方向這些要素共同組成參考
坐標系（reference frame），讓我們可以
清楚描述質點的位置。
• 在描述時，一般習慣以符號 x 代表質點在
（一維）直線上的位置，而以正負號代表
方向，正號表示方向向右，負號表示方向
向左。
3-1 物體運動的軌跡3
• 圖中 A 點與 B 點的位置：
A 點在原點右方 3 公分處，記作：
xA＝＋3 cm
B 點在原點左方 2 公分處，記作：
xB＝－2 cm
3-1 物體運動的軌跡4
• 運動中的質點其位置可能會隨著時間（time）
而有所變化。
3-1 物體運動的軌跡5
• x-t圖
• 描述質點在每一個時刻
的位置，甚至將表畫成
圖則可以更清楚地看出
此質點的位置隨時間而
改變的情況。
• 問題：如圖所示，紅色
虛線是否即為質點的運
動軌跡？
• 答：請特別注意，圖中
紅色虛線所描述的是質
點運動位置對時間的關
係，而非質點的運動軌
跡。
3-1 物體運動的軌跡6
• 位移Δx＝x2－x1 描述物體自起點 x1 直線向
終點 x2 的位置變化，和路徑不同，具有量
值和方向。
• 路徑長Δl 描述質點運動實際距離長短。
3-1 物體運動的軌跡7
• 質點自一位置運動至另一位置必定需要花費時間，
所花費的時間長短決定了這個質點運動的快慢。
Δx
• 平均速度 v ＝（單位時間內的位移 Δt ）描述物
體的運動快慢與方向，其方向與位移方向一致。
Δ
• 平均速率 vs＝（單位時間內的路徑長 Δt ）雖然
也描述物體的運動快慢，但不具方向性。
• 平均速度、平均速率其 SI 制的單位為公尺／秒
（m／s）。
3-1 物體運動的軌跡8
• 一輛車自啟動到最後停下來，行駛期間可能有加
速起步、塞車時低速行駛、剎車時減速等過程，
顯然車子行駛過程中，每一瞬間的運動快慢一直
在改變，而非始終保持平均值行駛。因此，用瞬
時的概念描述某一瞬間的運動快慢也是非常重要
的。
• 要描述質點在任何時刻的瞬時速度或瞬時速率，
可以取一段極短的時間求平均，則求出來的平均
值應該和那一瞬間的瞬時量值相同，這就是瞬時
速度或瞬時速率的概念。
• 瞬時速度簡稱為速度；瞬時速率簡稱為速率。
3-1 物體運動的軌跡9
• 問題：瞬時速度的量值是否必等於瞬時速
率？
• 答：在極短的時間內，質點所移動的路徑
幾乎是一段直線，亦即路徑長約等於位移
量值，因此瞬時速率和瞬時速度的量值會
相等。
3-1 物體運動的軌跡10
3-1 物體運動的軌跡11
• 在平穩行駛的車子裡，如果不看窗外，我
們不一定可以確切感受到所處環境的運動
速度快慢，但只要車子一緊急煞車或猛然
加速，身體的前後搖晃甚至是不舒服的感
覺，讓我們可以立即而明顯地感受到速度
的變化。
3-1 物體運動的軌跡12
由 (a) 至 (f) 讓受試者先迅速加速再迅速減速，
顯示運動速度變化對人體的影響。
3-1 物體運動的軌跡13
• 平均加速度 ＝（單位時間內的速度變化
量）描述物體的速度變化，具有方向性。
若加速度與速度的方向相同，會使速度
的量值增加；反之，加速度與速度方向
相反，會使速度的量值減少。
m/s
v
2
2
a
(單位:公尺 / 秒 )(m/s )
t
s
3-1 物體運動的軌跡14
• 為描述不斷變化的速度而定義了瞬時速度，
在描述加速度時也可以將求平均的時間取
得非常短，所得即為那一瞬間的瞬時加速
度，即短時間內的速度變化。
• 瞬時加速度簡稱為加速度。
3-1 物體運動的軌跡15
• 日常生活中最為人熟知的加速度莫過於
重力加速度，一般以符號 g 表示，在地
表附近其值約等於 9.8 公尺／秒2，方
向向下。
• 一物體自空中靜止自由下落（物體落下
過程中僅受重力影響），則落下後 1 秒
其速率增加至 9.8 公尺／秒、落下後 2
秒其速率增加至 19.6 公尺／秒、落下
後 3 秒其速率增加至 29.4 公尺／秒。
• 速率每秒會增加 9.8 公尺／秒，對固定
加速度的物體而言，其速度可由加速度
和經過多少時間獲得。
• ⇒ v＝v0＋ at 等加速運動
3-2 牛頓運動定律1
• 力的作用能改變物體
的運動狀態，或是造
成物體的形變。
高爾夫球受力改變
形狀，同時也改變
其運動狀態。
3-2 牛頓運動定律2
• 牛頓第一運動定律
• 伽利略發現：
物體沿著光滑斜面滑下時，運動速率會逐漸增加；而當物
體沿著光滑斜面上滑時，其運動速率會逐漸減少，直到停
下為止。
• 因此他推論，若斜面不傾斜，則物體應該既不加速也不減
速。
伽利略觀察物體在斜面上的運動，推論物體
在光滑水平面上將會作等速度之運動。
3-2 牛頓運動定律3
• 牛頓第一運動定律
• 讓小球自左邊的斜面滑下，經過一段水平面之後，
再爬上右邊可調整傾斜角度的斜面，在完全光滑的
理想狀況下，小球應爬升至與原本高度完全相同之
處；即使逐漸減少右邊斜面的傾斜角度，小球仍會
往前運動得更遠，以到達相同的高度。
• 推論：若將右邊斜面完全放平，則小球將因無法到
達相同的高度而必須永遠等速地運動下去。⇒慣性
不論光滑斜面的傾斜角度如何改變，小球
都會爬升到與原本高度相同處。
3-2 牛頓運動定律4
• 牛頓第一運動定律描述物體具有維持原本運
動狀態的慣性，若不受外力或所受外力和為
零，則此物體將維持原本的運動狀態。
(a) 公車突然前進，人因慣性而向後仰；
(b) 公車突然煞車，人因慣性而向前傾。
3-2 牛頓運動定律5
• 描述當物體受到外力 F 作
用時，會產生一個與質量
m 成反比的加速度 a。
• 牛頓第二運動定律 F＝ma
• SI 制中，質量 m 的單位
為 kg、加速度 a 的單位為
m／s2，外力 F 的單位為
kg •m／s2 或牛頓（N）。
3-2 牛頓運動定律6
• 牛頓第二運動定律
• 質量 1 公斤的物體在地球表面所受到的重力量值為
W＝mg＝（1 kg）（9.8 m／s2）
＝9.8 kg•m／s2＝9.8 N
• 通常也稱作 1 公斤重
• 1 公斤重相當於 9.8 牛頓。
• N＝ kg• m2
s
牛頓第三運動定律
日本相撲選手與來自花蓮的相撲
小選手進行指導賽，誰受到的作
用力較大呢？
3-2 牛頓運動定律7
• 牛頓第三運動定律
描述，有一作用力
必有一反作用力，
此兩力：
(1)同時產生、同時消
失、
(2)量值相等、
(3)方向相反，
物體受到地球的引
氣球利用反作
(4)作用在同一直線、 力作用，地球亦受 用力向前飛。
到物體的引力作用，
(5)不同的物體上。
此兩力互為作用力
與反作用力。
3-2 牛頓運動定律8
• 虎克定律指出在一定的範圍
限制內，若有形變量，彈簧
會產生一個與形變量Δx 成正
比的回復力 Fs＝－kΔx。
虎克定律僅適用於
• 其中比例常數 k 稱為力常數
正比限度範圍內。
或彈性常數，SI 制單位為牛
頓／公尺，描述每單位長度
的形變讓彈簧所產生的作用
力。
• 虎克定律中的負號指出此作
用力的方向與形變方向相反，
彈簧受力產生形變與回復力。
故稱為回復力。
3-2 牛頓運動定律9
• 當互相接觸的兩物體有相對運動或相對運
動的傾向時，就會產生摩擦力。
3-2 牛頓運動定律10
• 摩擦力是生活中常見的另一種作用力。在
一般水平面上將一個物體向前滑行，結果
並不像伽利略在斜面實驗所宣稱的會一直
滑行到無窮遠，而是經過一段路程之後就
停下來，這是因為有摩擦力作用。
3-2 牛頓運動定律11
• 讓運動中的物體停下來的摩擦力稱為動摩
擦力。天冷時人們將雙手互相摩擦生熱取
暖，利用的也是動摩擦力。
• 動摩擦力必須在互相接觸的兩個物體有相
對運動時才會產生。
3-2 牛頓運動定律12
• 當施力推一個靜止在
水平地面上的物體卻
推不動，這是因為受
到靜摩擦力的影響，
即靜摩擦力的方向與
物體「欲」相對於地
面的運動方向相反，
且其量值與推力相等。
3-2 牛頓運動定律13
• 在水平地面上逐漸推動一個
物體的過程：
a. 剛開始未施力時，物體亦
不受摩擦力作用，維持靜止
b. 開始施力但仍無法推動物
體，此時物體受到靜摩擦力
作用，且其量值與推力相等
c. 持續增加施力直到超過靜摩
擦力可以允許的最大值 fs，
此即為最大靜摩擦力，物體
恰可以開始運動
d. 物體開始運動後，即使推
力持續增加，所受到的仍是
固定量值的動摩擦力 fk
fs＝N • μs
fk＝N • μk
3-3 克卜勒行星定律1
對夜空長時間曝光攝影，顯示滿
天的星星皆繞著一個定點轉動。
3-3 克卜勒行星定律2
火星的逆行運動。相對
於背景的恆星，一年中
的大部分時間向東移動
的火星，有一小段時間
卻改向西移動。
3-3 克卜勒行星定律3
•哥白尼解釋火星逆行現象的示意圖。首先在行星軌道
上標示地球與火星每隔一個月的相對位置，由於火星
環繞太陽的速率比地球慢得多，因此當地球追至火星
附近，自地球望向火星的視線方向由向前變成向後，
亦即從地球上看來，火星在標號為 3、4、5 的月份出
現逆行的現象。
•哥白尼認為：太陽為宇宙中心
3-3 克卜勒行星定律4
• 克卜勒行星運動
第一定律描述，
行星以橢圓形軌
道環繞位於焦點 近
日
點
的恆星運行。
• 又稱軌道定律。
• 問題：何謂橢圓？
r1
r2
遠
日
點
3-3 克卜勒行星定律5
• 克卜勒行星運動第二
定律描述，行星與恆
星的連線於相等時間
內，會掃過相等的面
Δt1
積。
Δt2
ΔA1
ΔA1
ΔA2
＝
＝定值
Δt
Δt
ΔA2
3-3 克卜勒行星定律6
• 克卜勒行星運動
第三定律描述，
同一個恆星系統
的行星，平均軌
道半徑 a 愈大，
週期 T 就愈長。
2
T
=
定值
3
a
3-3 克卜勒行星定律7
太陽系各行星的公轉資料
註：冥王星於 1930 年被發現。國際天文學聯合會（IAU）於
2006 年修正行星定義，冥王星因為體積小，且運行軌道的某
些特性和其他行星明顯不同，與其他公認的行星格格不入，
正式遭到降級，改命名為編號 134340 矮行星。
3-3 克卜勒行星定律8
• 牛頓做了一項極為大膽的假設：天體運動
所受到的物理規範，應該和地面上的物體
所受到的物理規範一模一樣，亦即牛頓運
動定律不只可以應用在解釋地上的物體運
動，也可以解釋天上的天體運動。
• 牛頓將克卜勒定律運用至地球之衛星。
• 相關問題：高空慢速衛星
3-3 克卜勒行星定律9
• 這個大膽的普適性假設使得人類的知識往
前邁進了一大步，牛頓利用萬有引力定律
及普適性的假設，成功地從根本理論推導
出克卜勒行星運動定律，而後世的科學家
更藉由普適性的假設來了解無法直接觸及
的遙遠宇宙、設計人造衛星，甚而發展各
式各樣的星際探測計畫。
3-3 克卜勒行星定律10
• 以月球探測為例，可以如圖所示，首先藉由燃燒
燃料提供的動力將太空船送到地球軌道上，接下
來只要靠和地球間的萬有引力，太空船就可以不
需燃料環繞地球運行，直到適當的時機再點燃引
擎將太空船甩出去，使其逐漸接近月球軌道，接
著再一次在適當的時機點燃引擎改變太空船的速
率，使其進入月球軌道，最後再逐漸接近月球表
面。
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