Transcript 第一章直線運動

直線運動
Chang-Ju, Lee
單擺




定義：取一細線上端固定，下端綁住一
小重物，就是一種單擺。
擺錘：懸掛於擺線末端的重物。
擺長：擺線的長度。
擺角：擺錘最高點至最低點的夾角。
（1）擺動一次：
AOBOA
（2）週期：(T)
擺動一次所需的時間
單位：秒/次 或 秒
（3）頻率：(frequency, f)
每秒振動的次數
單位：次/秒 或 1/秒 或 赫茲 或 Hz
時間


單擺：16世紀，伽立略發現擺錘能在同
平面往返運動
結果發現單擺的長度改變，擺動的週期
就不一樣；但是擺錘的重量、擺幅的大
小和擺動的週期無關
 單擺來回一次的時間是
不變
 擺的等時性
頻率 f 與週期 T：
 互為倒數關係 T ×f ＝1
總次數
頻率 
總秒數
總秒數
週期 
總次數
甲、乙單擺的擺動次數與時間如圖
1.甲單擺的週期
秒，頻率
Hz。
2.乙單擺的週期
秒，頻率
Hz。
週期頻率  1
單擺的週期
改變擺長（100cm、25cm），對週期之影響
改變擺錘質量（20g、40g），對週期之影響
單擺擺動一次的時間不變
當擺動次數愈多，擺動
時間也成正比例的增加
改變擺長
擺錘：20g，擺長100cm
次數
擺10次
的時間
週期（s）
1
2
20.0
20.2
3
20.1
擺錘：20g，擺長25cm
次數
擺10次
的時間
週期（s）
2.00
2.02
1
2
10.0
10.1
1.00
1.01
2.01
3
10.1
1.01
◎ 由上表發現：
 單擺擺長愈長，週期愈大（擺的愈慢，時間愈長）
改變擺錘質量
擺錘：20g，擺長100cm
次數
擺10次
的時間
週期（s）
1
2
3
20.0
20.2
20.1
2.00
2.02
2.01
擺錘：40g，擺長100cm
次數
擺10次
的時間
週期（s）
1
2
3
20.0
20.2
20.1
2.00
2.02
2.01
◎ 由上表發現：
 單擺擺錘質量，不影響單擺的週期

單擺的等時性
同一地點，擺長固定時，單擺的週期是定值
（通常限定擺角在10度以下）
即週期僅與擺長有關，與擺角及擺錘質量無關
 擺長愈短，週期愈小（擺的愈快）
 週期與擺長的平方根成正比（補充）
T  2
L
T 
g
L
時間

時間的基本單位：秒
 將平均太陽日分成86400分之一，稱為一秒
平均太陽日
1秒 
86400
1.太陽日：太陽在天空中的高度角，連續兩次出
現最大值所經歷的時間
2.平均太陽日：一年各太陽日的平均值
即為我們所謂的「一天」，再分時、分、秒
時間的單位
1. 秒  s 或 sec.
2.分鐘  min.
3.小時  h 或 hr.
年：當地球繞行太陽公轉一週的時間，稱為一年。
時間的測量
 在科學上，凡是具有規期性或週率性變化的物體，都可
用來作為測量時間。
 現象：日出日落、潮汐漲落、月之盈虧、四季循環…
練習題
一物體每分鐘震動600次，則其震動的頻率為
何？（93年基測考題）
擺長為160公分的擺，其擺錘質量為200公克，
擺動角度為5o，來回擺動6次需時15秒，則下列
敘述何者正確？ (A)擺動週期為2.5秒 (B)擺動
頻率為0.8赫 (C)欲使擺動變快，需減輕擺錘質
量 (D)欲使擺動變快，需減小擺動角度。
位置和位移
 位置（X）
 位置描述原則：
 先選參考點（基準點，任選）
 此物相對於參考點的方向與距離
（相對位置）
 位置座標
1.直線座標：用於直線位置  數線 P（X）
 原點：參考點
 右方為正，左方為負（習慣上）

直角座標：用於平面位置  P（X，Y）
 X、Y座標軸可任取
 原點：參考點
A
C
B
位置和位移

位移x：物體運動時，由終點至起點的直
線距離，稱為位移。
x  x2 (終點)  x1 (起點)


位移一定是直線，且有方向性，其方向
為起點至終點的方向。
意義：



當Δx >0時，代表物體向正方向移動。
當Δx <0時，代表物體向負方向移動。
當Δx =0時，代表物體回到原點。


甲從CA，路程＝ cm；位移＝ cm。
乙從BO，路程＝ cm；位移＝ cm。
丙從OBC，路程＝ cm；位移＝ cm。
丁從BOB，路程＝ cm；位移＝ cm。
戊從CAO，路程＝ cm；位移＝ cm。
跑操場一圈，路程＝
cm；位移＝
cm。
路程


物體運動時所走的路線長，稱為路徑。
路徑可能是直線，也可能是曲線，必須
視物體實際運動的情形而定。且由於路
徑沒有方向性，所以其值恆為正值。
練習題

參考附圖，試回答下列問題：
a.一隻蝸牛從O點爬到B點的位移是多少公分？
b.若蝸牛從B點爬回A點，則其位移為多少公分？
c.承(a)(b)兩題，此蝸牛從O點爬至B點後，又爬到A
點時，位移及總路程為何？
平均速率


運動的快慢：單位時間內距離的變化
 將距離與時間相比
 定義此比值＝速率
距離的二個定義
1.路程：運動路徑的總長度（必為正值）
路程  ΔX
2.位移：起點到終點的直線長度
位移  X  X2  X1
（後座標－前座標）
瞬時速率與等速率運動


瞬時速率：
在極短的時間內，物體運動的平均速
率，稱為物體在該時刻的瞬時速率。
等速率運動：
如果物體在運動過程中，任一個時刻期
運動速率都相同時，稱為等速率運動。
平均速率

速率：有大小、無方向性  V0
X
路程
V

時間
t

速度（率）常用單位
公尺
秒
m
s
公分  cm
秒
s
公里
 Km
小時
hr
實例：李老師開車由第二高速公路的基
隆開往林邊，全程429.2km，共花5個小
時，試問李老師開車的平均速率為何？
平均速度

速度：有大小、有方向性  V0 或V＜0
V

位移 X X2  X1


時間 t
t 2  t1
速度（率）常用單位
公尺
秒
m
s
公分  cm
秒
s
公里
 Km
小時
hr
練習題





甲從C→A費時4秒，平均速率＝ cm/s；平均速度＝ cm/s。
乙從B→O費時4秒，平均速率＝ cm/s；平均速度＝ cm/s。
丙從O→B→C費時4秒，平均速率＝ cm/s；平均速度＝ cm/s。
丁從B→O→B費時4秒，平均速率＝ cm/s；平均速度＝ cm/s。
戊從C→A→O費時4秒，平均速率＝ cm/s；平均速度＝ cm/s。
瞬時速度與等速率度運動


瞬時速度
在極短的時間內，物體運動的平均速
度，稱為物體在該時刻的瞬時速度。
等速度運動
如果物體在運動過程中，任一個時刻期
運動速度都相同時，稱為等速度運動。
練習題

下圖為龜、兔賽跑的位置與時間的關係圖，請
依照關係圖回答下列問題：
兔子曾經在何處休息？休息時間多久？
 兔子與烏龜在比賽中共相遇幾次？
 誰最先到達終點？早幾分鐘？領先多少公尺？
 烏龜及兔子各做何種運動？其平均速率為何？其平均速度為
何？


右圖為李老師運動時位置與時間的關係
圖，並試著回答下列問題：
請問李老師有在發呆嗎？發呆的時間是多久？
 請問從4~10秒時，平均速度為何？平均速率為何？
 從10~14秒時，平均速度為何？平均速率為何？
 從0~14秒時，李老師的平均速度為何？平均速率為何？


小明及小華在比賽跑步，其關係圖如右，
(1)請問兩個人的起跑點是否相同？(2)
請問兩著何時相會，在哪相會？(3)請
問哪一個人的速度比較快？
x-t圖分析




0~3秒、3~5秒
斜率＝0；
速度＝0，靜止
上升曲線：
斜率＞0，表示往
前運動，速度＞
0。
斜率不固定且漸
大，表示逐漸加速
運動。
x-t圖分析





上升直線：
斜率＞0，表示往前運
動，速度＞0。
斜率固定，表示等速度
運動。
下降直線：
斜率＜0，表示往後運
動，速度＜0。
斜率固定，表示等速度
運動。
x-t圖分析



上升曲線：
斜率＞0，表示往
前運動，速度＞
0。
斜率不固定且漸
小，表示逐漸減速
運動。
斜率越大，速度越
快。
x-t圖分析


甲、乙、丙皆上升
線，故甲、乙、丙
皆往前運動。
甲越走越快，乙維
持等速度，丙越走
越慢。
x-t圖與v-t圖之意義與轉換
甲距離原點10m處靜止
乙在原點處靜止
丙在具原點- 10m處靜止
甲、乙、丙均靜止，
因此v=0
x-t圖與v-t圖之意義與轉換
甲為等速度運動
乙為等速度運動
V甲> V乙
甲、乙、丙均為等速
度運動，且V甲> V乙
x-t圖與v-t圖之意義與轉換
x-t圖與v-t圖之意義與轉換
練習題

趙老師在操場跑步，其v-t圖如右請試著回答下
列問題：0~4秒、4~8秒、8~14秒及0~14秒此
四個時段，趙老師分別跑了多少距離？
1
0 ~ 4 :  4  8  16
2
4 ~ 8 : 4  8  32
1
8 ~ 12 :  6  8  24
2
加速度運動


定義：凡物體的速度隨著時間而改變的
運動，均稱為加速度運動。
舉例：如軍人在跑五千公尺障礙，速度
時快時慢即是屬於加速度運動。或是火
車進站要減速也是一種加速度運動。
平均加速度


定義：凡物體的在單位時間內的速度變
化量稱為平均加速度。
v v2  v1
數學式： a  t  t  t
2

1
特性：由於速度是具有方向性的，因此
加速度也是有方向性的，其方向代表速
度變化的方向。
瞬時加速度


定義：凡物體的在極短時間內的速度
變化量，或是極短時間內的平均加速
度，稱為瞬時加速度。
性質：瞬時加速度較能夠描述出物體在
某一時刻速度的變化情形。
等加速度運動


定義：物體在運動過程中，加速度的大
小及方向均維持不變，稱為等加速度
運動。
性質：在等加速度運動中，由於加速度
保持不變，因此瞬間加速度＝平均
加速度。
等加速度公式
v  v0  at
v  v0
由加速度定義：a 
t
 a  t  v  v0  v  v0  at
1 2
x  v0 t  at 已知物體所走的位移在v - t圖上為圖形下的面積
2
v 2  v02  2as  梯形面積：x  v0  v  t，將v  v0  at帶入
2
v0  (v0  at )
2v0 t  at 2
x
 t 
2
2
1
 x  v0 t  at 2
2
等加速度公式
v  v0
v  v0
 t 
帶入上式
t
a
v  v0 1 v  v0 2
 x  v0 (
)  a(
)
a
2
a
2
2
v0 v  v0
1 v 2  2vv0  v0
x
 (
)兩邊同乘a
a
2
a
1
1 2
2
 ax  v0 v  v0  v 2  vv0  v0
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
 ax  v0  v  v0  v  v0 兩邊同乘2
2
2
2
2
2
 2ax  v 2  v0
 加速度定義：a 
 v 2  v0  2ax
2
練習題

有一輛汽車在直線道路上行駛，自靜止開
始加速，若加速度保持在2公尺/秒2，則經5
秒後，其速度增為何？又在5秒內，其位移
的大小為何？
物體靜止,因此初速v0  0、加速度a  2
求經過時間t  5的v與x？
套用公式：v  v0  at
 v  0  2  5  10m / s
1
x  v0 t  at 2
2
1
 x  0  5  2(5) 2  25m
2
練習題

一輛汽車自靜止啟動，做等加速度運動，
在10秒內速度加速至30公尺/秒，試求在
這段時間內汽車的平均加速度為何？又位
移的大小為何？
等加速度運動各種關係圖之分析

初速度為0，加速度與速度方向相同。
位移隨著時間
增加而增加
速度隨著時間
增加而增加
加速度為正
定值
等加速度運動各種關係圖之分析

初速度不為0，加速度與速度方向相同。
位移隨著時間
增加而增加
速度隨著時間
增加而增加
加速度為正
定值
等加速度運動各種關係圖之分析

初速度不為0，加速度與速度方向相反。
位移隨著時間
增加而減少
速度隨著時間
增加而減慢
加速度為負
定值
等加速度運動各種關係圖之分析
甲//乙，表示兩 甲、乙兩者初速 甲正在減速。
者加速度相同， 度相同，但加速
乙正在加速。
但初速度不同。 度不相同。
a甲> a乙
練習題

右圖為一部電梯自地面一樓上升之v-t圖試求：
(1)0~4秒的平均加速度為何？電梯的運動方式為
何？(2)4~8秒的平均加速度為何？電梯的運動方式
為何？(3)8~10秒的平均加速度為何？電梯的運動
方式為何？(4)0~10秒的位移為何？ (5)0~10的平
均速率為何？平均速度為何？(6)電梯在0~10秒期
間是否做等加速度運動？(7)電梯在0~4秒、4~8
秒、8~10秒的期間，其運動方向是上生、靜止或
下降？
伽立略實驗


傳統觀念：一般人的直覺認為當有
若干個不同重量的重物，從同一高
度落下時，當物體越重時，落下的
速度越快，因此重物也是最早落
地。
伽立略實驗：在比薩斜塔上同時落
下三個重量輕重不等的鐵球，結果
三個鐵球幾乎同時落下。
波以耳實驗
自由落體運動



定義：當物體只受地球引力作用，不計阻力的
影響，從空中靜止開始落下時所做的運動，稱
為自由落體運動。
地球引力(gravitation)：物體所受的地球引力
又稱為重力，所產生的加速度稱為重力加速度，
以g表示之。
重力加速度(g)：自由落體為一種等加速度運動，
因此其重力加速度值為9.8m/s2或980cm/s2。
性質


在同一地點，所受到之重力加速度相
同，而與物體大小、輕重、種類無關，
且重力加速度方向恆向下。
自由落體是在空氣中靜止落下的等加速
度運動，因此也適用等加速度運動公
式；其初速為0，公式可改寫為：
公式變形
V
1 a 
t
2 V  V0  at
V
1 a 
t
2 V  gt
1 2
3 X  V0 t  at
2
4 V 2  V0 2  2aX
1 2
3 X  gt
2
4 V 2  2gX
V0  V
5
V
6
X  Vt
2
V1＝0
a=g
V2
5 V 
2
6 X  Vt