Transcript 物體運動的軌跡車吉平
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物體運動的軌跡
車吉平
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一.位置
1.描述一質點的位置時，需具備參考點、距
離及方向。
2.若一質點在直線上運動，其位置可用線性
座標表示。
3.描述一物體的位置時，可用此物體質心的
位置表示（質點化）。
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一.位置
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一.位置
0
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一.位置
0
3
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一.位置
0
3
-2
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一.位置
0
3
-2
+,-
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一.位置
0
3
-2
+,3,2
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二.向量&純量
1.向量：具有量值及方向的物理量，
例：
。
2.純量：只有量值，沒有方向的物理量，
例：
。
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三.位移＆路徑長
• 描述位置的變化情形有兩種物理量，分別為屬
於向量的位移及屬於純量的路徑長。
方向性
意義
位移 具有方向
（Δx） （向量）
物體由初位置至末位置的
變化量
路徑長 不具方向
() （純量）
物體運動所經軌跡的長度
• 在線性座標上，位移的方向即以＋、－表示。
• 假設初位置為x1，末位置為x2，則位移=x2-x1
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三.位移＆路徑長
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三.位移＆路徑長
-5
5
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三.位移＆路徑長
-5
3
5
3
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三.位移＆路徑長
5
3
-5
3
-2
8
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四.速度&速率
定
義
公
式
速 單位時間內 平均速度 v x
度 的位移
t
方向性
單位
向量
m/s
速 單位時間內 平均速率 v s
純量
m/s
t
率 的路徑長
說明：
1.Δt:時間間隔，Δx：在Δt內的位移，
：在Δt內的路徑長
2.若Δt趨近於0，為某時間點的瞬時速度&瞬時速率。
3.瞬時速度的量值＝瞬時速率，
平均速度的量值≦平均速率。
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五.加速度
1.定義：單位時間內的速度差，屬於向量。
v
2.公式：平均加速度 a t
(若Δt趨近於零，則為瞬時加速度)
3.加速度的正負：
(1)正加速度運動：a與v同向，運動速率愈來愈快。
負加速度運動：a與v反向，運動速率愈來愈慢。
(2)加速度為正：a > 0
加速度為負：a < 0
增速or減速視此時v的方向
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
當 x-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 由平均速度定義
v＝
x-t 圖
x
t
＝
x 2－ x 1
t 2－ t 1
，可知割線
AB 的斜率＝t1 ～ t2 的平均
速度。
(2) 當 t2 非常接近 t1，B 點非常
靠近 A，則 A 點的切線斜
率＝t1 時的瞬時速度。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
(3) x-t 圖之斜率表物體之運動
速度
x-t 圖
斜 率 為 正 ， 表 v ＞0
斜 率 為 負 ， 表 v ＜0
(4) x-t 圖之斜率固定，表物體
之運動速度固定，稱為等速
運動。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
當 v-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 由平均加速度定義
a＝
v-t 圖
v
t
＝
v 2－ v 1
t 2－ t 1
，圖中，割線
CD 的斜率＝t1 ～ t2 的平均加
速度。
(2) 當 t2 非常接近 t1，D 點非常
靠近 C，則 C 點的切線斜
率＝t1 時的瞬時加速度。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
(3) v-t 圖之斜率表物體之運動加
速度
斜 率 為 正 ， 表 a ＞0
斜 率 為 負 ， 表 a ＜0
v-t 圖
(4) 當 v-t 圖之斜率固定，表物
體之運動加速度固定，稱為
等加速運動。
(5) v-t 圖曲線下之面積＝位移（
Δx）
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六.運動的函數圖形關係
名稱
a-t 圖
圖形
性質
當 a-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 斜率：無物理意義。
(2) a-t 圖曲線下之面積＝速度
變化量（Δv）
◎函數圖形彼此間的關係：
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
靜止
v-t 圖
a-t 圖
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
等速度
v-t 圖
a-t 圖
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
等加
速度
v-t 圖
a-t 圖
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七.等加速直線運動
1. 公式整理：
(1) 定義：在運動期間，加速度
維持固定的運動。
(2) 公式推導：
① 圖中直線斜率代表加速度
a＝
v－ v 0
t
∴v＝v0＋at
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七.等加速直線運動
② v-t 圖面積表示此時間內的位移
∴0 ～ t 秒的位移＝梯形面樍
（ v 0＋ v ） （ v 0＋ v 0＋ at ）
1 2
x＝
t＝
t ＝ v 0 t ＋ at
2
2
2
v－ v 0
③ t＝
代入上式
a
2
2
（ v 0＋ v ） （ v 0＋ v ）v － v 0 v － v 0
x＝
t＝
＝
2
2
a
2a
∴v2＝v02＋2aΔx
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七.等加速直線運動
(3) 公式整理：
① v＝v0＋at
② x＝
v 0＋ v
2
1
t ＝ v 0 t ＋ at
2
③ v2＝v02＋2aΔx
2
（各物理量均需以
正、負號表示方向）
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練習1.如下圖﹐一物體自 A 點往右前進至
B 點後﹐折回至原點 C﹐求此物所行
之位移及路徑長分別為何？
(1)-1公尺，1公尺
(3)1公尺，5公尺
(2)-1公尺，5公尺
(4)1公尺，1公尺
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練習2.小敏花1分鐘在路上向右跑了200公尺，然後
花了4分鐘沿相同的路徑步行折返150公尺，
求小敏的平均速度為何？
(1)70公尺/分，向右
(2)70公尺/分，向左
(3)10公尺/分，向右
(4)10公尺/分，向左
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練習3.小淮投擲一溜溜球﹐球以1公尺∕秒的速率
擲出。在2秒後以相同速率、相反方向回到
他的手中（小淮手的位置未變）。求此球自
離開小淮手中，再回到小淮手中的平均速度
及平均加速度之量值分別為何？
(1)0，0
(2)1公尺/秒，1公尺/秒2
(3)1公尺/秒，0
(4)0，1公尺/秒2
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練習4.一部向上運動的電梯初速為 1 公尺∕秒，
在 2 秒內穩定地減速至停止﹐求電梯的
平均加速度為何？
(1)0.5公尺/秒2，向上 (2)0.5公尺/秒2，向下
(3)1公尺/秒2，向上
(4)1公尺/秒2，向下
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練習5.一物體做鉛直上拋，拋到最高點時的瞬時
速度為v、瞬時加速度為a，則下列敘述哪
一項正確？(坐標軸向上取正)
(1) v = 0，a＜0
(2) v = 0，a＞0
(3) v = 0，a = 0
(4) v＜0，a = 0
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
1.上升中的電梯逐漸變慢，則其加速度向下
(1)對
(2)錯
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
2.電梯等速下降，則其加速度向下
(1)對
(2)錯
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
3.將石子鉛直向上丟出，在上升過程中加速度
大小逐漸減小
(1)對
(2)錯
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練習7.如下圖所示，某質點在直線上運動的 x-t
圖，試求質點在第 9 s的瞬時速度為何？
(1)0.5m/s (2)1m/s (3)-0.5m/s (4)-1m∕s
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練習8.一直線運動之物體，其速度與時間之關係
如圖所示，則物體在20秒內的平均加速度
大小為多少公尺/秒2 ？
v(m/s)
(1) 0
15
(2) 2
10
(3) 5
5
(4) 6.25
0
5
10
15
20
25
t(s)
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練習9.一直線運動之物體，其速度與時間之關係
如圖所示，則物體在20秒內的平均速度
大小為多少公尺/秒 ？
v(m/s)
(1) 0
15
(2) 2
10
(3) 5
5
(4) 6.25
0
5
10
15
20
25
t(s)
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練習10.
甲、乙兩車沿一定方向前進。
右圖為兩車的速度v對時間t的
關係圖，下列敘述哪一項正確？
(1)甲、乙兩車皆作等速運動
(2)乙車的加速度比甲車大
(3)乙車的初速度比甲車小
(4)前3秒內，乙車的位移比甲車大
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練習11.
某物體最初在原點東方 5 公尺的
位置，沿一直線作等加速運動，其
v-t 圖如右圖所示，則物體第6秒
瞬間的位置為多少公尺？
（假設向東為正）
(1) 31 (2) 36 (3) 40 (4) 48 (5) 53。
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練習12.
如圖為一質點做直線運動的
a-t圖，若初速度為2公尺/秒
且方向與加速度相同，則2秒
末的速率與4秒末的速率比為
(1) 3：7 (2) 3：5
(3) 1：4 (4) 1：2
a(m/s2)
4
2
0
t(s)
2
4
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練習13.
忽略空氣阻力影響，從20樓頂讓一顆石頭靜止落下，
若每層樓高4公尺，且設g＝10公尺/秒 ，則石頭約
經幾秒落地？
(1) 1秒 (2) 2秒 (3) 3秒 (4) 4秒 (5) 5秒
物體運動的軌跡
車吉平
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一.位置
1.描述一質點的位置時，需具備參考點、距
離及方向。
2.若一質點在直線上運動，其位置可用線性
座標表示。
3.描述一物體的位置時，可用此物體質心的
位置表示（質點化）。
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一.位置
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一.位置
0
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一.位置
0
3
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一.位置
0
3
-2
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一.位置
0
3
-2
+,-
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一.位置
0
3
-2
+,3,2
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二.向量&純量
1.向量：具有量值及方向的物理量，
例：
。
2.純量：只有量值，沒有方向的物理量，
例：
。
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三.位移＆路徑長
• 描述位置的變化情形有兩種物理量，分別為屬
於向量的位移及屬於純量的路徑長。
方向性
意義
位移 具有方向
（Δx） （向量）
物體由初位置至末位置的
變化量
路徑長 不具方向
() （純量）
物體運動所經軌跡的長度
• 在線性座標上，位移的方向即以＋、－表示。
• 假設初位置為x1，末位置為x2，則位移=x2-x1
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三.位移＆路徑長
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三.位移＆路徑長
-5
5
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三.位移＆路徑長
-5
3
5
3
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三.位移＆路徑長
5
3
-5
3
-2
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四.速度&速率
定
義
公
式
速 單位時間內 平均速度 v x
度 的位移
t
方向性
單位
向量
m/s
速 單位時間內 平均速率 v s
純量
m/s
t
率 的路徑長
說明：
1.Δt:時間間隔，Δx：在Δt內的位移，
：在Δt內的路徑長
2.若Δt趨近於0，為某時間點的瞬時速度&瞬時速率。
3.瞬時速度的量值＝瞬時速率，
平均速度的量值≦平均速率。
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五.加速度
1.定義：單位時間內的速度差，屬於向量。
v
2.公式：平均加速度 a t
(若Δt趨近於零，則為瞬時加速度)
3.加速度的正負：
(1)正加速度運動：a與v同向，運動速率愈來愈快。
負加速度運動：a與v反向，運動速率愈來愈慢。
(2)加速度為正：a > 0
加速度為負：a < 0
增速or減速視此時v的方向
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
當 x-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 由平均速度定義
v＝
x-t 圖
x
t
＝
x 2－ x 1
t 2－ t 1
，可知割線
AB 的斜率＝t1 ～ t2 的平均
速度。
(2) 當 t2 非常接近 t1，B 點非常
靠近 A，則 A 點的切線斜
率＝t1 時的瞬時速度。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
(3) x-t 圖之斜率表物體之運動
速度
x-t 圖
斜 率 為 正 ， 表 v ＞0
斜 率 為 負 ， 表 v ＜0
(4) x-t 圖之斜率固定，表物體
之運動速度固定，稱為等速
運動。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
當 v-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 由平均加速度定義
a＝
v-t 圖
v
t
＝
v 2－ v 1
t 2－ t 1
，圖中，割線
CD 的斜率＝t1 ～ t2 的平均加
速度。
(2) 當 t2 非常接近 t1，D 點非常
靠近 C，則 C 點的切線斜
率＝t1 時的瞬時加速度。
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六.運動的函數圖形關係
名稱
圖形
性質
(3) v-t 圖之斜率表物體之運動加
速度
斜 率 為 正 ， 表 a ＞0
斜 率 為 負 ， 表 a ＜0
v-t 圖
(4) 當 v-t 圖之斜率固定，表物
體之運動加速度固定，稱為
等加速運動。
(5) v-t 圖曲線下之面積＝位移（
Δx）
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六.運動的函數圖形關係
名稱
a-t 圖
圖形
性質
當 a-t 圖為圖中的藍色曲線：
(1) 斜率：無物理意義。
(2) a-t 圖曲線下之面積＝速度
變化量（Δv）
◎函數圖形彼此間的關係：
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
靜止
v-t 圖
a-t 圖
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
等速度
v-t 圖
a-t 圖
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六.運動的函數圖形關係
◎各種運動狀態的函數圖：
x-t 圖
等加
速度
v-t 圖
a-t 圖
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七.等加速直線運動
1. 公式整理：
(1) 定義：在運動期間，加速度
維持固定的運動。
(2) 公式推導：
① 圖中直線斜率代表加速度
a＝
v－ v 0
t
∴v＝v0＋at
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七.等加速直線運動
② v-t 圖面積表示此時間內的位移
∴0 ～ t 秒的位移＝梯形面樍
（ v 0＋ v ） （ v 0＋ v 0＋ at ）
1 2
x＝
t＝
t ＝ v 0 t ＋ at
2
2
2
v－ v 0
③ t＝
代入上式
a
2
2
（ v 0＋ v ） （ v 0＋ v ）v － v 0 v － v 0
x＝
t＝
＝
2
2
a
2a
∴v2＝v02＋2aΔx
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七.等加速直線運動
(3) 公式整理：
① v＝v0＋at
② x＝
v 0＋ v
2
1
t ＝ v 0 t ＋ at
2
③ v2＝v02＋2aΔx
2
（各物理量均需以
正、負號表示方向）
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練習1.如下圖﹐一物體自 A 點往右前進至
B 點後﹐折回至原點 C﹐求此物所行
之位移及路徑長分別為何？
(1)-1公尺，1公尺
(3)1公尺，5公尺
(2)-1公尺，5公尺
(4)1公尺，1公尺
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練習2.小敏花1分鐘在路上向右跑了200公尺，然後
花了4分鐘沿相同的路徑步行折返150公尺，
求小敏的平均速度為何？
(1)70公尺/分，向右
(2)70公尺/分，向左
(3)10公尺/分，向右
(4)10公尺/分，向左
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練習3.小淮投擲一溜溜球﹐球以1公尺∕秒的速率
擲出。在2秒後以相同速率、相反方向回到
他的手中（小淮手的位置未變）。求此球自
離開小淮手中，再回到小淮手中的平均速度
及平均加速度之量值分別為何？
(1)0，0
(2)1公尺/秒，1公尺/秒2
(3)1公尺/秒，0
(4)0，1公尺/秒2
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練習4.一部向上運動的電梯初速為 1 公尺∕秒，
在 2 秒內穩定地減速至停止﹐求電梯的
平均加速度為何？
(1)0.5公尺/秒2，向上 (2)0.5公尺/秒2，向下
(3)1公尺/秒2，向上
(4)1公尺/秒2，向下
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練習5.一物體做鉛直上拋，拋到最高點時的瞬時
速度為v、瞬時加速度為a，則下列敘述哪
一項正確？(坐標軸向上取正)
(1) v = 0，a＜0
(2) v = 0，a＞0
(3) v = 0，a = 0
(4) v＜0，a = 0
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
1.上升中的電梯逐漸變慢，則其加速度向下
(1)對
(2)錯
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
2.電梯等速下降，則其加速度向下
(1)對
(2)錯
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練習6.請判斷下列敘述是否正確？
3.將石子鉛直向上丟出，在上升過程中加速度
大小逐漸減小
(1)對
(2)錯
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練習7.如下圖所示，某質點在直線上運動的 x-t
圖，試求質點在第 9 s的瞬時速度為何？
(1)0.5m/s (2)1m/s (3)-0.5m/s (4)-1m∕s
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練習8.一直線運動之物體，其速度與時間之關係
如圖所示，則物體在20秒內的平均加速度
大小為多少公尺/秒2 ？
v(m/s)
(1) 0
15
(2) 2
10
(3) 5
5
(4) 6.25
0
5
10
15
20
25
t(s)
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練習9.一直線運動之物體，其速度與時間之關係
如圖所示，則物體在20秒內的平均速度
大小為多少公尺/秒 ？
v(m/s)
(1) 0
15
(2) 2
10
(3) 5
5
(4) 6.25
0
5
10
15
20
25
t(s)
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練習10.
甲、乙兩車沿一定方向前進。
右圖為兩車的速度v對時間t的
關係圖，下列敘述哪一項正確？
(1)甲、乙兩車皆作等速運動
(2)乙車的加速度比甲車大
(3)乙車的初速度比甲車小
(4)前3秒內，乙車的位移比甲車大
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練習11.
某物體最初在原點東方 5 公尺的
位置，沿一直線作等加速運動，其
v-t 圖如右圖所示，則物體第6秒
瞬間的位置為多少公尺？
（假設向東為正）
(1) 31 (2) 36 (3) 40 (4) 48 (5) 53。
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練習12.
如圖為一質點做直線運動的
a-t圖，若初速度為2公尺/秒
且方向與加速度相同，則2秒
末的速率與4秒末的速率比為
(1) 3：7 (2) 3：5
(3) 1：4 (4) 1：2
a(m/s2)
4
2
0
t(s)
2
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練習13.
忽略空氣阻力影響，從20樓頂讓一顆石頭靜止落下，
若每層樓高4公尺，且設g＝10公尺/秒 ，則石頭約
經幾秒落地？
(1) 1秒 (2) 2秒 (3) 3秒 (4) 4秒 (5) 5秒