Transcript 五連方魔法盒

五連方魔法盒
本研究主要是探討立體五連方(共29種)
所組合而成的各種不同的長方體，並探討
哪些長方體能夠排成功，哪些長方體一定
無法排成(必須證明)，而可排成的長方體
是否有多種不同的組合方式，而哪些長方
體是較易組合的，哪些長方體又是極難組
成的。並找出如何能夠較為快速的組成所
有的長方體。

記得學校六年級上學期數學第三單元教的是柱體
與錐體，剛好資優班六年級有教過平面五連方及
立體五連方，我們就想說可以用立體五連方和平
面五連方來排各種長方體同時也想知道是不是長、
寬、高只要其中一個含有5的因數的長方體都可以
排出來，而且每一種立體是不是有多種的排法。
在排的過程中我們發現一個個的長方體就像是一
個個神秘的魔法盒，所以我們決定把我們研究的
名稱定為神秘的魔法盒，而且即將要逐一的街開
這些魔法盒神秘的面紗。
一、研究目的：
(一)找出所有可排成的不同邊長的魔法盒。
(二)找出相同魔法盒的不同拼法。
(三)找出如何快速有效率的拼出魔法盒的方法。
二、研究問題：
（一）找出所有一號魔法盒。
（二）找出所有二號魔法盒。
（三）找出所有三號魔法盒。
（四）找出所有四號魔法盒。
（五）找出所有五號魔法盒。
(六) 找出各種魔法盒的不同拼法。
(七) 尋找快速拼出魔法盒的方法。
材料分析:USL智慧連接塊 邊長2公分的正立方體
將５個正立方體連接在一起(連接面必須是完整的
面)總共可以得出29種不同的立體圖形。其中可以
分成兩大類:
1.平面5連方塊(當我們把方塊平放時，同時有5個
面可以平貼在同一平面上)總共有12種。
2.立體5連方塊(當我們把方塊平放時，不可能同
時有5個面可以平貼在同一平面上)總共有17種
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一、找出所有一號魔法盒
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• 無法完成
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只有5顆可排，1、2、3、4、8
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1.一號魔法盒從1X2XN開始(N為5的倍數)，總共有21種
其中1×2×5、1×2×15、、1×2×20、1×2×25、1×2×30共有5種因方塊本身限制無法
完成所以可以完成的共有16種
2.一號魔法盒因為高只有一層所以只有12個平面五連方可以排，17個立體五連
方均無法排每一個魔法盒都有多種不同的排法，可以使用組合法獲得不同的魔法
盒。
1×2×N系列因為只有1、2、3、4、8五個方塊可以排，所以只能排到1×2×10共有2
種排法。
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5
10
2
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26
13
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9
9
9
3
3
3
3
16
10
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26
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18
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15
9
25
3
29
10
10
10
2
28
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24
24
24
20
20
14
17
27
27
27
21
19
19
19
23
23
23
20
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17
27
6
21
21
19
22
22
23
13
13
20
14
17
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6
6
6
16
7
22
26
13
13
18
15
25
25
25
29
6
16
16
7
26
28
18
18
18
15
15
25
29
29
29
16
7
7
7
28
8
8
8
28
28
23
23
23
28
18
8
8
17
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28
25
25
25
28
28
17
4
4
4
28
23
25
18
18
18
17
17
17
4
4
23
25
18
28
28
11
21
21
28
28
13
13
15
15
27
11
23
14
26
28
19
13
13
15
15
11
23
14
26
26
19
19
19
8
8
11
21
14
14
28
13
5
27
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14
26
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5
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5
15
27
11
23
23
23
26
5
19
8
8
8
13 16 22 5
11
29 11
25 12 12
13 5
5
5
11
11
11
12 12 19
4
4
5
28 14 14 3
12 23 24
18 4
4
4
3
3
3
3
23 24
16 16 22 22 29 29 29 25 19 19
13 16 16 22 22 29 25 25 25 19
13 13 18 28 28 14 23 23 23 19
18 18 18 28 28 14 14 24 24 24
11
11
11
18
17
17
17
3
13
13
11
7
11
21
17
19
14
3
3
15
27
7
25
21
21
19
19
3
26
15
7
7
7
12
12
19
20
3
26
26
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4
4
4
12
12
2
24
24
23
4
4
16
16
28
12
2
2
2
2
27
18
18
18
14
14
17
13
13
15
27
18
21
21
6
14
14
13
15
15
27
27
25
6
6
6
20
24
23
26
29
25
25
25
6
19
20
24
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26
29
29
16
28
28
20
20
24
23
23
29
16
16
28
28
1
1
1
1
1
2
8
4
4
4
3
20
14
28
28
2
8
8
3
3
3
3
14
14
17
2
8
8
9
10
10
10
16
14
13
2
12
12
9
9
9
10
16
13
13
12
12
23
22
22
9
10
24
13
27
12
26
25
22
29
15
21
21
19
27
26
26
25
29
29
29
18
21
27
27
2
4
4
5
11
11
20
14
28
28
1
5
5
5
11
20
20
16
28
17
1
23
5
6
11
11
20
16
16
17
1
23
6
6
6
24
24
24
17
17
1
23
23
6
15
18
18
24
13
19
1
26
22
22
15
15
18
19
19
19
26
25
25
25
29
15
18
21
21
27
11
11
11
11
20 11
8
8
8
18
2
2
24 8
8
19
2
20 24 24 24 18
18
18
20 20 20 24 18
19
19
2
2
3
3
3
26 26 15
13
3
28 28
19
26 26 15
15
13
13
19
26 15
13
13
28 28
15
3
28
18
13
9
20
8
8
8
7
17
11
11
4
4
4
27
9
9
9
24
8
8
15
7
22
23
11
25
3
4
4
9
1
1
1
1
1
7
7
7
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11
3
3
3
3
18
13
20
20
20
15
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22
17
17
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12
27
27
18
13
13
24
20
15
15
22
22
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17
25
12
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27
18
18
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24
24
24
15
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23
23
25
25
25
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27
28
17
6
27
27
27
11
19
11
22
3
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3
18
28
6
6
6
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14
20
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4
16
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26
8
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23
20
20
20
13
13
4
4
4
26
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8
2
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2
28
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18
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29
19
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22
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24
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14
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14
14
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13
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26
1
1
1
1
1
2
28
18
29
25
25
25
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19
20
14
14
26
21
21
17
17
17
24
28
18
18
18
25
22
22
11
11
11
14
14
26
26
15
21
17
24
24
24
28
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29
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22
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23
19
19
19
20
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20
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15
15
4
4
17
24
28
28
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18
25
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19
11
14
20
26
15
15
21
21
4
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4
27
15
19
20
16
3
14
14
18
18
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29
29
22
4
4
8
8
11
15
15
19
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16
16
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26
17
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8
8
15
19
19
20
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21
18
17
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17
2
2
2
2
28
28
24
11
27
27
27
3
3
3
3
23
14
26
26
5
29
12
22
22
4
4
4
11
27
15
19
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16
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21
23
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5
5
5
12
12
13
13
24
24
24
11
1
1
1
1
1
23
23
23
18
17
5
12
12
13
13
2
28
28
24
11
28
18
29
25
25
25
23
23
23
19
20
14
14
26
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21
17
17
17
24
27
3
3
3
3
28
18
18
18
25
22
22
11
11
11
14
14
26
26
15
21
17
24
24
24
27
27
27
3
2
28
29
29
29
22
22
23
19
19
19
20
20
20
26
15
15
4
4
17
24
1
1
1
1
1
28
28
29
18
25
22
23
11
19
11
14
20
26
15
15
21
21
4
4
4
27
2
2
2
2
研究發現:
1.二號魔法盒總共有26種，
2.二號魔法盒中的2*2*N的長方體，因為長、寬為2*2所以有
一些五連方塊無法排(5、6、7、9、10、12)
3.愈長的長方體難度越高。
4.平面的面積越大越容易排成功
5.可以先排很多組的2×4×5然後組成更長的魔法盒。
6.原來以為2×4×20與2×4×25無法完成沒想到經過幾個星期的
努力後居然可以完成了，真是太開心了。

請各位同學拿出盒子中的１２個平面五連
方塊，用其中的８個排成１x４x10方塊，
最先排成功的５位同學可以得到小禮物
喔！

3×3×5
28
28
10
10
10
28
15
15
26
7
15
15
26
26
12
28
28
10
22
22
19
19
19
26
7
19
15
26
12
12
11
11
10
22
7
11
19
22
22
7
11
11
12
12
7
17
17
18
18
14
17
23
23
14
14
17
17
18
18
14
16
16
18
27
14
29
16
16
25
8
16
16
18
27
14
29
16
18
27
17
29
29
18
27
8
29
16
18
27
27
5
13
24
24
24
20
3
3
3
3
20
20
20
3
9
5
13
24
2
9
5
13
24
21
9
5
20
21
21
9
2
2
2
2
9
5
13
13
21
21
1
1
1
1
1
此三種3*3*5彼此並不重複所以可以合起來變成3*3*10、3*3*15
3×4×5
24
24
24
27
27
19
17
17
13
27
19
4
4
13
13
24
28
28
13
27
24
28
17
13
5
19
19
4
4
4
23
28
28
8
27
23
20
17
8
5
19
2
17
8
5
23
23
23
8
5
20
20
20
8
5
20
2
2
2
2

3×5×5
3×5×5
11
11
25
18
18
26
25
25
12
18
26
26
25
12
18
11
6
6
16
21
26
25
22
12
12
14
26
22
22
18
11
11
6
16
16
14
14
15
15
16
14
15
15
22
22
20
20
6
6
16
20
14
15
28
2
20
2
2
2
2
8
8
8
28
28
20
8
8
28
28
1
1
1
1
1

3×6×5
3×6×5
11
11
4
4
4
3
2
2
2
2
15
2
24
24
24
11
4
4
16
1
3
15
16
16
24
15
15
19
13
24
11
11
8
8
1
3
3
19
16
16
12
15
19
13
13
28
8
8
8
1
3
17
17
21
13
12
12
19
19
13
28
28
14
14
1
28
28
17
21
25
27
12
12
21
21
27
14
14
25
1
27
14
17
25
25
27
27
17
25
21

3×7×5
3× 7× 5
2
2
25
28
28
22
22
20
28
5
19
22
20
20
20
2
10
25
28
28
19
25
25
6
5
19
22
22
20
5
2
10
25
6
5
21
11
11
6
5
19
19
15
6
9
2
10
10
10
9
21
11
15
6
9
21
21
15
15
9
13
8
8
16
9
13
11
11
24
14
27
21
29
15
14
8
8
8
16
16
13
13
29
24
16
27
29
29
14
14
3
3
3
3
16
27
13
3
24
24
27
27
29
14
24

3×8×5
3× 8× 5
8
8
25
28
28
22
22
20
28
5
19
22
20
20
20
8
8
25
28
28
19
25
25
6
5
19
22
22
20
5
8
3
25
6
5
21
11
11
6
5
19
19
15
6
9
3
3
3
3
9
21
11
15
6
9
21
21
15
15
9
13
2
4
16
9
13
11
11
24
14
27
21
29
15
14
23
2
4
16
16
13
13
29
24
16
27
29
29
14
14
23
2
4
4
16
27
13
17
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27
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2
2
4
17
23
23
17
17
17
1
1
1
1
1

3×9×5
3× 9× 5
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4
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13
15
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13
13
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23
23
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18
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29
6
6
6
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5
14
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1
16
16
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2
2
2
18
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5
5
5
20
20
1
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12
28
28
17
17
17
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25
5
17
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25
12
12
28
28
17
8
8
28
25
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25
24
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19
12
12
7
11
22
11
8
8
22
22
26
26
24
19
19
7
7
7
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11
11
24
8
22
19
26
24
24
22
19
26
26
7

3×10×5
3× 3× 10
27
15
22
22
17
17
3
3
3
3
15
15
16
16
14
14
19
8
8
8
15
16
16
14
14
19
19
19
8
8
27
27
21
22
17
20
5
3
25
11
27
15
21
22
22
14
5
5
24
11
27
29
16
13
13
5
5
19
24
11
2
2
2
2
17
20
20
20
25
11
2
29
21
21
17
13
20
25
25
25
29
29
29
21
13
13
24
24
24
11

3×10×5
5
5
24
23
3
3
3
3
26
26
16
5
5
23
20
20
20
9
10
26
28
5
23
23
20
9
9
9
10
18
28
28
4
4
4
9
10
10
10
18
27
16
24
21
21
19
3
17
17
17
16
16
24
24
24
20
14
17
26
26
16
29
23
22
15
15
25
8
8
8
28
28
22
22
4
4
25
8
8
18
27
27
27
21
19
19
19
12
12
17
27
29
21
21
19
15
14
14
12
12
29
29
29
22
22
15
15
14
14
12
1
1
1
1
1
25
25
25
18
18
3×3×15

28
28
10
10
10
17
17
18
18
14
15
15
26
26
12
28
28
10
22
22
16
16
18
27
14
19
15
26
12
12
11
11
10
22
7
29
16
18
27
17
11
11
12
12
7
28
15
15
26
7
17
23
23
14
14
17
17
18
18
14
19
19
19
26
7
29
16
16
25
8
16
16
18
27
14
11
19
22
22
7
29
29
18
27
8
29
16
18
27
27
15
15
26
26
12
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3
3
3
3
20
20
20
3
9
19
15
26
12
12
5
13
24
21
9
5
20
21
21
9
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11
12
12
7
5
13
13
21
21
1
1
1
1
1
研究結論:
1.三號魔法盒總共有九種
2.三號魔法盒可以利用29個五連方塊排成2組或3組
3*3*5再組合成3*6*5、3*9*5
3.三號魔法盒數量較少較易完成，組合的方式也較多
27 27 27 6
2
26 26 27 14
2
19 21 14 14 8
26 26 27 6
2
26 13 21 6
12
25 21 21 6
8
22 13 20 20 2
22 13 20 16 12
25 25 20 6 12
13 13 16 16 2
22 22 20 16 16
25 22 4
19 21 14
3
8
19 19 14 3
8
19 25
3
3
8
4
4
3
12
4
4 12
10 10 10
4
4
3
23 27 27
27
23 23 27 13 28
10
4
4
4
2
3
23 27
8
8
22 22 19 28 28
10
2
2
2
2
3
23 20
8
8
3
1
1
1
1
1
3
20 20 20
8
25 20 19 26 26
22 29 13 13 28
29 29 29 16
16
22 13 13 16 28
15 29 16 16
18
15 25 18 26 24
15 15 18 18
18
25 25 19 26 24
25 15 24 24
24
22 19 19 26
11
11
17
4
4
29
28
28
17
17
17
15
28
28
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23
15
15
11
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8
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20
17
29
28
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22
22
25
15
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11
20
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19
29
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19
16
8
13
13
20
18
18
7
7
7
19
19
16
8
7
14
21
16
16
8
7
21
21
2
18
3
3
3
3
19
16
12
3
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21
21
18
12
12
14
14
24
18
1
9
23
25
25
25
1
9
23
22
25
15
1
13
23
22
22
24
1
2
2
2
2
24
1
12
12
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24
24
10
10
10
3
3
3
3
20
6
11
11
3
15
1
10
9
9
8
8
19
2
6
6
6
11
15
15
1
10
9
8
8
8
19
2
12
6
11
11
5
19
1
9
9
4
4
19
19
2
12
12
5
5
5
13
1
4
4
4
13
13
2
2
17
12
12
5
13
13
1
20
20
20
29
29
15
27
24
24
24
14
29
27
27
18
20
24
14
15
15
27
18
21
24
14
22
22
27
17
17
21
14
14
22
22
18
21
21
14
14
22
22
17
16
21
26
26
25
23
18
16
21
26
26
25
23
17
16
16
28
25
25
25
16
16
16
28
23
23
23
1.四號魔法盒只有四種
 2.四號魔法盒所用到的數量為16、20、24、
28個
 3.四號魔法盒的難度較1-3號為高因為需用
的數量最多
 4.4*7*5用到28個立體五連方難度最高。

1
10
10
10
2
4
2
2
2
2
27
25
25
25
9
1
10
8
8
8
4
4
25
12
12
28
28
25
29
9
1
10
3
8
8
28
4
12
12
9
28
28
13
13
9
1
3
3
3
3
17
4
12
26
26
24
24
21
13
13
1
24
11
11
11
17
24
11
26
11
17
24
21
26
26
27
27
16
29
9
15
16
16
18
18
27
15
22
29
29
15
15
16
16
18
27
21
22
29
18
19
15
22
20
18
19
21
21
20
13
19
22
22
20
23
17
17
23
23
23
19
19
20
20
23
1.五號魔法盒只有一種
 2.用到的立體五連方的個數為25個
 3.是所有魔法盒中唯一的立方體魔法盒




一.五連方塊的製作，我們尋找了數種材料後發現USL正方
體智慧方塊的大小適中，製作容易，價錢合理、於是我們
便選擇購買12種不同顏色的USL正方體智慧方塊來製作。
二.製作成的方塊雖然操作時不易損壞，但是一不小心掉
在地上時就會解體，所以最後我們決定用透明膠帶加以固
定。這樣就一勞永逸了。
三.立體五連方塊的分類，我們討論了很久，有人說用最
長的邊來分，有人說用可平貼在同一平面的最大數量多寡
來分，最後決定使用單純的平面五連方(同時有五面可以
平貼在同一平面)，與立體五連方(同時不能有五面可以平
貼在同一平面)。



四.立體五連方的種類繁多記錄起來十分麻煩，本來想用
四面照相的方式記錄可是裡面包住的方塊根本無法看出，
所以光看照片無法恢復原來的組合，所以必須另尋他法，
最後我們發現一層一層的紀錄法不但記錄時比較清楚，同
時也能很精準的恢復原來的組合，所以我們決定使用方格
層層紀錄法。
五.開始做了以後才發現原來魔法盒的種類繁多，而且有
些魔法盒的難度極高。雖然我們已經提前在暑假就開始做，
但是有很多種魔法盒還是無法完成。
六.最後我們決定一個人負責一種魔法盒，先做完的人再
負責4號、5號魔法盒。
1.除了因為立體五連方本身的限制無法完成之外其餘的長
寬高含有5的倍數的魔法盒(長方體)都能夠完成。
2.無法完成的魔法盒有1×1×N只有1×1×5可完成，因為是一
直線的關係。
3.1×2×N只有1×2×10可以完成，其餘因為可以排的方塊
只有5個所以均不能完成。
4.一號魔法盒只能用12個平面五連方塊才能排成，立體五連
方塊均不能排。
5.二號魔法盒中的2×2×N中有6個平面方塊無法排，所以最多
只能排到2×2×25
6.二號魔法盒中2×7×10用到28個方塊難度最高花了數個月的
時間才排成功，本來一度想放棄了。
7.三號魔法盒29個顆方塊都能排，其中3×3×15用了27個方塊
難度最高。
8.四號魔法盒只有四種，用到的方塊數為16、20、24、28因
為用到的方塊數量都很多 相對的難度也是所有魔法盒中
最高的，尤其4×7×5用到28個方塊難度也是四號中最難 的，
因為剩下一個所以我們嘗試讓剩下的方塊為1-29號，共29
種排法，目前只排出5種，但我們相信只要時間夠多的話
一定可以完成的。
9.我們研究出一種反推法，就是先把魔法盒堆好，再用分割
的方式找出相對的方塊，果然很快的便可以完成魔法盒，
但是如果數量越多的話，困難度也就相對的增加。
姿吟—
我從小就很喜歡拼湊積木，但我現在才知道原來小小的一塊
積木也有這麼大的學問。
學謙—
想不到那麼小的積木聚在一起竟然可以拼出那麼多的立方體。
子晴—
一開始我以為排積木是一件很簡單、有趣的事情，但經過這
次的研究後，我發現這是非常的深奧，很值得我們去探討。

1.五連方總共有幾種？〈平面+立體〉

答：29種

２、三號魔法盒共有幾種？
答：9種

３、哪3個魔法和用了最多五連方？

答：2*14*5
2*7*10
4*7*5