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第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


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第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 3

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 4

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 5

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 6

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 7

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 8

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 9

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 10

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 11

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 12

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 13

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 14

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 15

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 16

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 17

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 18

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 19

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 20

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0


Slide 21

第七章 习题课
（气体动理论）

一、基本要求

1 、 理 解 理 想 气 体 的 压 强 公
式 和 温 度 公 式 ， 并 能 从 宏 观
和统计意义上理解压强、温度和内能等概念。
2、了解麦克斯韦速率分布定律和分布函数，
了解分布曲线的物理意义，理解三种统计速
率。
3、理解气体分子能量均分定理，理解气体
分子内能的计算。
4、了解气体分子平均碰撞次数和平均自由
程。

二、 基本内容
1、理想气体压强公式
p 

1

nm v

2



2

n

3
3
或 p  nkT

k

3

2、理想气体温度公式  k  kT
2
3、能量按自由度均分定理
1

任一自由度平均能量   kT
理想气体内能
E 

m i
M 2

E

i

2
RT

E

2

m i

RT

M2

R(T2  T1 )
C p .m 

i
2

RR

C vm 

i
2

R

 

C p ,m
C v ,m



i2
i

4、麦克斯韦速率分布
（1）分布函数
f (v ) 

dN
Ndv

 4 (

m



3

2kT

)

2

e

mv

2

2 kT

v

2

（2）分布函数物理意义及分布曲线的物理意
义。

(３)三种统计速率


2kT
2 RT

 vp 
m
M

8kT
8 RT


 v 
m
M

3kT
3RT

2

 v 
m
M


5、 平均碰撞次数和平均自由
2
程
z  2 d n v


气
体
动
理
论

1
2d n
2



状态参量的
统计意义

kT
2d p
2

压强公式
温度公式

能量均分定理
统 计
规律

麦克斯韦速率分布
平均碰撞频率
平均自由程

6、热力学第二定律的统计意
义。
( １ ) 微 观 状 态 ( 数 ) ： ( 宏 观 ) 系
统每一种可能的分布。
(２)热力学概率，系统(宏观)状态所包含的
微观状态数。
(３)玻耳兹曼关系： S  k ln W （ｓ－熵）

 s １＞原0
( ４ ) 熵 增
s  s2加
(热力学第二定律数学表示)

理

：

(５)热力学第二定律的统计意
义
* 孤 立 系 统 发 生 的 过 程 由
热力学概率小的宏观状态向概率大的宏观状
态进行。
*由包含微观状态数少的宏观状态向包含
微观状态数多的宏观状态进行。
*自然过程方向沿着系统微观态增大，即
分子运动更加无序的方向进行。

三、讨论
１、某刚性双原子理想气体，
温度为T，在平衡状态下，下
列各式的意义.
3
(1) kT —分子的平均平动动能
(2)
(3)
(4)
(5)

2
2

2
5
2
5

kT

—分子的转动动能

kT

—分子的平均总动能

RT —摩尔气体分子的内能

2
m 5

M 2

RT

— mm 千克气体的内能

2、容器中装有理想气体，
容器以速率 v 运动，当容器突
然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有
H2气，如果它们以相同速率运动，当它们突
然停止时，哪一个容器的温度上升较高。
讨论：当容器突然停止时，气体分子的
定向运动转化为分子无规则热运动，使其内
能增加，从而温度升高．
1
m i
设容器中气体质量为m，有 2 mv  M 2 R  T
2

∴

T 

Mv
iR

2

由于

M H 2  M He ，且 i H  i He
2

∴ THe  TH 2
3 、
( １ ) 两 不 同 种 类 的 气 体
分子平均平动动能相等，但气体的密度不等,
那么他们的压强是否相等。
讨论：  k 1   k 2 ，则 T1=T2

因为

P  nkT

所以可能
则

由于 1   2 及 n 
n1  n 2
p1  p 2



m

( ２ ) 两 瓶 不 同 种 类 的 气 体 ，
它 们 压 强 和 温 度 相 同 ， 但 体
积 不 同 ， 问 它 们 单 位 体 积 分
子数是否相同？单位体积中气体质量是否相
同？单位体积中分子总平动动能是否相同？
讨论：T1=T2 ， p 1  p 2
由 p  nkT 得 n 1  n 2
又 ∵

n



m

， 不同气体 m不同 ∴ 1   2

单位体积中的分子总平动动能数 n  k
因 n 1  n 2 ， k   k 则 W 1  W 2
2

W

4、说明下列各式的物理意义
(理想气体在平衡态下)
f ( v ) dv dN
(
１
)
v 间v 隔dv为
因 为 f ( v ) dv
，即为速率
N =
内分子数占总分子数的比率（概率）
Nf ( v ) dv
(
因 为dN  Nf ( v ) dv
内的分子数

(３) 

v2
v1

２
)
v
 dv
即表示处在速
率v区
间

f (v)dv

表示速率间隔 v 1  v 2 之间的分子数占总分子数
的比率．



（４） vf (v)dv
0

将式写成


N







vdN



N
N 表示分子的平
均速率
(５) 速率间隔 v 1  v 2 内分子的平均速率的
表示式是什么？ v
vf (v) dv 

0

vf (v) dv 

0

0



2

vf (v ) dv？

v1

由平均速率定义：
v

N1v1  N 2 v2  
N1  N 2  






v2
v1

v2
v1

vdN

Nf ( v ) dv

＝


N

v2
v1



Nvf ( v ) dv
v2
v1

＝

f ( v ) dv




v2
v1

vf ( v ) dv

v2
v1

f ( v ) dv

四
、
计
算
1、容器中储有氧气压强 P  1 .013  10 5 pa ，温
度T=300K，计算 (1) 单位体积中分子数n。
(2) 分子间的平均距离l。 (3) 氧分子质量 m 。
(4) 平均速率。 (5) 分子的平均动能。(6) 分子
平均碰撞次数。 M  32 10 kg  mol ，
3

解：已知

1

P  1.013  10 pa，
5

T  300 K，d  3.0  10

10

m

（１）P  nkT
n P

kT

（２）l 

3

 2 . 4  10

1
n

25

m

3

 3 . 45  10

9

m

 10

分子直径～ 10 m ，气体分子的间距
是其10倍，即气体分子占有的体积约为本身
体积的1000倍，因此把气体分子作为质点。
(３) 气体分子质量
(４) 平均速率 v 

mM

8 RT

M

NA

 1 . 60

 5.32 10 26 kg
RT
M

 4 . 47  10 m  s
2

1

（５）



i

kT 

2

5

kT  1 . 04  10

 20

J

2
1

（６）z  2 d n v  4 . 28  10 s
2、单原子理想气体的循环过程如图所示，已
5
5
P

P

20
.
2

10
Pa
P

P

40
.
5

10
Pa
知 A
，
，
c
D
B
3
3
3
3




V
V
12
10
m
，
求循环效率。
V A V D 4 10 m
c
B
2

9

p

解：复习第六章内容，同时应
i2
i
用本章的 C 
R ，C  R 进
2
2
行计算.
W
Q |Q |
由  
p .m

A

B

v .m

1

Q1

2

Q1

o

D

C

v

本题可直接计算W
W  ( PA  PD )( V C  V D ) ＝

1 . 62  10 J
4

A QB ，
然 后 计 算 吸 热
m
等压过程 Q  C (T  T )
'
1

P ,m



D  A

M
m i2

M

2

B

A

R(TB  TA ) 

i2
2

( PBVB  PAVA )
p

m
''
等体过程 Q1  CV m (T A  TD )
M


m i
M 2

因为

R (T A  T D ) ＝

i
( PA VA  PDVD )
2

Q 1  Q 1  Q 2  9 . 32  10 J
'

''

A

4

所以 

B

D

oo



W
Q1

C

v

 17 . 2 %

3 、 图 示 有 N 个 粒 子 系 统 ，
其速率分布函数为
0  v  v0

 f ( v ) 与 v 正比

 f (v )  a
 f (v )  0


v 0  v  2v 0
v  2v 0

求(1) 常数 a ， (2)速率在 1 . 5 v 0 
的粒子数 (3) 粒子的平均速率.。f (v)
解：首先找出 0  v 0 的分布
函数由图可知
f (v ) 

2v 0

之间

a

a
v0

v
o

v0

2v0 v

（１）由归一化条件





f (v)dv  1

0

结合本题条件，即


a v

v0
0

2
0

v0 2

a
v0

vdv  

 a (v 0 )  1

（２）N







2 v0

2 v0

adv  1

f (v )

v0

∴

a 

2

a

3v 0
o

Nf (v)dv

v0

1.5 v0
2 v0

adv  N 

1.5 v0

2 v0

2

1.5 v0

3v0

dv 

N
3

2v0 v

（３）平均速率
v 






vf (v)dv
0

a
v0



v0
0

v dv  a 
2

2 v0
v0

11
vdv  v0
9

4、对分布曲线的进一步讨论
已知平衡态下的N个粒子
系统，其速率分布曲线如 f
图，求 (１) 速率在 v0  2v0
间的粒子数。 (２) 速率分
布函数的极大值为多少?

f (v )

m

(v)

o

v0

2v0 v

解: (1) 图示知，在 v0  2v0 速
率间隔中，曲线下的面积是总
面积的一半，所以区间内的粒
N
子数是总粒子数的一半 2 。
(2) 由归一化条件,其总面积
1
2

∴

f m ( v )( 2 v 0 )  1

f m (v ) 

1
v0