Transcript 3-Elektrik Potansiyel

Elektrik potansiyel
Elektrik potansiyel enerji
 Önceki
çalışmalardan, potansiyel ve kinetik enerji
• a noktasından b noktasına hareket eden bir parçacık üzerindeki kuvveti
düşünelim, Kuvvetin yaptığı iş Wa->b aşağıdaki gibi verilir:
Wab  
b
a
 
b
F  d    F cos d
a
• Kuvvet korunumlu ise, yani kuvvet tarafından yapılan iş sadece parçacığın ilk
ve son konumlarına bağlı fakat parçacığın yolu boyunca alınan yola bağlı değilse ,
F kuvveti tarafından yapılan iş her zaman U potansiyel enerjinin terimleri ile ifade
edilebilir.
.
Elektrik potansiyel enerji
 Önceki çalışmalardan, potansiyel ve kinetik enerji
• Korunumlu kuvvet durumunda, kuvvet tarafından yapılan iş U potansiyel
enerji terimleriyle ifade edilir:
Wab  U a  U b  (U b  U a )  U
U i : thepotentialenergyat pointi
• Her bir yer değişimi sırasında K kinetik enerji değişimi parçacık üzerine
yapılan toplam işe eşittir:
Wab  K  Kb  Ka
• Kuvvet korunumlu ise,
Wab  K  Kb  K a  U  (U b  U a )
 K a  U a  Kb  U b
Elektrik Potansiyel Enerji
 Düzgün
bir alan içinde Elektrik potansiyel enerji
•Aşağı doğru düzgün bir elektrik alan oluşturan yüklü paralel plaka çifti ve
q0 >0 olan deneme yükü düşünelim.
a
+ + + ++ + + ++ +
q0
d

E
- - - - - - - - - b
Korunumlu kuvvet
Kuvvet deneme yükünün net yer değiştirmesi ile aynı yöndedir
• Genellikle kuvvet vektör olarak alınır:
Fg
m
g

F  ( Fx , Fy , Fz ) ; Fy  q0 E, Fx  Fz  0
Bu kuvvet yerçekimi kuvveti ile benzerdir:

Fg  ( Fg , x , Fg , y , Fg , z ) ; Fg , y  mg, Fg , x  Fg , z  0
Elektrik potansiyel enerji
 Düzgün
alan içinde Elektrik potansiyel enerji
•Yerçekimi kuvveti ile kurulan analojide, potansiyel şu şekilde bulunabilir:
U  q0 Ey (c. f . U g  mgy)
• Deneme yükü ya yüksekliğinden yb yüksekliğine taşındığında , yük üzerinde
alan tarafından yapılan iş
• Deneme yükü elektrik kuvvete zıt yönde(aynı yönde) hareket ederse
U artar(azalır)
U<0

E
+
+
U>0
a


F  q0 E
b

E
+
+
U<0
U>0
b
 a 
F  q0 E

E


F  q0 E
-
a
b

E
-
b


F  q0 E
a
Elektrik potansiyel enerji
İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
• r uzaklığındaki deneme yükü üzerindeki kuvvet
b
rb

E
Fr 
1 qq0
4 0 r 2
• Deneme yükü üzerinde yapılan iş
rb
rb
ra
ra
Wab   Fr dr  
q0
r
ra
+
a
q

E
qq0 1 1
1 qq0
dr

(  )
2
4 0 r
4 0 ra rb
Elektrik potansiyel enerji
İki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
• Daha genel durumda
Yolun eğimi

E

F

dr


d
b
Wab  
rb
ra
r
  rb
rb 1
qq0
F  d   F cos d  
dr
2
ra
ra 4
0 r
dr
qq0  1 1 
    U a  U b

4 0  ra rb 
a
U
qq0
4 0 r
1
Elektrik potansiyelin doğal ve uygun ifadesi
Elektrik potansiyel enerji
 İki
nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
•Elektrik potansiyel enerji ifadesi
qq0
U
4 0 r
1
•Elektrik potansiyel enerjinin referans noktası
Potansiyel enerji her zaman U=0 olduğu referans noktasına bağlı olarak
ifade edilir. R sonsuza gittiğinde, U sıfıra gider.Bu yüzden
r=  referans noktasıdır. Bunun anlamı U ,deneme yükünü başlangıç
uzaklığı r den sonsuza hareket ettirmek için yapılan iş olarak tasvir edilir.
0
Şayet q ve q0 aynı işarete sahipse, bu iş POZİTİF ; değilse
İş NEGATİF tir.
U
U
0
qq0>0
qq0<0
Elektrik Potansiyel Enerji
 Birçok
nokta yükle elektrik potansiyel enerji
•Deneme yükü bir çok parçacığın elektrik alanı içine yerleştirilir.
• Konfigürasyondaki parçacıkların elektrik potansiyel enerjileri toplamı
Elektrik potansiyel
Örnek 23.2: Nokta yükler sistemi
q1=-e
q2=+e
q3=+e
-
+
+
x=0
x=a
x=2a
q3  q1 q2   e   e  e   e 2
   
W U 



4 0  r13 r23  4 0  2a a  8 0 a
1  q1q2 q1q3 q2 q3 





4 0 i  j rij
4 0  r12
r13
r23 
1  (e)(e) (e)(e) (e)(e) 
e






4 0  a
2a
a  8 0 a
U
1
qi q j

Elektrik potansiyel enerji
 Elektrik
potansiyel enerjinin iki açıklaması
• Alan içinde hareket eden yüklü parçacık üzerinde elektrik alan bir iş yapar.
Parçacık a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvet tarafından yapılan iş
• Yüklü bir parçacığı yavaş bir şekilde başlangıç konumundan son konuma
hareket ettirmek için elektrik kuvvete zıt bir dış kuvvet tarafından bir iş
yapılması gerekir.
Parçacık b den a ya hareket ederken dış kuvvet tarafından yapılan iş
Elektrik Potansiyel
 Elektrik
potansiyel veya potansiyel
• Elektrik potansiyel V birim yük başına potansiyel enerjidir.
U
V
or U  q0V
q0
1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb
Wab  Ua Ub  q0 (Va Vb )  q0Vab
a ile b arasındaki potansiyel
Birim yük a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvet
tarafından iş yapılır.
Birim yükü b den a ya yavaş bir şekilde hareket ettirmek için
elektrik kuvvete karşı bir iş yapılması gerekir.
Elektrik potansiyel
 Elektrik potansiyel veya potansiyel
•Tek bir nokta yükten dolayı elektrik potansiyel;
U
1 q
V 
q0 4 0 r
• Nokta yükler yığınından dolayı elektrik potansiyel;
U
1
V 
q0 4 0
qi
i r
i
• Sürekli yük dağılımından dolayı elektrik potansiyel;
U
1
dq
V 
q0 4 0  r
Elektrik potansiyel
E
den V ye
•Çoğu zaman bilinen bir elektrik alandan potansiyeli hesaplamak daha kolaydır.
Wab  
 
 
b
F  d    q0 E  d 
b
a
a
Va  Vb  
b
a
 
b
E  d    E cos d
a
 
Va  Vb   E  d 
a
b
Elektrik alan birimi şu şekilde ifade edilir:
1 V/m = 1 volt/meter = 1 N/C = 1 Newton / Coulomb
Elektrik potansiyel
Örnekler 23.6:
 
V f  Vi    E  ds
f
i

V f Vi    E  dr  kq 
R
q
0 Vi  k
R


V 
k
kq
R
1
4 0
R r ile yer değiştirmiştir
V
1
q
4 0 r
E
kq
r2

1
1
dr

kq
r2
rR
Elektrik Potansiyel
Örnekler 23.7:
+
m, q0
a
b
q2
-
=0
q1
1
K  m 2 , U  qV
2
1
2
0  q0Va  m  q0Vb
2
2q0 (Va  Vb )

m
Elektrik Potansiyel
Birim: Elektron volt (atomik ve nükleer fizikte kullanışlı)
• Potansiyeli Va olan noktadan Vb olan noktaya hareket eden q yüklü parçacığı
düşünelim, yükün potansiyel enerjisi:
U a  Ub  q (Va  Vb )  qVab
• Şayet q yükü e yükü ile eşit büyüklüğe sahipse
(1.602 x 10-19 C) ve potansiyel fark Vab= 1 V ise, yükün enerjisi:
U a  U b  (1.6021019 C)(1V)  1.6021019 J
 1 eV
meV, keV, MeV, GeV, TeV,…
Elektrik potansiyelin hesaplanması

Örnek 23.8: Yüklü iletken bir küre
Gauss kanununu kullanarak örnek 22.5 deki elektrik
alanı hesaplarız.Şimdi potansiyeli hesaplamak için
bu sonucu kullanabiliriz ve sonsuzda V=0
alabiliriz.
+
+
R +
+ +
+
+
+
E
E
E0
0
1
q
4 0 R 2
1 q
E
4 0 r 2
r
V
V
R  r :V 
1
q
4 0 R
1
q
V
4 0 r
0
R  r :V 
r
R  r :V 
1
q
4 0 r
Nokta yükün potansiyeline
benzer olarak
1
q
4 0 R
1
q
4 0 R
İletken içinde
E sıfırdır. Bu yüzden
potansiyel sabit kalır ve
yüzeydeki kadardır
Eş potansiyel yüzey
 Eş
potansiyel yüzey
• Bir eş potansiyel yüzey, elektrik potansiyeli her noktada aynı olan 3-d
yüzeydir.
• İki farklı potansiyelde olan nokta yoktur, bunun için farklı potansiyeller için
Eş potansiyel yüzeyler hiçbir zaman kesişmez.
• Bir eş potansiyel yüzey boyunca hareket eden deneme yükü için potansiyel
enerji değişmediğinden,elektrik alan iş yapmaz.
• E her noktada yüzeye diktir.
• Alan çizgileri ve eş potansiyel yüzeyler her zaman karşılıklı olarak diktir.
Eş potansiyel yüzey
 Eş
potansiyel yüzey örnekleri
Eş potansiyel yüzey
 Eş
potansiyeller ve iletkenler
•İletken içinde her yerde E = 0
- İletken içinde herhangi bir noktada E nin yüzeye teğet bileşeni sıfırdır.
- Aynı zamanda E nin teğetsel bileşeni yüzey dışındada sıfırdır.
E
vakum

E
E//
iletken

E 0
Şayet böyle olmasaydı, bir yük dikdörtgen yol etrafında
bir kısmı içerde bir kısmı dışarda olacak şekilde hareket
ederdi üzerine yapılan net bir iş miktarıyla başladığı
noktaya geri dönerdi.
•Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletken dışındaki elektrik alan
her noktada yüzeye dik olmalıdır.
• Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletkenin yüzeyi her zaman eş
potansiyel yüzeydir.
Eş potansiyel yüzey
 Eş
potansiyeller ve iletkenler
•İçerisinde herhangi bir yük olmayan oyuklu iletkeni düşünelim
- İletken oyuk yüzeyi eş potansiyel bir A yüzeyidir.
- Farklı potansiyelde oyuk içinde bir P noktası alalım ve bu B
potansiyelinden farklı potansiyelde olsun
Gauss yüzeyi
- Alan yüzey B den A ya ya da A dan B ye ilerler.
- Oyuk içindeki B yüzeyini çevreleyen bir gauss yüzeyi çizilir.
B
A
P den geçen eş potansiyel yüzey
- Bu gauss yüzeyinden geçen net akı sıfır değildir
çünkü elektrik alan yüzeye diktir.
- Gauss kanunu içerisinde herhangi bir yük olmadığından bu
İletken
akının, sıfır olduğunu söyler.
Oyuk yüzeyi
- Bundan A ve B potansiyelleri aynı potansiyeldedir.
• Elektrostatik konumda, şayet bir iletken bir oyuk içeriyorsa ve oyuk içerisinde
yük mevcut değilse, oyuk yüzeyi üzerinde herhangi bir yerde net yük
olmayabilir.
P
Eş potansiyel yüzey
 Elektrostatik
Ekranlama
Potansiyel gradyent
 Potansiyel
gradyent
• Potansiyel fark ve elektrik alan
b
a
a
b
Va  Vb   dV   dV
•Potansiyel fark ve elektrik alan
Va  Vb  
b
a
b
b
a
a
  dV  
 
E  d
 
E  d

E  E xiˆ  E y ˆj  E z kˆ

d   dxiˆ  dyˆj  dzkˆ
 
 dV  E  d   Ex dx  E y dy  Ez dz
Potansiyel gradyent
 Potansiyel
gradyent(cont’d)
f
f ( x  x)  f ( x)
 lim
...

x

0
x
x
• V den E
V
Ex  
x
V
Ey  
y
V
Ez  
z

 V ˆ V ˆ V
E  
i
j
y
z
 x

ˆ
k 

•Fonksiyon f nin gradyenti

ˆ  ˆ  ˆ  
f   i  j  k  f
y
z 
 x


E  V
Nokta yada eksende E radyalsa
V
Er  
r
Potansiyel gradyent
 Potansiyel
gradyent
Alıştırmalar
Alıştırma 1
Alıştırmalar
 Alıştırma1
Alıştırmalar

Alıştırma 1
Alıştırmalar
Alıştırma 2
Alıştırmalar
Alıştırma 3
Alıştırmalar
Alıştırma 4
Alıştırmalar
Alıştırma 4
Alıştırmalar

Alıştırma 5
Alıştırmalar

Alıştırma 5
Alıştırmalar

Alıştırma 5: Sonsuz bir çizgi yük ve iletken silindir
Q
-Q
Metal şeritin dışı
r
r
Va  Vb  
b
a

  b
l
E  d    Er dr 
a
2 0
r
l
ln b
2 0 ra
Sinyal teli
Çizgi yük yoğunluğu l

b
a
dr
r