Transcript 重積分 - 網路大學

第 23 講
二重積分
銘傳大學網路教學
製作人 應用統計與資訊學系
本講內容
§ 23.1 單變數函數積分之回顧
§ 23.2 二重積分的定義與性質
§ 23.3 Fubini 定理
§ 23.4 變元代換
§ 23.5 各種不同場合之應用
§ 23.1 單變數函數積分之回顧

3
1
1 2
[( ) x  1] dx
2
Ai  f ( xi )  x
n
A  A1  A2    Ai    An   Ai
3
1
i 1
Ai 
f ( xi )
x

3
1
1 2
[( ) x  1] dx
2

3
1
f ( x)dx 
n
lim
max xi  0
 f (x
i 1

i
)  xi
1 2
  [( ) x  1] dx
1
2
3

Ai  f ( xi )  x

f ( xi )
Ai
xi


3
1
1 2
[( ) x  1] dx
2
3
3
x
(
 x)
6
x 1
38

6
§ 23.2 二重積分的定義與性質
R

R  ( x, y) | 0  x  4; 0  y  x

y
Ω
x2  y2  1
x2  y2  2
z
2
z4x  y
2
1
0
2
-1
-2
8
7
6
5
4
-2
-1
0
y
1
2
x
z=f(x,y)=1+x2+y2
重積分的定義與性質
【定義】
設f : R  R，其中R [a, b]x[c, d]，則f在R上的重 積分定義為
 f(x,
y) dA 
lim   f(x
max s 0
R
i
i
, yj ) ΔAij
j
Aij  ΔxiΔy。
j
其中 A1 , A2  為 R 的分割;
y
d
 s  (xi )  (y j )  0
2
2
R
(xk,yk)
yk
△
Ak
△
xk
△
c
a
o
b
y  s  (xi ) 2  (y j ) 2  0
y j
d
R
xi
(xk,yk)
yk
△
Ak
△
xk
△
c
a
o
b
【定義】
設f : R  R，其中R [a, b]x[c, d]，則f在R上的重 積分定義為
 f(x,
y) dA 
lim   f(x
s 0
R
i
i
, yj ) ΔAij
j
其中 A1 , A2  為 R 的分割;
Aij  ΔxiΔy。
j
z
z = f(x,y)
c
z = f(xk,yk)
d
y
a
R
Ak
△
b
x
(xk,yk)
重積分的重要性質 1)
(重積分與面積)
(1)若 R 為平面上的一個區域，則 R 之面積為  dA
R
7
 dA   (
[1, 7 ][ 2, 6 ]
1
6
2
dy) dx
6
R
=(7-1)(6-2)=24
2
1
7
重積分的重要性質1)
若 R 為平面上的一個區域，則 R 之面積為 dA

R  ( x, y) | 0  x  4; 0  y  x
4
 dA   (
0
4
x  0)dx   ( 
0
0
x

R
dy) dx
R
2
2
4
0
y
  (4  y )dx   (  2 dx) dy
0
2
 16 / 3
Repeat integral or iterative integral
R
4
 dA   (
0
4
x  0)dx   ( 
0
0
x
dy) dx
(重積分與面積)
R
2
2
4
0
y
  (4  y )dx   (  2 dx) dy
2
0
 16 / 3

f ( x, y )d A
R
是否有類似的處
理方法?

?
 
?
--------Fubini 定理
及其推廣

2 ( x )
?
1(
1 ( y )
 
?
x)
2
( y)
[ f ( x, y )d y]d x
[ f ( x, y )d x]d y
重積分的重要性質 2)
 f(x,
(重積分與體積)
y) dA 之幾何意義為: 以 R 為底，由曲面
R
z  f(x, y) 所界出之柱體體積。
z
z = f(x,y)
c
z = f(xk,yk)
d
y
a
R
Ak
△
b
x
(xk,yk)
重積分的重要性質 3)
(被積函數之積分線性可加性)
 ( f ( x, y)   g ( x, y)) dA    f ( x, y) dA    g ( x, y) dA
R
其中， 為常數
R
R
重積分的重要性質 4)
(積分區域之線性)
 f ( x, y) dA   f ( x, y) dA   f ( x, y) dA，
R
R1
R2
其中 R  R1  R2 且 R1, R2 不重疊(邊界重疊沒關係)
重積分的重要性質 5)
(積分之單調性)
若在 R 上，f(x,y) g(x,y), 則
 f ( x, y) dA   g ( x, y) dA
R
R
(等號在 f ( x, y )  g ( x, y ) 時成立)
重積分的重要性質 6)
 f ( x, y) dA  
R
R
f ( x, y ) dA
§ 23.3 Fubini 定理
【 Fubini定理】
f 在矩形方塊區域R 的二重積分
 f(x,y)dA 
R
d
c

 b f(x,y)dx dy
 a

b
a
 d f(x,y)dy dx
 c

R  [a, b]  [c, d ]
在一般區域 D 上的二重積分
 f(x,y)dA  F(x,y)dA
D
D
R
其中
f(x,y) if (x,y) D
F(x,y)  
0
o.w.
 2 ( x)

D
 ( x)
1

R  [a, b]  [c, d ]
在一般區域 D 上的二重積分
 f(x,y)dA  F(x,y)dA
D
R

b
a

d
c
F(x,y)dydx 
b
a
2 ( x )

f(x,y)dydx
1 ( x)
 2 ( x)
1 ( x)
D {(x, y) | a  x  b, 1(x)  y  2(x)}
D
F 0
在一般區域 D 上的二重積分
 f(x,y)dA  F(x,y)dA
D
R

d
c

b
a
F(x,y)dxdy 
d
c
 2 ( y)

f(x,y)dxdy
1( y)
D {(x, y) | c  y  d , 1(y)  x   2 (y)}
【定理 23.1】
(1) 設 f 在 Ω 上連續，其中Ω  {(x, y) | a  x  b,Φ1(x)  y  Φ2 (x)}
(Φ 1 ,Φ2均是定義在 a, b  的連續函數，且Φ1 (x)  Φ2 (x))則
 f(x,
Ω
y) dA  
b Φ2 (x)
a

Φ1 (x)
f(x, y)dydx
y
y=Φ2(x)
Ω
y=Φ1(x)
o
a
y
x
b
(2) 若   {(x, y) | c  y  d, 1(y)  x  2 (y)} 則
 f(x,

y) dA  
b
a

2 (y)
1 (y)
f(x, y) dxdy
d
x  1 ( y)
x=Φ1(y)
D
(y) ( y )
xx=Φ

2
2
c
o
x
1
【例1】計算 
dA,
2
1 y
R
其中 R  {( x, y)
R
0  x  1; x  y  1}
Sol:
1
1
 
0


x
1

0
1

0
1
dydx
2
1 y
 1
1

 x 1  y 2 dy  dx


tan
1
y
1
y x
4
  (
 tan
0 π
1
dx
1
x) dx
4
4
1

(
 ln2)
π
π 2
1
 ln2
2
【注意事項】
(1)在此例子中，實 際上我們是在計算
單變函數的定積分，此種積分作法常被
稱為疊積分(repe ated integral)或
累次積分(itera tive integratio
1

0
 1
1

 x 1  y 2 dy  dx


是
n)。
(2)重積分之計算， 若由定義著手(黎曼和的極限)
將非常不方便。實際計算時，都是化重積分為疊
積分，然後用【例1】的方式來求值這裡依據的即
為定理 23.1。
【定義】
 f(x,
R
y) dA 
lim  f(x
s 0
i
j
i
, yj ) ΔA
(3) 以二變函數而言，定理 23.1 的概念是:
若 R 為平面上 " 很好的" 區域，則  f(x, y) dxdy
R
可以化成疊積分來計算，此處所指的 " 很好的
區域" 指的是以下兩種標準區域。
1.Ω  {(x, y) | a  x  b,Φ1(x)  y  Φ2 (x)}
(直式準區域)
y
y=Φ2(x)
Ω
y=Φ1(x)
o
a
y
b
2. D  {(x, y) | c  y  d , 1(y)  x  2 (y)}
(橫式準區域)
d
x  1 ( y)
x=Φ1(y)
D
x  2 ( y)
x=Φ2(y)
c
o
x
【例2】計算下列積分 (x  y) dydx，其中
s
S 是 y 2  4x 與 x  0，x  2 在第一象限所
圍成的區域。
y
y2
x
S
x
o
x2
Sol :
令s  {(x, y) | 0  x  2,0  y  2 x }
則由 定理 23.1 知
 (x
s
 y) dA  
1 2
  (xy  y
0
2
2
2
0

2x
0x
(x  y) dydx
y
2 x
y 0
y2 x
) dx
S
x
o
x2


2
0
(2 x
3
2
 2 x )d x
4 52
2
( x x )
5
4 52
 2 4
5
16

5
24
2
0
【注意事項】
根據定理 23.1, 我們可以疊積分來計算二重積分之值，
惟我們須注意:
(1)計算重積分
 f(x,
y) dxdy時可做下列兩種選擇，即
Ω
d
2 (y)
c
1 (y)

f(x, y)dxdy
與
b
 2 (x)
a
1 (x)

f(x, y)dydx
有時兩種都可以算;有時只有一種算得出來。
【注意事項】
根據定理 23.1, 我們可以疊積分來計算二重積分之值，
惟我們須注意:
(2)計算疊積分
d
2 (y)
c
1 (y)

f(x, y)dxdy 而無法算出時，
常可將其化為重積分  f(x, y) dA，
Ω
再化成另一型的疊積分方便計算
例如
2 2
e
0 y
x2
dxdy
亦即,

d
c

 dy 例如
f(x,
y)dx
 1(y)

2 (y)
2 2
e
0 y
x2
dxdy
亦即,

d
c

 dy 例如
f(x,
y)dx

 1 (y)

2 (y)
  f(x, y) dA

y
x y
S
Ω
x
x2
e
x2
0 y

dxdy
e
x2
dA
{( x , y ) | y  x  2 ; 0  y  2}
or {( x , y ) | 0  x  2 ; 0  y  x}
Ω
o
2 2
亦即,

d
c

dy 例如
f(x,
y)dx

 1 (y)

2 (y)
  f(x, y) dA
Ω
e
x2
0 y
dxdy


e
x2
dA
{( x , y ) | y  x  2 ; 0  y  2}
or {( x , y ) | 0  x  2 ; 0  y  x}
   
f(x, y)dy dx
a  1 (x)

b
2 2
 2 (x)

2 x
e
0 0
x2
dydx
【例3】求
2
0
2
e
y
x2
dxdy
y
x y
S
Ω
o
x
x2
sol : 令Ω  {(x, y) | 0  y  2, y  x  2}
則原積分   e dA    (*)
x2
Ω
其中Ω可以表成Ω {(x, y) | 0  x  2,0  y  x}
則由定理 23.1 知
2

0
x
0
y
x2
e dy dx
x y
 原式

2
0

2
y
S
Ω
x2
e dxdy
o
x
x2
2
  ( ye |
0
2
x2 x
y 0
)dx
  xe dx
x2
0
1 2 x2 2
  e dx
2 0
1 x2 2
 e |0
2
1 4
 (e  1)
2
y
x y
S
Ω
o
x
x2
例 4 試求函數 z = f(x,y)=4-x2-2y2 與 x-y
平面所界出的橢球體積 (如圖)
2
4

x

2
y
dA

體積 
x2  2 y 2 4

2

( 4 x 2 ) / 2
2  ( 4 x 2 ) / 2
2
(4  x  2 y 2 ) dydx
( 4 x 2 ) / 2
  [(4  x ) y  2 y / 3] y  
2
2
2

4
3
2
2
2
3
2
( 4  x 2 ) dx
( 4 x 2 ) / 2
dx
x  2 sin 
2
4

x

2
y
dA

體積 
x 2  2 y 2 4




2
 
2

2
2
( 4 x 2 ) / 2
 ( 4 x 2 ) / 2
( 4  x  2 y 3 ) dydx
( 4 x 2 ) / 2
[(4  x ) y  2 y / 3] y  
4
3 2
4
3 2
2

2
2


3
2
( 4  x 2 ) dx
4
16
cos
 d

2

2
2
( 4 x 2 ) / 2
dx
x  2 sin 
1  cos 2 x 2
 cos xdx   ( 2 ) dx 
4
1 cos 2 x cos2 2 x
 ( 4  2  4 )dx
1 cos 2 x 1 1  cos 4 x


)dx
4
2
4
2

(

3
1
1
dx

2
cos
2
xdx

4 cos 4 xdx



8
4
32

3 x sin 2 x sin 4 x


C
8
4
32

2
0
2
3x sin 2 x sin 4 x
4
cos x dx  ( 

)
8
4
32 x 0
3
(
 0  0)  (0  0  0)
16
3

16
2
4

x

2
y
dA

體積 
x 2  2 y 2 4




2
 
2

2
2
( 4 x 2 ) / 2
 ( 4 x 2 ) / 2
( 4  x  2 y 3 ) dydx
( 4 x 2 ) / 2
[(4  x ) y  2 y / 3] y  
4
3 2
4
3 2
2

2
2


3
2
( 4  x 2 ) dx
4
16
cos
 d

2

2
2
( 4 x 2 ) / 2
dx
x  2 sin 
2
4

x

2
y
dA

體積 
x2 2 y 2 4



2
 
2

2
2
( 4 x 2 ) / 2
 ( 4 x 2 ) / 2
( 4  x  2 y 2 ) dydx
( 4 x 2 ) / 2
[(4  x )  2 y / 3] y  
4
3 2
2

2

4
16
cos
 d

2

2
2
64

( 2)  cos4  d
0
3 2
128 3

 4 2
3 2 16
( 4 x 2 ) / 2
dx
【例5】試計算


0
sin x
dx
x
之值
這裡我們無法直接用過去學過的方法, 求
得此一積分式的值
(註)關於此一積分式的重要性, 請參關 Willian, B. Geartart
and Harris s.Shultz, “The Function (sin x)/x” , The
College Mathematic Journal, 21(2), Mar 1990, p90-99

 
Step 1 先求出
0
0

 
Step 2 證明
0

0
Step 3
 
0

0


0

0



 px
e
sin x dx dp 之值
 px
e
sin x dp dx
sin x
dx
x
 px
e
sin x dp dx

sin x
dx  
0
x


0
 px
e
sin x dx dp
因此, 如果我們能先計算出

 
0

0
 px
e
sin x dx dp
之值, 則問題便可迎刃而解
Sol:

N
0
e


0
0
Step 1 先求出
 
 px
 px
sin x dx  (e
 px
e
sin x dx dp 之值
N
cos x) |  p  e  px cos x dx
N
0
0

N
0
e
0
0
 
 px
 px
sin x dx  (e
 px
cos x) |  p[(e
N
0
 (1  p ) 
2
N
0
N
0

Step 1 先求出
 ( e


 px
e
sin x dx dp 之值
N
cos x) |  p  e  px cos x dx
 px
N
0
0
N
sin x) |  p  e  px sin x dx)]
N
0
0
e  px sin x dx  e  px ( p sin x  cos x) |0N
 px
N
e
(

p
sin
x

cos
x
)
|
0
e  px sin x dx 
1 p2


0
e
 px
N
sin x dx  lim  e  px sin x dx
N  0
e  px ( p sin x  cos x) |0N
 lim
N 
1 p2
1

1 p2


1
dp
2
1 p
0



 
0

0
 
0


0
 px
e
sin x dx dp
 px
e
sin x dp dx




0
sin x
dx
x


 
0


0
 px
e
sin x d x d p
1

dp
2
0
1 p
N
1
 lim 
dp
2
N  0
1 p
d t an1 p
1

dp
1 p2
1
1
 1  p 2 dp  t an p  C


 
0


0
 px
e
sin x d x d p
1

dp
2
0
1 p
N
1
 lim 
dp
2
N  0
1 p


 
0

0
 px
e
sin x d x d p

1

dp
2
0
1 p
N
1
 lim 
dp
2
N  0
1 p
 lim t an1 p |0N
N 
1
 lim t an
N 


0


0
N 

2
 px
e
sin x dx dp 之值
step2









0
0
0
[


0
 px
e
[ lim
N 
sin x d p] d x

N
0
e  px d p] sin x d x
 e  px N
[ lim
| p  0 ] sin x d x
N 
x

2


0



 px

0




0
0
[

e
sin x dx dp

 px
0
e
[ lim
N 
step2
sin x dp] dx

N
0
e  px dp] sin x dx
 e  px N
  [ lim
| p  0 ] sin x dx
0
N 
x

1  e  Nx
  [ lim
] sin x dx
0
N 
x

sin x
 sin x


dx
dx 
0
Step 3 
x
0


x
2
利用上面的結果, 我們可以進一步
求下列的積分值


0
2
sin t
dt
2
t
xt p
Sol: 令

2


0

2
0

2

sin x
sin tp
dx  
dt
0
x
t
dp
 2 sin tp
sin tp
 
dtdp   
dpdt
0
0
0
0
t
t
1
1
  (  costp) |2p 0 dt
0 t
t

1
   2 (cos2t  1) dt
0
t
2

則由於
cos(   )  cos cos   sin  sin 
cos t  sin t  1
2
2
cos 2t  1  cos t  sin t  1
2
2
 2 sin t
2

2
2
 0
0


2
2
dp
dp
 2 sin tp
sin tp
 
dtdp   
dpdt
0
0
0
0
t
t
1
1
  ( costp) |2p 0 dt
0 t
t
2
sin 2t

1
sin t
dt
   2 (cos2t  1) dt  2 
dt
2
2
0
0
0
t
tt
2




0
sin 2 t
1 2

dt   dp 
2
t
2 0 2
2
23.4 變元代換
變元代換
(一)變元代換的一般 原理
此處以二重積分之變元代換做說明
但可類似地堆廣至三重積分或多重積分。
【定理】
設T:

x  x(u, v)
y  y(u, v)
是自 u - v 平面至 x - y 平面的一個變換(tr ansformati
且變換滿足下列條件:
yv
v
S
o
T:
u

x  x(u,v)
y  y(u,v)
Ω
o
ux
on)，
(1)x, y均有連續的一階偏導數。
(2)變換 T 把 uv 平面上的區域 S "1  1且 onto" 地映射到 xy 平面
上的區域Ω。
x
(3)變換的Jaco bian，J(u, v)  u
y
u
x
v , 在S上為恆正(或恆負)。
y
v
則 f(x, y) dxdy
Ω
  f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) dudv    (*)
S
(二)二重積分中之特 別代換

x rcosθ
y rsinθ
r
(1)極座標代換
對極座標代換

x  rcosθ
y  rsinθ


而言，
-rsinθ cosθ
Ja cobia n，J
(u,v)
 r ; |J | r
rcosθ sinθ
故
 f(x,
Ω
y) dxdy   f(rcosθ,
S
rsinθ)
r dr dθ
(2)線型代換

au  bv
對線型代換 xy cu
 dv 而言，
J(u, v)  ad  bc(ad  bc  0)故
 f(x,
Ω
y) dxdy  ad  bc
 f(au
S
 bv, cu  dv) dudv
【例6】已知積分區域Ω  {(x, y) | x  0; y  0; x 2  y 2 [1,4]}
1
計算I   2
dxdy
2
x y
Ω
y
Ω
x2  y2  1
x2  y2  2
 f(x,
sol :

令
x  rcosθ
y  rsinθ
則
Ω
y) dxdy   f(rcosθ,
rsinθ) r drdθ
S
1
1
I   2 rdrdθ   drdθ    (*)
r
r
S
S
π
其中S  {(r, θ) | 1  r  2，0 θ }
2
y
Ω
x2  y2  1
x2  y2  2
π
2
2
0 1
(*)  

1
dr dθ
r
π
2
0
  (ln r | 2r 1) dθ
 ln2
π
2
0

π
 ln2
2
dθ
y
Ω
x2  y2  1
x2  y2  2
(例 7) 試求右圖之
極座標方程式 ,
r=3 cos 3 θ ,
所圍成的面積
x  r cos ;
y  r sin 


   ;
6
6
0  r  3 cos3
x  r cos ;
y  r sin 


   ;
6
6
0  r  3 cos3
斜線區域面積

  6 

6
3cos 3
0
r dr d

3 cos 3
6
 0

6
 

6


6
r dr d  
2 3 cos 3
r
2
dr d
r 0

9 6
9
   cos2 3   6 (1  cos 6 ) d
2 6
4 6

6
9
1
3
 (  cos6 ) 

4
6
4

6
全部面積

 3  
6

6
3
 3
4
9

4

3 cos 3
0
r dr d
【例 8】求
2
1

0
2x  x 2
(x 2  y 2 )

1
2
dxdy
sol :

1
2
原積分   (x 2  y 2 ) dxdy    (*)
Ω
其中Ω {(x, y) | 1  x  2,0  y 
2x  x 2 }
y
y=1
y=2
Ω
x
( x  1) 2  y 2  1
rcosθ
令xy rsinθ
則
(*)   drdθ    (**)
S
其中 S  {(r, θ) |secθ  r  2cosθ，0 θ
則
(**) 

π
2cosθ
4
0
secθ
 
drdθ
π
4
0

(2cosΘ  secΘ) dΘ
 (2sinΘ  ln secΘ  tanΘ )

2  ln
2 1
π
4
0
π
}
4
【例9】在xyz座標系中描出曲面S: z  4 - x 2 - y 2
算出曲面 S 與平面 z  0 所圍空間之區域體積。
sol :
曲面S之略圖如下。
則曲面 S 與平面 z  0 所圍成之體積為
2
2
(4
x
y
) dA   (*)

z
2
z  4  x2  y 2
1
0
Ω
-1
-2
8
7
6
5
4
-2
-1
0
y
1
2
x
其中Ω {(x, y) | x 2  y 2  22}

x  rcosθ
y  rsinθ
令
(*) 
則
2
(4

r
) rdrdθ    (**)

S
其中S  {(r, θ) | 0  r  2,0 θ 2π}
則
z
(**)  
2π 2

0
0
(4  r 2 ) rdrdθ
2
z  4  x2  y 2
1
0

2π 2
0
 (4r
0
2π
  (2r
2
0

2π
0
4dθ
 r ) drdθ
3

-2
8
7
4
r
4
-1
r
r 0
) dθ
6
5
4
-2
-1
0
y
1
 8π
2
x
【例10】求積分 e
y- x
yx
dA，
D
其中D其中x軸，y軸與直線x  y  2
所圍成的區域。
y
sol :
曲面D之略圖如下
(0,2)
x+y=2
D
o
D可以表為D {(x, y) | 0  x  2,0  y  2 - x}
 f(x,
Ω
y) dxdy  ad  bc
 f(au
S
 bv, cu  dv) dudv
(2,0)
x
1
1
x u v

1
u y  x
2
2
令 v  y  x 則 1 1 且J(u, v) 
2
 y  2 u  2 v

v
1 u
則原積分   e dudv    (*)
2
S
其中S  {(u, v) | 0  u  2，- u  r  u}
S之略圖如下。
v
o
 f(x,
Ω
y) dxdy  ad  bc
 f(au
S
u=2
u=v
S
u
 bv, cu  dv) dudv
u=-v
則由定理23.1 知道
v
1 2 u u
1 2
(*)    e dvdu   (ue
2 0 u
2 0
v
u u
v  u
) du
2
1 2
1
1
1
  (eu  e u) du  (e  e )  udu
0
2 0
2
1
1 22
1
 (e  e )( u 0 )  e  e 1
2
2
§ 23.5 各種不同場合之應用
【例11】(統計學上的應用)
如果隨機變數 X 服從常態分佈且期
望值=E(X)=μ; 異數數=Var(X)=σ2, 則
X的機率度可以寫表示為
(x  )2
f ( x) 
exp[
],    x  
2
2
2 
1
 1   2 , 1  2
 1   2 , 1  2
 1   2 , 1  2
如欲直接證明此一機率的總和為 1,
亦即



f ( x)dx  
並不容易


(x  )
exp[
]dx  1
2
2
2 
1
2
但如果透過雙重積分及變數變換, 證明
  0;
  1

x
exp[ ]dx

 1
2
2




1
x2
1
y2
 
exp( )dx  
exp( )dy  1


2
2
2
2
2
則問題可以迎刃而解
2
(Proof)
 


2

1
x
 2 exp[ 2 ]dx


1
x2
1
y2
 
exp( )dx  
exp( )dy


2
2
2
2
 
1
x2  y2
 
exp(
) dx dy
    2
2

2

x  rcosθ
令 y  r sinθ 則
-rsinθ cosθ
Ja cobia n，J
(u,v )
 r
rcosθ sinθ
J(u,v )  r
原式 
1
x2  y2
 
exp( 
) dx dy
    2π
2
2π
 1
r 2 cos2 θ  r 2 sin 2 θ
 
exp( 
) r dr dθ
0
0 2π
2
1 2π 
r2

exp(  ) r dr dθ


2π 0 0
2
1 2π 
r2 

 exp(  ) r 0 dθ


2π 0 0
2


續上頁
原式
1
x2  y2

exp(
) dx dy
  2
2




1

2
1

2
1

2

2
0
0
2
r 
 exp( ) r 0 d
2
1 d
 





1
x
exp[ ]dx
2
2 

2


2
1
x2
exp( )dx 
2
2



1
y2
exp(
)dy
2
2
1




1
x2
exp(
)dx  1
2
2




1
x2
exp(
)dx  1
2
2
利用這個結果,我們令
Y  X  
Y ~ N (,  2 )
則
且

1 





1
x2
exp(
)dx
2
2
1
( y   )2
exp[
]dy
2
2
2 
表面積的計算原理

v  0 i  y j  y f y ( xi , yi ) k

u  x i  0 j  x f x ( xi , yi ) k

v  0 i  y j  y f y ( xi , yi ) k
面積ΔS i  u  v  sinθ u v
i
j
k
 Δx
0
fx (xi , yi )
0
Δy
fy (xi , yi )


u  x i  0 j  x f x ( xi , yi ) k
 (fx (xi , yi )i  fy (xi , yi )j k)ΔxΔy
 (fx (xi , yi )i  fy (xi , yi )j k)Aij
 [fx (xi , yi )]2  [fy (xi , yi )]2  1) Aij
S i
表面積   dA
R
  1 [fx(xi , yi )]2  [fy (xi , yi )]2 dA
R
R
例 12 : 試求函數 f ( x, y )  1  x 2  y 在 x  y 平面上
之 (1,0,0), (0,1,0), (0,1,0) 三點所圍成的三角形區域
上方的表面積
sol :
由於 f x ( x, y )  2 x ; f y ( x, y )  1
y=1-x
因此,
表面積  
R
1  4 x  1 dA
2
y=x-1

1 1 x
1  4 x  1 dA  
2

0 x 1
2  4 x 2 dy dx
R
1
  ( y 2  4x )
2
0
1 x
x 1
1
dy dx  
2  4 x 2  2 x 2  4 x 2 dx
0
(2  4 x 2) 1
 [ x 2  4 x  ln(2 x  2  4 x ) 
]0
6
2
2
2
 6  ln(2  6 )  6  ln 2 
3
 1.618
例13 試求半圓球體 z=f(x,y)=1+x2+y2
在單位圓上所形成之球面表面積
Sol :
f x ( x , y )  2 x ; f y ( x , y )  2 y;
表面積 

1  [ f x ( x, y )]2  [ f y ( x, y )]2 dA

1  [2 x]2  [2 y ]2 dA
{( x , y )| x 2  y 2 1}

{( x , y )| x 2  y 2 1}

 x  r cos ;
令

 y  r sin 
0  r 1
0    2

1  [ f x ( x, y )]2  [ f y ( x, y )]2 dA

1  [ 2 x]2  [ 2 y ]2 dA
表面積 
{( x , y )| x 2  y 2 1}

{( x , y )| x 2  y 2 1}

2
1
 
0
0
1  4r 2 cos2   4r 2 sin 2  rdr d

1  [ f x ( x, y )]2  [ f y ( x, y )]2 dA

1  [ 2 x ]2  [ 2 y ]2 dA
表面積 
{( x , y )| x 2  y 2 1}

{( x , y )| x 2  y 2 1}




2
1
 
0

2

2
0
0
0
1  4r 2 cos2   4r 2 sin 2  rdr d
1
(1  4r 2 )
12
3 0
2
r 1
5 5 1
d
12
 (5 5  1)
6
 5.33
d
本講內容
§ 23.1 單變數函數積分之回顧
§ 23.2 二重積分的定義與性質
§ 23.3 Fubini 定理
§ 23.4 變元代換
§ 23.5 各種不同場合之應用