Transcript 三維空間中的直線與曲線(略)

三維空間概論與多元函數及
多元函數之極限與連續
MCU-應用統計資訊系
18講
1
子題一 : 三維空間概論
子題二 : 多元函數
子題三 : 多元函數之極限與連續
MCU-應用統計資訊系
18講
2
子題一 : 三維空間概論
MCU-應用統計資訊系
18講
3
子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標
2. 三維空間中的向量
3. 外積 (略)
4. 三維空間中的直線與曲線 (略)
5. 速度, 加速度及曲率 (略)
6. 三維空間中的曲面 (略)
7. 柱面與球面坐標 (略)
MCU-應用統計資訊系
18講
4
子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標
2. 三維空間中的向量
MCU-應用統計資訊系
18講
5
三維空間中的笛卡耳坐標 (1)
我們學習微積分，此時將面臨一個轉變。
直到現在我們已經廣泛且簡易地討論過所
謂的歐氏平面或二度空間。微積分的觀念
以引用在單一變數的函數，而其圖形可被
畫在平面上。
MCU-應用統計資訊系
18講
6
三維空間中的笛卡耳坐標 (2)
問題呈現在面前，我們想要針對三維空
間來探討，甚至 n 維空間。我們將討論多
變數微積分 (multiple variable calculus)，
它用在含有兩個以上變數的函數。所有熟
悉的觀念 (如極限、導函數、積分) 將以較
高層次的觀點再探討。
MCU-應用統計資訊系
18講
7
三維空間中的笛卡耳坐標 (3)
首先，考慮三點互相垂直的坐標軸 (x-,
y-及z-軸)，而且其零點定在一共同點O ，
稱為原點 (Origin)。雖然這些直線可任意
定向，我們仍遵照一個標準的規定，可將
y-及z-軸視做形成一張紙的平面，其正方
向分別代表向右及向上， x-軸垂直於此紙
張， 且假設正端點指向我們， 因此形成
一右手系 (right-handed system)。
MCU-應用統計資訊系
18講
8
三維空間中的笛卡耳坐標 (4)
我們稱它為右手乃是因為右手指由正
x-軸向著正 y-軸彎曲時，拇指指向正 z-軸
的方向 (圖1)。
圖1
MCU-應用統計資訊系
18講
9
三維空間中的笛卡耳坐標 (5)
三個軸決定三個平面，即yz-，xz-及xy平面，它們將空間分成 8 個卦限 (octants)
(圖2)。
圖2
MCU-應用統計資訊系
18講
10
三維空間中的笛卡耳坐標 (6)
對空間中每一點，有一有序三元組 (x,
y, z) 與其對應，它的笛卡耳坐標以其三個
平面的有向距離表示如下 (圖3):
圖3
MCU-應用統計資訊系
18講
11
三維空間中的笛卡耳坐標 (7)
在第一卦限內標出各點 (此卦限的三個
坐標全為正) 是相當簡單。在圖4及圖5兩
個圖形中，我們說明標出在不同卦限的兩
點是較困難的，點 P (2, -3, 4) 及 Q (-3, 2, 5) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
12
三維空間中的笛卡耳坐標 (8)
圖4
MCU-應用統計資訊系
圖5
18講
13
三維空間中的笛卡耳坐標 (9)
- 距離公式 考慮三度空間中兩個點 P1 (x1, y1, z1)
及 P2 (x2, y2, z2) (x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 , z1 ≠z2) ，
它們可決定其一矩形體 (如平行六面體) ，
其中 P1 及 P2 為對角頂點，其邊平行於
坐標軸 (如圖6) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
14
三維空間中的笛卡耳坐標 (10)
圖6
MCU-應用統計資訊系
18講
15
三維空間中的笛卡耳坐標 (11)
上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ為直角三
角形 ，根據畢氏定理，
| P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2
且
| P1 Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2
因此，
| P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2
= (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2
MCU-應用統計資訊系
18講
16
三維空間中的笛卡耳坐標 (10)
圖6
MCU-應用統計資訊系
18講
17
三維空間中的笛卡耳坐標 (11)
上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ為直角三
角形 ，根據畢氏定理，
| P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2
且
| P1 Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2
因此，
| P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2
= (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2
MCU-應用統計資訊系
18講
18
三維空間中的笛卡耳坐標 (12)
例1. 求點 P (2, -3, 4) 及Q (-3, 2, -5) 之間的
距離。
解答
PQ 
 3  2 
2
 2  3   5  4 
2
2
 131  11.45
MCU-應用統計資訊系
18講
19
三維空間中的笛卡耳坐標 (13)
- 球 (spheres) 及其方程式 根據距離公式我們很容易地得到球的
方程式。一球亦指一固定點 (球心) 等距離
(半徑) 之所有點所成集合。事實上，若 (x,
y, z )，為一半徑為 r，球心在 (h, k, l) 之球
上，則 (請參見圖7)
MCU-應用統計資訊系
18講
20
三維空間中的笛卡耳坐標 (14)
x  h   y  k   z  l 
2
2
2
r
2
圖7
MCU-應用統計資訊系
18講
21
三維空間中的笛卡耳坐標 (15)
此稱為一球的標準方程式。
以展開式表示此方程式，以上公式可
寫成 x 2  y 2  z 2  Gx  Hy  Iz  J  0
相反地，任何具有此形式的方程式之圖形
為一球，一點 (退化球) 或空集合。
MCU-應用統計資訊系
18講
22
三維空間中的笛卡耳坐標 (16)
例2. 求方程式x2+y2+z2-10x-8y-12z+68 = 0
之球的球心及半徑，並畫出圖形。
解答
先利用配方
x2  10x     y 2  8 y    z2  12z    68
MCU-應用統計資訊系
18講
23
三維空間中的笛卡耳坐標 (17)
例2. (續)
解答
x 2  10x  25   y 2  8 y  16  z 2  12z  36
 68  25  16  36
x  5   y  4  z  6
2
MCU-應用統計資訊系
2
2
18講
9
24
三維空間中的笛卡耳坐標 (18)
例2. (續)
解答
因此，方程式表示球心在 (5, 4, 6) 及半徑
為3的一球，其圖形如圖8所示。
MCU-應用統計資訊系
18講
25
三維空間中的笛卡耳坐標 (19)
例2. (續)
解答
圖8
x
MCU-應用統計資訊系
18講
26
三維空間中的笛卡耳坐標 (20)
在例二中經配方，方程式可化為
x  5   y  4  z  6
2
2
2
0
則圖形表一點 (5, 4, 6); 若右邊為負的，
則圖形將為空集合。
MCU-應用統計資訊系
18講
27
三維空間中的笛卡耳坐標 (21)
另外有一個簡單的公式，依據距離公
式可得中點公式 (Midpoint Formula) 。若
P1(x1, y1, z1) 及P2(x2, y2, z2)表一線段， 則
中點M (m1, m2, m3) 的坐標為
x1  x2
y1  y2
z1  z2
m1 
, m2 
, m3 
2
2
2
MCU-應用統計資訊系
18講
28
三維空間中的笛卡耳坐標 (22)
例3. 求一球的方程式使其直徑二端點為
(-1, 2, 3) 及 (5, -2, 7) (圖9)。
解答
此球的中心在線段的中點上，
亦即在 (2, 0, 5); 半徑 r 滿足
圖9
r  5  2   2  0  7  5  17
2
2
2
2
此球的方程式為 x  2  y  z  5  17
2
MCU-應用統計資訊系
18講
2
2
29
三維空間中的笛卡耳坐標 (23)
- 三度空間中的圖形 由於此距離公式的關係當然先考慮一
二次方程式。但是假設一含x, y, 及 z 之線
性方程式 – 即具有下列形式
Ax  By  Cz  D,
A  B C  0
2
2
2
應該是比較容易分析。
MCU-應用統計資訊系
18講
30
三維空間中的笛卡耳坐標 (24)
一般情形， 一平面將相交三軸。首先我們
可求出其交點; 即x-, y-及z-截距。這三點
決定一個平面。在畫出其描跡，它們表示
此平面與坐標平面相交的直線。用一點技
巧，我們可在平面上描繪出陰影部份。
MCU-應用統計資訊系
18講
31
三維空間中的笛卡耳坐標 (25)
例4. 試繪出3x + 4y + 2z = 12的圖形。
解答
欲求 x 截距，令 y 及 z 等於 0 ，解出x，得
x = 4 ，對應的點為 (4, 0, 0) 。同理，求出
y-及z-截距為 (0, 3, 0) 和 (0, 0, 6) 。其次，
連結這些點呈線段而得出它們的描跡，同
時平面的陰影部份 (第一卦限) 如圖10所示
即為所求。
MCU-應用統計資訊系
18講
32
三維空間中的笛卡耳坐標 (26)
例4. (續)
(平面)
描跡
圖10
MCU-應用統計資訊系
18講
33
三維空間中的笛卡耳坐標 (25)
例5. 試描出三度空間中2x + 3y = 6的圖形。
解答
x-及y- 截距分別為 (3, 0, 0) 及 (0, 2, 0) ，且
這些點可決定平面的描跡。此平面恆不與
z-軸相交 (x及y不同時為0) ，所以平面平行
與z-軸， 如圖11所示。
MCU-應用統計資訊系
18講
34
三維空間中的笛卡耳坐標 (26)
例5. (續)
解答
圖11
MCU-應用統計資訊系
18講
35
三維空間中的笛卡耳坐標 (27)
注意以上各例中，在三度空間中，
方程式的圖形為一曲面 (surface) ，對照
在二度空間的情形，一方程式的圖形通
常為一曲線 (curve) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
36
子題一:三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標
2. 三維空間中的向量
MCU-應用統計資訊系
18講
37
三維空間中的向量 (1)
三度空間中的向量 (vector) 具有3個
分量，即
u  u1, u2 , u3  u1i  u2 j  u3k
此處i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0> 且 k = <0, 0,
1> 為標準單位向量，稱它們為基底向量，
三個皆指三正坐標的方向 (圖12) 。u的長
度，計作|u| ，由距離公式可得
MCU-應用統計資訊系
18講
38
三維空間中的向量 (2)
三度空間中的向量 (vector) 具有3個
分量，即
u  u u u
2
1
2
2
2
3
圖12
MCU-應用統計資訊系
18講
39
三維空間中的向量 (3)
如同空間上的向量可以做相加，純
量積及相減及一些代數性質。
u  u1, u2 , u3  及 v  v1, v2 , v3 
的內積 (dot product)定義為
u * v  u1v1  u2v2  u3v3
它一具有前面所提的幾何意義，即
u * v  u v cos
MCU-應用統計資訊系
18講
40
三維空間中的向量 (4)
此處θ為u及v的夾角。因為，我們仍然可
得知兩向量互相垂直， 若且唯若它們的
內積為0。
MCU-應用統計資訊系
18講
41
三維空間中的向量 (5)
例1. 若A = (1, -2, 3), B = (2, 4, -6) 及 C =
(5, -3, 2) (圖13) ， 求角ABC。
圖13
MCU-應用統計資訊系
18講
42
三維空間中的向量 (5)
例1. (續)
解答
首先決定向量u及v (以原點為始點) 以同


等於 BA 及 BC。這只要將終點坐標減去
始點坐標即可，意指
u  1  2,2  4,3  6  1,6,9 
v  5  2,3  4,2  6  3,7,8 
MCU-應用統計資訊系
18講
43
三維空間中的向量 (6)
例1. (續)
解答
因此

uv
 13   6 7  98
cos 

 0.9251
uv
1  36  81 9  49  64
o
大約22.31
  0.3894
MCU-應用統計資訊系
18講
44
三維空間中的向量 (3)
如同空間上的向量可以做相加，純
量積及相減及一些代數性質。
u  u1, u2 , u3  及 v  v1, v2 , v3 
的內積 (dot product)定義為
u * v  u1v1  u2v2  u3v3
它一具有前面所提的幾何意義，即
u * v  u v cos
MCU-應用統計資訊系
18講
45
三維空間中的向量 (7)
例2.已知一向量m平行於v = <2, -1, -2> 及
一向量n垂直於v ，證明u = <2, 4, 5> 為m
及v的和 (圖14)。
圖14
MCU-應用統計資訊系
18講
46
三維空間中的向量 (8)
例2. (續)
解答
首先求prvu，即為u對v的投影。
m


uv
v
2
v
 2,4,5  2,1,2 
 2,1,2 
2
 2,1,2 
2 2   4  1  5 2   2,1,2 
4 1 4
 20 10 20
,
,
9
9
9
MCU-應用統計資訊系
18講
47
三維空間中的向量 (9)
例2. (續)
解答
即
38 26 25
n um 
,
,
9 9 9
若計算m及n的內積為0 ，則吾人確知
它們為戶相垂直。
MCU-應用統計資訊系
18講
48
三維空間中的向量 (10)
-方向角及餘弦-
一非零向量a與基底向量i, j, k的
(最小非負) 夾角為a的方向角;它們分別
設為α, β及γ(圖15) 。 一般為了方便起
見，我們表為方向餘弦cos α , cos β及
cosγ。若a = a1i + a2j + a3k ，則
ai
a1
cos 

a i
a
MCU-應用統計資訊系
18講
49
三維空間中的向量 (11)
圖15
MCU-應用統計資訊系
18講
50
三維空間中的向量 (12)
同理，
a2
a3
cos  
, cos 
a
a
注意，
cos2   cos2   cos2   1
事實上，<cosα, cosβ, cosγ>為與原向量a
具有同方向的一單位向量。
MCU-應用統計資訊系
18講
51
三維空間中的向量 (13)
例3.求a = 4i – 5j + 3k 的方向角。
解答
因
4   5  32  5 2 ,
a 
2
2
2 2
 2
3 2
cos 

, cos  
, cos 
5
2
10
5 2
4
MCU-應用統計資訊系
18講
52
三維空間中的向量 (14)
例3. (續)
解答
且
  55.55 ,   135 ,   64.90

MCU-應用統計資訊系

18講

53
三維空間中的向量 (13)
例4.求長為5單位的一向量，使其α = 32o
及β = 100o為兩個方向角。
解答
首先知第三個方向角γ必須滿足
cos2   1  cos2 32  cos2 1002  0.25066
因此
cos  0.50066
MCU-應用統計資訊系
18講
54
三維空間中的向量 (14)
例4. (續)
解答
兩向量必須符合已知的條件，它們為
5 cos, cos , cos  5 0.84805,  0.17365, 0.50066
 4.2403,  0.8683, 2.5033
及
 4.2403,  0.8683,  2.5033
MCU-應用統計資訊系
18講
55
三維空間中的向量 (15)
- 平面 (planes) -
說明一平面的最主要方法就是要利
用向量的用詞。設 n = <A, B, C> 為一固
定非零向量且 P1 (x1, y1, z1) 為一固定點。

滿足 P1P* n  0 之所有P點所成集合，即表
通過P1且垂直於 n 的一平面。因為每一
平面包含一點且垂直於某向量，一平面
可能以下列方式來描述。
MCU-應用統計資訊系
18講
56
三維空間中的向量 (16)
欲求得平面的直角坐標方程式， 以

分量形式表示向量 P1 P ，即

P1P  x  x1, y  y1, z  z1

則， P1P* n  0 相當於
Ax  x1   B y  y1   C z  z1   0
MCU-應用統計資訊系
18講
57
三維空間中的向量 (16)
以上方程式 (A, B, C中至少有一異於0) 稱
為一平面方程式的標準式。如果我們將括
號消去並化簡，則上述方程式具有一般線
性方程式
Ax  By  Cz  D, A2  B2  C 2  0
MCU-應用統計資訊系
18講
58
三維空間中的向量 (17)
因此， 每一平面有一線性方程式。反之，
在三度空間中一線性方程式的圖形恆為一
平面。欲了解後者之意，令 (x1, y1, z1) 滿
足方程式，即
Ax1  By1  Cz1  D
MCU-應用統計資訊系
18講
59
三維空間中的向量 (18)
當我們將較上面的方程式減去此方程式，
可得前面框號的方程式，它正是表示一平
面。
MCU-應用統計資訊系
18講
60
三維空間中的向量 (19)
例5. 求一平面方程式使其通過 (5, 1, -2)
且垂直 n = <2, 4, 3> ，然後再求此平面
與平面3x - 4y - 7z = 5之夾角。
解答
首先，我們用平面方程式的標準式，可得
2( x  5)  4( y  1)  3( z  2)  0 或
MCU-應用統計資訊系
18講
2 x  4 y  3z  8
61
三維空間中的向量 (20)
例5. (續)
解答
一向量m垂直於第二個平面為m = <3, -4,
7>，這兩平面的夾角即它們的法向量之夾
角 (圖16) 。因此，

m*n
32    44  73
cos 

 0.2375
mn
9  16  49 4  16  9
  76 .26 
MCU-應用統計資訊系
18講
62
三維空間中的向量 (21)
例5. (續)
解答
圖16
MCU-應用統計資訊系
18講
63
三維空間中的向量 (22)
例5. (續)
解答
事實上，這兩平面有兩個夾角，然而它們
是互補的 (supplementary) 。我們亦可得
到另一夾角，即以180o減去第一個值，即
103.74o 。
MCU-應用統計資訊系
18講
64
三維空間中的向量 (23)
例6. 證明:點 (x0, y0, z0) 至平面Ax + By +
Cz = D 的距離 L 為公式
L
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
解答
令 (x1, y1, z1) 為平面上的一點，且 m =
<x0 – x1, y0 – y1, z0 – z1> 為從(x1, y1, z1) 到
(x0, y0, z0) 的向量，如圖17所示。
MCU-應用統計資訊系
18講
65
三維空間中的向量 (24)
例6. (續)
解答
圖17
MCU-應用統計資訊系
18講
66
三維空間中的向量 (25)
例6. (續)
解答
此時，n = <A, B, C>為垂直於給定平面的
一向量，它亦可能在圖形中指向相反方向
設我們所求的 L 為 m 對 n 的投影， 因此，
m*n
Ax0  x1   B y0  y1   C z0  z1 
L  m cos 

n
A2  B2  C 2
MCU-應用統計資訊系
18講
67
三維空間中的向量 (26)
例6. (續)
解答

Ax0  By0  Cz0   Ax1  By1  Cz1 
A2  B 2  C 2
但 (x1, y1, z1) 在此平面上，所以
Ax1  By1  Cz1  D
將以上結果代入 L 的式中，則得證
MCU-應用統計資訊系
18講
68
子題二 : 多元函數
MCU-應用統計資訊系
18講
69
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
70
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
71
概論 (1)
許多數量所依賴的變數往往超過一個;
食物成長的數量與雨量和肥料使用量有關
化學反應的速率依賴其進行環境的溫度及
壓力而定; 買肉的數量依賴肉的價格和購
買者的收入而定; 火山爆發的輻射塵量與
距火山的距離和爆發後已過的時間有關。
MCU-應用統計資訊系
18講
72
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
73
了解雙變數函數 (1)
為了避免飛機有太多空位，航空公司以
原價出售某些機票，而以折扣價出售另一
些機票。對某條特定的航線而言， 航空公
司在一段時間的收入 R 是由以原價賣出的
機票數 x 和以折和價賣出的機票數 y 所決
定的。我們說 R 是 x 和 y 的函數，並寫成。
R  f x, y 
MCU-應用統計資訊系
18講
74
了解雙變數函數 (2)
這和單變數函數的記號相似。變數 R
是相依 (因) 變數，而 x 和 y 是獨立(自)變
數。字母 f 是表示函數 (function) 或給定x,
y，對應的 R 值給定的規則。所有可能的輸
入值 (x, y)，稱為f 的定義域 (domain)。
一個雙變數函數，可以數值地以函數
值列表表示，代數地以數學式表示，或在
圖形上以等高線圖表示。
MCU-應用統計資訊系
18講
75
了解雙變數函數 (3)
- 數值地給定函數值 航空公司在某航線的收入 R 為原價售
出的機票數與折價售出的機票數的函數，
列表於表1。
MCU-應用統計資訊系
18講
76
了解雙變數函數 (4)
折
價
售
出
的
機
票
數
,
y
100
200
300
400
200
75,000
110,000
145,000
180,000
400
115,000
150,000
185,000
220,000
600
155,000
190,000
225,000
260,000
800
195,000
230,000
265,000
300,000
1000
235,000
270,000
305,000
340,000
原價售出的機票數, x
MCU-應用統計資訊系
18講
77
了解雙變數函數 (5)
表1中，x 的值在上面，y的值在左邊，
相對應的f (x, y) 值在表中，例如，要求f
(300, 600) 的值，我們看x = 300 的那一行，
y = 600 的那一列，就可以找到225,000這
個數。因此，
f (300, 600) = 225,000
這表示由原價機票 300 張和折價機票 600 張
的收入為 $225,000
MCU-應用統計資訊系
18講
78
了解雙變數函數 (6)
表1所給的值可以用數學式來表示。
看每一列，我們看出每多售出 100 張原價
機票，收入增加 $35,000 ，所以每張機票
原價一定是$350 ，同樣地看每一行，每多
售出 200 張折價機票，收入增加$40,000 ，
所以每張折價機票必為$200，因此收入函
數可用數學式表示:
R = 350x + 200y
MCU-應用統計資訊系
18講
79
了解雙變數函數 (7)
例1. 給函數 M = f (B, t)一個公式， M為
在原來存款 B 元 t 年後銀行帳戶的金額，
若年利率 5% ，複利採 (a) 一年利，(b)連
續制。
MCU-應用統計資訊系
18講
80
了解雙變數函數 (8)
例1. (續)
解答
(a) 年複利表示 M 每年以因子 1.05 在增
加，所以 M  f B, t   B(1.05)t
(b) 連續複利表示 M依照函數ekt 在成長 k
= 0.05，所以 M  f B, t   Be0.05t
MCU-應用統計資訊系
18講
81
了解雙變數函數 (9)
-調查變數函數的策略: 一次變動一個變數我們可以借由一次變化一個變數，且
將其它變數固定不變來對多元函數有更多
的了解， 如此， 就可得到一個變數的函
數。稱為原函數的截面 (cross-section) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
82
了解雙變數函數 (10)
(1) 藥物在血液中的濃度
當藥物注入肌肉纖維後，就開始散入
血管中，在血中藥的濃度增加至一最高值，
然後就開始減少，血液中藥的濃度C (每
100 毫升的毫克數) 是兩個變數的函數: 注
入的藥量 x (單位毫克) 和注入後的時間 t
(單位小時) ，若我們知道
C  f x, t   tet 5 x  , 對0  x  5及t  0
MCU-應用統計資訊系
18講
83
了解雙變數函數 (11)
例2. 以血液中藥物濃度解釋截面的意義。
(a) f (4, t)
(b) f (x, 1)
解答
(a) 將 x 固定為 4 單位，意思是我們考慮
注入肌肉的藥量是4毫克，讓 t 變化意思是
我們考慮時間過去此藥劑的影響，因此函
數f (4, t) 是以時間為函數敘述注入 4 毫克
MCU-應用統計資訊系
18講
84
了解雙變數函數 (12)
例2. (續)
解答
後血液中藥濃度的變化，圖18為f (4, t) =
te-t的圖形，注意到此劑在注入後1小時在
藥的濃度最大，在這之後，血液中濃度就
開始下降且逐漸趨近 0 。
MCU-應用統計資訊系
18講
85
了解雙變數函數 (13)
例2. (續)
解答
18
MCU-應用統計資訊系
18講
86
了解雙變數函數 (14)
例2. (續)
解答
(b) 將 t 固定在 1 表示我們要看注入後 1 小
時血液中的濃度，讓 x 變化意思是我們要考
慮在那個瞬間不同藥量的影響，因此，函數
f (x, 1) = e-(5-x) = ex-5的圖形 (圖19)，注意到f
(x, 1) 是 x 的遞增函數，這是合理的，若我
們施給更多的藥，血液中濃度會更高 。
MCU-應用統計資訊系
18講
87
了解雙變數函數 (15)
例2. (續)
解答
圖19. 函數 f (x, 1) 表示注射後1小時的血液中濃度
MCU-應用統計資訊系
18講
88
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
89
多元函數實例及圖形 (1)
如同單變數函數一樣，以 x, y 為自變
數的二變數函數，是兩集合間的運算法則，
使對每一組有序對 (x, y)，僅有一實數值
f (x, y) 是 (x, y) 之函數值 。函數 f (x, y) 常
用代數式子來表示運算關係，例如:
f (x, y) = xy 表長為 x 單位, 寬為
y 單位的矩形區域面積
MCU-應用統計資訊系
18講
90
多元函數實例及圖形 (2)
若無特別的指定 x, y 範圍，我們是以
使函數式子為有意義之 x, y 值為其定義域。
自變數三個以上的多變數函數 f (x1, x2, …,
xn)，運算法則及定義域的規定，也如同二
變數函數一樣。
MCU-應用統計資訊系
18講
91
多元函數實例及圖形 (3)
例1. 設 f (x, y) = ln (x + y)
(1) 試求 f (x, y) 之定義域
(2) 試求 x = 10, y = -7時之函數值
解答
(1) f (x, y) 之定義域為 { (x, y)|x, y是實數但
x + y > 0}
(2) 在x = 10, y = -7時之函數值為
f (x, y) = ln (10 – 7) = ln3
MCU-應用統計資訊系
18講
92
多元函數實例及圖形 (4)
例1. (續)
解答
圖20
MCU-應用統計資訊系
18講
93
多元函數實例及圖形 (5)
生產成本可分為勞力成本及資金成本，
其中資金成本涵蓋了建廠成本，機器設備
成本及其它在生產過程之中所需的東西。
若有 x 單位的勞力與 y 單位資本可供生產
之用，則生產函數f (x, y) = cxαy1- α，c > 0且
0 < α < 1，稱為柯柏 – 道格拉斯生產函數
(Cobb-Douglas production function)。
MCU-應用統計資訊系
18講
94
多元函數實例及圖形 (6)
在三度空間坐標系中，將 (x, y) 值先
標示在 xy 平面上，再視函數值 f (x, y) 為z
分量值，如此便標出 (x, y, f (x, y)) 的坐標
位置，如圖21。而z = f (x, y) 的圖形即是當
x, y 值變動時，所有(x, y, f (x, y)) 的點形成
的集合，通常為一曲面。除了較簡單的函
數外，二變數函數圖形不易描繪，但可藉
助電腦來繪圖。
MCU-應用統計資訊系
18講
95
多元函數實例及圖形 (7)
21.
MCU-應用統計資訊系
18講
96
多元函數實例及圖形 (8)
例2. 描繪 z = f (x, y) = x2 + y2之圖形
解答
22.
MCU-應用統計資訊系
18講
97
多元函數實例及圖形 (9)
例3. 描繪 z  25  x2  y 2 之圖形
解答
23.
MCU-應用統計資訊系
18講
98
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
99
等高線圖 (1)
當我們看一般圖形時，常藉著所謂的
高等線 (contour) 來瞭解實際的地形變化，
是高是低，是陡峭還是平緩。而所謂高度
為 c 的等高線，即是取垂直於 z 軸的平面z
= c 與曲面 z = f (x, y) 交集後的曲線，將此
空間中的曲線垂直投影在 xy 平面上，所得
之平面曲線。若 xy 平面上的高等線越緊密
的地方，表示實際的地勢愈陡峭。
MCU-應用統計資訊系
18講
100
等高線圖 (2)
而若等高線愈稀疏的地方，表示實
際的地勢較平穩。圖24即表示一實際地
形與其等高線之關係。
MCU-應用統計資訊系
18講
101
等高線圖 (3)
24.
MCU-應用統計資訊系
18講
102
等高線圖 (4)
例1. 描繪 z = f (x, y) = x2 + y2在高度c = 0 ,
c = 1, c = 4, c = 9 時之等高線。
解答
平面 z = c 與區面 z = x2 + y2 交集後，即為
曲線x2 + y2 = c ，在 xy 平面上是一半徑為
根號 c 之圓。
MCU-應用統計資訊系
18講
103
等高線圖 (5)
例1. (續)
解答
c
等高線
0
x2 + y 2 = 02
1
x2 + y2 = 12
4
x2 + y 2 = 22
9
x2 + y2 = 32
MCU-應用統計資訊系
18講
104
等高線圖 (6)
例1. (續)
解答
x
圖25. z = x2 + y2與其等高線
MCU-應用統計資訊系
18講
105
等高線圖 (7)
一生產函數的等高線稱為等量曲線
(isoquant; level of constant production) 。
等量曲線為f (x, y) = c ，是表示生產量為 c
時，兩種生產要素 x 及 y ，所有可能組合
點 (x, y) 之軌跡。
MCU-應用統計資訊系
18講
106
等高線圖 (8)
在經濟學上，衡量消費者同時購買第
一種商品 x 單位，第二種商品 y 單位時所
獲得的滿足程度的函數，稱為效用函數
U ( x, y) (utility function) 。其等高線
U (x, y) = c 稱為無異曲線 (indifference
curves) ，是表示兩種商品所有產生同等效
用 c 之組合點 (x, y) 之軌跡。
MCU-應用統計資訊系
18講
107
等高線圖 (9)
- 應用: 氣象圖 -
26.
MCU-應用統計資訊系
18講
108
等高線圖 (10)
- 應用: 地形圖 -
27.
MCU-應用統計資訊系
18講
109
子題三 : 多元函數之極限與連續
MCU-應用統計資訊系
18講
110
子題三 : 多元函數之極限與連續性
課程內容摘要
1. 定義
2. 在某點的連續性
3. 在一集合上的連續性
MCU-應用統計資訊系
18講
111
子題三 : 多元函數之極限與連續性
課程內容摘要
1. 定義
2. 在某點的連續性
3. 在一集合上的連續性
MCU-應用統計資訊系
18講
112
定義 (1)
lim
 x , y  a ,b 
f  x, y   L
上述極限定義，具有一般明確的意義:
即，當 ( x, y) 趨近於 (a, b) 時，f (x, y) 的
值就愈趨近於 L。問題是在於 (x, y) 以有
無限多種方式趨近於 (a, b) (圖26) 。我們
想定義出，無論 (x, y) 以何路徑趨近 (a, b) ，
都會得到同一個 L 。
MCU-應用統計資訊系
18講
113
定義 (2)
圖26
MCU-應用統計資訊系
18講
114
定義 (3)
正式定義表示對單變數的實值函數及
單變數的向量值函數仍然適合。若是我們
正確地解釋的話 (圖27)，就有定義如下。
MCU-應用統計資訊系
18講
115
定義 (4)
圖27
MCU-應用統計資訊系
18講
116
定義 (5)
定義
f  x, y   L， 意指任給
我們稱  x , ylim
 a ,b 
ε > 0 (無論如何地小) ， 則必存在一個δ >
0 ， 使得若 0 < |(x, y) – (a, b)| < δ，則
|f (x, y) – L| < ε 。
MCU-應用統計資訊系
18講
117
定義 (6)
欲解釋 |(x, y) – (a, b)|，可視 (x, y) 及 (a, b)
為二向量，則
x, y   a, b 

x  a 2   y  b 2
且滿足0 < |(x, y) – (a, b)| < δ 的點是指除圓
心 (a, b) 外，在半徑為δ之圓內的點
(圖28) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
118
定義 (7)
圖28
MCU-應用統計資訊系
18講
119
定義 (8)
這個定義有幾項觀點:
1. 它完全不考慮趨近 (a, b) 的路徑表示。
這意指若不同趨近路徑導出不同L值，
則極限不存在。
2. f (x, y) 在 (a, b) 的行徑是不相關的; 即函
數在 (a, b) 甚至不一定有定義，由 0 <
|(x, y) – (a, b)| 可推出。
MCU-應用統計資訊系
18講
120
定義 (9)
3. 這個慣用的定義可推廣至含 3 個變數
(甚至更多) 的函數。只要以 (x, y, z) 及
(a, b, c) 代替 (x, y) 及 (a, b)。
一般恆成立的例子在此亦可使用，如

x 2 y  3 y   12 * 2  3 * 2  8
 x , y 1, 2 
lim
lim
 x , y 3, 4 
MCU-應用統計資訊系
x2  y 2 
18講
32  42  5
121
子題三 : 多元函數之極限與連續性
課程內容摘要
1. 定義
2. 在某點的連續性
3. 在一集合上的連續性
MCU-應用統計資訊系
18講
122
在某點的連續性 (1)
我們稱 f 在點 (a, b) 連續，我們必須有
(1). f 在(a, b)上有一值
(2). f 在 (a, b) 上有一極限
(3). f 在 (a, b) 的值等於 f 的極限
總之，
lim f  x, y   f ( a , b)
 x , y  a ,b 
MCU-應用統計資訊系
18講
123
在某點的連續性 (2)
這與單變數函數需要的連續是一樣的，
直觀上，意指 f 在 (a, b) 沒有跳動或劇烈
上下搖動或無界。
如同單變數函數一樣，連續函數的和,
積及商亦為連續 (最後結果，必須分母不
為0) 。我們可得知含有兩個變數的多元函
數為到處連續，因為它們為連續函數ax,
by 及c 的和及積，此處a, b 及 c 為常數。
MCU-應用統計資訊系
18講
124
在某點的連續性 (3)
例如，f (x, y) = 5x4y2 – 2xy3 + 4 在 xy 平面
上所有點皆連續。
含有兩個變數的有理函數為多項式函數
的商，因此只要在分母不為 0 之各處皆連
續 。例如，f (x, y) = (2x + 3y) / (y2 – 4x) 除
了拋物線 y2 = 4x 上的點外到處連續。如
同單變數函數一樣，二連續函數的合成函
數亦為連續。
MCU-應用統計資訊系
18講
125
在某點的連續性 (4)
定理 A 函數的合成
設含有兩個變數函數 g 在 (a, b) 上連續，
且單變數函數 f 在 g (a, b) 上連續，則合成
函數 f o g 定義為 (f o g) (x, y) = f (g(x, y))，
它在 (a, b) 上連續。
MCU-應用統計資訊系
18講
126
子題三 : 多元函數之極限與連續性
課程內容摘要
1. 定義
2. 在某點的連續性
3. 在一集合上的連續性
MCU-應用統計資訊系
18講
127
在一集合上的連續性 (1)
我們稱 f (x, y) 在一集合 S 上連續，意指
f (x, y) 在此集合的每一點皆連續。
首先，我們必須介紹一些平面中有關的
集合名稱 (即在高度空間) 。我們稱以點 P
為中心之半徑為 δ 的一鄰域，意指滿足
|Q – P| < δ 之所有 Q 點所成集合。
MCU-應用統計資訊系
18講
128
在一集合上的連續性 (2)
在二維空間中，一鄰域表一圓的“內
部”;
在三維空間中，它是表一球的內部 (圖29)。
若存在 P 的一鄰域包含於 S，我們稱點 P
為集合 S 的一內點。S 的所有內點所成集合
稱為 S 的內集。另一方面，若 P 的每一鄰
域同時包含 S 的點及不在 S 內的點，我們
稱 P 為 S 的一邊界點。
MCU-應用統計資訊系
18講
129
在一集合上的連續性 (3)
二維空間中的一鄰域
三維空間中的一鄰域
MCU-應用統計資訊系
18講
130
在一集合上的連續性 (4)
在圖30中，A 為 S 的一內點，且 B 為 S
的一邊界點。最後，若一集合的點皆為
內點，則稱此集合為開集，若它表示包
含所有邊界點，則此集合為閉集。對照
一維空間的開區間及閉區間，便知此意。
MCU-應用統計資訊系
18講
131
在一集合上的連續性 (5)
MCU-應用統計資訊系
18講
132
在一集合上的連續性 (6)
若 S 為一開集，我們稱 f 在 S 上連續，
意指 f 在 S 的每一點皆連續 。另一方面，
若 S 給一些或所有邊界點，則我們必須
小心說明在如此點的連續性之正確涵義。
MCU-應用統計資訊系
18講
133
課程回顧
MCU-應用統計資訊系
18講
134
三維空間概論與多元函數及
多元函數之極限與連續
MCU-應用統計資訊系
18講
135
子題一 : 三維空間概論
子題二 : 多元函數
子題三 : 多元函數之極限與連續
MCU-應用統計資訊系
18講
136
子題一 : 三維空間概論
MCU-應用統計資訊系
18講
137
子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標
2. 三維空間中的向量
3. 外積 (略)
4. 三維空間中的直線與曲線 (略)
5. 速度, 加速度及曲率 (略)
6. 三維空間中的曲面 (略)
7. 柱面與球面坐標 (略)
MCU-應用統計資訊系
18講
138
子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標
2. 三維空間中的向量
3. 外積 (略)
4. 三維空間中的直線與曲線 (略)
5. 速度, 加速度及曲率 (略)
6. 三維空間中的曲面 (略)
7. 柱面與球面坐標 (略)
MCU-應用統計資訊系
18講
139
子題二 : 多元函數
MCU-應用統計資訊系
18講
140
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
141
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
142
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
143
子題二 : 多元函數課程內容摘要
1. 概論
2. 了解雙變數函數
3. 多元函數實例及圖形
4. 等高線圖
MCU-應用統計資訊系
18講
144
觀念複習(1)
問題1
三度空間某點 (x, y, z ) 中 x, y, z 稱為該點的
(
)。
MCU-應用統計資訊系
18講
145
觀念複習(2)
解答
三度空間某點 (x, y, z ) 中 x, y, z 稱為該點的
( 坐標 ) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
146
觀念複習(3)
問題2
介於點 (-1, 3, 5) 及 (x, y, z) 之間的距離為 (
MCU-應用統計資訊系
18講
)。
147
觀念複習(4)
解答
介於點 (-1, 3, 5) 及 (x, y, z) 之間的距離為
(
x  1
2
MCU-應用統計資訊系
  y  3  z  5 )。
2
18講
2
148
觀念複習(5)
問題3
方程式 (x+1)2 + (y-3)2 + (z-5)2 = 16 決定一球, 其
中心為 (
MCU-應用統計資訊系
) 半徑為 (
)。
18講
149
觀念複習(6)
解答
方程式 (x+1)2 + (y-3)2 + (z-5)2 = 16 決定一球, 其
中心為 ( -1, 3, 5 ) 半徑為 ( 4 )。
MCU-應用統計資訊系
18講
150
觀念複習(7)
問題4
3x - 2y + 4z = 12 之圖形代表一 (
為(
), 而z-截距為 (
), y-截距為 (
MCU-應用統計資訊系
), 其 x-截距
18講
)。
151
觀念複習(8)
解答
3x - 2y + 4z = 12 之圖形代表一 ( 平面 ), 其 x-截距
為 ( 4 ), y-截距為 ( -6 ), 而z-截距為 ( 3 ) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
152
觀念複習(9)
問題5
f (x, y) 在 (1, 2 ) 處連續意指 (
MCU-應用統計資訊系
18講
)。
153
觀念複習(10)
解答
f (x, y) 在 (1, 2 ) 處連續意指
(
lim
 x , y 1, 2 
MCU-應用統計資訊系
f  x, y   f (1,2) ) 。
18講
154
觀念複習(11)
問題6
點 P 為 S 之內點意指存在 P 之鄰域 (
MCU-應用統計資訊系
18講
)。
155
觀念複習(12)
解答
點 P 為 S 之內點意指存在 P 之鄰域 ( 包含於S ) 。
MCU-應用統計資訊系
18講
156
觀念複習(13)
問題7
S 為開集意指 S 的每一點皆為 (
意指 S 包含所有其 (
MCU-應用統計資訊系
); S 為閉集
)。
18講
157
觀念複習(14)
解答
S 為開集意指 S 的每一點皆為 ( S的內點);
S 為閉集意指 S 包含所有其 (邊界點)。
MCU-應用統計資訊系
18講
158