Transcript 指數函數應用

指數函數之微分及其
相關之積分
MCU-應用統計資訊系
14講
1
課程內容摘要
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
2
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
3
指數觀念複習 (1)
指數函數是超越函數的一種，如前
所述，超越函數（Transcendental
Functions）就是指數函數、對數函數、
三角函數及反三角函數的統稱。
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4
指數觀念複習 (2)
對數符號
是與
x  logb a
bx  a
同義，其中b > 0，b≠1，且x為任意實數
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5
指數觀念複習 (3)
x  logb a
bx  a
注意到對數等於x，且x為
指數。故對數就是指數，亦
即x為b要乘方得a的指數。
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6
指數觀念複習 (4)
x  logb a
bx  a
正底b的x乘方得a，故在bx=a中
永遠為正。換句話說，在x=logba
中a必為正，於是logba只在a > 0時
有定義。
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7
指數觀念複習 (5)
以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等
的指數型式。
log3 9  2
32  9
log2 8  3
23  8
log4 1  0
40  1
log10 .01  2
10 2  .01
loge 20  3
e 3  20
loge e  1
e1
 e
loge 1  0
e0
1
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指數觀念複習 (6)
同時，由定義a-m = 1 / am。
因此，很容易可看出
a a 
m
n
a /a 
m
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n
14講

mn 
a

m n 
a
9
指數觀念複習 (7)
a  a /a 1
0
m
(a ) 
m n
m

mn 
a
(ab)  a b
m
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m可為任意整數
m
m
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10
指數觀念複習 (8)
您對指數是否已瞭解了呢? 若瞭解試作下列
各題:
a5  [5a | 5 loga | a log5 | 以上皆非]
abc  [ab * a c | ab  a c | cab | b  c loga]
a f / a g  [( f  g ) loga | a f / g | a( f g ) | 以上皆非]
a0  [0 | 1 | a | 以上皆非]
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11
指數觀念複習 (9)
解答
a  [以上皆非]
5
abc  [ab * a c ]
a f / a g  [a( f  g ) ]
a0  [1]
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指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
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13
指數函數定義 (1)
設a > 0且 x 為任一實數， 則 ax = exlna 。
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14
指數函數定義 (2)
定理A 指數的性質
若 a > 0 ，b > 0 ，且 x 及 y 皆為實數，
i a xa y  a x y
iii a 
ax
ii  y  a x  y
a
x y
 a xy
x
ivab
x
 a xb x
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ax
a
v    y
b
b
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15
指數函數定義 (3)
ax
ii  y  a x  y
a
證明
x
a

e
ay
 ax
ln
 ay





e
ln a x ln a y
 e x ln a  y ln a  e x  y ln a
 a x y
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16
指數函數定義 (4)
iii a 
x y
 a xy
證明
a 
x
y
e
y ln a x
 a yx
 a xy
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17
指數函數定義 (5)
以上證明 (ii) 及 (iii) ，其餘可以同理證得。
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指數函數定義
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指數函數公式(1)
定理B 指數函數公式
Dx a x  a x ln a
 1  x
a
dx

a

C
,
a

1



 ln a 
x
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20
指數函數公式(2)
Dx a  a ln a
x
x
證明
Dx a x  Dx e x ln a 
 e x ln a Dx x ln a 
 a x ln a
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21
指數函數公式(3)
積分公式顯然由微分公式可導出
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22
指數函數公式(4)
 
例1.求Dx 3
x
x , 利用連鎖法則 ]
[令u =
解答

Dx 3
x
 3
x
ln 3Dx
x
3 x ln 3

2 x
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23
指數函數公式(5)
dy
4
5
例2.求
, 若y  x 4  2   5x  2
dx
解答
dy
4
4
 5x 4  2  * 4 x 3  5 x  2 * ln 5 * 4 x 3
dx

 4 x3 5x 4  2  5x
 20x 3
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4
x
4
4 2
 2  5x
4
14講
4 1

ln 5

ln 5
24
指數函數公式(6)
例3.求 2 x 2dx
x3
解答
[令u = x3, du = 3x2dx , 則]
x
2
2
x
dx 

3
1
x3
2

2
3
x
dx 

3
1

3
u
1
2
u
2
 du  3 ln 2  C
3
2x

C
3 ln 2
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14講
25
指數函數公式(7)
為什麼還有其他底數?
除e外真需要其他底數嗎?
公式
a e
x
x ln a
否
ln x
及 log a x 
ln a
使我們討論任何以a 為底之指數函數或對數
函數問題，類似以 e 為底。這就是所謂 – 自然
指數函數及自然對數函數。此一說明許多近
發現函數在高等研究上廣泛應用。
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26
指數函數公式(8)
函數ax，xa 及 xx
首先比較右圖三條曲線:
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27
指數函數公式(9)
函數ax，xa 及 xx
一般而言，設 a 為一常數且 x 為一變數，不
要搞混 f (x) = ax ，此為指數函數與 g (x) = xa ，
此為羃函數，且不可混淆它們的導函數，已知:
Dx a x   a x ln a
Dx a x  是什麼? 若 r 為有理數，可證明為乘羃
法則
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Dx x a   axa 1
14講
28
指數函數公式(10)
函數ax，xa 及 xx
在此證明當 a 為無理數，此亦可成立。 欲知
此事實， 可寫成:
Dx  x
a
  Dx e
a ln x
 e
a ln x
a
a a
x
 ax a 1
x
x
若 a 為無理數，則下式亦成立:
a 1
x
a
x
 dx  a  1  C , a  1
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14講
29
指數函數公式(11)
函數ax，xa 及 xx
最後考慮 f (x) = xx，一變數的變數乘羃。
Dx(xx)有公式，但有學者建議不要記它，可用下
列兩種方法來求。
例1.若y  x x , x  0, 用兩種不同方法, 求Dx y.
方法1: 寫成
y  x x  e x ln x
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30
指數函數公式(12)
函數ax，xa 及 xx
由連鎖法則
Dx y  e
x ln x
 1

Dx x ln x   x  x  ln x   x x 1  ln x 
 x

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x
14講
31
指數函數公式(13)
函數ax，xa 及 xx
方法2: 對數微分法
y  xx
ln y  x ln x
1
1
Dx y  x  ln x
y
x
Dx y  y1  ln x   x x 1  ln x 
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32
指數函數公式(14)
例2.若y  x  1  
2

函數ax，xa 及 xx
sin x
dy
,求 .
dx
解答
dy
 1
2
  x  1 2 x    sin x ln x cos x
dx
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14講
33
指數函數公式(15)
例3.若y  x  1
2
解答
sin x
函數ax，xa 及 xx
dy
,求 .
dx
ln y  sin x lnx 2  1
1 dy
2x
 sin x  2
 cos x  lnx 2  1
y dx
x 1
dy
sin x  2 x sin x

2
2
 x  1  2
 cos x  lnx  1
dx
 x 1

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14講
34
指數函數公式(16)
由ax至[f(x)]g(x)
注意所考慮函數的遞增性，類型如 ax 至 xa 至
xx，是一種連鎖。另一種較複雜連鎖是 af(x) 至
[f(x)]a 至 [f(x)]g(x) 。 現在知道如何求出這些函數
的導函數，可用對數微分完成。
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35
指數函數公式(16)
1
例4.計算1
2
解答
函數ax，xa 及 xx
1
x
5
dx
2
x
[令u = 1 / x, du = (-1 / x2 , 則]
1
x
1
5
1


x
 x 2 dx    5   x 2 dx
dy
   5u dx
dx
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36
指數函數公式(17)
函數ax，xa 及 xx
解答
5u

C
ln 5
1
x
5

C
ln 5
1

1
2
1


5
5 
1
20
2

5  5 
dx  

 12.43
2
 ln 5 
x
ln 5
ln 5
1


1
x
1
x
2
MCU-應用統計資訊系
14講
37
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
38
自然指數函數(1)
自然對數函數圖形
f (x) = ln x
2
3
MCU-應用統計資訊系
14講
39
自然指數函數(2)
上面為自然對數函數f (x) = ln x的圖形，自然
對數函數在定義域 D = (0, ∞) 上可微分 (當然連
續)且遞增，其值域為 R = (- ∞ , ∞) ，它具有一
反函數ln-1 ，含有定義域 (- ∞ , ∞) 且值域為 (0,
∞) ，這種函數特別重要，我們必須給予特別的
名稱與符號。
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14講
40
自然指數函數(2)
定義
ln的反函數稱為自然指數函數且記作exp，則
x  exp y  y  ln x
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14講
41
自然指數函數(3)
從上面的定義，可以得知下列結果:
(i) exp (ln x) = x, x > 0 ;
(ii) ln (exp y) = y,
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 y。
14講
42
自然指數函數(4)
因為exp及ln互為反函數， y = exp x 的圖
形，就是y = ln x 的圖形對直線 y = x 的鏡射之
圖形 (見下圖) 。
MCU-應用統計資訊系
14講
43
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
44
指數函數性質(1)
Why取名為指數函數呢?
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14講
45
指數函數性質(2)
首先我們介紹一個新數， 如同  一樣，在
數學上相當重要的一數，特別給予一個記號e，
用字母 e 是很合適的，因為Leonhard Euler最
早承認這個數有意義。
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46
指數函數性質(3)
定義
字母 e 表示一個唯一正實數使得
ln e  1
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47
指數函數性質(4)
y=1/x
2
面積 = 1
1
R
1
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2
14講
e 3
48
指數函數性質(5)
上圖可以解釋指數函數的定義，在 y = 1 / x
之下方介於 x = 1 及 x = e 之間的面積為 1。因
為 ln e = 1 ，所以 exp 1 = e 。數e ，如同 
一樣都為無理數，小數點後有無限多個位數，
前面幾位數為:
e  2.7182818284 59045
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49
指數函數性質(6)
現在我們進一步由下列前述事實觀察:
e  exp(lne )  exp(r ln e)  expr
r
r
上面結果顯示，對有理數 r 而言，exp r 相當於
er ，它如其自然對數的逆一樣都很抽象，雖然
由積分式定義出，但已轉變成一個簡單的乘羃。
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50
指數函數性質(7)
若 r 為一無理數則如何?
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14講
51
指數函數性質(8)
上面的問題使得其性質成為代數中一個問
題，沒有一個嚴謹的方法可以定義無理指數，e
究竟是什麼意義？ 可能在尋找正確答案時會偏
向代數方面，但在此只要承認它是有意義的，
若想討論諸如 D x e x 的結果，根據以上談論所
知，我們只要定義 ex 為 (  x )
e  exp x
x
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14講
52
5
指數函數性質(9)
注意在前面所提到的自然指數函數定義所提
到的 (i) exp (ln x) = x, x > 0 及 (ii) ln (exp y) = y,
 y ，現在可表為:

i  e  x,

y
ii  lne   y,
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ln x
14講
x0
y
53
指數函數性質(10)
e 的定義
不同作者對於字母 e 有不同的方法加以定義
1. e  ln 1 1
1
2. e  lim1  h h
h 0
1 1
1

3. e  lim1    ...  
h 
n! 
 1! 2!
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14講
54
指數函數性質(11)
上述定義 2 及 3 已變成定理
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14講
55
指數函數性質(12)
定理A
令 a 及 b 為任意實數，則
且
e /e  e
a
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b
a b
e a eb  ea b
，
。
14講
56
指數函數性質(13)
證明
寫成
e e e
a b
a b
e e  expln e e
a b
a b
(i)
 expln ea  ln eb 
對數定理
 expa  b
(ii)'
 e a b
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
由於exp x =ex
14講
57
指數函數性質(14)
同理可證出 ea / eb  ea b
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14講
58
指數函數性質(15)
故事: A Phoenix
MCU-應用統計資訊系
14講
59
指數函數性質(16)
A Phoenix
The number e appears throughout mathematics,
but its importance rests most securely on its use
as the base for the natural exponential function.
And what makes this function so significant?
“Who has not been amazed to learn that the
function y = ex , like a phoenix rising again from
its own ashes, is its own derivative?”
- Francois Le Lionnais MCU-應用統計資訊系
14講
60
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
61
ex 的導函數(1)
因 exp 及 ln 互為反函數，由定理 exp x = ex 為
可微分。 欲求 D x e x 的公式，可以用此定理，令
y = ex ，所以
x  ln y
兩邊對 x 微分，得出
1
1  Dx y
y
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14講
連鎖法則
62
ex 的導函數(2)
因此
Dx y  y  e
x
我們已證出ex有名的事實，ex為它自己的
導函數，即
Dx e  e
x
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14講
x
63
ex 的導函數(3)
於是
ye
x
為微分方程式
y  y
的一個解。
若 u = f (x) 為可微分，則由連鎖法則知
Dx e  e Dxu
u
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u
14講
64
ex 的導函數(4)
例1.求Dx e
解答
x
u
[利用
Dx e
e
x
x
x ，得 ]
e
x
Dx
x
1  12
e x
x

2
2 x
e x

2 x
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14講
65
ex 的導函數(5)
例2.求Dx e
解答
x 2 ln x
Dx e
e
x 2 ln x
x 2 ln x
 xe
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e
x 2 ln x
Dx x 2 ln x 
 21

 x  2 x ln x 
 x

x 2 ln x
(1  ln x )
2
14講
66
ex 的導函數(6)
x
2
例3. 設 f ( x )  xe ，求f在何處遞增，遞減，且在
何處向上凹，向下凹，指出所有極值及反區點，
然後畫出 f 的圖形。
解答
xe
f  x  
2
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x
2
e
14講
x
2
 x 2
e 

 2 
x
2
67
ex 的導函數(7)
且
x
2
x
2
x
e
x 2e
x 4


2
f  x  

e 


2
 2  2
 4 
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14講
68
ex 的導函數(8)
因為 e > 0 ， x ， 當 x < -2 ， f’(x) < 0；
f’(-2) = 0 ； 且當 x > -2 ， f’(x) > 0 ，因此 f 在
(- ∞, -2] 遞減， 在[-2 , ∞)上遞增，在 x = -2
有極小值 f (-2) = -2 / e 約等於 -0.7。
x
2
同時 ，當 x < -4 ， f’’(x) < 0；
f’’(-4) = 0 ； 且當 x > -4 ， f’’(x) > 0 ，所以 f 的
圖形在 (- ∞, -4) 向下凹， 在 (-4 , ∞) 向上凹
且在點 (- 4, -4e-2) ~ (-4 , -0.5) 有一反區點。
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14講
69
ex 的導函數(9)
x
2
因 lim xe  0 ，故直線 y = 0 為一條
水平漸進線。以上有關例3的探討，歸納如下圖:
x  
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14講
70
ex 的導函數(8)
因為 e > 0 ， x ， 當 x < -2 ， f’(x) < 0；
f’(-2) = 0 ； 且當 x > -2 ， f’(x) > 0 ，因此 f 在
(- ∞, -2] 遞減， 在[-2 , ∞)上遞增，在 x = -2
有極小值 f (-2) = -2 / e 約等於 -0.7。
x
2
同時 ，當 x < -4 ， f’’(x) < 0；
f’’(-4) = 0 ； 且當 x > -4 ， f’’(x) > 0 ，所以 f 的
圖形在 (- ∞, -4) 向下凹， 在 (-4 , ∞) 向上凹
且在點 (- 4, -4e-2) ~ (-4 , -0.5) 有一反區點。
MCU-應用統計資訊系
14講
71
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
72
ex 的積分(1)
由導函數公式
Dx e x  e x
顯然得出積分公式
x
x
e
dx

e
C

或以 u 代替 x
u
u
e
du

e
C

MCU-應用統計資訊系
14講
73
ex 的積分(2)
例1.計算 e 4 x dx
解答
[令u = -4x, du = -4 dx，則 ]
e
4 x
1

4
1
dx  
4
4 x
 4dx 
e

1 u
 e du   4 e  C
u
1 4 x
 e
C
4
MCU-應用統計資訊系
14講
74
ex 的積分(3)
例2.計算 x e
2
解答
 x3
dx
[令u = -x3, du = -3x2 dx，則 ]
x
2
e
 x3
1
x3
dx    e  3x 2 dx 
3
1
1 u
u
  e du   e  C
3
3
1  x3
 e
C
3
MCU-應用統計資訊系
14講
75
ex 的積分(4)
3
例3.計算 xe
3 x 2
1
解答
dx
[令u = -3x2, du = -6x dx，則 ]
 xe
3 x 2
1

6
1
3 x 2
 6 xdx 
dx    e
6
1 u
 e du   6 e  C
u
1 3 x 2
 e
C
6
MCU-應用統計資訊系
14講
76
ex 的積分(5)
因此，由微積分學基本定理，
 xe
3
3 x 2
 1 3 x 2 
dx   e

 6
1
3
27
1  27
e

e
  e
 e 3  
6
6
 0.0082978
MCU-應用統計資訊系
最後一次計算可利用計算器獲得
14講
77
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
78
指數函數應用(1)
在現實的生活中有許多自然界的現象和社會
的活動，如放射性元素的衰變、人口的增加、
複利息的計算等等，都可以用指數函數來
描述並得到解決。
MCU-應用統計資訊系
14講
79
指數函數應用(2)
複利法
指數函數的應用範圍甚廣，我們先討論在商
學上的應用，如連續複利，最佳持有時機等。
再介紹其他模式之應用。
在銀行開立帳戶，存入一筆款項，此金額稱
為本金或現值，經過一段時間後，銀行所給付
之報酬款稱為利息。本金加利息稱為本利和或
終值，而利息與本金的比例稱為利率，一般而
言，利率指的是年利率，即一年的利息與本金
之比例。
MCU-應用統計資訊系
14講
80
指數函數應用(3)
複利法
設 P = 現值或本金
A = 終值或本利和
I = 利息
r =年利率
m = 一年之複利次數
t = t年（不一定是整數）
按照計算方式的不同，可分為單利法、複利法
及連續複利。單利法的利息等於本金、利率與
期數之積。
MCU-應用統計資訊系
14講
81
指數函數應用(4)
複利法
單利法
本金P，年利率r ，t年後的利息與本金為
I = Prt
A = P + I = P (1 + rt)
MCU-應用統計資訊系
14講
82
指數函數應用(5)
複利法
若一年終複利m次，每個計算期的利息為
r/m ，第一個計算期末，利息I1 = 本金*利率*
期數 = P*(r/m)*1 ，則第一個計算期末的本利
和A1 = P + I1 = P (1 + r/m) 。複利法是以前期的
本利和作為下一個計算期的本金， 所以第二個
計算期期末的利息I2 = 本金*利率*期數 = A1
*(r/m)*1 ，所以第二個計算期期末的本利和A2
= A1 + I2 = P (1 + r/m) 2。依此類推，一年後的
本利和為P (1 + r/m) m 。
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14講
83
指數函數應用(6)
複利法
複利法
本金P元，年利率r ，一年複利 m 次， t年後
的本利和及利息為
A = P [1 +(r/m )mt ]
I=A-P
MCU-應用統計資訊系
14講
84
指數函數應用(7)
複利法
實利率(複利法)
年利率(虛利率)為r時，若一年複利 m 次，
則實利率為
α = 1 +(r/m )m -1
MCU-應用統計資訊系
14講
85
指數函數應用(8)
複利法
實利率(複利法)
本金 P 元，年利率為 r，以連續複利方式計算
t 年後的本利和及利息為
A = Pert
I=A-P
MCU-應用統計資訊系
14講
86
指數函數應用(9)
複利法
實利率(連續複利)
年利率(虛利率)為r時，若以連續複利計算時，
則實利率為
β = er -1
MCU-應用統計資訊系
14講
87
指數函數應用(10)
複利法
現值
複利法的現值
P = A(1 + r/m)-mt
連續複利的現值
P = Ae-rt
MCU-應用統計資訊系
14講
88
指數函數應用(11)
指數模式在自然界有很多的應用，諸如:
•指數成長模式
•指數衰退模式
•傳播媒體訊息的擴散
•後勤曲線模式
MCU-應用統計資訊系
14講
89
指數函數應用(12)
指數模式在自然界有很多的應用，諸如:
•指數成長模式
•指數衰退模式
•傳播媒體訊息的擴散
•後勤曲線模式
MCU-應用統計資訊系
14講
90
指數函數應用(13)
MCU-應用統計資訊系
指數成長模式
14講
91
指數函數應用(14)
指數模式在自然界有很多的應用，諸如:
•指數成長模式
•指數衰退模式
•傳播媒體訊息的擴散
•後勤曲線模式
MCU-應用統計資訊系
14講
92
指數函數應用(15)
MCU-應用統計資訊系
指數衰退模式
14講
93
指數函數應用(16)
指數模式在自然界有很多的應用，諸如:
•指數成長模式
•指數衰退模式
•傳播媒體訊息的擴散
•後勤曲線模式
MCU-應用統計資訊系
14講
94
指數函數應用(17)
MCU-應用統計資訊系
學習曲線模式
14講
95
指數函數應用(18)
指數模式在自然界有很多的應用，諸如:
•指數成長模式
•指數衰退模式
•傳播媒體訊息的擴散
•後勤曲線模式
MCU-應用統計資訊系
14講
96
指數函數應用(19)
MCU-應用統計資訊系
後勤曲線模式
14講
97
課程回顧
MCU-應用統計資訊系
14講
98
指數函數之微分及其
相關之積分
MCU-應用統計資訊系
14講
99
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
100
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
101
課程內容
1.
2.
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5.
6.
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8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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102
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
103
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
104
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
105
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
106
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
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14講
107
課程內容
1.
2.
3.
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5.
6.
7.
8.
指數觀念複習
指數函數定義
指數函數公式
自然指數函數
指數函數性質
指數函數的導函數
指數積分
指數函數應用
MCU-應用統計資訊系
14講
108
觀念複習(1)
問題1
以 e 及 ln 表示，
ax = (
3
 (
) 。一般而言
)。
MCU-應用統計資訊系
14講
109
觀念複習(2)
解答
以 e 及 ln 表示， 
3
(e
3 ln x
) 。一般而言
ax = ( e x ln a ) 。
MCU-應用統計資訊系
14講
110
觀念複習(3)
問題2
ln x = logax ，其中 a = (
MCU-應用統計資訊系
14講
)。
111
觀念複習(4)
解答
ln x = logax ，其中 a = (1n x / ln a)。
MCU-應用統計資訊系
14講
112
觀念複習(5)
問題3
logax 可用 ln 表示為logax = (
MCU-應用統計資訊系
14講
)。
113
觀念複習(6)
解答
logax 可用 ln 表示為logax = (ln x / ln a)。
MCU-應用統計資訊系
14講
114
觀念複習(7)
問題4
羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = (
);
指數函數 g (x) 之導函數為g '(x) = (
)。
MCU-應用統計資訊系
14講
115
觀念複習(8)
解答
羃函數 f (x) = xa之導函數為f '(x) = ( axa-1);
指數函數 g (x) 之導函數為g '(x) = (ax ln a ) 。
MCU-應用統計資訊系
14講
116
觀念複習(9)
問題5
函數 ln 在(0, ∞) 上嚴格 (
反函數記為 ln-1 或為 (
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) ，且因而由
)。
14講
117
觀念複習(10)
解答
函數 ln 在(0, ∞) 上嚴格 (遞增) ，且因而由
反函數記為 ln-1 或為 ( exp ) 。
MCU-應用統計資訊系
14講
118
觀念複習(11)
問題6
e以 ln 定義為 (
(
) ; 其值有效小數第二位為
)。
MCU-應用統計資訊系
14講
119
觀念複習(12)
解答
e以 ln 定義為 ( ln e = 1) ; 其值有效小數第二位
為 (2.72) 。
MCU-應用統計資訊系
14講
120
觀念複習(13)
問題7
由於 ex = exp x =ln-1x，得知elnx = (
ln(ex) = (
MCU-應用統計資訊系
)且
)。
14講
121
觀念複習(14)
解答
由於 ex = exp x =ln-1x，得知elnx = ( x )且
ln(ex) = ( x )。
MCU-應用統計資訊系
14講
122
觀念複習(15)
問題8
有關 ex ，兩有名事實是Dx(ex )= (
x
=
(
e
dx

MCU-應用統計資訊系
)及
)。
14講
123
觀念複習(16)
解答
有關 ex ，兩有名事實是Dx(ex )= (ex ) 及
x
x + C )。
e
dx
=
(e

MCU-應用統計資訊系
14講
124