Transcript 對數微分法

對數函數之微分及其
相關之積分
MCU-應用統計資訊系
13講
1
課程內容摘要
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
2
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
3
超越函數 (1)
超越函數（Transcendental
Functions）就是指數函數、對數函數、
三角函數及反三角函數的統稱。
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13講
4
超越函數 (2)
對數符號
是與
x  log
b
a
bx  a
同義，其中b > 0，b≠1，且x為任意實數
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13講
5
超越函數 (3)
對數符號方程式
x  log
b
a
讀作“x為對底為b的對數”
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13講
6
超越函數 (4)
x  log
b
bx  a
a
注意到對數等於x，且x為
指數。故對數就是指數，亦
即x為b要乘方得a的指數。
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13講
7
超越函數 (5)
x  log
b
bx  a
a
正底b的x乘方得a，故在bx=a中
永遠為正。換句話說，在x=logba
中a必為正，於是logba只在a > 0時
有定義。
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13講
8
超越函數 (6)
以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等
的指數型式。
log
3
9  2
log
2
8  3
log
4
1  0
log
. 01   2
10
log
32  9
e
2
3
 8
4
0
 1
2
 . 01
10
20  3
e
log
e
e  1
e
log
e
1  0
e
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13講
3
1
0
 20

e
 1
9
超越函數 (7)
現在要用對數於運算中，以解方程式 。
例1: 3x = 11
解:將方程式寫成如下的對數型式， 再解出x:
x =log3 11
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10
超越函數 (8)
例2: 107x = 9
解:將指數方程式寫成對數形式就可分離出7x
7x =log 9
兩邊同除以7
x =log 9/7
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13講
11
超越函數 (9)
例3: 4e5x =12
解:為了解得指數， 似乎很自然就把方程式寫成對數形式， 但
底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式。 對數符號
的定義， 或者例1及例2都是這種情形， 在此處， 僅需將方程
式兩邊同除以4之後， 就符合該情形。
4e 5x
4

12
4
e 5x  3
5x = ln3
對數形式
x = ln3 / 5
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13講
12
超越函數 (10)
例4: ln7x = 50
解:就像指數方程式改成對數形式後求解，對數方程式改成指
數形式之後亦可求解。
log
e
7 x  50
7x = e50
指數形式
x = e50 / 7
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13講
13
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
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14
對數觀念複習 (1)
令x為任意正數，並令log x代表以10為底的對數。
則：
10
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log x
13講
=?
15
對數觀念複習 (2)
事實上，x以10為底的對數， 其定義即為：
10
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log x
13講
=
x
16
對數觀念複習 (3)
也就是說，一數x的對數，就是10要自乘多少次
才能到達x的次數。此定義只有在x > 0時才成立。
下面是兩個例題：
100  10
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2
所以log (100) =
13講
2
17
對數觀念複習 (4)
. 001  10
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3
所以log (.001) =
13講
-3
18
對數觀念複習 (5)
現在我們試作一個題目：
1：log( 1, 000 , 000 )  ?
為下列那一個答案?
(1) 1,000,000
(2) 6
(3) 60
(4) 600
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13講
19
對數觀念複習 (6)
log( 1, 000 , 000 )  ?
答案是：
(1) 1,000,000
(2) 6
(3) 60
(4) 600
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13講
20
對數觀念複習 (7)
您答對了嗎?
請參看驗算
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13講
21
對數觀念複習 (8)
log( 1, 000 , 000 )  ?
答案為
驗算
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log 10
6
 6
10 6  1, 000 , 000
13講
22
對數觀念複習 (9)
現在我們試作另一個題目：
2： log( 1)  ?
為下列那一個答案?
(1) 0
(2) 1
(3) 10
(4) 100
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13講
23
對數觀念複習 (10)
log( 1)  ?
答案是：
(1) 0
(2) 1
(3) 10
(4) 100
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13講
24
對數觀念複習 (11)
您答對了嗎?
請參看驗算
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13講
25
對數觀念複習 (12)
log( 1)  ?
答案為
驗算
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log 10 0  0
10
0
13講
1
26
對數觀念複習 (13)
現在您應該會作下面的題目：
1 . log( 10 4 / 10  3 )  [10 7 | 1 | 10 | 7 | 70 ]
2 . log( 10 n )  [10 n | n | 10 n | 10 / n ]
3 . log( 10  n )  [  10 n |  n |  10 n |  10 / n ]
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13講
27
對數觀念複習 (14)
上面題目的答案分別為：
1 . log( 10 4 / 10  3 )  [ 7 ]
2 . log( 10 n )  [ n ]
3 . log( 10  n )  [  n ]
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13講
28
對數觀念複習 (15)
如果您對這些題目還有疑
問，您應該再複習一下對數
的定義
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13講
29
對數觀念複習 (16)
試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其
中a與b為任意正數：
1 . log( ab )  [log a * log b | log a  log b | a * log b ]
2 . log( a / b )  [log a / log b |  b * log a | log a  log b ]
3 . log( a n )  [ n * log a | (log a ) n | (log a )  n ]
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13講
30
對數觀念複習 (16)
上述3題正確答案列述如下：
1 . log( ab )  [log a  log b ]
2 . log( a / b )  [log a  log b ]
3 . log( a n )  [ n * log a ]
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13講
31
對數觀念複習 (17)
我們可以利用log x的定義以及指數的性質導出
所需的法則：
由於
a  10 log a
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b  10 log b
13講
32
對數觀念複習 (18)
因此
ab  10 log a * 10 log b  10 [log a  log b ]
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13講
33
對數觀念複習 (19)
在兩邊同時取對數，並利用log (10x) = x
的事實可得
log( ab )  log 10 log a  log b  log a  log b
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13講
34
對數觀念複習 (20)
同理
a / b  10
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log a
* 10
 log b
13講
 10
[log a  log b ]
35
對數觀念複習 (21)
所以
log( a / b )  log a  log b
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13講
36
對數觀念複習 (22)
同樣的;
a  [10
n
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log a
]  10
n
13講
n log a
37
對數觀念複習 (23)
且
log( a )  n * log a
n
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13講
38
對數觀念複習 (24)
以上，我們只討論了以10為底的對數。事
實上，任何一個正數都可以作為底數，以其
他數為底的對數，通常加入一個下標來說明。
例如，以2為底，8的對數記為log28。一般
我們用r來代表底數，則logrx的定義方程式為，
r
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log r x
13講
 x
39
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
40
對數函數定義(1)
設a > 0，a≠1 ，若ay=x <==> y=logax (x > 0)，
則g (x) = logax稱為以a為底的對數函數
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13講
41
對數函數定義(2)
對數函數g (x) = logax的定義域為(0, ∞ ) ，
值域為整個實數域R。
事實上， ax與 logax彼此有反函數的關係。即
log a a  a
x
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log a x
13講
 x( x  0)
42
對數函數定義(3)
試計算
1 . log 2 8
2 . log
1
2
64
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13講
43
對數函數定義(4)
方法一:依對數定義
1 . log 2 8
2 . log
1
2
64
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因為8 = 23 ， 故
因為
1
64
13講
 2 6
log 2 8  3
，故 log
1
2
 6
64
44
對數函數定義(5)
方法二:利用公式logaax = x
1 . log 2 8
2 . log
1
2
64
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log 2 8  log 2 2 3  3
log
1
2
 log 2 2  6   6
64
13講
45
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
46
對數律 (1)
設a > 0，a≠1 ，x ， y是正數
(1) log a1  0 , log
a
xy  log
a
( 2 ) log
( 3 ) log
a
x
a
 log
a
a 1
x  log
a
x  log
a
y
y
y
( 4 ) log
( 5 ) log
a
a
x b  b log
x 
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log
b
x
log
ba
a
x
(換底公式，b > 0，b≠1 )
13講
47
對數律 (2)
已知log102=0.3010，log103=0.4771，試求
(1) log
( 3 ) log
10
6
( 2 ) log
16
10
16
( 4 ) log 2 3
10
3
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13講
48
對數律 (3)
(1) log
10
6
解答
 log
10
 log
10
( 2 * 3)
2  log
 0 . 3010
10
3
 0 . 4771
 0 . 7781
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13講
49
對數律 (4)
( 2 ) log
10
16
解答
 log
10
 4 log
24
10
2
 4 * ( 0 . 3010 )
 1 . 2040
MCU-應用統計資訊系
13講
50
對數律 (5)
( 3 ) log
16
10
3
解答
 log
10
16  log
10
3
 1 . 2040  0 . 4771
 0 . 7269
MCU-應用統計資訊系
13講
51
對數律 (6)
( 4 ) log 2 3
解答


log
10
3
log
10
2
0 . 4771
0 . 3010

4771
3010
MCU-應用統計資訊系
13講
52
對數律 (7)
對數中最常用的底為10和e，使用底
為10的對數稱為常用對數（common
logarithm），寫成log10或log ， 不寫底
時， 就是底為10。使用底為e的對數稱
為自然對數（natural logarithms），寫
成loge或ln 。
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13講
53
對數律 (8)
log10x 寫成 log x
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13講
54
對數律 (9)
logex 寫成 lnx
MCU-應用統計資訊系
13講
55
對數律 (10)
自然對數函數定義
記作 ln ，定義如下
ln x 

x
1
1
dt ,
x  0
t
其定義域為所有正實數的集合
MCU-應用統計資訊系
13講
56
對數律 (11)
描繪自然對數函數f (x) = ln x (x > 0)的
圖形時，可先求出幾個點後，再通過這
些點描繪出曲線。使用計算機的“ln”鍵
可得出ln的值 ，若無計算機，把方程式
y=lnx寫成指數形式的x=ey ，然後選定y值，
再求對應的x值。下面為自然對數函數之
點及圖形。
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13講
57
對數律 (12)
y = ln x
x
y
1
2.7
7.4
0.4
MCU-應用統計資訊系
13講
0
1
2
-1
58
對數律 (13)
自然對數函數
f (x) = lnx
2
3
MCU-應用統計資訊系
13講
59
對數律 (14)
由y = ln x的圖形可看出當x值越大時，lnx
也越大。 事實上 ，
lim ln x  
x 
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13講
60
對數律 (15)
其次為兩個重要的結果，每個都與自然
對數的定義 (即y = ln x 等於 x = ey) 是同義
的。
1. e
 x
2 . ln e x  x
ln x
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x  0
所有實數的
13講
x
61
對數律 (16)
ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。
y = ex
(0, 1)
y=x
y = ln x
(1, 0)
MCU-應用統計資訊系
13講
62
對數律 (17)
從上圖
1. lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)。
2. lim ln x   ,
x 
MCU-應用統計資訊系
lim  ln x  
x 0
13講
63
對數律 (16)
ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。
y = ex
(0, 1)
y=x
y = ln x
(1, 0)
MCU-應用統計資訊系
13講
64
對數律 (17)
從上圖
1. lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)。
2. lim ln x   ,
x 
MCU-應用統計資訊系
lim  ln x  
x 0
13講
65
對數律 (16)
ex與ln x的圖形對稱於直線y = x 。
y = ex
(0, 1)
y=x
y = ln x
(1, 0)
MCU-應用統計資訊系
13講
66
對數律 (17)
從上圖
1. lnx的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)。
2. lim ln x   ,
x 
MCU-應用統計資訊系
lim  ln x  
x 0
13講
67
對數律 (18)
我們將自然對數的性質，以ln x的形式重新表述
設x ， y是正數
( 2 ) ln 1  0 , ln e  1
(1 ) ln e x  e ln x  x
( 4 ) ln
( 3 ) ln xy  ln x  ln y
( 5 ) ln x
b
x
 ln x  ln y
y
( 6 ) log
 b ln x
a
x 
ln x
ln a
(a > 0，a≠1 )
MCU-應用統計資訊系
13講
68
對數律 (19)
方程式logee = 1和 loge11 = 0在作
化簡時常常用到 。以下重新以ln的
符號來表示 。
ln 1 = 0
ln e = 1
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13講
69
對數律 (20)
化簡下列對數值
1 . ln e
3 . ln
e
2 . ln( x 2 * 2 x )
5
x
x
2
 1
4
2x  3
MCU-應用統計資訊系
13講
70
對數律 (21)
1 . ln e
5
解答
利用 ln e x  x ,
MCU-應用統計資訊系
得 ln e 5  5
13講
71
對數律 (22)
2 . ln( x 2 * 2 x )
解答
 ln x 2  ln 2 x
[對數律(3)]
 2 ln x  x ln 2
[對數律(5)]
MCU-應用統計資訊系
13講
72
對數律 (23)
3 . ln
e
x
x
2
 1
4
2x  3
解答
 ln[ e
x
x
2
 ln e x  ln
 1  ]  ln
4
x 2
 x  4 ln( x
2
 1
4
 1) 
[對數律(3)]
1
 ln( 2 x  3 ) 2
1
2
MCU-應用統計資訊系
2x  3
13講
ln( 2 x  3 )
[對數律(4)]
[對數律(1)及
(5)]
73
對數律 (24)
解下列方程式
1 .e
2x
 10
2 . ln x   0 . 5
MCU-應用統計資訊系
13講
74
對數律 (25)
1 .e
2x
解答
 10
[等式兩邊取對數]
ln e
2x
 ln 10
2 x  ln 10
x 
ln 10
2
MCU-應用統計資訊系
13講
75
對數律 (26)
2 . ln x   0 . 5
解答
[等式兩邊取指數]
e
ln x
 e
x  e
MCU-應用統計資訊系
 0 .5
 0 .5
13講
76
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
77
對數函數的導函數(1)
先來看圖形 (x > 1)
y = 1/t
2
1
R
x2
1
若 x > 1, ln x = R的面積
MCU-應用統計資訊系
13講
78
對數函數的導函數(2)
再來看另一圖形 (0 < x < 1)
y = 1/t
2
1
R
x
1
2
若0< x < 1, ln x = - R的面積
MCU-應用統計資訊系
13講
79
對數函數的導函數(3)
上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。
當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所
圍成的面積； 當0 < x < 1時 ，它表示這面積的
負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln x對x > 0為良好定義；ln x對x  0無定義，因
為此定積分在包含0的區間上不存在 。
MCU-應用統計資訊系
13講
80
對數函數的導函數(1)
先來看圖形 (x > 1)
y = 1/t
2
1
R
x2
1
若 x > 1, ln x = R的面積
MCU-應用統計資訊系
13講
81
對數函數的導函數(3)
上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。
當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所
圍成的面積； 當0 < x < 1時 ，它表示這面積的
負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln x對x > 0為良好定義；ln x對x  0無定義，因
為此定積分在包含0的區間上不存在 。
MCU-應用統計資訊系
13講
82
對數函數的導函數(2)
再來看另一圖形 (0 < x < 1)
y = 1/t
2
1
R
x
1
2
若0< x < 1, ln x = - R的面積
MCU-應用統計資訊系
13講
83
對數函數的導函數(3)
上面所繪製的圖形表示ln x的幾何意義。
當x > 1時，它表示曲線y = 1/t下方介於1及x所
圍成的面積； 當0 < x < 1時 ，它表示這面積的
負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln x對x > 0為良好定義；ln x對x  0無定義，因
為此定積分在包含0的區間上不存在 。
MCU-應用統計資訊系
13講
84
對數函數的導函數(4)
因e lnx = x，在左邊代入x = e lnx ，
d
x
dx
d
dx
ln
ln
x  1
x 
代入後
1
x
這也是一個重要的結果。為使ln x有定
義 ，故x > 0 。
d
dx
MCU-應用統計資訊系
ln
x 
13講
1
x>0
x
85
對數函數的導函數(5)
為了求得對數函數f (x) = ln x之導函數的公
式，從下列方程式開始。
e
ln x
 x
微分此式的兩邊得
d
dx
e
e
ln x
ln x
d
dx
MCU-應用統計資訊系

ln
d
dx
x 
x  1
13講
86
對數函數的導函數(5)
自然對數函數的導函數
d
dx
MCU-應用統計資訊系
ln
x 
13講
1
x
x≠0
87
對數函數的導函數(6)
求導函數f'(x):
(1) f ( x )  x ln
( 2 ). f ( x ) 
MCU-應用統計資訊系
x
x
1  ln x
13講
88
對數函數的導函數(7)
(1) f ( x )  x ln
解答
x
f ( x) 
1
x ln x
2
f ( x ) 
d
dx
 (
1
2

1
) ln x 
(
1
x ln x )
2
 1 
x

2
 x 
1
(ln x  1 )
2
MCU-應用統計資訊系
13講
89
對數函數的導函數(8)
( 2 ). f ( x ) 
解答
x
1  ln x
f ( x ) 
d
dx
(
x
1  ln x
)
 d

 d
x  1  ln x   x

 dx
 dx



1  ln x 2
(1  ln x )  x (

MCU-應用統計資訊系
1
x
(1  ln x )
13講
2
)

1 

ln x 


ln x
(1  ln x ) 2
90
對數函數的導函數(9)
若f(x) = ln x ，利用連鎖律
d
ln[ g ( x )] 
dx
d
f ( g ( x ))
dx
 f ( g ( x ))
d
g(x)
dx

1
d
g  x  dx
MCU-應用統計資訊系
g(x)
13講
91
對數函數的導函數(10)
所以對數連鎖律公式歸納如下:
若g(x)是一可微分函數且g(x) ≠0 ，則
d
1
ln[ g ( x )] 
dx
MCU-應用統計資訊系
d
g( x)
g ( x ) dx
13講
92
對數函數的導函數(11)
求導函數f'(x):
(1) f ( x )  ln( 5 x  3 x  1)
2
( 2 ) f ( x )  ln[( 3 x  5 ) ( 4 x  1) ]
2
MCU-應用統計資訊系
13講
3
93
對數函數的導函數(12)
(1 ) f ( x )  ln( 5 x 2  3 x  1 )
解答
d
f ( x ) 
ln( 5 x 2  3 x  1)
dx
1

5x

2
d
 3 x  1 dx
5 x 2
 3 x  1
10 x  3
5x2  3x  1
MCU-應用統計資訊系
13講
94
對數函數的導函數(10)
所以對數連鎖律公式歸納如下:
若g(x)是一可微分函數且g(x) ≠0 ，則
d
1
ln[ g ( x )] 
dx
MCU-應用統計資訊系
d
g( x)
g ( x ) dx
13講
95
對數函數的導函數(13)
( 2 ) f ( x )  ln[( 3 x  5 ) 2 ( 4 x  1 ) 3 ]
解答
 ln( 3 x  5 ) 2  ln( 4 x  1 ) 3
 2 ln( 3 x  5 )  3 ln( 4 x  1)
f ( x )  2
d
dx
 2
1
d
3 x  5 dx

3x  5
ln( 4 x  1)
dx
( 3 x  5)  3
6
MCU-應用統計資訊系
d
ln( 3 x  5 )  3

1
d
4 x  1 dx
( 4 x  1)
12
4x  4
13講
96
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
97
對數微分法 (1)
有時候先對函數取對數，利用對
數的性質簡化再求導，這種化繁為
簡的微分過程，稱為對數微分法，
常用到複雜或特殊的微分問題上。
MCU-應用統計資訊系
13講
98
對數微分法 (2)
以對數微分法求導函數f'(x):
(1) f ( x ) 
6x  7
x
3
(2) f ( x )  x ,
x
MCU-應用統計資訊系
 2
4
x0
13講
99
對數微分法 (3)
(1) f ( x ) 
解答
6x  7
x 3
 2
4
先將函數對數化:
f ( x )  ln
ln
6x  7
x 3
 2
4
1
 ln( 6 x  7 ) 2  ln( 3 x 3  2 ) 4

1
ln( 6 x  7 )  4 ln( x 3  2 )
2
MCU-應用統計資訊系
13講
100
對數微分法 (4)
解答
d
ln
等式兩邊求導:
f ( x) 
dx
1
d
2 dx
f  x 
f
x 

d
ln( 6 x  7 )  4
ln( x 3  2 )
dx
1
6
2 6x  7
 4
3x2
x3  2
所以
f  x  
MCU-應用統計資訊系
6x  7
x
3
 2
4
(
13講
3
6x  7

12 x 2
x
3
 2
)
101
對數微分法 (5)
(2) f ( x )  x x ,
解答
x  0
取對數:
ln
f ( x )  ln x
x
 x ln x
等式兩邊求導:
d
 ln
f ( x) 
dx
f  x 
( x ln x )
dx
 ln x  x (
f ( x)
MCU-應用統計資訊系
d
1
)
x
13講
102
對數微分法 (6)
解答
所以
f ( x )  x
MCU-應用統計資訊系
x
(1  ln x )
13講
103
對數微分法 (7)
以對數微分法證明羃法則
d
x r  rx
r 1
, r 是一實數
dx
證明
設 f ( x )  x r , 取對數
ln
,得
f ( x )  ln x r  r ln x
MCU-應用統計資訊系
13講
104
對數微分法 (8)
以對數微分法證明羃法則
d
ln
f (x)  r
dx
ln x
dx
f  x 
f
d
證明
x 
 r
1
x
即
1 
r 

f x   x  r
  rx
x 

MCU-應用統計資訊系
r 1
13講
105
課程內容
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
106
對數積分(1)
在上節中，我們已經導出對數函數的
導函數，經由這些公式，再利用反導函數
的定義，可以得到一些相對應的積分公式。
MCU-應用統計資訊系
13講
107
對數積分(2)
定理:


MCU-應用統計資訊系
1
dx  ln x  c
x
a x dx 
ax
 c
ln a
13講
108
對數積分(3)

1
dx  ln x  c
x
證明
推論
D ln g ( x ) 
Dg ( x )
g( x)
若令g(x)=x
D ln x 
1
x
MCU-應用統計資訊系
13講
109
對數積分(4)
所以

MCU-應用統計資訊系

1
dx  ln x  c
x
13講
110
對數積分(5)
例題1:
2
0
x
x
解答
2
1
令u  x
2
 1, 則
du  2 xdx ,
1
du  xdx
2
MCU-應用統計資訊系
13講
111
對數積分(6)
解答
依定理 
1
dx  ln x  c
x
得
1 51
原式 
1 du
2
u

1
2

1
5
ln u 1
ln(ln 5  ln 1) 
2
MCU-應用統計資訊系
1
ln 5
2
13講
112
對數積分(7)
例題2:

1
dx
x ln x
解答
令 u  ln x , 則
du 
1
dx
x
MCU-應用統計資訊系
13講
113
對數積分(8)
解答
依定理 
1
dx  ln x  c
x
原式  
1
得
du
u
 ln u  c
 ln ln x  c
MCU-應用統計資訊系
13講
114
對數積分(9)
例題3:
解答

x
2
x 2
dx
令 u  x  2, 則
du  dx 且 x  u  2
MCU-應用統計資訊系
13講
115
對數積分(10)
解答
原式  
 
u
2
(u  2 )
du
u
 4u  4
du
u
  (u  4 
MCU-應用統計資訊系
2
4
) du
u
13講
116
對數積分(11)
解答

u
2
 4 u  4 ln u  c
2

( x  2)
2
 4 ( x  2 )  4 ln x  2  c
2
MCU-應用統計資訊系
13講
117
對數積分(12)
例題4:

10
解答
x
dx
x
令u 
1
du 
2
MCU-應用統計資訊系
x,則
dx ,
x
13講
118
對數積分(13)
解答
1
du 
2
2 du 
dx ,
x
1
dx
x
依定理
MCU-應用統計資訊系

a x dx 
ax
ln a
13講
 c
得
119
對數積分(14)
解答
u
原式  2  10 du
 2
10
u
c
ln 10

210
x
c
ln 10
MCU-應用統計資訊系
13講
120
對數積分(15)
例題5:
解答

3
ln x
dx
x
依定理

a x dx 
ax
ln a
 c
得
u
原式   3 du
MCU-應用統計資訊系
13講
121
對數積分(16)
解答

3
u
c
ln 3

3
ln x
c
ln 3
MCU-應用統計資訊系
13講
122
課程回顧
MCU-應用統計資訊系
13講
123
對數函數之微分及其
相關之積分
MCU-應用統計資訊系
13講
124
課程內容摘要
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
超越函數（Transcendental Functions）
對數觀念複習
對數函數定義
對數律
對數函數的導函數
對數微分法
對數積分
MCU-應用統計資訊系
13講
125