Transcript On Skew Dyck Paths

On Skew Fuss Paths
Li-Chih Chen
陳立志
指導教授：游森棚教授
Department of Applied Mathematics
National University of Kaohsiung, ROC
Aug 11, 2013
1
Outline
• Introduction
Dyck paths
Fuss paths
Skew Dyck paths
Skew Fuss paths
• Main results
• Idea of proof
• Discussions and future work
2
Dyck paths
Definition
長度為 n 的 Dyck paths：＝
◎起點 (0,0)，終點 (2n,0)
◎使用向上步" " U (1,1)與向下步"
D (1,-1) ，且不落在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
"
n=3
有5個Dyck paths
3
Theorem (André ,1887)
C(n) : Dyck paths of length n
1  2n 
C ( n) 
 1,1,2,5 ,14, 


n  1 n 
 Catalan numbers
◎Generating function
C  z   1  zC  z 
2
1  1  4z

2z
 1  z  2 z  5 z  14 z  
2
3
4
4
2-Fuss paths
Definition(Fuss,1795,Bertrand,1887)
長度為 n 的 2-Fuss paths：＝
◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。
◎使用向上步 U(2,2)與向下步 D(1,-1)，且不落
在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
n=2
U
D
有3個2-Fuss paths
5
Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)
2

F  n  : 2-Fuss paths of length n
2

F  n 
1  3n 
=1,1, 3 ,12,55, 


2n  1  n 
=Fuss-Catalan numbers
◎Generating function
F
 2
 
 z  1 z F
 2
3
 1  z 3 z 2  12 z 3  
6
Dyck
paths
2-Fuss
paths
7
m-Fuss paths
Definition (Fuss,1795,Bertrand,1887)
長度為 n 的 m-Fuss paths：＝
◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。
◎使用向上步 U(m,m)與向下步 D(1,-1) ，且不
落在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
n=2
m格
m格
U
D
有4個 3-Fuss paths
8
Theorem (Fuss,1795,Bertrand,1887)
◎ F  m  n  : m-Fuss paths of length n
m

F n 
1   m  1 n 


mn  1  n

◎Generating function
F
 m
 z  1 z
F 
 m
m 1
9
Dyck
paths
2-Fuss
paths
m-Fuss
paths
10
Skew Dyck paths
Definition (Deutsch et al,2010)
長度為 n 的 Skew Dyck paths：＝
◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。
◎使用向上步 U(1,1)、右下步 D(1,-1)與左下步
L (-1,-1) ，且不落在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
n=2
U
D
L
有3個Skew Dyck paths
11
Theorem (Deutsch et al,2010)
◎ S (n) : Skew Dyck paths of length n
 n  1
S (n)   
ck =1,1, 3 ,10,36,   ck =Catalan numbers 

k 1 k  1
n
◎Generating function


2
1

z

1

6
z

5
z
S  z   1+z S 2  z   S  z   1 
2z
 1  z  3 z 2  10z 3  36 z 4  
12
Dyck
paths
2-Fuss
paths
m-Fuss
paths
Skew Dyck
paths
13
Our question…
Dyck
paths
2-Fuss
paths
m-Fuss
paths
Skew Dyck
paths
？
？
14
Yes, we find it！
15
Main results
16
Dyck
paths
2-Fuss
paths
m-Fuss
paths
Skew Dyck
paths
Skew
2-Fuss
paths
Skew
m-Fuss
paths
17
Skew 2-Fuss paths
Definition 5.1 (Chen,2013)
長度為 n 的 Skew 2-Fuss paths：＝
◎起點 (0,0) ，終點落於 x 軸。
◎使用向上步 U(2,2)、右下步 D(1,-1)與左下步
L (-1,-1) ，且不落在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
n=1
U
D
L
有2個Skew 2-Fuss paths
18
n=2
有14個Skew 2-Fuss paths
19
2

S (n) : Skew 2-Fuss paths of length n
Theorem 5.2 (Chen,2013)
Generating function
  2
2

S  z   1+z  S

 
2


2 
2


 S -1 S +1

 1  2z+14 z 2  118 z 3  
Theorem 5.3 (Chen,2013)
1 n 1 n k +1  n  n  2 j
2

S ( n)    2 
 j  k  n 
k

1
n k 0 j 0

 

j 
 1,2, 14 ,118,1114,11306, 
20
proof ：
step1：利用結構拆解法
s
s
1
s
D
z
 or
D
s
USD’SD”S
s
S-1
z
or
s
D
L
USD’SL’
or
z
L
L
U(S-1)L’L”
S-1
z
or
D
L
s
U(S-1)L’D’S
S  1  zS 3  zS 2  z  S  1  zS  S  1


S  1  z S  S  1  S  1
2
21
proof ：


 G  z  G 2  3G  1  G  2 
step2： 令G  S  1 代入 S  1  z S 2  S  1  S  1
step3：用Lagrange Inversion formula


n
1
n
2

n
n

1
2




S ( n)  z G  z
z  3z  1  z  2 
 


n
1 n 1 n k +1  n  n  2 j 
  2 
 j  k  n  j 
k

1
n k 0 j 0

 

22
Skew m-Fuss paths
Definition 5.4 (Chen,2013)
長度為 n 的 Skew m-Fuss paths：＝
◎起點 (0,0)，終點落於 x 軸。
◎使用向上步 U(m,m)、右下步 D(1,-1)與左
下步 L (-1,-1)，且不落在 x 軸之下。
◎長度 n 是指其向上步 U 的個數。
m格
m格
U
D
L
23
m

S (n) : Skew m-Fuss paths of length n
Theorem 5.5 (Chen,2013)
◎ Generating function
 
  m
m

S  z   1+z  S

2


m   m

 S -1 S +1

m1
Theorem 5.6 (Chen,2013)
1 n1 n  m2 n k 1   m  1 n   n  2 j
m

S ( n)    2

  
n k 0 j 0
 n  k  1   j  k  n 


j
24
proof ：
step1：利用數學歸納法及結構拆解導出


S  1  z S  S  1  S  1
已知 m=1 時成立(即定理4.2)
2
m 1
已知 m=2 時成立(即定理5.2)
假設 Skew m-Fuss paths 時成立
證明 Skew (m+1)-Fuss paths 時也成立
設 Skew (m+1)-Fuss paths 的生成函數記為 S
25
proof ：
(Ⅰ)
(Ⅱ)
m+1
m+1
L
L
P
D
L
(Ⅲ)
P
(Ⅳ)
m+1
m+1
D
DP
D
L
P
依第一次下降到 y=1 及 y=0 分類，並令第
一次下降到 y=0 的單位步的起點為 P，可
分成 4 種類型：
(Ⅰ) LD (Ⅱ) LL (Ⅲ) DD (Ⅳ) DL
26
proof ：
case1： (Ⅰ)
(Ⅱ)
m+1
m+1
L
P
D
L
L
P
◎(Ⅰ)(Ⅱ) 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 L
的路徑。
◎在(Ⅰ)(Ⅱ)型中，先考慮 y=1 之上的路徑，就
是以(1,1)為起點，P 為終點的路徑。
◎(Ⅰ)型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （S）
◎(Ⅱ)型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （1）
◎(Ⅰ)(Ⅱ) 型相當於以原點為起點，P為終點的
27
路徑，乘上(S+1)。
proof ：
case2：(Ⅲ)
(Ⅳ)
m+1
m+1
D
DP
D
L
P
◎(Ⅲ)(Ⅳ) 型：第一次下降到 y=1 的上一步是 D
的路徑。
◎在(Ⅲ)(Ⅳ)中，先考慮 y=1 之上的路徑，就是
以(1,1)為起點，P 為終點的路徑。
◎(Ⅲ)型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （S）
◎(Ⅳ)型的路徑＝原點到 P 的路徑 × （1）
◎(Ⅲ)(Ⅳ) 型相當於以原點為起點，P 為終點的
28
路徑，乘上(S+1)
proof ：
m
×(S+1)
LP
(Ⅰ)
m+1
(Ⅱ)
m+1
L P
D
(Ⅲ)
×(S+1) m+1
m
D
L
P
L
(Ⅳ)
m+1
D
P
Skew m-Fuss paths
D
D P
P
L
Skew (m+1)-Fuss paths
原點走到P的函數方程由數學歸納法假設為


z S  S  1  S  1
2
m 1
滿足S的函數方程 = 原點走到P乘上(S+1), 即


m
2
 1  z  S  S  1  S  1
S  1  z S  S  1  S  1
2
m 1
 S  1
29
proof ：


m 1
2
 G  z  G  3G  1  G  2 
step2：令G  S  1 代入 S  1  z S  S  1  S  1
2
m 1
step3：用Lagrange Inversion formula


1  n 1  2
m

n

S ( n)  z G  z
z  3z  1
 

n
n
 m 1n
 z  2
1 n 1 n  m  2 n  k +1   m  1 n   n  2 j
  2

  
n k 0 j 0
 k  1   j  k  n 


j
30
m
 
m

s
n
n 0
1
1, 1, 3, 10, 36, 137, ……
2
1, 2, 14, 118, 1114, 11306, ……
3
1, 4, 64, 1296, 29888, 745856, ……
4
1, 8, 288, 13568, 734720, 43202560, ……
5
1, 16, 1280, 137216, 17006592, 2293825536,……
6
1, 32, 5632, 1351680, 376569856, 114340921344,……
31
Dyck
paths
2-Fuss
paths
m-Fuss
paths
Skew Dyck
paths
Skew
2-Fuss
paths
Skew
m-Fuss
paths
32
按照向左步的計數(Skew 2-Fuss paths)
Theorem 5.7
◎Generating function
2

k n
令S  S  y, z    an,k y z


S  1+z S 2   S  1 y  S +y 
 1  (1  y ) z  (3  6 y  4 y 2  y 3 ) z 2
(12  35 y  40 y 2  23 y 3  7 y 4  y 5 ) z 3  
n=2
33
按照向左步的計數(Skew 2-Fuss paths)
Theorem 5.8
 2
令S n
 2
Sn
 y ：  z
n

 2
Sn
 y, z 
 n   2 j   k  1 n i  j
1 n 1 n k 1 n
y
 y     
 k-n+j  



n k 0 j 0 i 0  n  k  1 j  
 i 
34
proof ：
step1：利用結構拆解 ，將左下步標記為 y
S
1
S-1
S
 or z
S
S
z
y or
or
y
y
S-1
S
z
or z
y
S
S  1  zS 3  zy 2  S  1  zyS 2  zyS  S  1

S-1  z  S  y  S 2   S  1 y

35
proof ：

step2：令G  S  1 代入 S-1  z  S  y  S 2   S  1 y


 G  z  G  y  1  G  1  Gy
2
step3：用Lagrange Inversion formula


n
1
n
2
n

1
 z S   z G   z   z  y +1  z  1  zy
 
 

n
1 n1 n k 1 n  n   2 j   k  1 ni  j
   
y
 k-n+j  



n k 0 j 0 i 0  n  k  1 j  
 i 
n
n
36

按照向左步的計數(Skew m-Fuss paths)
Theorem 5.9
◎Generating function
m

令 S  S  y , z    an , k y k z n


S  1+z S 2   S  1 y  S +y 
m
 m
S  y, z 

1 n 1 n  m  2 n  k 1  m-1 n   n   2 j    m  2  n  k  1 n i  j
  
 
    k-n+j  
y
n k 0 j 0
i
i 0
 n  k  1  j  


Sn
 y    z
m 1
n
37
Discussions and future work
1.數論性質
（1）Dyck paths(Catalan數)
1  2n 
k

1
mod
2
若且唯若
n

2
1


n  1 n 
（2）Fuss paths(Fuss Catalan數)
1   m  1 n 
k

1
mod
m

1
若且唯若
n

m

1
1






mn  1 
n 
38
Discussions and future work
1. 數論性質
（3）Skew 2-Fuss paths
2

Theorem 6.1 Sn  0 mod 2 (n  1)
2
證明：定義 ψ： S n →
2

S
n
ψ(……L) ＝……D，且ψ(……D) ＝……L ，顯然是一個
involution，ψ將所有 S  2 中的路徑二二配對，故 s 2  S  2
n
n
n
必為偶數。
n=2
ψ
39
Discussions and future work
1. 數論性質
（3）Skew 2-Fuss paths
Conjectures：1
2

Sn  1,2 mod 4
 2   1,2,6,6,2 mod8
2
S
  n
 2   1,2,14,6,10,10,6,14,2 mod16
3
S
  n
Question： Skew m-Fuss paths 的數論性質？
40
Discussions and future work
2. 細分
Dyck Paths：
按照山峰數
Narayana numbers
按照隧道（tunnel）數
Narayana numbers
按照區塊（block）數
Ballot numbers
按照第一個山峰的高度
Ballot numbers
按照高度（height）
Height distribution
Question：
Skew m-Fuss paths 按照以上細分是否有結果？
41
Discussions and future work
3. Skew 2-Fuss paths 按" " 步的細分
 n  2 j
1 n 1 n k 1 n
2

Sn  y      
 k  n 
j
n k 0 j 0 i 1  n  k  1
 
 0個"
 1個"
1  3n 
2
"   y 0  Sn   y  
 
2n+1  n 
 3n  1
1   2

"  y Sn  y   

 
n

1


 k  1 n i  j
y


j  i 
 此即2-Fuss paths 
n 11n  1
2n2   2

  2n  2  個" "  y
S
y 

 n  
2
2
  2n  1 個" "   y 2 n 1  Sn   y   3n  2


 (★)
Question：(★) 有簡單的証明嗎？
42
Discussions and future work
4. 組合結構？
◎There are 200  Catalan Structures

50
◎There are
Fuss Structures
Question：
Skew m-Fuss paths families？？
43
THANK YOU！
44