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98高中數學課程綱要 與 高中數學教師 報告者：國立台灣師範大學 張幼賢 修訂歷程 普通高級中學數學科課程綱要的修訂，分成「前置研 究階段」與「修訂階段」。前置研究歷時一年半，包括： 一、94年1月至6月進行的「中小學數學科課程綱要評估與發 展研究」，以12年一貫的精神，檢視當時的九年一貫數學 課程與95高中數學暫行綱要的「一貫性」、「銜接性」與 「妥適性」，並與國際現況比較，包括美國加州、新加坡、 英國、日本、韓國、中國等國家或地區。此研究之簡要報 告置於課程綱要附錄A。 二、94年12月至95年4月，擬定「12、15、18歲數學科能力 指標」。 三、95年8月及9月，建置「中小學一貫課程體系」，進行跨 學科之檢視，釐出數學與其他學科之關聯，並整理各學科 學習上需要數學的課題與需求該課題知識的時間。 數學科在95年春即組成數學課程綱要修訂專案小組，於95 年4月1日開始修訂階段的工作。上述四種文件：回饋意見、數 學科能力指標、中小學數學科課程綱要評估與發展研究及跨學 科關聯性報告，是本次課綱修訂的主要參考文件，其研發過程 中皆經過廣泛之意見徵詢；其他參考資料則包括美國、新加坡、 中國、英國等他國之高中教科書。相關資料可至數學學科中心 網站http://www.mathcenter.ck.tp.edu.tw查閱。 數學課綱修訂專案小組成員包括數學子領域代表（分析、 代數、幾何、機率、統計、離散數學）、九年一貫數學領域課 綱代表、師範大學代表、教育心理或數學教育代表以及高中教 師代表（包括學科中心、普通高中、完全中學、數學科輔導團、 全國教師會等），力求涵蓋周全與均衡。專案小組舉行了17次 研究與討論會議之後，於96年6月提出草案初稿，並開始公民參 與程序，與學科中心共同舉辦焦點座談與公聽會。其中有五場 焦點座談，對象為三所師範大學推薦代表、教科書編者、教科 書審查委員、大考中心代表與教師代表，以及意見團體代表 （包括教師會、家長會、學生會等）；三場公聽會（北、中、 南區各一場）。為落實公民參與，所有蒐集到的意見，都帶回 專案小組，再召集會議，審慎討論之後才提交課程綱要之修訂 草案。該草案經專家審查並修訂之後，由教育部公布實施。 98課綱修訂理念 •強調數學的基礎性 •界定核心的數學內容 •導正數學學習文化 強調數學的基礎性 •數學是研究各種規律性所發展出的語言， 是人類理性思維的產物，也是自然科學與 社會科學的共同基礎 •計算機的發明，更促成當代各學科進行 「數量化」與「數學化」的革命 •聯合國教科文組織亦將數學與語文列為終 身學習的基礎 界定核心的數學內容 •生活上的需要 所形成的核心內容 •其他學科的需要 •大部分學生在循序漸進學習中，得以學會 的基礎數學 導正數學學習文化 •數學學習應注重數學思考的訓練 •「零碎解題技巧堆集」 •「不經慎思只求快速解答」 須導正! •解題固是數學訓練重要的一環，但應注意 其意義與方法；題型的情境要合於常理， 刁鑽人工化的難題則應予避免。 學習文化 • 注重數學的結構與思考訓練 • 在數學的結構與思維方法中，體認數學應 用的廣泛與威力 • 塊狀與螺旋式的課程設計 • 導正「零碎解題技巧堆集」以及「不經慎 思只求快速解答」的學習文化 98 課綱精神 •掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念 •展現化繁為簡、以簡馭繁的數學思考方法 •在演繹之外，加強歸納思維的訓練，並認 識數學模型的意義 •以圖形與實例，循序漸進，建構抽象思維 的內涵 •強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本 質性 課綱特色 •一貫性 •妥適性 •銜接性 •國際性 •連結性 一貫性 •配合九年一貫數學領域課程內容，掌握幾個主題， 包括： –「數與量」 –「代數」 –「幾何」 –「函數」 –「機率與統計」 •由國小、國中之基礎，於高中階段持續鋪陳發展。 銜接性 •為了學生學習經驗之累積，各主題與國中 數學之相關主題均設計了複習、延伸、及 再發展新觀念的學習歷程。 連結性 •為了避免數學學習成為零碎技巧的累積， 課綱設計注意數學內部各單元間的連結， 以及數學與外部的連結，包括數學與生活 的連結，以及數學與其他學科的連結等， 也就是要加強數學的應用。 妥適性 •考量學習的有效性，本課綱特別注意 –各主題內容是否為必要 –章節位置是否妥適 –學習速度是否妥當 國際性 •呼應國際上數學科學發展之潮流、以及數 學教育發展之趨勢。 –計算機之發展「數據分析」以及「數學的應 用」，對今日的學子格外重要 –「函數」在當代國際數學教育中特別受重視 在本課綱中，將其列為與「代數」、「幾何」 同等地位之主題 95課綱與98課綱各冊次章節對照表 98課綱 95課綱 第 一 冊 第 一 冊 第 數 1～1：數與數線 一 與 1～2：數線上的幾何 章 式 1～1：整數 數 第 與 1～2：有理數與實數 一 座 1～3：平面坐標系 章 標 系 1～4：複數與複數平面 2～1：多項函數及其圖形 第 二 章 多 項 2～2：多項式的運算與應用 式 函 2～3：多項方程式 數 2～4：多項函數圖形與多項不等式 3～1：指數 指 數 3～2：指數函數 第 、 三 對 3～3：對數 章 數 函 3～4：對數函數 數 3～5：指數與對數的應用 第 二 章 數 2～1：等差級數與等比級數 列 與 2～2：無窮等比級數與循環小數 級 2～3：數學歸納法 數 3～1：多項式的四則運算 3～2：餘式定理、因式定理 第 多 3～3：最高公因式與最低公倍式 三 項 3～4：多項函數 章 式 3～5：多項方程式 3～6：多項不等式 第 二 冊 第 一 章 第 二 章 數 列 1～1：數列 與 1～2：級數 級 數 第 一 章 排 2～1：邏輯、集合與計數原理 列 、 2～2：排列與組合 組 2～3：二項式定理 合 三 角 第 函 數 二 的 章 基 本 觀 念 3～1：樣本空間與事件 第 3～2：機率的定義與性質 三 機 率 3～3：條件機率與貝氐定理 章 第 四 章 第 二 冊 數 4～1：一維數據分析 據 分 4～2：二維數據分析 析 第 三 章 指 數 與 對 數 三 角 函 數 的 性 質 與 應 用 1～1：指數 1～2：指數函數及其圖形 1～3：對數 1～4：對數函數及其圖形 1～5：查表、內插法 2～1：銳角三角函數 2～2：三角函數的基本關係 2～3：簡易測量與三角函數值表 2～4：廣義角的三角函數 2～5：正弦定理與餘弦定理 2～6：基本三角測量 3～1：三角函數的圖形 3～2：和角公式 3～3：倍角、半角公式 3～4：正餘弦函數之疊合 3～5：複數的極式 第 三 冊 1～1：直角三角形的邊角關係 1～2：廣義角與極坐標 第 1～3：正弦定理、餘弦定理 一 三 角 1～4：差角公式 章 1～5：三角測量 第 二 章 第 三 章 直 2～1：直線方程式及其圖形 線 2～2：線性規劃 與 圓 2～3：圓與直線的關係 平 3～1：平面向量的表示法 面 3～2：平面向量的內積 向 量 3～3：面積與二階行列式 第 三 冊 1～1：有向量線段與向量 第 1～2：向量的基本應用 向 一 量 1～3：平面向量的坐標表示法 章 1～4：平面向量的內積 第 二 章 第 三 章 空 間 中 的 直 線 與 平 面 圓 與 球 的 方 程 式 2～1：空間概念 2～2：空間坐標系 2～3：空間向量的坐標表示法 2～4：平面方程式 2～5：空間直線方程式 2～6：一次方程組 3～1：圓的方程式 3～2：圓與直線的關係 3～3：球面方程式 3～4：球面與平面的關係 第 四 冊 第 一 章 空 間 向 量 1～1：空間概念 1～2：空間向量的坐標表示法 1～3：空間向量的內積 1～4：外積、體積與行列式 空 間 2～1：平面方程式 第 中 的 二 平 2～2：空間直線方程式 2～3：三元一次聯立方程組 章 面 與 直 線 第 四 冊 第 一 章 第 二 章 圓 錐 曲 線 1～1：圓錐曲線名詞的由來 1～2：拋物線 1～3：橢圓 1～4：雙曲線 1～5：圓錐曲線的光學性質 排 列 、 組 合 2～1：集合元素的計數 2～2：加法原理、乘法原理 2～3：排列 2～4：組合 2～5：二項式定理 2～6：遞迴關係 Ⅰ 機 3～1：線性方程組與矩陣 率 第 第 與 3～2：矩陣的運算 三 矩 三 統 陣 3～3：矩陣的應用 計 章 3～4：平面上的線性變換與二階方階 章 （ ） 第 四 章 二 4～1：拋物線 次 4～2：橢圓 曲 線 4～3：雙曲線 3～1：事件與集合 3～2：機率的性質 3～3：數學期望值 3～4：統計資料的來源 3～5：分析一維數據 3～6：信賴區間與信心水準的解讀 第五冊 ） 第 二 章 三 2～1：一般三角函數的性質與圖形 角 2～2：三角函數的應用 函 數 2～3：複數的幾何意涵 機 1～1：獨立事件、條件機率與貝氏定 率 理 第 與 1～2：數學期望值與二項分配 一 統 計 章 （ 1～3：交叉分析 1～4：分析二維數據 ） 2～1：矩陣的加法與係數積 2～2：矩陣的乘法及意義 2～3：矩陣的列運算及增廣矩陣的應 第 用 二 矩 陣 2～4：行列式 章 2～5：克拉瑪公式 2～6：反方陣 Ⅱ Ⅱ 機 率 第 與 1～1：隨機的意義 1～2：二項分布 一 統 計 章 （ 1～3：抽樣與統計推論 第五 冊 第 不 3～1：絕對不等式 三 等 3～2：條件不等式 章 式 3～3：線性規劃 第 六 冊 第 一 章 極 1～1：數列及其極限 限 與 1～2：函數的概念 函 1～3：函數的極限 數 2～1：微分 多 項 2～2：函數性質的判定 2～3：積分的意義 第 式 函 二 數 2～4：積分的應用 章 的 微 積 分 第 六 冊 多 項 式 第 函 數 一 的 章 極 限 與 導 數 1～1：函數及其圖形 1～2：極限概念 1～3：割線與切線 1～4：導數與切線的斜率 導 第 函 二 數 的 章 應 用 2～1：函數圖形的描繪 2～2：函數的極值 2～3：三次函數的圖形 2～4：極值的應用 多 3～1：黎曼和與面積 項 3～2：求多項式函數圖形與直線所形 第 式 成的面積 函 三 數 3～3：定積分及其應用 章 的 積 分 新舊課綱的差異 • 刪除: 6項 • 弱化: 4項 • 新增: 3項 • 位置調整: 8項 • 強化: 6項 • 選修部分 刪除 最高公因式、最低公倍式、多項式的輾 轉相除法 經跨國比較，大多數國家未將此題材列 為高中必修。 環狀排列 並非必要之題材，且易發展出太難的題 型。 和差化積、積化和差 高中數學科、物理科不涉及不同週期之 三角函數的疊合，故無必要性，且易發 展出太難的題型。 二次曲線與直線的關係、圓錐曲線的光 學性質 可在多變量微積分中學習，在高中處理 較複雜，國際上亦弱化圓錐曲線之學習。 球 可在多變量微積分中學習，在高中處理 較複雜。 交叉分析 涉及聯合機率與兩變元之函數概念，在 高中不宜。 新增 隨機的意義 與國中的相對次數分布圖能結合，屬機 率的基本概念，並能較清楚交待現有教 材中之期望值、變異量，以及二項分布 的概念。 凹凸性 加強函數特徵的認識，但僅作直觀的介 紹 外積 為清楚鋪陳三維體積公式之學習，並與 正弦定理相結合，且目前高中已介紹其 概念，只是未明確定義。 強化 分式的運算 作為有理函數的學習基礎，分式在生活 中應用性高。 二次以下插值多項式 應用性高，並可連結到「查表」之學習。 目前插值多項式在高中例題中均已出現， 此處僅增加名詞之定義。 指數模型 加強數學與生活的連結。 線性組合 調整分點公式之學習，強調線性組合 （向量的分解與合成）之觀念也重要。 函數的特徵與圖形的連結 函數表現具體世界的兩量關係，函數的 學習應將其特徵、圖形與應用作緊密的 結合。 平移與伸縮、數據的標準化 數學中最基本的化簡方法。 弱化 一般底的對數操作（換底公式） 除了2與10為底的對數，一般底的對數 在高中並無必要性 排列組合 情境不合理或太難的題型會降低學習效 率 三角恆等式、三角方程式 複雜的三角恆等式、三角方程式在高中 時無直接用途，且會降低學習效率 遞迴關係 二階以上遞迴關係在高中時較孤立，在 大學的離散數學時候會學 位置調整-1 原數學IV之排列組合與古典機 率調整到數學II a.儘早提供學生在各學科進行量化分析所需要的 數學基礎。 b.與生活關聯性較高，應較早學習，此題材對一 原選修數學I之條件機率、貝氏 般高中生均屬需要。 定理、相關係數、最小平方法 c.調整後不會發生邏輯順序錯置的教學問題。 調整到數學II 原數學II之三角與三角函數分 別調整至數學III與數學V a.和緩學習坡度，讓學生有時間消化。 b.三角與坐標幾何及平面向量章節靠近，相關觀 念較易緊密結合。 c.三角函數的學習包括圓的參數式、波動與複數 的極式，都需要較成熟的數學觀念，放在高三 列為選修較合適 原數學I中「含不等式之數學歸 納法」及「無窮等比級數」， 移至選修數學甲II、乙II之極限 章節 a.在極限章節時才會進行數列大小估計，此時才 會用到含不等式的數學歸納法。 b.無窮等比級數涉及極限概念，移到極限章節較 恰當。 位置調整-2 原數學I之直線移至數 學III 直線的函數概念「一次函數」保留在數學I函數章節中，但 直線的幾何概念相關部分移至數學III之坐標幾何中，並與 平面向量章節靠近，較易建立學生完整的坐標幾何概念 原選修數學I之線性規 劃移至數學III 學完直線方程式應有直接的應用，符合課綱之代數、幾何 與應用緊密結合的精神 原選修數學I之矩陣調 整至數學IV 統一矩陣學習的章節，部分課題加註◎號列為選修 演算法（整數的輾轉相 a.整數的輾轉相除法與二分逼近法均屬原有題材，本綱要將 除法、二分逼近法）置 其統合為演算法，但有別於過去的教學，此處強調可透過 於數學II附錄 程式語言，在計算機上實現演算法。 b.計算機的發展凸顯了演算法的重要。 c.演算法置於附錄是要提供學生在資訊科技所需要用到的數 學基礎。 選修部分 •原選修數學列為標準選修課程，另新增三 類選修數學課程：基礎課程、統整課程、 進階課程，以提供不同學生之需求。 •仿美國AP課程設計，進階選修課程中之微 積分I、II可至大學選修。 教學的建言 數學家大多接受過嚴格的純數學訓練：包括一 套由集合與運算規則所建構的代數體系，由連續 性公理所建構的分析理論，以及由平行公理所建 構而成的歐氏幾何。它們都是由最簡潔的「公理」 出發，經過嚴謹的證明程序，建構出牢不可破的 數學體系。這套思維模式與建構歷程有它在理論 科學發展的重大意義，然而將它施行在數學教育 上，特別是對初學者而言，在缺乏動機與應用的 引導下，容易衍生成形式主義；六Ｏ年代美國與 法國『新數學教育改革』的失敗正是這樣慘痛的 教訓。直到今日，由於大多數教師都經過嚴格的 純數學訓練，形式主義的典型現象，或多或少仍 發生在我們的教學場域中。 五項建言 一、數學的學習若能切合現實世界，給予學習的動機與應用 的導引，學生才不會不知為何要學。 二、精簡的公理與嚴謹的推理，若能與學習者的既有經驗相 結合，學生比較容易被接受，也能內化為有用具。 三、數學課程要讓學生看到抽象化的必要性，避免經由嚴謹 程序而推得直觀上顯然的「公認事實」。高中數學教育 的內容，應能區別輕重並掌握主要脈絡，不宜在過於細 節的問題上，投入過多的心力。 四、數學是研究各種規律性所發展出的語言，數學思維的模 式兼具歸納與演繹。中學數學課程應較為平衡地呈現歸 納與演繹兩種思維模式，而不止著重於演繹而忽略了歸 納的思維。 五、函數、極限與微積分經常可以透過實例、圖形以及比較 大小等具體觀察，而直觀地判斷出哪些部分是重要的特 徵或元素。對於初學者，應重視此類直觀概念的發展。 98課綱的一個基本理念是要避免形式化 的數學學習，要將學生所學的數學與現實 世界連結。因此以生活上需要或是其他學 科需要的數學內容，形成高中數學的核心 內容。省思前述五項避免形式化教學的看 法，本課綱依據以下五項精神而設計分別 條列並說明於下。 （一）掌握主要脈絡，建構清晰的 數學概念 每一冊訂有一主題，分別是數學I：函數； 數學II：有限數學；數學III：平面坐標與向 量；數學IV：線性代數。 1. 函數的學習脈絡 整數系 一次函數 有理數系 實數系 二次函數 單項函數 一次方程式及其應用 二次方程式及其應用 數據分析 數 複數系 學 I 多項式 多項式函數 多項式方程式 多項式不等式 指數 對數 選 修 數 學 甲 乙 三角 複數 數列及其極 限 指數函數 對數函數 三角函數 指數與對數的應用 三角函數的應用 函數的概念 函數的極限 I 選 修 數 學 甲 II 多項式函數 的微積分 微分的應用：多 項式函數性質 的判定 積分的應用：統整高 中幾何與力學 2. 有限數學的學習脈絡 邏 輯 數 學 II 集 合 數列與級數 排列、組合 二項式定理 樣本空間與事件 機率的定義與性質 條件機率與貝氏定理 選 修 數 學 甲 乙 I 隨機的意義 二項分布 抽樣與統計推論 3. 平面坐標與向量及線性代數的學習脈絡 數 學 III IV 坐標 直角坐標 三角 極坐標 平面： 直線方程式 長方形面積 畢氏定理 正弦定理 餘弦定理 圓方程式 向量： 線性組合 內積 外積 行列式 空間： 平面方程式 空間中的直線 矩陣 二次曲線：橢 圓、雙曲、拋 物線 點、線關係 兩線關係 直線與圓的關係 線性規劃 點、面關係 兩面關係 三面關係 兩線關係 三元聯立 方程式的 應用 （二）展現以簡馭繁的數學思考方法 • • • • • 底下的例子說明如何在一些數學概念的學習達到 這樣的精神： 伸縮與平移：二次函數的標準化（配方法）、指 對數的換底（換為以10為底）、二次曲線的標準 化（平移+配方法）、數據的標準化 對稱性：將三角函數的求值問題，轉化為銳角三 角形的邊角關係問題 對數函數：化乘除為加減，化次方為乘除 內積與外積：將角度與面積問題化為可操作的代 數式 將排列組合問題都對應到球與籃子的標準模型 （三）在演繹之外，加強歸納思維 的訓練，並認識數學模型的意義 許多重要的公式都可以經由先鋪陳，再歸納出一般 式來學習，例如： 在乘法公式中與多項式章節中，先鋪陳 x n a n （ n 2, 3, 4 ） 的分解，到等 比級數時再歸納出一般的公式 在乘法公式中先鋪陳 a b n （ n 2, 3 ，4） 的展開式，到二項式定理再歸 納出一般展開式 發現數列的規律性也強調學生需能夠從數列或樣式中歸納出遞迴關係 為了計算兩向量的夾角，透過餘弦定理歸納出內積的自然定義 為了計算兩向量所張成之平行四邊形面積，透過正弦定理歸納出行列式的自 然定義 （四）以圖形與實例，循序漸進， 建構抽象思維的內涵 本課綱的設計，是提供了充分多的實例後， 才給抽象的定義。 在數與式中，先經過數字操作再轉化為文字與數學式的操作；其他章節如多 項式、指對數、三角函數、坐標幾何中亦皆如此。 邏輯與集合的操作：在數學 I 的一次不等式中，有如「求滿足 x 1 2 且 x 2 3 的 x 的範圍」的問題，自然引進邏輯中「且」的概念，而區間是集 合的概念，但不特別強調集合的抽象概念。又如數學 I 中的多項不等式，有 如「求滿足 x 1 x 2 x 3 0 的 x 的範圍」，這是用到「或」的概念。 先有這些實例，再於數學 II 的排列組合中才正式引進邏輯與集合的操作。 這個集合的抽象定義與操作是為了要處理一般的應用問題。 先有點坐標、平行及位置向量概念，再引進抽象的向量概念。 函數：先複習國中的一次函數和二次函數，然後介紹多項式與指對數函數； 這些函數都是直覺地認識，到選修數學中才正式引進抽象的函數定義。 函數圖形的鋪陳，是經過了特徵的「辨識」及「判定」兩個歷程。函數的特 徵如： ▓對稱點、奇偶性 ▓直線的斜率與截距 ▓二次函數的頂點、凹凸性 ▓已分解多項式函數的特徵，包括零根位置、重根、函數值正負的區間 （五）強調數學的應用，凸顯數學 的普遍性與本質性 我們用一些例子說明數學的應用性，例如： •運動學的例子：等速直線運動、等加速直線運動、 拋體運動、等速圓周運動，簡諧運動。 •指數成長的例子：如人口成長、細胞分裂、放射 性元素衰變、藥物代謝、複利等，或以指數方式 度量的音量、音階、地震強度、酸鹼值等。 •排列組合的例子：球與籃子的標準模型 •機率的模型：二項分布、常態分布 •聯立線性方程組的應用：線性規劃 關於附錄的補充說明 •教材附錄：在必修科目「肆、教材綱要」 和選修科目的「參、教材綱要」的表格內 所寫的附錄。 •綱要附錄：在必修科目的「陸、附錄」和 選修科目的「伍、附錄」。 教材附錄的定位： • 教材附錄為課文內容之輔助教材，應該編 入教科書。 • 教師應在適當時機將教材附錄配合課文內 容授課，不必按頁碼順序在學期末一併講 授。 • 教科書可視其需要，自行增加教材附錄。 • 教材附錄不應屬於全國性評量範圍。 綱要附錄的定位： •綱要附錄為綱要內容之說明與範例，其正 面表述之範例，教科書編者可自由選擇採 納與否。 •綱要附錄中列舉之不應或不宜包含於課程 內的課題，教科書編者應遵循處理，各校 亦應避免該類課題的評量。 「教學評量」的補充說明 • 數學學學習應注重數學思考的訓練，須導正「零 碎解題技巧堆集」以及「不經慎思只求快速解答」 的學習文化。解題固是數學訓練重要的一環，但 應注意其意義與方法；題型的情境要合於常理， 應避免悖於常理或只能用預設方法解題的「人工 化」難題。 • 各學期的課程綱要分成三或四個主題，大致上對 應教科書的章次，並不對應學校的段考範圍，各 校可自行協調決定各次段考的涵蓋範圍。 學習內容之補充說明 • 高一數學（數學I、II）的定位為學習與生活關聯或其他學 科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時 所需要的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度 量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數， 如多項式函數與指數、對數函數。高一下處理有關離散量 的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典 機率，以及其他學科常用到的數據分析等。 • 高二數學（數學III、IV）的定位為社會組與自然組學生在 學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與 線性代數。 由此想法刪除傳統的部分內容，而這些內容都不致影 響到學生銜接大學的課程，同時將這些刪除內容，放在選 修代數，選修幾何中，提供有志唸數學、物理等學生一個 挑戰的機會。 本課綱設計的學習速度是針對一般程度的學生， 讓他們在這樣的進度下能夠對內容充份吸收，學 得懂也愛學。另外，對程度落後的學生，設計基 礎數學I/II補足其銜接高中數學不足之部分。同時， 必修數學A版可以由原來兩年修習的規劃，彈性 拉長到兩年半，仍可接上學測的考試時間。對程 度好的學生，則規劃選修數學（如選修代數、選 修幾何等），以激發他們的學習熱忱，讓他們有 挑戰的機會。對程度更好的資優生，則可將高三 的選修數學甲/乙I規劃在高二上、下學期修習。一 來此舉並不會造成任何銜接的問題，二來高三時 期的數學課程可改修一年期的微積分，用來取代 選修數學甲II。如此設計可以提供資優生，有向 上學習的機會，不致於被壓在同一個學習範疇做 無謂的反覆學習。 每一學習段落均作主要脈絡的明確定位，以讓 學生循序漸進，不在主脈絡的部分採直觀方式處 理。先讓學生能直觀了解學習的目標，在之後的 課程中再經由實例、證明補足其嚴謹性，避免學 生覺得在學習過程中處處有陷阱而怯於舉足向前。 這些內容在高一採直觀的呈現，主脈絡是運用實 數，如根號，指數的操作，不要在高一時糾纏在 實數定義的嚴謹性問題。可透過十分逼近法表現 無窮小數，並呈現實數所具有的運算性質。又例 如函數圖形的對稱性，所用的對稱性的幾何內容， 不是以函數作為主軸的教學上的主題。因此，只 用直覺的認知即可。比如 x = y 的對稱，只要將 坐標系橫著再反著看即可。用對摺方式表現出對 稱性，對稱性的幾何觀念在國三以及高二會嚴格 處理。 在高中階段，分析學教學的嚴謹層次並不宜太 高。因此，在高三選修數學中，包含實數的完備 性、函數的定性分析、極限與微積分的概念等， 均採直觀處理。在關於數學分析的教學與範例中， 應避免觸及因為直觀而發生的邏輯陷阱，但是以 直觀說明的概念本身需是正確的。本課綱選修數 學中的微積分，並「不定位」為極限的應用（極 限部分採直觀處理），而是透過微積分的學習， 統整並深化必修數學課程中所學習的函數相關概 念與操作。其中統整者，包括多項式函數及指數 對數函數之圖形、特徵、定義域與值域；而深化 者，包括三角函數、分片定義函數（絕對值函 數）、簡單的根式與分式（有理函數），函數合 成的操作（伸縮與平移）等。 在嚴謹與形式化的程度上，多項式函數 的單調性（漸增或漸減）討論，應有數學 形式的敘述，而其理由可以透過微分均值 定理說明。至於微分均值定理，則可以採 直觀闡述，例如以幾何之割線意義，或物 理之平均速度意義來闡述。微積分基本定 理也可以用來統整高中所學習的定量幾何， 包括圓面積、球體積與角錐體體積。微積 分基本定理也自然與物理科做外部連結， 雖然自由落體不在數學課程範圍內，但學 生在高二已經學過，此時可以統整這方面 關於力學的學習。 七大基本核心能力 課程綱要「貳、核心能力」列舉了七項 能力，我們逐項說明如下。 一、演算能力 演算並非機械式的操作，而是為解決問 題所進行必要的操作。演算的進行須建立 在概念的理解上。演算的精進也深化我們 對概念的理解。演算能力需要長時間、漸 近且持續的練習才能精熟，過度或純機械 式的操作只能有暫時的效果，或甚至有反 效果，因此應該避免。文字、符號以及函 數的代數操作應注意其演算的目的，需有 具體的實例，並注意與現實世界是否連結， 否則會演變成形式、機械式的操作。演算 能力還包括基本的心算與估算能力。 二、抽象化能力 抽象化能力有下面幾個內涵： （一）能將具體世界中的概念以數學式子、 文字、符號、函數、方程式或抽象體系的 模型等來表徵。 （二）能在抽象世界進行思考與形式操作。 （三）建立抽象體系的能力。 （四）能將抽象世界的推論回歸到具體世界。 三、推理能力 推理必須視為是數學活動的一部分。例如，能 觀察並了解一個類型、說明一個結果的正確性， 或決定一個答案是否正確都是需要邏輯推理的活 動。特別是當推理成為數學活動的一部分時，學 生比較不會認為數學只是一些規則的堆積而已， 可以讓學生了解數學是可以了解且有意義的學習 活動。具體而言，這個能力的內涵包含： （一）能了解推理與証明是數學學習的基礎。 （二）面對問題能做數學的猜測並能以此猜測進行 探究。 （三）能發展與評鑑數學的推論與証明。 （四）能選用不同的推理與証明方法。 學生若具有推理的能力，則他們會表現 出： （一）由觀察資料及辨識類型中作數學的猜 測（歸納推理）。 （二）由邏輯的推理或反例的佐證驗証的有 效性：建構有效的理論（演繹推理）。 四、連結能力 泛指建立知識體系過程中的連結，在這 裡我們將其侷限在數學知識的內部連結， 以及數學與具體世界的外部連結。連結必 須要輔之以實例，同時要引導學生去嘗試 將新學的東西與舊經驗作連結，並鼓勵學 生舉實例。更深入的連結是數學建模的能 力。 五、解題能力 在此解題意思不只是解決問題而已，問題解決 能力的培養一直是數學課程與教學的一項重要目 標，學生要能從學習與做數學中探索並了解問題。 在這個過程中，學生形成問題、判斷結果，最後 要能具有解決問題的信心。簡單說，解題能力是 指學生在學數學與做數學時所用以思考及推理的 方式。具體而言，這個能力的內涵包含： （一）能解決數學學科及其他情境所引發的問題。 （二）能應用與採取不同的策略解題。 （三）能監控與反思數學的解題過程。 學生若具有解題的能力，則面對問題時 他們會進行： （一）了解一個問題的特性（了解一個問題， 能用自己的話說明問題）。 （二）探究（畫圖、建立模型、表格、記錄 資料、觀察類型）。 （三）選用二一個適當的策略（嘗試錯誤， 試著用簡單或類似的問題來做，往回推測， 猜測並檢驗，估計答案）。 （四）解題（運用正確的解題策略解題）。 （五）回顧、修正及推廣（檢驗答案的合理 性，探索與分析答案，形成規則）。 六、溝通能力 近來教育界開始重視教與學中的語言過程（linguistic processes），即重視語言在教學內容與情境中所扮演的角 色，Cazden（1988）甚至認為熟練學習內容即熟練語言。 另外，溝通能力也應包括數學語文的表達，學生要能寫出 邏輯清楚的數學敘述與文句。 學生若具有數學的溝通能力，則面對問題時，他們會 表現出： （一）能使用適當的數學符號及名詞。 （二）能提出質的說明。 （三）能清楚地溝通概念、想法及反思。 （四）能使用多重數學表徵（模型、圖片、表格、圖形）。 （五）能寫出邏輯清楚的數學文句。 七、使用科技工具能力 在每一個學習計算的階段，在學生熟練 某種數的運算並建立估算能力之後，可以 使用數字計算器，以節省計算時間。在高 中階段，學生應練習使用科學計算器，以 減少繁瑣計算並解決較複雜的問題，如數 學建模或其他學科上的數學問題。 高中數學科課程綱要Q＆A 數學科課程分級如何做？ 1. 數學是工具學科，在高一高二時，所有學生所需之數學大 致相同，因此其分級的設計是在高二下時，有四個小節 (三階行列式的定義與性質、空間中點到直線的距離與兩 平行線的距離及兩歪斜線的距離、三平面幾何關係的代數 判定、平面上的線性映射與二方陣)以加註◎號方式區隔， 作為進階學習之用。由於此部分份量不多，對於學生在高 三時選擇組別，影響不大。 2. 課程分級主要目的是要讓學生能得到適才適性的學習機會， 此部份以選修方式來設計：對基礎不好的學生，提供基礎 數學I、II，補強其國中數學能力，並作為與高中數學的銜 接；對學習速度快的學生，各校也可提供微積分I、II供其 選修，或允許學生至大學選修。 為何要變動95暫綱數學科的順序？ 順序變動最主要的部分在原高二下內容移到高一下，理由 如下： 1. 高一數學（數學I, II）定位為與生活關聯或其他學科需要 用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析所需要的 基礎。高一上處理連續量相關的課題，包括由度量連續量 所產生出之實數、描述量與量關係的基本函數，如多項式 函數與指對數函數。高一下處理離散量相關課題，包括數 列與級數、排列組合，以及生活中所常見的古典機率及其 他學科所常用到的數據分析相關的課題。希望藉由這樣的 安排，學生的數學學習能與其九年一貫的數學銜接，並與 其生活經驗結合，以提升其整體的量化分析與理性思考的 能力。 2. 數學II自成一個體系，且所涉及的先備知識已於國中完成， 因此不會發生因變動順序而產生的邏輯錯亂的教學問題。 961007高中數學課程綱要Q&A.doc 座談與討論 謝謝指教！