Transcript 而f(x 0 )

三、无穷小量与无穷大量
2.10 无穷小量
当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则
称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷小量。
若数列{an}的极限为0，则{an}是无穷小量。
即在变化过程中以0为极限的变量称为无穷小量，
常用α、β、γ表示。
例如： lim sin x  0，所以，当x→0时，sin x 是无
x 0
穷小量
1
1
lim n  0, 所以{ n } 是无穷小量。
n  2
2
2.11无穷大量
当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限
增大，则称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷大量。
若数列{an}当n→∞时，它项的绝对值无限增大，
则{an}是无穷大量。
[定理2.8]
如果当x→a（或∞）时，函数f(x)是无穷大量，
1
那么
就是当x→a（或∞）时的无穷小量，
f ( x)
反过来，如果当x→a（或∞）时，函数f(x)是无穷小
1
量，那么
就是当x→a（或∞）时的无穷大量。
f ( x)
即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。
⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量
因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证
明它的极限为0，
证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它的
倒数是无穷小量。
2 x3  3
例2.29 ⑵，证明：，当x→∞时 f ( x)  2
x  3x  2
是无穷大量
解：
x 2  3x  2
0
∵ lim
3
x 
2x  3
∴
2 x3  3
lim 2

x  x  3 x  2
[有理函数的极限]
当x→∞时，有理函数的变化趋势是：
P( x)
0
⑴当P(x)的次数低于Q(x)的次数，则 lim
x  Q ( x )
是无穷小量。
P( x) a0

⑵当P(x)的次数等于Q(x)的次数，则 lim
x  Q ( x )
b0
趋于常数。
P( x)

⑶当P(x)的次数高于Q(x)的次数，则 lim
x  Q ( x )
是无穷大量。
2.12 无穷小量的比较
根据极限的运算法则可知：
⑴无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
1
1
例如：lim  0, 则 是无穷小量，而|sinx|≤1，则
x  x
x sin x
sinx是有界量，于是
是无穷小量，
x
sin
x
有 lim
0 。
x 
x
⑵无穷小量的和、差、积仍为无穷小量
设x→a时，f(x)、g(x)都是无穷小量，若：
f ( x)
⑴ lim
 0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，
x a g ( x)
记作f(x)=o［g(x)］。
sin 2 x
sin x
 lim
 lim sin x  0
例如 lim
x 0
x 0
x
x x 0
所以，x→0时，sin2x是比x高阶的无穷小量。
f ( x)
 A( A  0) ,称f(x)是g(x)的同阶无穷小量，
⑵ lim
x a g ( x)
特别地，若A=1，称f(x)是g(x)的等价无穷小量，
记作f(x)～g(x)。
sin x
1
x 0
x
例如 lim
所以，x→0时，sinx与x是等价无穷小量。
f ( x)
  ,称f(x)是比g(x)低阶的无穷小量。
⑶ lim
xa g ( x)
例如 lim sin2 x  
x 0 x
所以，x→0时，sinx是比x2低阶的无穷小量。
对于x→∞，n→∞的情况，上述概念仍然适用。
四、连续函数
2.13 函数在x=x0处连续
1.变量的增量
研究函数y＝x2 ，当x从1增加到1.1，函数值y从1
增加到1.21，我们把 1.1－1＝0.1 称为自变量的增
量，把 1.21－1＝0.21 称为函数y的增量。
习惯上，我们常用x0表示自变量的原值，用△x表
示自变量的增量，则自变量的终值可表示为x0＋△x，
如果我们用△y表示函数值的增量 ， 则有△y＝
f(x0＋△x)－f(x0)
2.函数在x＝x0处连续
显然函数y＝x2 在x＝1处，自变量的增量
△x→0，函数值的增量△y→0，我们称函数y
＝x2在x＝1处连续。
[定义]
设函数y＝f(x)在x＝x0的附近有定义，如
果当自变量在x0 处的增量△x→0时，函数对
应的增量△y＝f(x0 ＋△x)－f(x0)是无穷小
y  0
量，即 lim
则称函数y＝f(x)在x0处连
x 0
续。
由上述定义可知
f ( x)  f ( x0 )
lim f ( x0  x)  f ( x0 ) 或 xlim
x
x 0
0
这是函数在x0处连续的两种常用的表示方法
这样函数在x0处连续的定义又可这样表述：
设函数y＝f(x)在x＝x0的附近有定义，当x→x0时
f(x)的极限等于函数在x0处的函数值,即 lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
则称函数y＝f(x)在x0处连续，称x0为f(x)的连续点。
[注意]
函数在x0点的极限存在不一定在x0点就连续，反过来
说，函数在x0点连续，那么它在x0点的极限一定存在。
可见，函数在x0点连续是比极限存在要求更高的条件。
例2.31 ⑵
研究函数在指定点的连续性
 sin x
,x  0

f ( x)   x

1, x  0
x0＝0
sin x
解：∵ lim f ( x)  lim
1
x  x0
x 0
x
而f(x0)＝f(0)＝1
∴ lim f ( x )  f (0)
x 0
函数在x＝0处连续。
[重点提示]
证明函数连续的方法
lim f ( x)  f ( x0 )
1.由定义证 lim f ( x存在，且
)
x x
x x0
0
2.求函数值的增量，证明 lim y  0
x  0
2.14 间断
函数连续的定义包括三个方面的要求
⑴函数y＝f(x)在x0处有定义;
⑵函数y＝f(x)当x→x0时有极限存在;
⑶极限值与函数值f(x0)相等。
其中任何一条不满足，函数在点x0处就不连续，此时
称函数在点x0处间断，x0称为函数的间断点。
函数间断点的三种情况：
1. f(x)在x0处无定义。
2. f(x)在x0处的极限不存在。
3. f(x)在x0处的极限与f(x0)不相等。
例2.32 指出下列函数在指定点是否间断，如果间
断，指出是哪类间断点。
⑴
1
,x＝1
f ( x) 
x 1
1
2
,
x

0

⑵ f ( x)   x
,x＝０ ⑶ f ( x)  x , x  0，x＝０


1, x  0
0, x  0
解：⑴间断，函数在x＝1处无定义
⑵间断，函数在x＝0处极限不存在
⑶间断，但f(0)＝1，两者不相等。
2.15 连续函数
1.连续函数的意义
如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则
称函数f(x)在区间(a,b)上连续。
如果函数f(x)在它的定义域上连续，则称函数
f(x)为定义域上的连续函数。
[证明函数连续的方法]
设x0是函数定义域内的任意一点，
然后证明函数在x0点连续即可。
例2.33 证明f(x)＝x2是连续函数
证明： x0∈(－∞,＋∞)
∵ lim f ( x)  lim x  ( lim x)  x0 ，f(x0)=x02
2
x  x0
x  x0
∴ lim f ( x)  f ( x0 )
2
2
x  x0
x  x0
因此，函数f(x)＝x2是连续函数。
[注意]
连续函数的极限运算与函数运算的顺序可以互换，
即lim f(x)=f(lim x)。这是我们证明函数连续常用的
办法。
[定理2.9]
基本初等函数在它们的定义域上都是连续
的。
[定理2.10]
连续函数的和、差、积、商以及有限个连
续函数复合而成的函数都是连续函数。
[推论]
初等函数是连续函数。
2.连续在求极限方面的应用
由于初等函数是连续函数，所以求初等函数f(x)
在
定义域内的某一点x0处的极限，只需求出 f(x)在x0的
lime x  4 x  1
函数值f(x0)即可。
x 0
例2.34 求 x
lim e  4 x  1  e 0  4  0  1  2
解： x0
2


 x 1

lim
 ln x 
x 1
 x 1

例2.35 求
 x2 1

lim
 ln x   limx  1 ln x  2  0  0
解： x1  x  1
 x1
2
1

x

1
例2.36 求 lim
x 0
x
2
2
x
解： lim 1  x  1  lim
x 0
x 0
x
x( 1  x 2  1)
x
0
 lim
 0
2
x 0
1 x 1 2
2.16 闭区间上的连续函数
在闭区间上的连续函数有一些重要的性质：
[定理2.11] (有界性定理)
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上
有界。
[定理2.12] (最大最小值定理)
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上
有最大值和最小值。
这两个定理的正确性是很明显的。
[定理2.13] (零值定理)
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)
异号，则它在(a,b)上至少存在一点ξ，使f(ξ)＝0。
这个定理的正确性也很容易理解。
函数f(x)在闭区间[a,b]上的函数值是连续变化的，
它从小于0的一端连续变化为大于0，当然其中会有一
点等于0。
[注意]
1.等于0的点并不是唯一的。也就是说，函数f(x)在
（a,b）上等于0的点可能不止一个。
2.该定理只解决ξ存在的问题，并不能解决ξ怎样求
的问题。
零值定理常用来证明方程根的存在性
例2.37
试证方程2x3－3x2＋2x＝3在区间[1,2]至少有一根
证明：
设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，
则f(x)在[1,2]上连续，
根据零值定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，
则x＝ξ就是方程的根。
作业：
P.119 2 ⑴⑵⑶，3 ⑵⑶，5 ⑴⑵
P.120 1 ⑶⑸，2 ⑶⑸，6 ⑴⑵⑸⑹