Transcript T(v) - TOFI
Transformasi Linier
Definisi : Transformasi
Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari Rn(domain)
Rm
ke Rm (codomain) dituliskan : T : Rn
w = T(v)
v : variabel tak bebas
vektor
w : variabel bebas
Sebagai suatu fungsi f : R
R, contoh : f(x) = x2
Misalkan :
1 0
1
A 2 -1 dan v
-1
3 4
1 0
1
1
Av 2 -1 3
-1
3 4
-1
Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A
Secara umum persamaan matrik transformasi :
1 0
x
2 -1 x 2x y
y
3 4
3x 4y
x
Transformasi matrik A oleh vektor
y
x
vektor
2x y
3x 4y
dalam R2 menjadi
dalam R3.
x
x
T
2x
y
Dituliskan sebagai berikut : A
y
3x 4y
R3
T : R2
A
1
1
Bayangan v adalah w TA (v)
3
-1
-1
x
1
0
x
Range TA 2x y x 2 y -1
y 3x 4y
3
4
Dengan kata lain : range(jarak) TA merupakan ruang
kolom dari matrik A
Definisi : Transformasi Linier
Transformasi T : Rn
Rm disebut transformasi linier
Jika :
1. T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam Rn
2. T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam Rn dan skalar c
Contoh :
T : Rn
x
x
m
R dinyatakan dengan T 2x y
y 3x 4y
Buktikan bahwa T adalah transformasi linier.
x1
x2
Jawab : Misalkan: u dan v
y1
y2
Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)
x1 x 2
x1 x 2
x1 x 2
T(u v) T T
2(x
x
)
(y
y
)
1
2
1
2
y
y
y
y
2
1 2
1
3(x1 x 2 ) 4(y1 y 2 )
x1 x 2
x1 x 2
2x1 2x 2 y1 y 2 (2x1 y1 ) (2x 2 y 2 )
3x1 3x 2 4y1 4y 2 (3x1 4y1 ) (3x 2 4y 2 )
x1
x2
x1 x 2
(2x1 y1 ) (2x 2 y 2 ) T T T(u) T(v)
y1 y 2
(3x1 4y1 ) (3x 2 4y 2 )
x
Misalkan: v dan c skalar
y
Syarat 2 : T(cv) = cT(v)
x
cx
T(cv) T c T
y
cy
cx
cx
2(cx) (cy) c(2x y)
3(cx) 4(cy) c(3x 4y)
x
x
c 2x y cT cT(v)
y
3x 4y
Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan
transformasi linier
Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan
mengkombinasikan kedua syarat yaitu :
Transformasi T : Rn
Rm disebut transformasi linier
jika :
T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)
untuk semua v1, v2 dalam Rn dan skalar c1, c2
Matrik transformasi (TA) adalah transformasi linier.
Bukti :
x
1
0 1 0
x
x
T 2x y x 2 y -1 2 -1
y
y 3x 4y
3
4
3 4
sehingga :
T = TA dengan A =
1 0
2 -1
3 4
Transformasi TA: Rn
linier jika :
TA(x) = Ax
Rm disebut transformasi
untuk x dalam Rn dan A adalah matrik m x n
Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam Rn dan
c : skalar,
kemudian :
TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v)
dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v)
Dengan demikian : TA merupakan transformasi linier.
Misalkan T: Rn
Rm merupakan transformasi linier.
Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya
T = TA dengan A adalah matrik m x n
Maka :
A T(e1 ) T(e2 ) ............ T(en )
disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T
Bukti : x adalah vektor dalam Rn dapat dituliskan:
x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen
Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen)
= x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en )
x1
x
T(e1 ) T(e 2 ) ......... T(e n ) 2 Ax
x
n
Contoh :
Sifat-sifat transformasi linier :
Jika T : V
W adalah transformasi linier, maka :
1. T(0) = 0
2. T(– v) = – T(v) untuk semua v dalam V
3. T(u – v) = T(u) – T(v) untuk semua u dan v dalam V
Contoh :
Anggap T adalah transformasi linier dari R2 ke P2 seperti
1
2
T 2 3x x 2 dan T 1 x 2
1
3
1
a
Carilah : T dan T
2
b
Jawab :
1 2
Karena : B , adalah basis dari R2 , sehingga
1 3
setiap vektor dalam R2 berada dalam jangkauan (B)
Maka :
1
2 -1
c1 c2
1
3 2
Diperoleh nilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga :
1 2
1
1
2
T T 7 3 7T 3T
2
1
3
1 3
7(2 3x x 2 ) 3(1 x 2 ) 11 21x 10x 2
Dengan cara yang sama diperoleh bahwa :
a
1
2
b (3a 2b) 1 (b a) 3
a
1
2
Maka : T T (3a 2b) (b a)
b
1
3
1
2
(3a 2b)T (b a)T
1
3
(3a 2b)(2 3x x2 ) (b a)(1 x 2 )
(5a 3b) (9a 6b)x (4a 3b)x 2
Komposisi dari suatu transformasi
Komposisi dari dua transformasi T: Rm
diikuti S: Rn
Rp dituliskan : S T
Rm
Rn
v
T
S
T(v)
S T
Rn dan S: Rn
Rn yang
Rp
S(T(v)) = (S T)(v)
Rp transformasi linier,
Jika : T: Rm
Rp adalah transformasi linier,
kemudian S T: Rm
maka matrik standarnya adalah : S T ST
Contoh :
Transformasi linier T: R2
T
x1
x2
R3 didefinisikan sebagai :
x1
2x1 x 2
3x1 4x 2
Transformasi linier S: R3
2y1 y3
y1
3y
y
2
3
S y2
y1 y 2
y3
y1 y 2 y3
Cari : S T : R2
R4
R4 didefinisikan sebagai :
Jawab :
Matrik standar :
2
0
S
1
1
0
3
-1
1
1
-1
0
1
dan
2
0
S T ST
1
1
0
3
-1
1
1 0
T 2 -1
3 4
1
5 4
1 0
-1
3
-7
2
-1
-1 1
0
3 4
1
6
3
5
x1 3
S T
-1
x2
6
4
5x1 4x 2
-7 x1 3x1 7x 2
1 x 2 x1 x 2
3
6x1 3x 2
Cara lain :
x1
y1
y T x1 2x x
2
x 1
2
2
y3
3x1 4x 2
Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :
2
x1 0
S T
x2 1
1
0 1
5x1 4x 2
x1
3x
7x
3 -1
2
1
2x
x
1
2
x1 x 2
-1 0
3x1 4x 2
1 1
6x1 3x 2
Anggap : T : R2
S : P1
P1
P2
transformasi linier
yang ditunjukkan oleh :
a
T a (a b)x dan S(p(x)) xp(x)
b
Carilah :
3
a
S T dan S T
2
b
Jawab :
3
3
S T S T S(3 (3 2)x) 3x x 2
2
2
a
a
S T S T S(a (a b)x) ax (a b)x 2
b
b
Invers dari Transformasi Linier
Definisi :
Transformasi linier T: V W memiliki invers jika ada
transformasi linier T: W V sehingga T’ T = Iv dan T T’ = Iw
Maka : T’ disebut invers dari T
Contoh :
Tunjukkan bahwa pemetaan T : R2 P1 dan T’: P1
dinyatakan sebagai :
R2 yang
a
c
T a (a b)x dan T c dx
b
d
c
merupakan invers !
Jawab :
a
a
a
a
T T T T T(a (a b)x)
(a b) a b
b
b
c
Dan : T T(c dx) T(T(c dx) T
d
c
c +(c+(d – c))x= c + dx
Jadi : T T I 2 dan T T IP
R
1
Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers
Kernel dan range transformasi linier
Definisi :
Jika T : V
W adalah transformasi linier
Kernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua
vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0
dalam W.
ker (T) = {v dalam V : T(v)= 0
Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua
vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V
hasil T
range (T) = {T(v) : v dalam V}
= {w dalam W: w = T(v)
untuk semua v dalam V}
Jika T : V
W adalah transformasi linier
Maka :
a. Kernel T merupakan subruang V dan dimensi
kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T)
b. Range T merupakan subruang W dan dimensi
range dikenal sebagai rank : rank (T)
ker(T)
V
range(T)
0
0
T
Kernel dan range dari T : V
W
W
Transformasi satu - satu
T:V
W adalah transformasi linier satu - satu jika
T merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor
dalam W
T
T
V
W
T : satu - satu
Untuk semua u dan v dalam V
u≠v
T(u) ≠ T(v)
T(u) = T(v)
u=v
V
W
T : bukan satu - satu
Transformasi Onto :
T:V
W adalah transformasi linier onto untuk semua
w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga :
w = T(v)
T : onto
T : bukan onto
Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier
W adalah satu – satu, jika dan hanya jika :
T: V
onto.
Bukti :
Jika T adalah satu – satu, maka nulity (T) = 0
Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n
Oleh karena itu T adalah onto.
Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n
Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0
Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu
Contoh :
Transformasi T : R2
R3 dinyatakan dengan :
2x merupakan transformasi satu-satu atau
x
T x y onto ?
y
0
Jawab :
2x1 2x 2
x1
x2
Misalkan : T T ,maka : x1 y1 x 2 y 2
y1
y2
0
Sehingga diperoleh : x1 = x2 dan y1 = y2
Jadi :
x1 x 2
y y
1 2
maka T adalah satu-satu
0
T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi
nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R2 seperti :
0
x
T 0
y 1
Contoh : Tunjukkan bahwa T : R2
sebagai :
P1 dinyatakan
a
T a (a b)x adalah transformasi linier satu - satu
b
Jawab :
a
a
Jika adalah ker (T), maka : 0 T a (a b)x
b
b
a 0
Sehingga diperoleh :
b 0
0
Akibatnya : ker (T) = 0
dan T adalah satu - satu
Dengan menggunakan teorema rank :
Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2
Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R2
Maka T adalah onto
Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor
Definisi :
W dikatakan isomorph, jika
Transformasi linier T : V
satu – satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor
yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan
dituliskan : V W
Sifat-sifat isomorph :
1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T-1
2. T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan
range (T) = W
3. Jika v1, v2 ……..vk adalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk)
adalah basis dalam W
4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V
isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W).
Latihan :
1. Tunjukkan apakah T : R3
dalam : a
P2 yang dinyatakan
T b ( abc) ( a b) x ( a c ) x 2
c
merupakan transformasi linier !
M2x2 yang dinyatakan
2. Tunjukkan apakah T : R3
a
dalam :
T
b
c
a b c b
a b 2b c
merupakan transformasi linier !