Transcript Sub Ruang
SUB RUANG
Oleh:
Ivo Oktora
(060210101166)
Silvi Triandriamaya (070210191004)
Zainul Gufron
(070210191048)
M. S Yusuf
(070210191156)
Rina Azizah
(070210191163)
Definisi Sub Ruang
Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V
dinamakan subruang (subspace) V jika W itu
sendiri adalah ruang vektor dibawah
penambahan dan perkalian skalar yang
didefisikan pada V
Aksioma warisan
2) u + v = v + u
3) u + (v+w) = (u+v)+w
7) k(u+v) = ku + kv
8) (k+l) u = ku + lu
9) kl (u) = k (lu)
10) 1u = u
Aksioma bukan warisan
1)
4)
5)
6)
u v W
0 W
u W , u W
ku W
Teorema 4
Jika W adalah himpunan dari satu atau
lebih vektor dari sebuah ruang vektor V,
maka W adalah subruang dari V jika dan
hanya jika kondisi berikut berlaku :
a) Jika u dan v adalah vektor vektor
pada W, maka u + v terletak di W
b) Jika k adalah sebarang skalar dan u
adalah sebarang vektor pada W,
maka ku berada di W
Bukti
Pembuktian dari aksioma 1) dan 6)
aksioma
1) u v W
6) ku W
Untuk mendapatkan aksioma 5) dapat kita
peroleh dari aksioma 6)
Ambil k = -1
1 .u W
u W
aksioma 5)
Untuk mendapatkan aksioma 4) dapat kita
peroleh dari aksioma 1) atau aksioma 6)
aksioma 1)
Ambil v = -u
u v W
u (u ) W
0W
aksioma 6)
Ambil k = 0
aksioma 4)
ku W
0 .u W
0W
aksioma 4)
Contoh Soal
Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W
adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v
harus terletak pada W karena vector ini merupakan dan
paralelogram yang dibentuk oleh u dan v , dan vector ku harus
terletak pada W untuk scalar sembarang k karena ku terletak pada
garis yang melewati u. jadi, w tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian skalar, sehingga merupakan sub ruang R3.
Vector u + v dan ku keduanya terletak pada
satu bidang yang sama dengan u dan v
Contoh bukan sub ruang
Misalkan W adalah himpunan semua titik (x,y) pada R2
sedemikian hingga x 0 dan y 0 . Titik ini adalah titik-titik
pada kuadran pertama. Himpunan W bukan merupakan su ruang
dari R2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar. Sebagai
contoh, v = (1,1) terletak pada W, tetapi bentuk negatifnya (-1)v =
-v = (-1,-1) tidak terletak pada W.
Soal 1
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c
Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut
apakah merupakan subruang R3 ?
Jawab :
R3 merupakan ruang vektor
W1 R
3
Ambil sebarang dua elemen pada W1
x1 , x 2 W 1 x1 ( a 1 , b1 , c1 ), b1 a 1 c1
x 2 ( a 2 , b 2 , c 2 ), b 2 a 2 c 2
x1 x 2 ( a 1 a 2 , b1 b 2 , c1 c 2 )
b1 b 2 a 1 a 2 c1 c 2
x1 x 2 W 1
Ambil sebarang skalar k dan x W 1
x ( a , b , c ), b a c
kx ( ka , kb , kc )
kb ka kc
kx W 1
Jadi W1 Subruang pada R3
Soal 2
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c+1
Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut
apakah merupakan subruang R3 ?
Jawab :
R3 merupakan ruang vektor
W2 R
3
Ambil sebarang dua elemen pada W2
x1 , x 2 w 2 x1 ( a 1 , b1 , c1 ), b1 a 1 c1 1
x 2 ( a 2 , b 2 , c 2 ), b 2 a 2 c 2 1
x1 x 2 ( a 1 a 2 , b1 b 2 , c1 c 2 )
b1 b 2 a 1 a 2 c1 c 2 2
x1 x 2 W 2
W2 bukan sub ruang R3
Soal 3
1. Misal U merupakan himpunan semua matrik
2x2 yang berbentuk
dengan syarat a= 0
dan d= 0. Tunjukkan bahwa U subruang dri
ruang vektor matrik 2x2!
Jawab:
Ambil a,b U, akan ditunjukkan bahwa
a+b U,karena a U maka dipenuhi a=
Dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0, dan karena
B U maka dipenuhi b=
Dengan syarat a2 = 0 dan d2 = 0. maka
a+b=
, karena a1 = 0 dan a2 = 0,
Maka a1 + a2 = 0,sert dikarenakan d1 = 0 dan
d2 = 0, maka d1 + d2 = 0. jadi a + b U.
Ambil a U, ambil k R akan ditunjukan
bahwa ka U, karena a U maka dipenuhi
a=
dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0.
Maka ka=
, berarti ka1 = 0 dan kd1 = 0
Jadi ka U
Sehingga U subruang dari ruang vektor 2x2.
Soal 4
Misalkan U himpunan semua matrik
a
2x2,
c
b
berbentuk
d
dengan
syarat ad=0. Apakah U sub ruang dari ruang vektor matrik 2x2?
Jawab:
U bukan sub ruang dari matrik 2x2, karena itu dibutuhkan contoh
penyangkal.
2
m1
2
0
3
dan m 2
U
0
5
2
m1 m 2
3
9
U
4
6
U
4
Jadi U bukan sub ruang dari
matrik 2 x 2
Soal 5
Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier
homogen AX 0 , dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan
bahwa U sub ruang Rn.
Jawab :
1. Ada vektor nol, 0, sehingga A0 = 0. Jadi, U≠∅.
2. Ambil X 1 , X 2 U , berarti memenuhi AX 1 0 dan AX 2 0 .
Akan ditunjukkan bahwa
X X U berarti A ( X X ) 0
{sifat distributif perkalian matrik}
A ( X 1 X 2 ) AX 1 AX 2
1
2
A( X 1 X 2 ) 0 0 0
Jadi, X 1 X 2 U
1
2
{karena
AX 1 0
dan
AX
2
0
}
3. Ambil,
X1 U
kX 1 U
A ( kX 1 ) 0
berarti memenuhi
AX 1 0
. Akan ditunjukkan
, berarti
.
A ( kX 1 ) k ( AX 1 )
A ( kX 1 ) k 0 0
{sifat asosiatif perkalian matrik}
{karena
AX 1 0
Jadi, kX 1 U
∴U sub ruang dari ruang vektor Rn.
}