Transcript 纯整数规划的求解
Ch6 整数规划 Integer Programming 6.2 纯整数规划的求解(续) Solving Pure Integer Programming 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming Ch6 整数规划 Integer Programming 6.2.2 求解IP的割平面法 设纯整数规划 n n max Z c j x j a x j 1 j 1 ij j bi x j 0且为整数，j 1,, n 松弛问题 n max Z c j x j j 1 的最优解 n a x j 1 X＝( B1b,0)T ij j bi x j 0，j 1,, n b B1b (b1 , b2 ,, bm )T 设xi不为整数， xi aik xk bi , 即xi bi aik xk k k xk 为非基变量 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming Ch6 整数规划 Integer Programming 将 bi 及aik 分离成一个整数与一个非负真分数之和： aik aik fik , 0 fi 1, 0 fik 1 bi [bi ] fi , 则有 xi [bi ] f i [aij ]xk f ik xk k k xi [bi ] [aij ]xk fi fik xk k k 等式(6.5)两边都为整数并且有 f i f ik xk f i 1 k （3. 5） 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming 则 fi fik xk 0 Ch6 整数规划 Integer Programming （3. 6） k 加入松弛变量si得 si fik xk fi （3. 7） k 此式称为以xi行为源行(来源行)的割平面，或分数切割式，或 R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。 将Gomory约束方程加入到松弛问题的最优表中，用对偶 单纯形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直 到全部为整数解。 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming x1 56 x3 16 x4 53 2 1 2 x x x 2 3 3 3 4 3 例如， x1行： 移项： 令 x1 56 x3 (1 56 ) x4 1 23 x1 x4 1 23 56 x3 56 x4 2 3 56 x3 56 x4 0 s1 56 x3 56 x4 23 加入松弛变量s1得 同理，对于x2行有： s2 13 x3 13 x4 23 Ch6 整数规划 Integer Programming 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming 【例6.6】 用割平面法求解下列IP问题 max Z 4 x1 3 x 2 6 x1 4 x 2 30 x1 2 x 2 10 x , x 0且为整数 1 2 【解】 放宽变量约束，对应的松弛问题是 max Z 4 x1 3x 2 6 x1 4 x 2 30 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2 Ch6 整数规划 Integer Programming 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming Ch6 整数规划 Integer Programming 加入松弛变量x3及x4后，用单纯形法求解，得到最优表6-3: 表6-3 Cj CB 4 3 XB x1 x2 λj 4 x1 1 0 3 x2 0 1 0 x3 1/4 －1/8 0 x4 b －1/2 3/4 5/2 15/4 0 0 －5/8 －1/4 最优解X(0)＝(5/2，15/4),不是IP的最优解。选择表6-3的 第一行(也可以选第二行)为源行 1 1 5 x1 x3 x 4 4 2 2 6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming Ch6 整数规划 Integer Programming 分离系数后改写成 1 1 1 x1 x3 (1 ) x 4 2 4 2 2 1 1 1 x1 x 4 2 x3 x 4 0 2 4 2 加入松弛变量x5得到高莫雷约束方程 x3 2x4 x5 2 （3. 8） 将式(6.8)作为约束条件添加到表6－3中，用对偶单纯形 法计算，如表6－4所示: 3.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming Ch6 整数规划 Integer Programming 表6－4 Cj 4 3 0 0 0 x4 x5 CB XB x1 x2 x3 4 3 0 x1 x2 x5 1 0 0 0 1 0 1/4 －1/8 －1 0 0 1 0 0 －5/8 0 1 0 0 0 1 0 1/2 －1/2 1/2 －1/4 3/8 －1/2 0 0 －1/2 －1/8 λj 4 3 0 x1 x2 x4 λj b 5/2 15/4 －2→ 3 3 1 最优解X(1)＝(3，3)，最优值Z＝21。所有变量为整数，X(1)就是IP的最优解。 如果不是整数解，需要继续切割，重复上述计算过程。 如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基变量，则此松弛 变量所在列化为单位向量后就可以去掉该行该列，再切割。 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP Ch6 整数规划 Integer Programming 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP 6.3.1 求解0－1整数规划的隐枚举法 隐枚举法的步骤： 1.找出任意一可行解，目标函数值为Z0 ； 2. 原问题求最大值时，则增加一个约束 c1 x1 c2 x2 cn xn Z0 (*) 当求最小值时，上式改为小于等于约束； 3. 列出所有可能解，对每个可能解先检验式(*)，若满足再检 验其它约束，若不满足式(*)，则认为不可行，若所有约束都满 足，则认为此解是可行解，求出目标值 ； 4. 目标函数值最大(最小)的解就是最优解。 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP Ch6 整数规划 Integer Programming 【例6.7】用隐枚举法求解下列BIP问题 max Z 6 x1 2 x2 3x3 5 x4 4 x1 2 x 2 x3 3x4 10 3x1 5 x2 x3 6 x4 4 2 x1 x2 x3 x4 3 x 2 x 4 x 5 x 10 2 3 4 1 x j 0或1，j 1,2,3,4 【解】(1) 不难看出，当所有变量等于0或1的任意组合时，第一个约束满 足，说明第一个约束没有约束力，是多余的，从约束条件中去掉。还能通 过观察得到X0 ＝(1，0，0，1)是一个可行解，目标值Z0 ＝11是BIP问题的 下界，构造一个约束：6 x1 2 x2 3x3 5x4 11 ，原BIP问题变为 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP Ch6 整数规划 Integer Programming max Z 6 x1 2 x2 3x3 5 x4 6 x1 2 x 2 3x3 5 x4 11 3x1 5 x2 x3 6 x4 4 2 x1 x2 x3 x4 3 x 2 x 4 x 5 x 10 2 3 4 1 x j 0或1，j 1,2,3,4 (3.9a) (3.9b) (3.9c) (3.9d ) (2) 列出变量取值0和1的组合，共24＝16个，分别代入约束条件判断是否可行。 首先判断式(6.9a)是否满足，如果满足，接下来判断其它约束，否则认为不 可行，计算过程见表6－5所示。 Ch6 整数规划 Integer Programming 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP 表6－5 j Xj 3.9a 3.9b 3.9c 3.9d Zj j Xj 3.9a 3.9b 3.9c 3.9d 1 (0,0,0,0) × 9 (1,0,0,0) × 2 (0,0,0,1) × 10 (1,0,0,1) √ 3 (0,0,1,0) × 11 (1,0,1,0) × 4 (0,0,1,1) × 12 (1,0,1,1) √ 5 (0,1,0,0) × 13 (1,1,0,0) × 6 (0,1,0,1) × 14 (1,1,0,1) 7 (0,1,1,0) × 8 (0,1,1,1) × Zj √ √ √ 11 √ √ √ 14 √ √ √ √ 13 15 (1,1,1,0) √ × 16 (1,1,1,1) √ √ √ × (3) 由表6-5知，BIP问题的最优解：X＝(1，0，1，1)，最优值Z＝14。 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP Ch6 整数规划 Integer Programming 注： (1) 选择不同的初始可行解，计算量会不一样。一般地， 当目标函数求最大值时，首先考虑目标函数系数最大的变量 等于1，如例6.7。当目标函数求最小值时，先考虑目标函数 系数最大的变量等于0； (2) 在表6－5的计算过程中，当目标值等于14时，将其下界 11改为14，可以减少计算量。 6.3 0－1规划的求解 Solving BIP Ch6 整数规划 Integer Programming 1. 领会割平面法的基本原理； 2. 分离源行，求出Gomory约束； 3. 在最优表中增加Gomory约束，用 对偶单纯形法迭代。 4. 用隐枚举法求0-1规划的最优解； 作业：教材P76 T 8(2) The End of Chapter 6