Transcript lingo讲义

数学建模：lingo专题
Lingo 讲义
数信学院
邝神芬
1
参考教材
1. 优化建模与lindo/lingo软件, 谢金星 薛毅 ,清
华大学出版社
2.lingo 教程 （电子版）
3.运筹学（第三版） ，清华大学出版社
2
求解线性规划
例1.1如何在LINGO中求解如下的LP问题：
2 x1  3 x 2
min
s.t.
x1  x 2  350
x1
 100
2 x1  x 2  600
x1 , x 2  0
Lingo程序运行步骤：
4
5
点击红色按纽运行
6
7
Lingo简介
 1.lingo由美国lindo公司开发，软件前身是lindo
6.0, 是美国芝加哥大学生linus schrage教授于
1980年开发的专门用于求解数学规划的软件包，属
于最优化，运筹学问题求解软件, 。
 2.LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二
次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性
和非线性方程组及代数方程求根等。
 3.应用的范围包含生产线规划、运输、财务金融、投
资分配、资本预算、混合排程、库存管理、资源配置
等许多领域。在教学、科研和工业、商业、服务等领
域得到广泛应用
8
lingo程序一般模板：
model:!一般以model:开关，以end结束,这个可省略;
sets:
!这里定义集合，即变量;
endsets
data:
!这里定义已知数据;
enddata
!目标函数，为min或max;
min=@sum( ) !目标函数表达式
!在min或max接着是约束表达式,以分号结束;
9
end
为什么要学lingo?
1.lingo专注于解优化问题。
2.lingo求解优化问题非常简单易用。
3.lingo是数学建模竞赛的必备工具。
有人说，能用lingo求解的，一般也能用matlab
求解，但是：matlab求解优化问题较复杂，尤
其是整数规划，适合对优化理论非常熟悉的人，
而lingo简单易用，适合各阶层人士使用。
10
lingo适合解决什么问题？
只要涉及最大或最小值的优
化问题，都能用lingo求
解
11
Lingo基础
一个优化问题通过以下三部分组成：
1、目标函数：一般表示成求某个数学表达式的最大
值或最小值。
2、决策变量：目标函数值取决于哪些变量
3、约束条件：对变量附加一些条件限制（通常用等
式或不等式表示）。（变量限制条件）
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Lingo的语法规定：
(1)求目标函数的最大值或最小值分别用Max=---或Min=---来表示
(2)每个语句必须以分号结束
(3)变量名必须以字母(A---Z)开头，由字母，数字和下划线组成，
长度不超过32个字符，不区分大小写；
(4)可以给语句加上标号，例如[obj] Max=200*x1+300*x2;
(5)以!开头，以;号结束的语句是注释语句；
(6)如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量
都非负；
(7) Lingo模型以语句Model:开头，以end结束，对于比较简单的模型，
这两个语句可以省略。
13
lingo要学些什么？
利用lingo求解优化问题就像直
接打公式一样，那么lingo有什
么要学的呢？
14
直接求解非常麻烦！！
例子：求
100
x
min
i 1
100
x
i 1
i
100
x
i 1
i
i
 100
 500
xi  0(i  1,..,100)
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学习lingo的基础：
1.理解什么是集？集的数据如何定
义？
2.理解Lingo程序流，循环，求和，
判断等，懂得利用这些语法来表达复
杂的约束表达式。
3.如何对变量作约束，如求解0-1规
划，整数规划
16
如何学好lingo?
1.多练，多实践，懂得基本
语法后，多看例子。
2.学会用优化的思想来思考
问题（掌握运筹学与最优化
理论是基础中的基础）
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集合
 1 为什么使用集
 集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。
借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系
列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。
 2 什么是集
 集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能
是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员可能有一个或多个与之
有关联的特征，我们把这些特征称为属性。属性值可以预先给定，
也可以是未知的，有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个
产品可以有一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引
力属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可以有一
个生日属性等等。
 LINGO有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集
(derived set)。
 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。
 一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成
员来自于其它已存在的集。
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如何定义集
集部分是LINGO模型的一个可选部分。在
LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定
义。集部分以关键字“sets:”开始，以
“endsets”结束
例1.1（例如人有姓别，性别相对某人来说的）
可定义集：human/zhangsan,lishi/:boy,girl
例2.1 可以定义一个名为students的原始集，
它具有成员John、Jill、Rose和Mike，属性有
sex和age：
sets:
students/John Jill, Rose Mike/: sex, age;
endsets
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lingo集基础
例3.1：要定义x1,x2,…,x100这100个变
量，可定义集合xx, 写成：
Sets:
xx/1..100/:x;
Endsets
其中XX是集合，1..100表示集合从1到100，
X表示这个集合的变量，XX只作循环或程序流
时才使用
注意：在MATLAB中只能用矩阵表示，这是
LINGO简单的原因
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集合的数据定义
 !集部分;
sets:
 students/john jill rose mike/:sex,age;
endsets
!数据部分;
data:
 sex,age= 1 16

0 14

0 17

1 13;
enddata
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lingo集与C语言结构
可以把集、集成员和集属性同C语言中的结构
体作个类比。如下图：
集 ←→ 结构体
集成员 ←→ 结构体的成员
集属性 ←→ 结构体实例
即：struts stu{ int name,int age;}
struts stu zhangsan;
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派生集
为了定义一个派生集，必须详细声明：
派生集可理解为如何定义二维数组xij,
·集的名字
·父集的名字
·可选，集成员
·可选，集成员的属性
可用下面的语法定义一个派生集：
setname(parent_set_list)[/member_list
/][:attribute_list];
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派生集
 sets:
 product/A B/;
 machine/M N/;
 week/1..2/;
 allowed(product,machine,week):x;
 endsets
 LINGO生成了三个父集的所有组合共八组作为allowed集的成员。列表
如下：
 编号
成员
 1
(A,M,1)
 2
(A,M,2)
 3
(A,N,1)
 4
(A,N,2)
 5
(B,M,1)
 6
(B,M,2)
 7
(B,N,1)
 8
(B,N,2)
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派生集 例子
 sets:
 !学生集：性别属性sex，1表示男性，0表示女性；年龄属性age;
 students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age;
 !男学生和女学生的联系集：友好程度属性friend，[0，1]之间的数;
 linkmf(students,students) | sex(&1) #eq# 1 #and#
sex(&2) #eq# 0: friend;
 !男学生和女学生的友好程度大于0.5的集;
 linkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x;
 endsets
 data:
 sex,age = 1 16

0 14

0 17

0 13;
 friend = 0.3 0.5 0.6;
 enddata
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Lingo运算符
算术运算符
算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO
提供了5种二元运算符：
＾ 乘方
﹡ 乘
／ 除
﹢ 加
﹣ 减
LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数
“﹣”。
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逻辑运算符










LINGO具有９种逻辑运算符：
#not# 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符
#eq#
若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否
则为flase
#ge#
若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；
否则为flase
#lt#
若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否
则为flase
#le#
若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；
否则为flase
#and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为
flase
#or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true
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常用数学函数
@abs(x)
返回x的绝对值
@sin(x)
返回x的正弦值，x采用弧度制
@cos(x)
返回x的余弦值
@tan(x)
返回x的正切值
@mod(x,y)
求x/y的余数
@exp(x)
返回常数e的x次方
@log(x)
返回x的自然对数
@lgm(x)
返回x的gamma函数的自然对数
@sign(x)
如果x<0返回-1；否则，返回1
@floor(x)
返回x的整数部分。当x>=0时，返回不超过
x的最大整数；当x<0时，返回不低于x的最大整数。
 @smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最大值
 @smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最小值










28
集合函数
@FOR (set_name：constraint_expressions)
@MAX（set_name：expression）
@MIN（set_name：expression）
@SUM（set_name：expression）
@SIZE（set_name）
@IN（set_name，set_element）如果数据集set_name中
包含元素set_element则返回1，否则返回0。
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变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，
共4种：
@bin(x)
限制x为0或1(例题参考练习题3）
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消对变量x的默认下界为0的限
制，即x可以取任意实数
@gin(x)
限制x为整数
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@符号
注意：lingo所有的函数
及关键字除（min,max
等极小数关键字外）其余
的都要加上@
如求和函数用@sum,循
环@for等
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@for用法
 该函数用来产生对集成员的约束。基于建模语言的标
量需要显式输入每个约束，不过@for函数允许只输入
一个约束，然后LINGO自动产生每个集成员的约束。
 例4.10 产生序列{1,4,9,16,25}
 model:
 sets:
 number/1..5/:x;
 endsets
 @for(number(I): x(I)=I^2);
 end
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@for表示表达式：
1.如何遍历:x1,x2,x4,x5,x100
例：除X3外所有变量+10；@for(xx(i) | i#ne#3:x+10)
2.如何遍历：x3,x4,…,x100
例：x3到x100的数+10
3.如何遍历：x1,x3,x5,...,x99
例：奇数项的数+10
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@sum用法
















该函数返回遍历指定的集成员的一个表达式的和。
例 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的和。
model:
data:
N=6;
enddata
sets:
number/1..N/:x;
endsets
data:
x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
s=@sum(number(I) | I #le# 5: x);
end
3．@min和@max
返回指定的集成员的一个表达式的最小值或最大值。
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@for循环例子
 例4.12 求向量[5，1，3，4，6，10]前5个数的最
小值，后3个数的最大值。
 model:
 sets:
 number/1..6/:x;
 endsets
 data:
 x = 5 1 3 4 6 10;
 enddata
 minv=@min(number(I) | I #le# 5: x);
 maxv=@max(number(I) | I #ge# 4: x);
 end
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以下程序的作用是什么
model:
sets:
 number/1..100/:x;
endsets
 @for(number(I) | @mod(i,2) #eq# 0 :
x(I)=I^2);
 @for(number(I) | @mod(i,2) #eq# 1 :
x(I)=I^3);
end
36
线性规划例子
例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源
有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：

若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的
生产可使利润最大？
37
用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三
种产品的生产量，建立LP模型。
max=60*desks+30*tables+20*chairs;
8*desks+6*tables+chairs<=48;
4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;
2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8;
tables<=5;
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例2，求解如下问题
4
4
4
i 1
i 1
i 1
min w  400 xi  450 yi  20 zi
 xi  40, i  1,2,3,4
 x  y  z  30
 1 1 1
s.t. x2  y2  z1  z 2  60
 x  y  z  z  75
3
2
3
 3
 x4  y4  z3  z 4  25
所有变量均大于0
39
直接
求解：
model:
min=400*x1+400*x2+400*x3+400*x4+
450*y1+450*y2+450*y3+450*y4+20*z1
+20*z2+20*z3+20*z4;
x1<=40;x2<=40;x3<=40;
x1+y1-z1=30;
x2+y2+z1-z2=60;
x3+y3+z2-z3=75;
x4+y4+z3-z4=25;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4)
;
@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4)
40
;
利用lingo语法简化表达式
程序见example2.txt
41
求解非线性规划
求min f(x1,x2)=100(x2－x12)2+(1－x1)2
约束条件：x12+x12≤1.5,x1+x2 ≥0
model:
min=100*(y-x^2)^2+(1-x)^2;
x^2+y^2<=1.5;
x+y>=0;
@free(x);@free(y);
end
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LINGO实战
 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用
运输问题。产销单位运价如下表。
单 销地
位运
价
产
地
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
产
量
A1
6
2
6
7
4
2
5
9
60
A2
4
9
5
3
8
5
8
2
55
A3
5
2
1
9
7
4
3
3
51
A4
7
6
7
3
9
2
7
1
43
A5
2
3
9
5
7
2
6
5
41
A6
5
5
2
2
8
1
4
3
52
销量
35
37
22
32
41
32
43
38
43
数据定义与初始化

Sets部分：
SETS:
WAREHOUSES/WH1..WH6/: CAPACITY;
VENDORS/V1..V8/: DEMAND;
LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME;
ENDSETS

Data部分：
 DATA:
CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;
DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;
COST = 6 2 6 7 4 2 5 9
49538582
52197433
76739271
23957265
5 5 2 2 8 1 4 3;
ENDDATA
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程序求解
MODEL:
!TITLE WIDGETS;
! A 6 Warehouse 8 Vendor Transportation Problem;
SETS:
WAREHOUSES/WH1..WH6/: CAPACITY;
VENDORS/V1..V8/: DEMAND;
LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME;
ENDSETS
! Here is the data;
DATA:
!attribute values;
CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;
DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;
COST = 6 2 6 7 4 2 5 9
49538582
52197433
76739271
23957265
5 5 2 2 8 1 4 3;
ENDDATA
! The objective;
MIN = @SUM( LINKS( I, J): COST( I, J) * VOLUME( I, J));
! The demand constraints;
@FOR( VENDORS( J): @SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) = DEMAND( J));
! The capacity constraints;
@FOR( WAREHOUSES( I): @SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <= CAPACITY( I));
END
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